Lista Aula 1 - Introdução e Modelagem 2021 2

Exercícios retirados do livro: BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 11a edição (ebook disponível na biblioteca online da UFES). Introdução e Modelagem Aula 1 Seção 1.3 pág 14 1. Determine a ordem da equação e diga se ela é linear ou não. (a) (1 + x²) d²y/dx² + xy = sen t (b) t(d²y/dt²) + dy/dt + y = 0 (c) x²(dy/dx)² + by / x² = c (d) d⁵y/dx⁵ - d³y/dx³ + 6y = 0 (e) 4e^y(dy/dx) + 3t⁴y + y = 1 (f) x³(d²y/dx²) + xy = sen²(4x) 2. Verifique que cada função dada é solução da equação diferencial (a) y = e^(3t), x(t) = e²t; (i) dy/dx = y / x; (i) dy/dt = y; (b) y = e^(-3t), x(t) = 3t; (c) y₁ = t α, y₂ = t β, y₃ = t γ > 0, 0 < n, m(t) = t² (e² - β) 3. Determine os valores de n para os quais a equação y² + nxy² - 6y = 0 tem uma solução da forma y = e^(mx²). 4. Determine os valores de M para os quais a equação diferencial l²(dy/dx)² + 2ly + l² = 0 tem uma solução da forma y = t². Consider e o problema do valor inicial 3(y) - 2y e^(-π²/4), y(0) = α. (a) Resolva o problema de valor inicial e encontre o valor de α no qual ocorre a transição de um tipo de comportamento da solução quando t assume valores grandes para outro. (b) Descreva o comportamento da solução correspondente ao valor inicial α dado pelo item anterior. 4. Considere o problema do valor inicial {dy/dt + 1/2 - 2cos t. y(0) = 3} Encontre as coordenadas do primeiro ponto de máximo local das soluções para t > 0. Precisa dos máximos em um programa para saber efetivamente o valor de α e t. 5. Considere o problema do valor inicial dy/dt + 1/2t, y(0) = -1. Encontre as coordenadas do primeiro ponto crítico da solução para t > 0 e verifique se ele é máximo ou mínimo local. 6. Considere o problema do valor inicial {dy/dt + 3/y = 1 - 1/2t. y(0) = 9} Encontre o valor de y₀ para o qual a solução encontra no eixo y e nunca mais atravessa. 7. Encontre o valor de α e y₀ para o qual a solução do problema do valor inicial dy/dt (y - 1) + 3sen t, y(0) = -2 permanece finita quando t -> ∞. Aula 2 Equações lineares 1ª ordem: Método dos fatores integrantes Comportamento das soluções. Seção 2.1 pág 23 1. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e a use-a para determinar o comportamento das soluções quando t -> ∞. (a) t dy + 3y = t²e^(2t) t -> 0 (b) t² + xy = Ae^(bx) (c) dy/dt + y = Xe -1/4t (d) t² - 4y = π(2cosht²) (e) dy²y3 - 6y = Mt, t > 0 2. Encontre solução do problema de valor inicial dado. y' = - 2xe^(x²), y(0) = 1