Atividade Avaliativa 1 - Cálculo 3 2021 1

Primeira atividade avaliativa de Cálculo III 2021/1 especial Data : 13/08/2021 • Justifique em todas as questões. • Escreva de forma nítida e organizada. • Soluções mais simples valem mais pontos que soluções longas e complicadas. • Se alguma questão apresentar "problema" haverá critério plausível para avaliação. 1. Suponha que uma bicicleta bem alinhada caminhe sobre um trecho onde não há derrapagem e nem que a bicicleta se incline, ou seja, seus pneus permaneçam verticais. Isso é aproximadamente válido se a velocidade é muito baixa, pois nesse caso tornam-se desprezíveis efeitos como força centrípeta e contra-esterço Estas considerações são para evitar confusões e não influem na solução do problema. (a) (2,0) Seja d a distância entre os pneus dianteiro e traseiro. Se o caminho percorrido pelo pneu traseiro é dado por r(t) = (x(t), y(t), z(t)) e r(t) está parametrizado pelo comprimento de arco, então pode-se mostrar que a função vetorial que descreve o caminho percorrido pelo pneu dianteiro é s(t) = r(t) + d · r′(t). Mostre então que a distância percorrida pelo pneu dianteiro nunca é menor que a distância percorrida pelo pneu traseiro. (b) (1,5) se o caminho é retilíneo, mostre que as distâncias percorridas pelos pneus dianteiro e traseiro são iguais. 2. (a) (2,0) Calcule a função comprimento de arco da hélice r(t) = (3cos(2t), 2t, −3sen(2t)), medido a partir do ponto (−3, −π, 0) no sentido crescente de t. (b) (1,5) Reparametrize a hélice do item (a) pelo comprimento de arco. 3. (3,0) Por meio de cálculos, mostre que o plano osculador (aquele determinado pelos vetores T e N) de qualquer círculo contido no plano yz (não necessariamente com centro na origem) por qualquer ponto é sempre o próprio plano yz (cálculos concretos são preferíveis a argumentos simplórios).