Aula 10 - Achando Soluções 2021 1

Exemplo Resolva o PVI y " - y = o - Aula 10 Cálculo 3 B 2021.1 µg!? g Aula passada Solução F-DO 2° ordem A lineares : a solução Note que yglt) = é nem yzlt) = ét qual é gerada por duas satisfazem o problema de valor inicial soluções LI Mas existem c, e ç ( únicos ) tais que * linearidade - t Aula Hoje a achas as soluções LI ylt) = get + çe no caso ay " t by " + cy = o é solução do PVI . Vamos determina - los 3. 1 Equação homogênea com coeficiente constante y lo ) = c , + c , = 2 Considere a equação jet) = get - Czét JYO) = C, - C , = - 1 ajttbj-cy-a.b.ae IR Resolver este sistema : ÷÷÷÷÷÷:[ oiii:::: esta é , que função que a segunda derivada é da mesma ? Voltando em ay "tbytcy = o vamos Refletindo : a y, A) = et motivados pelo teorema anterior procura soluções do tipo . * yah = e- + yN=e Note www.e-t ) = det ( § É ) para algum re " . = - 1 - 1 = 2 f- o tte IR Derivando e substituindo na equação rt portanto y,H) = et e yzlt) = ét são LI jet) = re g. "H) = rrert O Pela nossa discussão teórica anterior qualquer solução dessa EDO e escrita a oêerttbrertt certo o * O como 2 YH=çét g.cz constantes crtlar + br + c) = o ⇒ aétbrÀ Equação característica ↳ solução qual Nota : 3 casos : → o polinômio tem duas raízes distintas → o polinômio tem II.III.p mim comum → o polinômio tem raiz multiplex . Nota Em polinômios de grau maios tem mais casos ExempIo Encontre a solução do PVI 4g " - 8g ' + 3g = o C- ando ar ' -ibrxcr + D= o { {% } pode ter : → 3 raízes reais distintas e estude o comportamento da solução → 1 raiz real e duas complexa quando t → ao - aparece sempre Solução : aos pares - / equação característica : → 2 raízes iguais e outra diferente 4 r ? - 8 rt 3=0 r? - Zr + } = O ⇒ (r - 1) ? -1+3-4=0 → 3 raízes iguais ( r -à = { ⇒ r; % ré E Tente pensar os casos para um polinômio de grau 4 . Então ylt) = ↳ÉÊÇÉ" é a solução geral para ylo ) = 2 ) ylo) = ↳ + Ç = 2 Casota O polinômio tem duas raízes rjco) = { rjco) = East § = { (2) reais distintas : rir , 1% - psiu Desse modo yalt) = est yzlt) = êrt - Czi 5g são soluções e -2C , = 1 cg = Yz wcêdêrt ) = det ( est errt então a soiução do PVI é LzÍͧÜD oçêtoçerzt ) : ioiiii:| iiii:::" . Solução Equagão característica : - - ⇒ * f-zetas ) - o ln 513 é + Sr + 6=0 → zé . - 5 t = lnayz { + E} - 2%+6=0 exempio : Resolva o problema de valor eneceiãl ( r -15g )! } ⇒ r -154 - ± % { 4ns " - a _ - o r =-3 e r =-2 ycos .- 2 rjco ) =p e encontre o valor de fb em que a solução salvarão geral : yho-qebt-qetuttendo.ae zero quando t -soo 3.4 Raízes complexas da Equação Solução característica -4g " - y = o Número complexo e a Fórmula de Euler ↳ equação característico : sera ar ? + br + C = o 4×2-1=0 → r = ± 1 Z r = - b ± # raízes distintas Ta se b ?-4 ae a 0 as raízes são yct) = ÇEÊ + ÇÉÉ ⇐A + Mi onde i parte e ↳ parte imaginária real ylo) = C, + cz = 2 rz = A - pei números complexos ju = szçê " - ¥ " eumreo ÍCO ) _ - { C , - { a = p a) rt 1=0 r ? = - 1 ⇒ r, = i rz = - i "iii. / ::::iiii C , = 1 -1ps tlz -tç ylt) = ( 1 + p) e + ( 1- f) e Caso ? Polinômio com raízes - complexas peruas % ✓ anular esta parte sabemos que para aytby-c.CH p = - 1 as soluções são do tipo get) = ert onde a satisfaz aéxbrt↳ equação característico Então precisamos saber o que e a exponencial de um número complexo Fórmula de Euler crisópraso Verepecacrão 00 - é = [ É cada parte de séries) A- o n! vamos www.i, µ , façam µ - 2 . 6 - ( = - 1 = e . 7 i ' = - 1. i = - i = e i " = 1 = i 8 então ein . É.ci?n:IqiIiIaiI cantil ! Exemplo - - _ _ : Encontre a solução do PVI { Ü9y - o cos µ sem M yco) = - 2 = cospe t i sem µ rjco) = 1 Assim i÷:÷: iii. ÷ . jet) = - 3C, sem 3T -13C , aos 3T (II) wleatcosret , êtsenmt) = MCZAT # o 1 = Jedi 3oz ( se Mto) cz = Yz Assim yH)=-2cos3ttzsm3 se M = o temos raízes reais limylt) = ¢ +→ao portanto para raízes complexas a forma da solução qual é : yH=qêIosmt+çêtvnr ↳ Solução geral Exemplá : Encontre a solução geral de y "tyty - o Solução : Equação característica : é rt 1 = o r = -I±Ç = } ±fi rúosaomruxos :⇒=çéÉfÇt)xÊmf Note que lemylt) = o + → ou \ :