Exercício b Cálculo 3 2022 1

Calculo 3 1. Área da superfície x^2/4 + y^2/9 + z^2/16 = 1 acima do plano xy. Sol: Parametrizando o elipsoide: x = 2cosθcosφ y = 3senθsenφ A fórmula para a área é: A(S) = ∬ |υθ x υφ| dA onde, υθ = (∂x/∂θ, ∂y/∂θ, ∂z/∂θ) = (2cosθcosφ, 3cosθsenφ, -4senθ) υφ = (∂x/∂φ, ∂y/∂φ, ∂z/∂φ) = (-2senθsenφ, 3senθcosφ, 0) entao 1. Calcule a área da superfície x^2/4 + y^2/9 + z^2/16 = 1 que está acima do plano xy 2. Calcule ∬_D x^2y dA, onde D é a região do plano que está limitada pelas curvas x^2 + y^2 - 2xy - 4x - 8y + 10 = 0 e y = -x/3 + 7/3 υθ x υφ = | î ĵ k̂ | | 2cosθcosφ 3cosθsenφ -4senθ | |-2senθsenφ 3senθcosφ 0 | = (-12 sen^2θ cosφ, 8sen^2θsenφ, 6 cos^2φcosθsenθ + 6 sen^θcosθsenθ) |υθ x υφ| = √(144sen^4θcos^2φ + 64sen^4θsen^2φ + 36sen^2θcos^2θ Note que 0 ≤ θ ≤ π/2 e 0 ≤ φ ≤ 2π ento, A(S)= ∫_0^2π∫_0^π/2 (144sen^4θcos^2φ + 64sen^4θsen^2φ + + 36 sen^2θcos^2θ)^(1/2) dθdφ |A(S) = 55.7729| (WolframAlpha) 2) ∬_D x^2y dA, sendo D: x^2 + y^2 - 2xy - 4x - 8y + 10 = 0 e y = -x/3 + 7/3 Sol: Substituindo a curva, y = -\frac{x}{3} + \frac{7}{3} \text{ em,} x^2 + y^2 - 2xy - 4x - 8y + 10 = 0 x^2 + \left(-\frac{x}{3} + \frac{7}{3}\right)^2 - 2\times\left(-\frac{x}{3} + \frac{7}{3}\right) - 4x - 8\times\left(-\frac{x}{3} + \frac{7}{3}\right) + 10 = 0 encontramos como solução: x = \frac{17 \pm 9\sqrt{5}}{8} \quad \text{(interseção entre} \text{as curvas} Se resolvemos a equação da parábola para y, encontramos: y = x \pm \sqrt{12x + 6} + 4 \text{onde } ay^2 + by + c = 0, \text{ sendo } a = 1, \ b = -2x - 8 \ e \ c = x^2 - 4x + 10 \text{Plotando os gráficos no geogebra, você verá que:} \frac{17 - 9\sqrt{5}}{8} \leq x < \frac{17 + 9\sqrt{5}}{8} x - \sqrt{12x + 6} + 4 \leq y \leq -\frac{x}{3} + \frac{7}{3} então, \iint_D x^2 y \; dA = \int_{\frac{17 - 9\sqrt{5}}{4}}^{\frac{17 + 9\sqrt{5}}{4}} \int_{x - \sqrt{12 + 6}}^{-\frac{x}{3} + \frac{7}{3}} x^2 y \; dy dx = 17,8608 \text{(Wolfram Alpha)}