Resolução de uma Edo de 2 a Ordem do Tipo Pvi Via o Método de Euler

Teste Computacional 2 de Algoritmos Numericos Resolucao de uma EDO de 2a ordem do tipo PVI via o metodo de Euler 1 Objetivo O objetivo deste trabalho e usar o metodo de Euler para resolver uma EDO 2a ordem e em particular obter a solucao do problema da deflexao de uma viga engastada 2 O metodo de Euler para um PVI de 2a ordem Um problema matematico bastante comum que aparece aos se modelar fenˆomenos fısicos sao as EDOs de 2a ordem do tipo PVI Problema de Valor Inicial ou seja problemas onde aparece uma equacao diferencial ordinaria de 2a ordem com valores fornecidos em um unico ponto x0 a tal como descrito abaixo y fx y y ya ya ya qa Este PVI pode ser resolvido empregando as mesmas tecnicas que aquelas utilizadas para resolver um sistema de duas equacoes diferencias de 1a ordem Para isto basta reescrever o PVI de 2a ordem como um sistema de equacoes diferenciais ordinarias de 1a ordem fazendo a seguinte transformacao y1 y y2 y pois assim y 1 y y2 y 2 y fx y y Portanto o problema passar a ser obter as funcoes y1x e y2x solucao de um sistema de duas equacoes diferenciais de 1a ordem com valores iniciais definidos abaixo y 1 y2 y 2 fx y1 y2 y1a ya y2a qa Esse sistema pode tambem ser escrito por y 1 f1x y1 y2 y 2 f2x y1 y2 y1a ya y2a qa onde f1x y1 y2 y2 e f2x y1 y2 fx y1 y2 E lembrando que apesar de se obter duas funcoes y1x e y2x o interesse final e apenas saber yx y1x isto e calculase tambem como efeito colaterala funcao y2x que representa a derivada de yx Para resolver um sistema de duas equacoes deve ser usado o metodo de Euler que esta descrito a seguir 21 Sistemas de EDOs de 1a ordem Seja o sistema de duas equacoes diferencias ordinarias de 1a ordem com valores iniciais tal como o definido abaixo y 1 f1x y1 y2 y 2 f2x y1 y2 y1a y1a y2a y2a A solucao analıtica em um domınio D a b e o par de funcoes y1x e y2x que satisfaz as equacoes diferenciais e as condicoes iniciais y1a y1a e y2a y2a em D a b Existem varios metodos para obter a solucao de forma numerica Metodos conhecidos como metodos de Runge Kutta sao bastante empregados na pratica Neste trabalho sera usado apenas um dos metodos mais simples o metodo de Euler que e tambem um metodo Runge Kutta de 1a ordem O metodo de Euler para duas equacoes Quando ha duas equacoes as aproximacoes numericas para y1x e y2x sao calculadas sincronizadamente para y1x e y2x Nos metodos de passo simples a cada passo da discretizacao do domınio calcula se as aproximacoes para y1xi 1 e para y2xi 1 ou seja os valores y1i1 e y2i1 a partir dos valores numericos em xi isto e a partir de y1i e y2i O metodo de Euler e dado por y1i1 y1i hf1xi y1i y2i y2i1 y2i hf2xi y1i y2i Que pode tambem ser escrito como y1i 1 y1i h f1 y2i 1 y2i h f2 onde f1 f1xi y1i y2i e a inclinacao da funcao y1 em xi f2 f2xi y1i y2i e a inclinacao da funcao y2 em xi h b am e m e a particao do dominio 3 Implementacoes execucoes e problemas a serem tratados 5 pts Usando como modelo uma possıvel implementacao em python do metodo Euler resolver para sistemasde EDOs fornecida ou seja usando o codigo EulerSistemas2Eqpy resolver os problemas descritos abaixo 1 Resolucao de um problema de validacao problema A Determinar a solucao de y 1 f1x y1 y2 y2 y 2 f2x y1 y2 2y1 y2 x2 y100 10 y200 00 em D 0 1 com m 10 subintervalos Se vocˆe quiser fazer alguma verificacao as solucoes esperadas exatas sao y1exata 025e2x 2x2 2x 3 y2exata y 1 2 Calculo da deflexao de uma viga engastada problema B Seja uma viga de comprimento L engastada em uma das suas extremidades Seja uma carga pontual P sendo aplicada em um ponto que esta a x unidades de medida do ponto onde a viga esta presa A deflexao na extremidade livre x L depende de onde a carga esta sendo aplicada Quando a carga e aplicada bem proximo a extremidade fixa a deflexao e menor do que quando e aplicada mais proxima a extremidade livre e esta deflexao aumenta a medida que a carga se distancia da borda engastada Vale observar que quando a carga e aplicada no ponto onde a viga esta presa em x 0 a deflexao e nula ou seja y0 0 Denominando de y a deflexao na extremidade livre x L o modelo matematico que descreve esta deflexao e dado por y P EI 1 y215L x y0 0 y0 0 onde E e o modulo de Young do material e I o momento de inercia da secao da viga Obter a deflexao de uma viga engastada em aco de tamanho L 120cm sujeita a acao de uma carga pontual P 15N aplicada em um ponto x Considere que o modulo de Young do aco e E 200000Ncm2 e que o momento de inercia da secao da viga vale 25cm2 Observe que o PVI de 2a ordem que descreve o fenˆomeno y P EI 1 y215L x y0 0 y0 0 pode ser reescrito por um sistema de duas equacoes diferenciais de 1a ordem fazendo a seguinte transformacao y1 y y2 y com isso o PVI passa a ser um sistema de duas equacoes dado abaixo y 1 y y2 y 2 y P EI 1 y2215L x y1x 0 0 y2x 0 0 Obter a solucao usando uma particao com m 40 Obter o valor da deflexao o valor de y1 y para todos os pontos da particao ou seja o valor de y1 y em funcao de x 4 Menu de entrada e valores de saıda Seu programa deve exibir na tela um menu para o usuario similar ao mostrado abaixo Digite uma opcao A Resolver o problema A exemplo da validacao B Resolver o problema B determincao da deflecao na viga S Sair Escolha Apos a escolha da opcao o usuario deve fornecer os dados necessarios para a resolucao do problema ou seja a b y1a y2a e m Fornecidos os dados de entrada o codigo deve exibir na tela a solucao numerica do problema escolhido com a particao estabelecida incluindo o ponto x a isto e para cada xi deve se exibir os valores de y1i e y2i Por exemplo Suponha um domınio D 10 20 com m 2 subdivisoes e valores fictıcios para y1 e y2 A saıda seria x 10 y1 40 y2 07 x 15 y1 385 y2 06 x 20 y1 373 y2 05 O formato de saıda fica a seu criterio mas o codigo deve ter como saıda os valores de y1 e y2 para todos os pontos da particao 5 Relatorio 5 pts Alem de me enviar o codigo em python devese relatar os resultados obtidos apresentando os problemas que estao sendo resolvidos Para fazer este relatorio siga aproximadamente os seguintes passos a Apresentar a solucao numerica do problema A Exibir os valores y1i e y2i obtidos com m 10 subintervalos b Apresentar o problema B isto e o problema da deflexao da viga e exibir os valores de yi para m 40 6 Condicoes de entrega 61 Grupo Este trabalho devera ser realizado em grupos de no maximo 3 alunos OBS Escreva os nomes dos componentes no codigo principal do seu programa