Lista 4 Ga Resolução V4

Geometria Analítica Lista 4 (Resolução) Retas e Planos no Espaço Retas no Espaço 1. Ache a equação da reta que passa pelos pontos. Tanto na forma canônica como na forma paramétrica. (a) Pelos pontos e . Para encontrar a equação da reta na forma vetorial, devemos primeiramente encontrar o vetor diretor da reta ( ) usando os dois pontos dados. Sendo O o ponto de origem do sistema de coordenadas, temos: Forma vetorial da reta: Forma paramétrica: obs: Existem infinitas soluções para este problema, pois podemos multiplicar o vetor diretor por algum escalar qualquer obtendo outros vetores diretores. Poderíamos ter encontrado e utilizado o vetor diretor ao invés de , pois são paralelos. A escolha do ponto inicial também é opcional. (b) Pelos pontos e Forma vetorial: Forma paramétrica: (c) Pelos pontos e Forma vetorial: Forma paramétrica: (d) Pelos pontos e Forma vetorial: Forma paramétrica: 2. Dados e determine a equacao paramétrica da reta que passa por A e B. Determine também os pontos onde essa reta corta os planos coordenados XY, XZ e YZ. Para determinar a equação paramétrica, faz-se como no exercício 1. Os planos XY, XZ e YZ tem equações: Resolvendo os sistemas... Para o plano XY: Podemos agora encontrar o ponto, substituindo nas equações paramétricas da reta. Assim, o ponto onde a reta corta o plano XY é . Para encontrar a interseção nos outros planos, o procedimento é análogo. Para o plano XZ obtemos , e para o plano YZ . 3. Identifique a linha cujas equações são: Ache o vetor diretor e três pontos que pertencem a essa reta. Primeiro faremos com que os coeficientes de x, y e z sejam 1 (forma simétrica da reta), obtendo: O vetor diretor é . A equação da reta na forma paramétrica é: Para encontrar vetores que pertencem a essa reta, basta substituir por qualquer número real, e calcular x, y e z. 4. Faça o mesmo para a reta e . O vetor diretor é . Para encontrar os pontos, basta substituir por um número real qualquer. 5. Ache a equação padrão da reta . Escreva a equação da reta na forma paramétrica. Da segunda equação temos ( ) Substituindo y na primeiro ( ) Substituindo z na equação ), tem-se : ( ) Olhando para as equações ( e ), percebemos que x está atuando como parâmetro(o qual chamaremos de ). Assim, a equação da reta na forma paramétrica é Sua equação vetorial(forma padrão) é: 6. Ache a equação da reta perpendicular ao plano que passa pelos pontos , , e que passe pela origem. Com os pontos dados pelo problema, pode-se encontrar os vetores diretores do plano. e . Como a reta é perpendicular ao plano que contém esses pontos, então seu vetor diretor é perpendicular a e . Uma das formas de conseguir um vetor perpendicular a outros dois vetores é usando o produto vetorial: . É o vetor diretor da reta. E já que a reta passa pelo ponto : 7. Ache a equação da reta que passa pelo ponto e que intercepta a reta r: ——— ——— perpendicularmente. O ponto (interseção da reta r e da reta que queremos encontrar), já que pertence a reta , é da forma . A partir das coordenadas de e , encontramos o vetor que nada mais é que o vetor diretor da reta da qual desejamos encontrar a equação. A outra condição imposta pelo problema é que a reta que contém P é perpendicular a r, em outras palavras . A equação dessa reta é: — — — — — — — Plano no espaço. 1. Determina a equação do plano que contém o ponto e é perpendicular a reta que passa pelos pontos e . O vetor diretor da reta é . Já que é perpendicular ao plano, podemos usar as coordenadas de seu vetor diretor como os coeficiente de x, y e z da equação geral do plano: . Resta então encontrar . O enunciado do problema nos dá o ponto (-2,-1,5) que pertence ao plano. Então . A equação do plano é 2. Determine a equação do plano que contém o eixo z. Escreva a equação do plano vertical que passa pelos pontos e . 3. Escreva a equação geral de um plano vertical. Um plano vertical é definido como sendo um plano que contém o eixo z, ou é paralelo a ele. Então sua equação geral é . Pois o vetor diretor do eixo z é o vetor (0,0,1). E esse vetor é paralelo a um plano se e somente se a.0+b.0+c.1=0, o que só ocorre caso c=0. 4. Sejam , , , , . Mostre que as retas AB e CD são concorrentes e ache uma equação para os planos que as contêm. O vetor diretor da reta AB é (2,4,2), e o vetor diretor da reta CD é (3,2,-4). As retas são concorrentes se e somente se seus vetores diretores são LI. Ou seja, se não existe tal que . Isso é o mesmo que dizer que o sistema é incompatível. O que se verifica. Então e são LI . Com os pontos dados pelo problema, podemos obter 2 vetores LI pertencentes a esse plano: e . Uma das possíveis equações para esse plano é: 5. Supondo , escreva a equação do plano que corta os eixos x, y e z nos pontos , e respectivamente. e são vetores paralelos a esse plano. Podemos utilizá-los na equação vetorial do plano. 6. Determine a equação do plano que passa pelos três pontos não colineares , e . Temos 3 pontos não colineares, então temos um triângulo. Podemos considerar cada lado desse triângulo como representante de um vetor, que usaremos para definir o plano. Dois vetores LI e um ponto pertencente ao plano são necessários para definir o plano. Usaremos os vetores e , e o ponto . Uma das possíveis equações para esse plano é: 7. Dado o plano : Encontrar suas interseções com os eixos coordenados e as equações de seus traços sobre os planos coordenados. Os eixos coordenados têm equações vetoriais: Observe que todos os eixos coordenados possuem o ponto (0,0,0), e têm um vetor diretor com coordenada não nula somente no que se refere ao próprio eixo. As respectivas equações paramétricas são: Para obter as interseções do plano com os eixos coordenados, substituímos as coordenadas de cada reta na equação do plano( ). Para Para Para Encontrando os parâmetros, podemos agora substituílos nas equações das retas, e obter os pontos. Interseção com o eixo Interseção com o eixo Interseção com o eixo Segunda parte do problema - Encontrando as interseções com os planos coordenados. , e são os planos coordenados. , substituindo na equação do plano temos: - Y está atuando como parâmetro, assim chegamos à equação da reta que é a interseção entre os planos: - O procedimento para os outros planos coordenados é análogo. - Z está atuando como parâmetro, temos então que as equações paramétricas dessa reta são: - -, como z está atuando como parâmetro, tem-se que a reta tem equações: 9. Determinar a equação do plano que contém o ponto e cuja distância a origem seja . Quando se diz que a distância entre dois entes geométricos é , estamos sempre nos referindo à menor das distâncias entre esses entes. Já que a distância entre o ponto (a,b,c) e o plano é isso significa que a distância entre esse ponto e o plano é igual ao módulo do vetor que liga a origem a esse ponto, o vetor . Sabe-se que a menor das distâncias entre um ponto e um plano é aquela que se obtém medindo o módulo do vetor que liga o ponto e o plano, e é ortogonal a esse plano. Bom, se esse vetor é ortogonal a esse plano, esse vetor é um vetor normal ao plano. Deduzi- mos dessa forma que o vetor é um vetor normal ao plano. Podemos então utilizar suas coordenadas para escrever a equação geral do plano: , resta-nos então, encontrar . Temos o ponto A, substituiremos suas coordenadas na equação do plano: . A equação do plano é : . 10. Escreva a equação paramétrica do plano que passa pelo ponto e que tem como normal o vetor . Utilizando as coordenadas do vetor normal obtemos os coeficientes de x, y e z da equação do plano: x-4y+2z+d=0. E utilizando o ponto dado no enunciado do problema, encontramos d: . Então a equação do plano é: . Para obter as equações paramétricas de um plano, a partir de sua equação geral, basta isolar uma das variáveis, e chamar as outras duas de parâmetros distintos: . 11. Escreva a equação paramétrica do plano que passa pelo ponto e é paralelo ao plano . Já que os planos são paralelos, suas equação variam somente por um parâmetro . Assim: . A equação do plano que contém o ponto é: . 12. Determinar o valor de a fim de que os dois planos e sejam perpendiculares. Os dois planos são perpendiculares se e somente se seus vetores normais são perpendiculares. As coordenadas de seus vetores normais são respectivamente (k,-2,2) e (4,k,6). Para que eles sejam ortogonais, tem-se que . 13. Seja X um conjunto no espaço que contém pelo menos dois pontos. Suponha que X tem a seguinte propriedade: a reta que une dois pontos quaisquer de X esteja contida inteiramente em X. Prove que X é uma reta, um plano ou o espaço todo. Uma reta é por definição um conjunto unidimensional e infinito de pontos. Então, se X contém essa reta, X é infinito, e tem a mesma dimensão dessa reta, ou X é um plano que contém essa reta, ou X é o espaço todo. 14. Sejam e retas paralelas. Ache uma equação para o plano determinado por elas. Excluiremos o caso em que AB e CD são a mesma reta, porque caso isso fosse verdade, AB e CD não definiriam plano algum. Usemos os vetores e . A equação geral do plano é: Distâncias 1. Determinar a distância do ponto a reta: (a) ponto a reta e . (b) ponto a reta . A distância entre um ponto e uma reta é dada por ( ) onde é um ponto pertencente a reta, P é o ponto ao qual desejamos medir a distância, e è o vetor diretor dessa reta. (a) Temos o ponto , mas ainda precisamos do vetor diretor da reta. Para isso temos que resolver o sistema de equações planares, sendo que a interseção que encontraremos é a reta. Da equação (1) temos que (3), substituindo na equação (2), obtemos , vemos que , substituindo em (3), temos . x está atuando como parâmetro: . O vetor diretor da reta é . Para utilizar a equação , precisamos de um ponto pertencente a reta, o qual é facilmente obtido olhando para as equações paramétricas dessa reta: . O vetor é igual a . Aplicando : . (b)Quando se tem a equação simétrica de uma reta, as coordenadas do vetor diretor dessa reta são os divisores nas frações. Para obtermos um ponto dessa reta, devemos multiplicar os números que aparecem no dividendo por (-1). Aplicando : . 2. Determinar a distância do plano ao ponto pelo seguinte processo. Encontra o ponto , pé da perpendicular desde A ate o plano. Então determinar como o comprimento do segmento . B é a interseção da reta perpendicular ao plano que passa pelo ponto . Usaremos o vetor normal ao plano como o vetor diretor dessa reta: . Resolvendo o sistema de equações de reta e plano, teremos que —. Substituindo o valor encontrado para , nas equações de reta, encontraremos — — —. 3. Determine a distância do ponto a reta A distância entre ponto e reta é dada pela equação: . Onde é o vetor diretor da reta, e A é um ponto qualquer dessa reta. Escolhemos . Aplicando a propriedade descrita acima, teremos: — — — . 4. Qual o ponto do plano mais próximo do ponto ? . Tal ponto é a interseção de uma reta que passa perpendicularmente no plano e contém o ponto (1,3,1). Podemos usar o vetor normal ao plano (2,3,1) como o vetor diretor dessa reta. A equação da reta na forma paramétrica é: Substituindo na equação do plano, chegamos em -. substituindo nas equações paramétricas da reta, chegaremos às coordenadas do ponto (0,- -). 5. Ache as coordenadas do ponto Q do plano que está mais próximo à origem. Usaremos o vetor normal ao plano como vetor diretor de uma reta que passe pela origem: O ponto do plano mais próximo a origem é a interseção de e . Resolvendo o sistema, temos que — substituindo na equação da reta , obtêm-se o ponto —————. 6. Ache o simétrico do ponto em relação ao plano . é o vetor normal do plano e também o vetor diretor da reta . As equações da reta são: Então . Como , . Substituindo na equação da reta, obtemos o ponto . 7. Determine a distância entre as retas que tem equação paramétricas: e a reta s que tem equações paramétricas: Pelas equações das retas, percebemos que elas ou são concorrentes, ou são reversas, pois seus vetores diretores são LI. No caso de serem concorrentes, a distância é igual a 0. Para verificarmos isso, devemos tentar encontrar a interseção das retas, caso ela exista, as retas são concorrentes. Igualamos as equações: