Aula 2 - Equações Lineares 1 Ordem

êtlyxay) = êtfet) - Aula 2 Cálculo 3 B 2021.1 { lêty ) . - êtfits Aula Passada - Entroducrão e classificação de equações entearáuel Integrando com relação a t . Aula Hoje eg lineares 1- a ordem E⑤ fdqfeatyl.dt-featfh.at ① Zion / \ ⇐ eatytti -- { êfttdt + C ⑦ não teima yµ=éat.ffêtµdt+ → dificil, o quanto a foto 2. 1 Equações lineares de 1° ordem : Fator integrante Í+pH)y= → equação linear Caroço Método do fator integrante À + pltly = flt) (líneas na variável y ) ( yiu! ' + plttlytya) = FHI Queremos caracterizar MA) tal que ao multiplicas ← (pit pet) ya ) + ( y! + pltyz) = flt) na equação : Mct) } t Mct) pH) y = MH) flt) (*) Vamos desenvolver um método para - 11 quero essa resolver este tipo de EDO f- transas] Ca① g) = flt) ( paleo) torne o lado esquerdo integsável ÷.io:71/-:: .in; ÷:÷÷ :: ⇒ / À¥ - dt = ) - adt mh=eb" Fatos integrante ( regra dacadeia Voltando em Ce) § [MHIYHI] = MHIFH) ⇒ lnlylt)) = - at + c y > o integrando ⇐ ya) = e- at " = é . e- ato Kéat Mlttyttt = JMH.fh.dk C ké K constante yh-omt.la/MH.fH-dt → não precisa decorar casi y ' + ay = flt) ( P" - a) Emmy resolva a Eso y ' - ↳ = 4- t [ Note que # [eatyh] = aêtylt) + eatyct) Solução : linear E ORDEM = êtlytttaylt) . Determinar o fator integrante : - f.2. dt - zt Multiplicando eat em ambos os lados da equação MH) = e = e • Multiplica um na eauacraá tfyx ¥ y) = (4T) t ' e-rty ) - zêty = é" ( 4- t) ty ' + Zty = 4T' - As - Jdãlétidfé " eu - tsat §.lt?yhJ--4t ' pelo método éty = flaêt . dt = {êttftztêtttêt) + e inumana . fçfiyutdt = fhhidt partes = - zé" + çtete { é" + a ⇐ Í . ylt) = t " + a ylt) = - 2 + { t + { + cét YH=t4 solução geral yltl-o-q7-1zt-c.es deverão Geral 3) Achando a constante e tal que ylso) = 2 Note que acima obtemos uma família ? = Mt) = Ít § ⇐ 1 = § ⇐c de soluções substituindo yH=t solução do PVI rhurnecráo Um problema de valor inicial é ÷:: ÷:÷÷÷::*:::::: "" y ' - ¥ y = tcost 4¥ :p z, cabulando o fator integrante : ↳ resolver a equação e achar o C * = e II. dt = e-sente eent? És Exemplá Resolva o PVI { ty ' + Zy = 4T ? g.(1) = 2 3) Multiplicando na equação Solução LINEAR É ORDEM ATENÇÃO ! a equação não está na forma t -µ - ¥ g) = tcost . t - 3 do metro do tyxzy = 4T ' Éy ' - ¥,y = cost para tdo duudendo post : - j - = 4T dãft}] = cost = pet) .enterrando 1) calculando o fator integrante *⇒ = e IÉDT dente eent? + a ÍYI § lt?y) =/ cost = sente tio ylt) = tsent + ct' 2) Multiplicando na Furacão 4) Achando c : 3 3 O = ylztt) = ( ZH)sem ZIT + C.CZIT) o = ylo) = 1 + ( a - 3) dos C = O e- a- 3 = - e substituindo yltl-ta.vn solução a= do PVI Exemplo Determine a tal que a solução Exemplo Encontre o valor de yo para o qual - de { yy ' ,}}; -4T encoste mas a solução de { y ' - y = 1+3 sent ylo) = Yo NÃO atravesse o eixo t . permanece finita quando t -soo . Solução Solução LINEAR À ORDEM 1) fator integrante ÍÍÜ → , = . mas . etdtét 2) Multiplicando na equação não atravessa → Jets) = o éty ' - éty = éttssétsent - 1) sua t, tal que vjlts) _ - o { juro fdãléty) éttzétvntdt substituindo na equação éty = - É + Jzétsentdt G) ÷:*:{÷:[÷ [ t.io:{÷;÷÷;÷±÷, Zt • multiplicando : e-" y ' - Zêty = - ltté 2) zétsentdt = - 3 étccostxsent) - ddqféty] = - hlté ? Jssétsentdt = -jzétlcosttsent) • Integrando Voltando em Ctx) ✓ constante u - t { adqféty] dt =) -4te.dtu.at da - Eia êy = - ét - szétlcosttsent) + C do porto du = Udt a- té" < ytt) = - 1 - { Ccosttsent) + Cet - Zt C . y = e-7-) } - é" . ddt 3) achar C em função de yo = ZÉZI + ézt + a ylt) = Zt -11 + é? c yo - ylo) = - 1- § + C esse termo vai • Achando C para ycs) = a : ⇒ ç = yo + 512 para -100 quando + → ao f a = yl 1) = 2+1 te C [ = ( a - 3) é ' Então ylt) = - 1-{ Ccosttsent) + (yot é • - substituindo µ para a solução Zt - 1 ylt) = 2t-1-ca-I.co ⇒y O ficar finita Determinando a