Aula 9 - Lineares Segunda Ordem 2021 1

Aula 9 Cálculo 3ps 2021.1 Aula passada : topos especias ( não líneas) ExempIo : Determine o maior intervalo no qual Aula hoje i Lineares 2° ordem o PVI certamente tem solução ( t? 3T) y " + ty ' - ltt 3) y = O a) Capitulo Equações lineares de { {Y, , a- 2- a ordem o 3 Teoria abstrata somarão y " + . y ' - Ct . y = o t? - 3 E É-3T - - plt) qlt) nhurenecrão Uma equação depirencial p e q são contínuas em C- 00,0) , 10,3) , (3. too) de segunda ordem da forma como 1 e 10,3) (r ) tem uma única sol . dep em CO , 3) . jtpltsj-qttly-g.lt (1) 3. 2 Soluções fundamentais de equações é dita Linear . Se GHIEO , (1) é dita homogêneas homogênea , do contrário não homogênea . Vamos discutir sobre a forma das soluções Exemplo das ado 's homogêneas - a) y "tty = o ↳ linear homogênea jtphjtqltly-OO.is ::÷÷÷: µ :÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç÷. Definição tem problema de valor inicial é uma EDO sujeita a uma condição inicial prova : Ü"ÊÍÊ"! - mas.im então uivando : D= çyjt Çyj novamente [ precisa de y " + çy " , + c.É duas informações substituindo : - Teorema ( 3.2.17 Existência e unicidade (CAÍ + ÇYÍ ) + pH) (CNI + çviz) + qlt) ( ↳ystçrsz) Monsieur o PVI [ "tphj-qhy-g.lt) - ylto _ - yo = { ÇYÍ t PCHC, Jj + qlt) cay,} - yito) = yj onde p , q e g : ICIR → IR continuas + { Çy; t PCHÇ rs? + qlt) çy, } toe I então existe uma única solução desse PVI y = 01H) desunida em I (intervalo aberto ) . = Cal jjtphyj-qhys.lt C , { y + pctyjxqltyz} - - = O = O ↳ Eaestu solução pois g. é solução pois}é soeucfão ↳ ela é única Ou sera o conjunto as soluções de y " -iptthjtqlt) _ - o é um Nota sepa yzlt) , yzlt) duas soluções de espaço vetorial ( Álgebra Linear) . O teorema a seguir garante que este espaço vetorial tem dimensão 2 . y " t pitty ' + qltty = O # * ) linearmente independente CLI ) esta é Teorema ( Dimensão ) yzlt) e 4H) NÃO são múltiplas uma da outra sepa y " -1 pltsy ' + qty = o * ) então então ( yah , yzlt) é uma base de so ) qualquer outra solução yit) de # * ) é escrita g. =p o espaço das soluções de * } tem dimensão ? da Norma yµ=çyµ+çy Prove considere a T : so → IR y m (yltdijltd) } Nosso objetivo éachar essas i) T é uma transformação linear soluções LI this? = fhsstydttd , hiíúrhtd ) = (ydtd-y.lt .) , yjltf-y.to ) Recorde sera ✓ um espaço vetorial , uev são LI se aut bo = Ô então a = b = o = lysltd ,vitto) ) + (ydtdiyaltd ) = Hj) + thç) ÷: ÷: " " / ÷ a) as punções flt) = t e glt) = É • Existe y eso esta solução de são LI não são múltiplas y "tplttytqltty = o b) as funções flt) = é e gltt = # tal que yctd=3 . são LI vjlto) -1 , ( Tsohreftora ) c) as funções flt) = 3T' e glt) = - t' são ° E é única esta solução LD pois Cti injetora) fH=-3g Portanto d) as punções flt) = senzt e glt) - - sentcost são dim So = dim IR ? = 2 . LD pois sem Zt = 2 sentcost feliz Exemplo Mostre que y > = F e yz = } 3.3 Independencia linear e o _ Wronsldiano formam um conjunto fundamental de soluções para a equação Motivação : Ztty " + 3.ty ' - y = o sepa y " tplt) y ' + qltly = o | ? . soarão verificar se são soluções e yeh = causam + çyzlt) somarão Às ° alem % ° jeff → ZTY;fa) -13T (ça) - A ↳ existem C, .cz Unicos pelo TEU - {A + { A - A = O então a = ylto) = ↳ ystto) t Czyzlto) b = njltd = çyjlto) + çyiltd Ii -- - fi UÍ = É, → zt?¥, +3T - f-fa) - te = O O de forma matricial verme ando que são LI : """"""" "" ¥Í÷:÷ ÍÍÍÍÍÍ " O 0 ~ o nhepenecrãa serem f e g fungos diferem - / ãavis wttahtl-detffffsg.FI/--fN.'gh-gHYt é dito Wronskiano de f.g Teorema se yah e rszct) são soluções de - jkphj-qHy e W (ya,4) H? f o para algum t, então Wcyjyzlt) f o para todo te ICIR e Y , yz são LI linearmente independente)