Aula 17 - Solução em Série 2021 1

Aula 17 Cálculo JB série de potência : Aula passada ordem superior Considere × fixado e coeficientes 90 191 , a z , _ . . , = (an) nzo ( números reais ) Aula Hoje salvarão em série . Consideremos 00 Capítulos : Resolução em series aõasixtazxiajx} . . . + anx " -1 . . . : = [ anx " de equações lineares de segunda n = O ordem . - Motivação notação Equação Airy Definição : Fixa ✗ algum valor , dizemos 00 Y " - ty = O sua = E anã ( a série de potência n = O converge para um valor s ) , se ↳ mão autônoma scx) é o limite da sequência de ↳ parece simples mas a resolução édada somas parciais finita em séries n sncx) = [ anx " n = O Polinômios nos opauz = ao + a> ✗ + . . . + anx " . plx) = × ?-12×+1 Isto é slx) = limsnx) - variável n → 00 coeficientes : ao = 1 números } reais a > = 2 Assim para os valores de x tais que a z = 1 00 Caná converge , isto é h = O Podemos generalizar esse conceito assume um valor real , DCIR 00 n para o de "polinômio de grau infinito " ✗ 1-> scx) = [ anx h = O é uma Função definida no dominio D . Manipulação de somatório As funções analíticas são muito fácies de manipular • Notação do índice A saber : OO OO OO n 2 [ anx = [ aéx " = a. + aíxtçxt . . . fax > = [ nanlx - ✗ o) " ' n = o K = O n = o 00 n -11 { f- (x) da = [ an-cx-x.is + C • Remunerar os índices ← o n -11 00 E ANX " fazendo n = K-1-1 Resultado 00 a- o se g- (x ) = [ anx " ( analítica em nçço) t n = O K = n - 1 então an = É para n _ - o =) 1<=-1 h = 00 =D K = 00 Em geral 00 00 00 flx) = [ K-11 moon IX - ✗ o) " [ anx " = [ 9<+1 × - n = O K = - 1 série de potência outra maneira de escrever em torno de ✗ = Xo a mesma somatória an = Átrio) I. O importante desse conceito de séries de potências e que algumas funções , inclusive Varias das funções que conhecemos que já conhecemos , podem são analíticas ( expressas com série de ser expressas com estas potências = polinômio infinito ) séries . Exemplo hhapinirgão 1) nhê a série de potencia em torno de × O das funções para certo R >o nhizemos que fé analítica e ✗ c- (RR) em ✗ = % se existe R > o a) cosx = f- ( x) e ( an) nzo tais que f- ( o ) = 1 = § "> ( o) 00 g- (x) = [ an Ix - ✗o) " para { ( o ) = - sem ✗ | = O = feito) n = O ✗ = O ✗ E ( ✗ o - R , ✗ór) { " ( o) = - cosxpo = - 1 = f- "" ( o) § " ( o) = sem ✗ | o = O = fto) • • o se trancar a sirene no termo 5 assim note que os índices impares se anulam e os outros e a 1+1 + 1 + 1 + % I 2,708 alternam o sinal 2 6 an = f- '70) = - d) lnlx -11) = f- (x) n ! cosx = 1 - 1¥ + 1¥ - 1¥ + . . . f- ( o) = o f) ( o) = 1- = 1 ✗ +1 / ✗ = o = Ê c- 1) " x" para ✗ C- (-R ,R) no µ algum R > o f " (o) = -1- = - 1 (✗ + 1) Z / ✗ = o b) senx = f- (x) f) " ( o) = 2 f- (O) = O = f " "> ( o) f ""> ( o) = - 2.3 f ' ( o) = 1 = f- (5) (o) f- "" (o) = 2.3.4 : : f " (o) = O = f- ' °> ( o) { " ( o) = C- 1) "" ( n - 1) ! f- " ( o) = - 1 = f) ( o) 00 " ni É"÷ = c.si" nunca :*:: :: - aprender h = O / este 00 ✗ c- C- R , R) algum Ãr valor en / ✗+1) = [ (d) "" × " n = o T para ✗ E (- R , R) c) e" = f- (x) algum R f- (o) = 1 = fico) = f " (o) . . . Para quais valores de ✗ podemos 00 usar estas representações em Series? é = [ X " para ✗ e C- R , R) no I. algum R ↳ este é o conceito de raio de conoerqencio Note que o ! =L 00 e = [ 1 = 1+1+1+1 + . . . não n ! 2 ! 3! Raio de Convergência Exemplos Resultado 00 Nos casos anteriores considere [ anx " oo n _ - o cosx = [ C- 1) " À " n = O , suponha que o senx = [ G) " ✗ "+1 n _- o (F) ! (a) lim 00 n -soo | % / =L zo e " = E × " a n (teste da razão) no T! ou tem raio de conuergencia R = 00 b) lim " Tan " = L 20 ln ( ✗ + 1) = [ C- 1) "" = × " n -soo (testeda raiz) sepa R = % lim 1- | , | = lim 00 h -700 n -11 n -700 M¥ Então [ anã converge ú Horn .- o = lim 1- = 1 para IX / < R n - soo 1 tem raio de coneergencio R --1 observação 1 : se L = o então R -00 esta é a serie so representa a isto é , a série converge para todo ✗ E IR fumarão ln ( ✗ + 1) quando = ✗ E C- 1 , 1) . Observação 2 : soluções em séries de Potência em partículas 00 Para uma equação linear (h) g- (x) = [ f ( o) X " de segunda ordem ( ou ordem menos n.in ou maior ) Então o teste anterior reescreve como : adtj-ajtsy-a.lt)y = O (*) Em.co/!-;-/--lim ±, / É:?) n -soo fino, | = lo Prossedimento ② suponha que a solução de (*) tenha uma escrita em série de potência 00 Exemplares (t) = [ anx " IXI < R " °TD edeneãqecar Encontre os 10 primeiros termos este coeficientes da solução em séries de potência ② Derive termo a termo de x para a equação de Airy 00 n-I rjlt) = E nant a- se y " - XY = O 00 n -Z y " (t) = [ nln - 1) ant n _ - 2 solução ③ Acerte os índices suponha que a solução tema ao seguinte representação em séries n-1 n = K-11 rjlt) = [ nant 00 n = 1 → K = O n _ - 1 y (x) = CQNX " 00 k n = OU → K = 00 não V = [ ( Kt1) a ☒+1T ohyetuio determina K = O quem são os an's a- K 00 = [ ( n -11) a t " Derivando temos ( como antes) n-11 n = O 00 (x) = [ ( n+2)( n + 1) an,→✗ " 00 Y " (t) = [ nln - 1) ant "-2 n = 1<+2 nio n _ - 2 n = 2 → K = O 00 n = ao → 1<=00 Substituindo na EDO = [ ( K-1271K + 1) a tk ☒ + z K = O nik OO OO OO [ ( n -12)( n + 1) an⇒ × " - ✗ [ anrx " = O n = [ ( n +2) ( n -1 1) an+zt n = ° n = O h = O ✓ ④ substitua na equação ao 00 n-11 [ ( n -12)( n + 1) an,→✗ " - [ ANN = O n = O n = O ⑤ Manipule os índices novamente - para agrupar . Iguale os termos acertar os endices | a zero para agrupar v ⑥ Determine uma recorrência n = K - 1 µm , umas para garagem . | • K 00 zar os an ( e portanto YHJ ) ( [ a E- 1 K-1 × = [ 9m,×) n = 1 Ésta [ (minimizará " ↳ muitas vezes o exercício não vai pedir o termo na qual mas algum termos e × i ao , Ag e az . a. = As =O © co cha ; a n g. ; L tnaancasada, x " a 4% = 90 * nes Qa. =: Ke = %o aL 3 — . %.3 93.6.9.3.2 ba, + C tnd “| x" = © nei X40 F ha T 4 10.4 10.9.9.6.4.3 ( * " "soso SLdlods ds palnemcoe 3 - u “ ba =0 Mi = AL + AK + 4% + OX , 32 a3 ¢ 2 ; L 6.5.3.2 4.6.4 (mezXCne SQ. a4 =O - x 50 th A. *¥ Bo Xt a,x + ~locpc XACOUUMNCLL te 4.65.3. 10.9.9.6.4.3 Ay () a . 3 a= a, poral te to 6 MS 42.36.5 Q,= a, 4 * 4 +a, [% 4x0 KX + KK +--: a, -O 12 F.6.12 90.42.12 Se (x Qa, = Oo P , 4.2 Q,2 04 dupndem dar condicgic 6 4 a, = Os. jens ya ho AOC Eo gundomintowr Axe | (§ Dames de awe ) a, is A> = Oo 3 5.4 aya) s+ eK eK es: 6 %H 32.365 QO. = 4, = Qo — 4 + * 6.5 6.5.3.2 Wie = K+ KX 4+ XK + KR +--- Z 7.6.12 90.42.12 a. > Oy = Aa + .6 +6-4-%