Lista 3 - Inferência - Estatística 2 2022 1

LISTA III DE EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA Professor Edwards C. de Castro DEST/CCE/UFES Baseado no livro: Noções de Probabilidades e Estatística (3ª Ed) – EdUSP – Marcos M. Magalhães e Antônio Carlos P. de Lima. TESTES DE HIPÓTESES Questão 1. Um fabricante de fio de arame alega que o seu produto tem uma resistência média à ruptura superior a 10 kg com desvio-padrão de 0,5 kg. Um consumidor resolve testar essa afirmativa. Extrai uma amostra aleatória de 50 fios de arame, a qual recusou a resistência média de 10,4 kg. É válida a afirmação do fabricante? Questão 2. Um jornal alega que 25% de seus leitores pertencem à classe A. que regra de decisão poderemos adotar para testar essa hipótese, contra a alternativa de que a percentagem verdadeira não é 25% no nível de 5% de significância? Se em uma amostra aleatória de 740 leitores encontramos 156 da classe A? Questão 3. Uma amostra aleatória de tamanho n = 18 de uma população Normal fornece 𝑥̅ = 31,5 e desvio-padrão amostral de 4,2. No nível de 5% de significância, esses dados sugerem que a média populacional seja superior à 30? Questão 4. Um pesquisador deseja estudar o efeito de uma certa substância no tempo de reação de seres vivos a um certo tipo de estímulo. Um experimento é desenvolvido com cobaias, que são inoculadas com a substância e submetidas a um estímulo elétrico, com seus tempos de reação (em segundos) anotados. Os seguintes valores foram anotados: 9,1 9,3 7,2 7,5 13,3 10,9 7,2 9,9 8,0 8,6 Admite-se que o tempo de reação segue, em geral, um modelo Normal com média 8 e desvio-padrão 2 segundos. Se o pesquisador desconfia que o tempo médio de reação sofre influência da substância, com 6% de significância, qual seria a conclusão desse experimento? Questão 5. O nível de colesterol no sangue é uma variável Normal com desvio-padrão de 60 mg/100ml. Teste a hipótese de que a média é 260 contra uma alternativa unilateral à direita com base numa amostra de 50 pacientes, em que se observou uma média amostral de 268. Utilize um nível de 5% de significância. Questão 6. Um laboratório que fabrica comprimidos analgésicos afirma que o seu remédio contra dor de cabeça leva, em média, 14 min para aliviar a dor, com desvio-padrão de 5 min. Um médico sustenta que o tempo é maior e seleciona aleatoriamente 40 pacientes. Pede a eles que tomem o remédio quando tiverem dor de cabeça e anotem o tempo (em minutos) até o alívio da dor. Após coletar todas as respostas, ele verifica que o tempo médio de alívio para esses pacientes foi de 19 minutos. Tais resultados sustentam a afirmação feita pelo laboratório? Faça as suposições necessárias e use 5% de significância. Questão 7. Um dado é lançado 216 vezes e o número de vezes que ocorreu a face 6 é contado. Decide- se aceitar a hipótese de que o dado é honesto, se o número de ocorrências estiver entre 31 e 41. Item I. Formule a hipótese nula e alternativa para o teste e indique a forma da região crítica; Item II. Qual é a probabilidade do erro do tipo I? Item III. Qual seria a região crítica do teste ao nível de 2% de significância? Questão 8. Testes exaustivos realizados pela indústria Cook-X indicam que seu forno de micro-ondas tem probabilidade 0,1 de apresentar a primeira falha antes de 900 horas de uso. Um novo método de produção está sendo implantado e os engenheiros garantem que a probabilidade acima indicada deve diminuir. Com vistas a verificar essa afirmação, escolheu-se ao acaso 100 aparelhos para realizar teste acelerados e os resultados indicaram que 8 deles tiveram sua primeira falha antes de 900 horas. Item I. Formule as hipóteses adequadas; Item II. Determine o nível descritivo do teste; e, Item III. Verifique se os engenheiros têm razão, considerando um nível de significância de 6%. Questão 9. Um relatório de uma companhia afirma que 40% de toda água obtida de poços artesianos no Nordeste é salobra. Há muitas controvérsias nessa afirmação, alguns dizem que a proporção é maior e outro que é menor. Para dirimir as dúvidas, 400 poços artesianos do Nordeste foram sorteados e observou-se água salobra em 120 deles. Qual seria a conclusão ao nível de 3% de significância? Questão 10. Deseja-se investigar se uma certa moléstia que ataca o rim altera o consumo de oxigênio desse órgão. Para indivíduos sadios, admite-se que esse consumo (em cm3/min) tem distribuição Normal com média 12. Os valores medidos para 5 pacientes com a moléstia foram: 14,4 12,5 15,0 13,7 13,5 Qual seria a conclusão ao nível de 1% de significância? Questão 11. Uma associação de defesa do consumidor desconfia que embalagens de 450g de um certo tipo de biscoito estão abaixo do peso. Para verificar tal afirmação, foram coletados ao acaso 80 pacotes em vários supermercados, obtendo-se uma média de peso de 447g. Admitindo-se que o peso dos pacotes segue uma distribuição Normal com desvio-padrão de 10 gramas, que conclusão pode ser tirada levando-se em conta o nível descritivo do teste? Questão 12. Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações ocorrem na produção e iremos assumir que o diâmetro dessas peças siga uma distribuição Normal com variância de 0,09 cm2. Para testar se a máquina está bem regulada, 100 peças, escolhidas ao acaso, foram observas e sua média calculada em 2,1 cm. Item I. Formule o problema como um teste estatístico de hipóteses; e, Item II. Qual seria a 𝑅𝐶 e a decisão. Use 𝛼 = 0,02. Solução de alguns exercícios da lista Questão 1. Um fabricante de fio de arame alega que o seu produto tem uma resistência média à ruptura superior a 10 kg com desvio-padrão de 0,5 kg. Um consumidor resolve testar essa afirmativa. Extrai uma amostra aleatória de 50 fios de arame, a qual resultou a resistência média de 10,4 kg. É válida a afirmação do fabricante? Solução: Seja X: resistência à ruptura dos fios de arame (em kg). Temos, pela alegação do fabricante que E(X) = 10 e DP(X) = 0,5 Para construir as hipóteses, devemos supor que a resistência seja igual ou inferior à 10 kg até que haja evidências em contrário. Neste caso, temos: 𝐻0: 𝜇 ≤ 10 (ou 𝐻0: 𝜇 = 10) 𝐻1: 𝜇 > 10 Considerando n = 50 grande o suficiente para evocarmos o TCL, temos 𝑥̅ = 10,4 e, considerando 𝛼 = 0,05, 𝑧𝑐 = 1,645 (o ponto crítico dado pela tabela da N(0;1) e está localizado na calda direita da distribuição com área de 0,05). A regra é: “Rejeita-se 𝐻0 com, aproximadamente, 5% de significância se e só se 𝑧𝑜𝑏𝑠 > 𝑧𝑐”. A estatística de teste, sob 𝐻0 (admitindo 𝐻0 verdadeira), é 𝑍 = 𝑋̅ − 𝜇0 𝜎 √𝑛 ⁄ ≈ 𝑁(0; 1) De acordo com os dados do problema, temos: 𝑧𝑜𝑏𝑠 = 10,4−10 0,5 √50 ⁄ = 5,66. Como 𝑧𝑜𝑏𝑠 > 𝑧𝑐 = 1,645, decidimos por rejeitarmos 𝐻0 com 5% de significância e concluímos haver evidências nos dados que a resistência dos fios de arame é superior à 10 kg, como alega o fabricante. Pela abordagem do p-Valor: p-Valor = 𝑃(𝑍 > 𝑧𝑜𝑏𝑠) = 𝑃(𝑍 > 5,66) ≅ 0,0000, pela tabela da N(0;1). Como p-Valor << 𝛼 = 0,05, rejeitamos 𝐻0... Observações: como o desvio-padrão é conhecido, não houve a necessidade de calcularmos a variância amostral e, além disso, se a variável X fosse distribuída de acordo com a Normal, a conclusão seria exata e não aproximadamente com 5% de significância. Questão 2. Um jornal alega que 25% de seus leitores pertencem à classe A. que regra de decisão poderemos adotar para testar essa hipótese, contra a alternativa de que a percentagem verdadeira não é 25% no nível de 5% de significância? Se em uma amostra aleatória de 740 leitores encontramos 156 da classe A? Solução: Sendo n = 740 (grande o suficiente para aplicarmos o TCL), 𝛼 = 0,05 e as hipóteses: 𝐻0: 𝑝 = 0,25 𝐻1: 𝑝 ≠ 0,25. Temos: 𝑝̂ = 156 740 ⁄ = 0,21 e a estatística de teste, sob 𝐻0 verdadeira, 𝑍 = 𝑝̂ − 𝑝0 √𝑝0(1 − 𝑝0) 𝑛 ⁄ ≈ 𝑁(0; 1) Como a 𝐻1 é bilateral, a regra é: “rejeitamos 𝐻0 a favor de 𝐻1 com 𝛼 = 0,05, aproximadamente, se e só se |𝑧𝑜𝑏𝑠| > 𝑧𝑐”. Como 𝑧𝑜𝑏𝑠 = 0,21−0,25 √(0,25)(0,75) 740 ⁄ ≅ 2,52 > 𝑧𝑐 = 1,96 (consultando a tabela da normal padrão para 𝑧𝑐 = 𝑧0,5−𝛼 2 ⁄ = 𝑧0,475), concluímos haver evidências nos dados para rejeitarmos 𝐻0 e concluímos que a proporção de leitores da classe A é diferente de 25%. Pela abordagem do p-Valor: p-Valor = 𝑃(|𝑍| > |𝑧𝑜𝑏𝑠|) = 𝑃(|𝑍| > 2,52) ≅ 2.0,0059 = 0,012, pela tabela da N(0;1). Como p-Valor < 𝛼 = 0,05, rejeitamos 𝐻0... Questão 3. Uma amostra aleatória de tamanho n = 18 de uma população Normal fornece 𝑥̅ = 31,5 e desvio-padrão amostral de 4,2. No nível de 5% de significância, esses dados sugerem que a média populacional seja superior à 30? Solução: Sejam as hipóteses: 𝐻0: 𝜇 = 30 𝐻1: 𝜇 > 30 A regra de decisão neste caso é: “Rejeitaremos 𝐻0 a favor de 𝐻1 com 5% de significância se e só se 𝑡𝑜𝑏𝑠 > 𝑡𝑐”, em que 𝑡𝑐 = 𝑡𝑛−1;𝛼~𝑡17. Pela tabela t de Student, 𝑡𝑐 = 1,740. Como 𝑡𝑜𝑏𝑠 = 𝑋̅−𝜇0 𝑠𝑛−1 √𝑛 ⁄ = 31,5−30 4,2 √18 ⁄ ≅ 1,515 < 𝑡𝑐 (cai na região de aceitação do teste), NÃO há evidências nos dados contra 𝐻0 (não há evidências de que a média populacional seja 30). Questão 4. Um pesquisador deseja estudar o efeito de uma certa substância no tempo de reação de seres vivos a um certo tipo de estímulo. Um experimento é desenvolvido com cobaias, que são inoculadas com a substância e submetidas a um estímulo elétrico, com seus tempos de reação (em segundos) anotados. Os seguintes valores foram anotados: 9,1 9,3 7,2 7,5 13,3 10,9 7,2 9,9 8,0 8,6 Admite-se que o tempo de reação segue, em geral, um modelo Normal com média 8 e desvio-padrão 2 segundos. Se o pesquisador desconfia que o tempo médio de reação sofre influência da substância, com 6% de significância, qual seria a conclusão desse experimento? Solução: As hipóteses que desejamos testar é se o tempo de reação das cobaias é o tempo padrão ou se o tempo de reação das cobaias é alterado, ou seja: 𝐻0: 𝜇 = 8,0 𝐻1: 𝜇 ≠ 8,0 Como a população é normal, 𝑋̅~𝑁(𝜇; 4 10 ⁄ ). Como 𝛼 = 0,06, sob 𝐻0, os pontos críticos são 𝑧𝑐 = ±1,88 (pela tabela da Normal padrão). A regra será: “rejeita-se 𝐻0 a favor de 𝐻1 com 6% de significância se e só se |𝑧𝑜𝑏𝑠| ≥ 1,88”. Como 𝑧𝑜𝑏𝑠 = 𝑥̅−𝜇0 𝜎 √𝑛 ⁄ = 9,1−8,0 2 √10 ⁄ ≅ 0,9566 ∈ RA, 𝐻0 não pode ser rejeitada a 6% de significância e concluímos que não há evidências nos dados sugerindo que a substância altera o tempo de reação.