Lista P2 Cálculo 3 2021 2

i a EAT; an 5 __ a ay Aula 08 (a) ty” + 38y =t, y(1) =1, y’(1) =2 ocr ex 7 — (b) t(t—4)y"” —3ty + 4y = 2, y(3) = 0, y/(3) = -1 Equacoes de 2* ordem: Tipos especiais oon (c) (e = 3)y" + ay! + (InjelJy = 0, y(1) = 0. Pag 72 y(I)= 1 ocecs (d) (w@—2)y" + y' + (a — 2)(tgx)y = 0, y(3) = 1, 1. Use 0 método de substituicaéo v = y’ para reduzir y(3) =2 260-40 a ordem e resolver as equacoes de segunda ordem. 3. Verifique que yi(t) = t? e yo(t) = t7! sao duas (a) ty" 4 2ty’-1=0 t>0 yor tear solugdes da equacao diferencial t?y” — 2y = 0 para (b) ty” yl =1 t>0 yo aee t > 0. Depois mostre que ct? + ct! também é (c) 2t2y" + (y)® = 2ty’, t > 0 (sugestao: cai solugao dessa equagao quaisquer que sejam cj € C2. numa, Bernoulli) 4. Verifique que y,(t) = 1 e yo(t) = t'/? sao duas y = £2/3(t — 8c) VE Fey $eg ey =e solugdes da equacao diferencial yy” +(y’)? = 0 para (a) yl ty set yn ye te tet t > 0. Depois mostre que c+c;t!/? nao é, em geral, solugao dessa equacao. 2. Use o método de substituigéo u(y) = y’ para re- , duzir a ordem e resolver as equacdes de segunda 5. A fungao sen(t") pode ser solugao de uma equagao ordem. da forma y” + p(t)y’ + q(t)y = 0 em um intervalo contendo t = 0? Explique sua resposta. (a) yy" + (y'P =O Pores (b) y! byly)8 <0 vast egy eee ce 6. Se o Wronskiano de f e g é 3e*, e se f(t) = e, BR encontre g(t). 3#c2! + ee?" (c) 2y?y” + 2y(y’)? =1 9 7. Verifique que as solucdes y; e y2 sao solucoes da (d) y” + (y’)? = 2e7” (se transforma em uma ~ . . , equacgao dada. Elas constituem um conjunto fun- Bernoulli) ev = @ 4 es)? +e, - damental de solucoes? 3. Resolva o problema de valor inicial usando os (a) y" +4y =0, w(t) = ot, yo(t) = 1 método de substituicao para reducao de ordem. uy YB YLT) = CO8 Ay YaKt) = Sen, ( ) yl —92 (0) 1 ‘(0) 2 (b) ay!" — a(x + 2)y' + (x + 2)y = 0,2 > 0, ay yy =4Y =41,Y = y = 4/3(t+1) /2-1/3 yi(x) = 2, yo(a) = xe* (b) y” — 3y? = 0 y(0) = 2, y'(0) =4 y = 2(1 — t)~2 (c) (1 —xcotgx)y” —ay’+y=0,0<a4 <n, (c) 1+ )y" + ty’ + 3H = 0, yl) = 2, y(x) = @, yo(x) = sena y’'(1) =-1 y= ctl cg + Int _ Secao 3.3 pag 87 (d) yy" -t=0, yd) =2,yQ)S1 y-see3 1. Determine se o par de fungoes é linearmente depen- dentes ou independente. Equacoes de 2* ordem lineares: Teoria geral (a) f(t) =t? +5t, g(t) = t? — St snccponaon (b) f(t) = cos2t — 2cos?t, g(t) = cos2t + 2 Secao 3.2 pag 83 2sen t dependente (c) f(x) = 8%, g(x) = BOD aosoncent 1. Encontre o wronskiano do par de fungoes dado. 1 (d) f(t) = t, g(t) =t~ independente (a) 2! e73/2t Z ot/2 “ 2. O Wronskiano de duas funcdes 6 W(t) = t? —4. As z 2 x (b) v, vev funcoes so LI ou LD? Porque? (c) ebsent, e’cost —.2 . . . 3. Se as funcgoes y; € y2 sao solucoes linearmente in- 2. Determine o maior intervalo no qual o problema dependentes de y” + p(t)y’ + q(t)y = 0 , prove que de valor inicial dado certamente tem solucgdo (nao C1Y1 © C2y2 sao, também solucoes linearmente inde- tente resolver a equacao). pendentes, desde que nem c; nem c2 sejam nulos. 1 4. Prove que se, y1 e y2, solu¸c˜oes de y′′ + p(t)y′ + q(t)y = 0 atigem m´aximo e m´ınimo em um mesmo ponto, ent˜ao n˜ao podem formar um conjunto fun- damental de solu¸c˜oes. Aula 09 Ra´ızes reais e Ra´ızes complexas. Se¸c˜ao 3.1 p´ag 78 1. Encontre a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial. (a) y′′ + 2y′ − 3y = 0 (b) 6y′′ − y′ − y = 0 (c) y′′ + 3y′ + 2y = 0 (d) y′′ + 5y′ = 0 (e) 4y′′ − 9y = 0 (f) y′′ − 9y′ + 9y = 0 2. Encontre a solu¸c˜ao do problema de valor inicial dado. Esboce o gr´afico da solu¸c˜ao e descreva seu comportamento quando t aumenta. (a) y′′ + y′ − 2y = 0 , y(0) = 1, y′(0) = 1 y = et (b) y′′ + 4y′ + 3y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1 y = 5 2 e−t − 1 2 e−3t (c) 6y′′ − 5y′ + y = 0, y(0) = 4, y′(0) = 0 y = 12et/3 − 8et/2 (d) y′′ + 3y′ = 0, y(0) = −2, y′(0) = 3 y = −1 − e−3t (e) y′′ + 8y′ − 9y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 0 y = 1 10 e−9(t−1) + 9 10 e(t−1) (f) 4y′′ − y = 0, y(−2) = 1, y′(−2) = −1 y = − 1 2 e(t+2)/2 + 3 2 e−(t+2)/2 3. Encontre a equa¸c˜ao diferencial cuja a solu¸c˜ao geral ´e y = c1e2t + c2e−3t. 4. Encontre a solu¸c˜ao do problema de valor inicial 2y′′ − 3y′ + y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1 2. Depois, determine o valor m´aximo da solu¸c˜ao e encontre, tamb´em, o ponto onde a solu¸c˜ao se anula. m´aximo y = 9/4 em t = ln(9/4), y = 0 em t = ln(9) 5. Resolva o problema de valor inicial y′′−y′−2y = 0, y(0) = a, y′(0) = 2. Depois, encontre a de modo que a solu¸c˜ao tenda a zero quando t → ∞. a = −2 6. Resolva o problema de valor inicial 4y′′ − y = 0, y(0) = 2, y′(0) = b. Depois, encontre b de modo que a solu¸c˜ao tenda a zero quando t → ∞. b = −1 7. Determine os valores de a, se existirem, para os quais todas as solu¸c˜oes tendem a zero quando t → ∞; Determine os valores de a, se existirem, para os quais todas as solu¸c˜oes (n˜ao nulas) tornam-se ilimitadas quando t → ∞. (a) y′′ − (2a − 1)y′ + a(a − 1)y = 0 y → 0 para a < 0, y → ∞ para a > 1 (b) y′′ + (3 − a)y′ − 2(a − 1)y = 0 y → 0 para a < 1 Se¸c˜ao 3.4 p´ag 90 1. Use a f´ormula de Euler para escrever a express˜ao dada na forma a + bi. (a) exp(1 + 2i) (b) eiπ (c) 21−i 2. Encontre a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial dada. (a) y′′ − 2y′ + 2y = 0 (b) y′′ − 2y′ + 6y = 0 (c) y′′ + 2y′ − 8y = 0 (d) y′′ + 2y′ + 2y = 0 (e) 4y′′ + 9y = 0 (f) 9y′′ + 9y′ − 4y = 0 3. Encontre a solu¸c˜ao do problema de valor inicial dado. Esboce o gr´afico da solu¸c˜ao e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de t (oscila¸c˜ao decaindo, oscila¸c˜ao crescendo, oscila¸c˜ao regular). (a) y′′ + 4y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1 y = 1 1 sen 2t (b) y′′ + 4y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0 y = e−2tcost + 2e−2tsent (c) y′′ − 2y′ + 5y = 0, y(π/2) = 0, y′(π/2) = 2 y = −et−π/2sen 2t 4. Considere o problema de valor inicial y′′ + 2y′ + 6y = 0, y(0) = 2, y′(0) = a ≥ 0 (a) Encontre a solu¸c˜ao y(t) desse problema. y = 2e−tcos( √ 5t) + (a + 2)/ √ 5e−tsen( √ 5t) (b) Encontre a tal que y = 0 quando t = 1. (c) Encontre o menor valor positivo de t, em fun¸c˜ao de a, pra o qual y = 0. t = (π − arctg(2 √ 5/(2 + a)))/ √ 5 (d) Determine o limite da express˜ao encontrado no item (c) quando a → ∞ t = π/ √ 5 2 5. Suponha que as funcoes p e q sao continuas em um 5. Se as raizes da equacao caracteristica sao reais, intervalo aberto I e seja y = ¢(t) = u(t) +iv(t) um mostre que uma solugao de ay” + by’ +cy = 0 pode solucgao complexa de assumir o valor zero no maximo uma vez. y” +p(t)y’ + a(t)y = 0, 6. Use o método de redugao de ordem para encontrar uma segunda solucao da equacao diferencial dada. onde u e v sao fungoes reais. Mostre que u e v sao, também, solugdes da equacao. (Sugestao: Substi- (a) ty” — 4ty’ + 6y = 0, t > 0, w(t) = P tua y por ¢(t) na equagéo e separe a parte real e y= cyt? + ct? imagindaria). (b) ty” + 3ty’+y=0,t>0t>0, w(t) =t7t Aula 10 (c) t?y” —t(t+2)y’ + (t+2)y =0,t > 0, y(t) =t Raizes Repetidas e (d) xy” — y! + 4a°y = 0, & > 0, w(t) = Redugao de ordem SENL2 — yo(1) — con 2 (ec) (ew — Ly” —ay'+y = 0, x > 0, y(t) = e* Secao 3.5 pag 94 ee LE acd id xo dif al (f) ay” + ay! + (a? —0,25)y =0, x > 0, y(t) = . Encontre a solugéo geral da equacéo diferencia a2 gen a yy(t) <2 1/2eoms dada. , , 7. Se a,b e c sao constante positivas, mostre que to- (a) yl" — 2y' +y=0 das as solugées de ay” + by’ + cy = 0 tendem a zero (b) 4y” — 4y’ — 3y =0 quando t + oo WW / — (c) 9y"" + 6y’ +y =0 8. (a) Sea >0ec > 0, mas b = 0, mostre que o (d) y” — 2y’ + 10y = 0 resultado do problema anterior nao é valido, (e) 16y” + 24y’ + 9y = 0 mas que todas as solugdes permanecem limi- tadas quando t > oo. 2. Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce , ~ (b) Sea > 0eb> 0, mas c = 0, mostre que o o grafico da solugao e descreva seu comportamento anon resultado do problema 5 nao é valido, mas quando ¢t cresce. que tendem a uma constante, que depende (a) 9y” — 12y’ + 4y = 0, y(0) = 2, y’(0) =—-1 , da condicéo inicial, quando t > oo. Deter- 2024/3 “e 20/3 oy x minar esta constante para a condicao inicial (b) y” — 6y’ + 9y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2 y(0) = yo; (0) = Yo- (c) y” +4y' + 4y = 0, y(-1) = 2, y'(-1I) =1 ,- [Aulall ze—2(t+1 ste-2(tt+)) y +0 Equacao de Euler 3. Considere o problema de valor inicial y" —y! +0,25y = 0 y(0) =2, y'(0) =b Secao 3.5 pag 93 Encontre a solugao em fungao b e depois deter- . . ns ~ 1. Resolva as equacgoes de Euler mine o valor critico de b que separa as solucdes que crescem positivamente das que acabam crescendo (a) t?y” — 4ty’+6y=0,t>0 yoni ar em modulo, mas com valores negativos. (b) t2y” + 2ty! —2y =0,t>0 yoo pr? 2 “+ (b l)te’/= b 1 (c) ty” + 3ty’ +y=0,t>0 , cyt tcot Lint 4. Considere o problema de valor inicial (d) {2y!" — 3ty! +4y =0,t>0 yi esi 9y” + 12y’+4y=0, y(0)=a>0, y(0)=-1 (ce) ty” + 2ty’+0,25y =0,t>0 your? (a) Resolva o problema de valor inicial. ¥ . - ae 2t/3 4 (2a —1) re 24/3 Secao 5.5 pag 151 (b) Encontre o valor critico de a que separa as 1. Determine a solucao geral da equacgao diferencial solugdes que se tornam negativas das que per- dada, valida em qualque intervalo que nao inclui o manecem positivas. «= 3 ponto singular. 3 (a) x2y′′ + 4xy′ + 2y = (b) (x + 1)2y′′ + 3(x + 1)y′ + 0, 75y = 0 (c) (x − 2)2y′′ + 5(x − 2)y′ + y = 0 2. Encontre a solu¸c˜ao do problema de valor inicial e fa¸ca o gr´afico da solu¸c˜ao e descreva como ela se comporta quando x → 0. (a) 2x2y′′ + xy′ − 3y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 4 (b) x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0, y(−1) = 2, y′(−1) = 3 3. Encontre todos os valores de α para os quais todas as solu¸c˜oes de x2y′′ + αy′ + (5/2)y = 0 tendem a zero quando x → +∞. Aula 12 Equa¸c˜oes n˜ao homogˆenea: coeficientes a determinar Se¸c˜ao 3.6 p´ag 100 1. Encontre a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial dada. (a) y′′ − 2y′ − 3y = 3e2t y = c1e3t + c2e−13e2t (b) y′′ + 2y′ + 5y = 3 sen 2t y = c1e−tcos2t + c2e−t sen t2t + 3 17 sen 2t − 12 17 cos 2t (c) y′′ + 9y = t2e3t + 6 y = c1cos3t + c2sen3t + 1 162 (9t2 − 6t + 1) + 2 3 (d) y′′ + y = 3 sen 2t + t cos 2t y = c1cost + c2sent − 1 3 tcos2t − 5 9 sen2t 2. Encontre a solu¸c˜ao do problema de valor inicial. (a) y′′ + y′ − 2y = 2t, y(0) = 0, y′(0) = 1 y = et − 1 2 e−2t − t − 1 2 (b) y′′ + 4y = t2 + 3et, y(0) = 0, y′(0) = 2 y = 7 10 sen2t − 19 40 cos2t + 1 4 t2 − 1 8 + 3 5 e−2t (c) y′′ − 2y′ + y = tet + 4 y(0) = 1, y′(0) = 1 y = 4tet − 3et + 1 6 t3et + 4 (d) y′′ + 4y = 3 sen 2t, y(0) = 2, y′(0) = −1 y = 2cos2t − 1 8 sen2t − 3 4 tcos2t 3. Determine uma forma adequada para Y (t) para se usar no m´etodo dos coeficientes a determinar. (a) y′′ + 3y′ = 2t4 + t2e−3t + sen 3t (b) y′′ + y = t(1 + sen t) (c) y′′ + 2y′ + 2y = 3e−t + 2e−t cos t + 4e−tt2 sen t (d) y′′ + 4y = t2 sen 2t + (6t + 7) cos 2t 4. Considere a equa¸c˜ao diferencial ay′′+by′+cy = g(t) onde a, b e c constante positivas. (a) Se Y1(t) e Y2(t) s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao difer- encial acima, mostre que Y1(t) − Y2(t) → 0 quando t → ∞. Esse resultado ´e verdadeiro se b = 0? (b) Se g(t) = d, uma constante, mostre que toda solu¸c˜ao da equa¸c˜ao tente a d/c quando t → ∞. O que acontece se c = 0? E se b tamb´em for nulo? Aula 13 Varia¸c˜ao do parˆametros Se¸c˜ao 3.7 p´ag 103 1. Use o m´etodo de varia¸c˜ao das parˆametros para en- contra uma solu¸c˜ao particular da equa¸c˜ao diferen- cial dada. Depois verifique sua respostas usando o m´etodo dos coeficientes indeterminados. (a) y′′ − y′ − 2y = 2e−t Yp(t) = − 2 3 te−t (b) y′′ + 2y′ + y = 3e−t Yp(t) = 3 2 t2e−t 2. Encontre a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial dada. (a) y′′ + 4y′ + 4y = t−2e−2t, t > 0 y(t) = c1e−2t + c2te−2t − e−2tln t (b) y′′ − 2y′ + y = et 1 + t2 y(t)c1et + c2tet − 1 2 etln(1 + t2) + tetarctg t 3. Verifique que as fun¸c˜oes dadas y1 e y2 satisfazem a equa¸c˜ao homogˆenea associada, depois encontre uma solu¸c˜ao particular da equa¸c˜ao n˜ao-homogˆenea. (a) t2y′′ − t(t + 2)y′ + (t + 2)y = 2t3, y1(t) = t, y2(t) = tet Yp(t) = −2t2 (b) x2y′′ − 3xy′ + 4y = x2 ln x, x > 0, y1(x) = x2, y2(x) = x2 ln x Yp(t) = 1 6 x2(ln x)3 4. Use redu¸c˜ao de ordem para resolver a equa¸c˜ao diferencial dada. (a) t2y′′ − 2ty′ + 2y = 4t2, t > 0; y1(t) = t y(t) = c1t + c2t2 + 4t2ln t (b) ty′′ − (1 + t)y′ + y = t2e2t, t > 0, y1(t) = 1 + t y(t) = c1(1 + t) + c2et + 1 2 (t − 1)e2t Aula 15 Vibra¸c˜oes mecˆanicas Se¸c˜ao 3.8 p´ag 110 4 1. Uma massa de 2 libras (unidade de massa) estica 1. Um objeto pesando 4 lb (libra-peso p = mg) (cerca uma mola de 6 polegadas (1 pé = 12 polegadas). Se de 1,8 kg) estica um mola de 1,5 in (1 ft = 12 in) a massa é puxada para baixo 3 polegadas adicionais (cerca de 5cm). A massa é descolada 2 in no sentido e depois solta, e se nao ha amortecimento, deter- positivo do movimento a partir de sua posicgao de mine a posicao u da massa em qualquer instante t. equilibrio e solta sem velocidade inicial. Suponha Faca um grafico de u em fungao de t. que nao ha amortecimento e qua a massa sofre uma a 1 cont agao externa de uma forga de 2 cos 3¢ lb, formule o | problema de valor inicial que descreve 0 movimento 2. Uma massa de 100g estica um mola de 5cm. Se a dessa massa. (Use g = 32 lb.pes/s?). massa é colocada em movimento, a partir de sua posicao de equilibrio, como uma velocidade apon- vi" + 256u = 16cos8t, u(0) = §, u/(0) = 0 tando para baixo 10em/s, e se nao ha amorteci- 2. Uma massa de 5kg estica uma mola de 10cm. mento, determine a posigao u da massa em qual- ~ A massa sofre a acgao de uma forga externa de quer instante ¢. Quando a massa retorna pela . _ ‘ _. — 10 sen(t/2) N e se move em um meio que amortece primeira vez & sua posigao de equilibrio? o movimento com uma forcga vistosa de 2N quando u = Geenlae; t = 0/14 a velocidade da massa é de 4cm/s. Se a massa 3. Um objeto pesando de 3lb (libra-peso p = mg) é colocada em movimento a partir de sua posigao estica uma mola de 3in (cerca de 7,6 cm). Se a de equilfbrio com uma velocidade inicial de 3cm/s massa 6 empurrada para cima, contraindo a mola formule o problema de valor inicial que descreve o lin (1 ft = 12 in), e depois colocada em movi- movimento da massa. mento com velocidade para baixo de 2 ft/s, e se nao ul! 4 10u! + 98u = 2sen(t/2), u(0) = 0, u/(0) = 0,03 ha amortecimento, encontre a posigao u da massa em qualquer instante t. Determine frequéncia, o 3. Um objeto pesando 8 lb (libra-peso p = mg) (cerca periodo, a amplitude e a fase do movimento. (Use de 3,6 kg) estica uma mola de 6 in (1 ft = 12 in) g = 32 lb.pes/s?). (cerca de 15 cm). Uma forca externa de 8 sen(8¢) b= U/AVFven(BVIE-~ dheos8VIO) « a Ls age sobre o sistema. Se a massa é puxada 3 in ys ce . . para baixo e depois solta, determine a posicao da massa em qualquer instante de tempo. Determine 4. Uma massa de 20g estica uma mola 5cm. Suponha os quatro primeiros instantes em que a velocidade que a massa também esta presa um amortecedor da massa é nula. (Use g = 32 lb.pes/s?). viscoso com uma constante de amortecimento de 400dinas.s/cm. Se a massa é puxada para baixo BE IDE IES ISIS mais 2cm e depois solta, encontre sua posigao u em 4. Uma mola é esticada 6 in (1 ft = 12 in) (cerca de qualquer instante t. 15 cm) por um objeto de 8 lb (libra-peso p = mg) u = e—10t [acos(4Vbt) + (5/V6)sen(4vot)| (cerca 3.6 kg). A massa esta presa a um amorte- 5. Uma mola éesticada 10cm por uma forea de 3 New- cedor que tem uma constante de amortecimento de , 0,25 lb.s/pé e esta sob acéo de uma forca externa tons. Uma massa de 2kg é pendurada na mola e ; . igual a 4cos(2t) Ib. (Use g = 32 Ib.pes/s?). presa a uma amortecedor viscoso que exerce uma forga de 3 Newtons quando a velocidade da massa. € (a) Determine a solugao estado estaciondrio desse de 5m/s. Se a massa é puxada 5 cm abaixo de sua problema. posicao de equilibrio e dada uma velocidade inicial para baixo de 10cm/ss, determine sua posicado u em (b) Se a massa dada é substitufda por uma massa qualquer instante t. Encontre a quase frequéncia su m, determine o valor de m para o qual a e a razdo entre pe a frequéncia natural do movi- amplitude da solugao estado estacionario ¢ mento sem amortecimento correspondente. maxima. Segao 3.9 pag 117 u = 8/901(30 cos 2t + sen 2t), m = 4slug Fim da lista 27 prova 5