P2 - Cálculo 3 2021 1

Os assuntos que caíram na prova são: Capítulo 16 do livro do James volume 2, onde: ● 16.1 Campos vetoriais ● 16.2 Integrais de Linha ● 16.3 Teorema fundamental das integrais de Linha ● 16.4 Teorema de Green ● 16.5 Rotacional e divergente ● 16.6 Superfícies parametrizadas e suas áreas. ● 16.7 Integrais de superfície Os capítulos 16.8 e 16.9 NÃO caíram na prova. Lembrando: para campos conservativos deve-se verificar sempre o domínio. No anexo 2 coloquei um exemplo de lista que foi resolvido pela professora, assim é possível ver o modo como ela gosta das resoluções. A seguir uma prova passada da mesma professora, com o mesmo conteúdo: Universidade Federal do Espírito Santo/CEUNES Departamento de Matemática Aplicada Prova de Cálculo III - Turma 35 - 2021/1 Professora: Fabiani A. Coswosck - 01/10/21 Aluno(a): Atenção: Plágios e respostas não justificadas serão desconsiderados. A atividade é individual! Exercício 1 (3,0 pontos). Dê o que se pede: a) Verifique se o campo F(x, y) = \frac{x}{x^2 + y^2} i + \frac{y}{x^2 + y^2} j é conservativo; b) Calcule a integral de linha \oint_{C} \frac{x}{x^2 + y^2} dx + \frac{y}{x^2 + y^2} dy, onde C é uma curva arbitrária que liga o ponto (-1,0) à (1,0) e não passa pela origem; c) Calcule a integral de linha \oint_{C} (y^2 + \sqrt{1 + x^4}) dx + (5x - e^y) dy, onde C é a circunferência x^2 + y^2 = 1, percorrida no sentido horário; Exercício 2 (2,5 pontos). Esboce e parametrize a superfície abaixo, indicando o domínio correspondente à variação dos parâmetros: Parte do cilindro (x - 1)^2 + y^2 = 1 que está acima do plano xy e abaixo do cone z = \sqrt{x^2 + y^2}. Exercício 3 (2,0 pontos). Encontre a equação do plano tangente à superfície \varphi(u, v) = (u - v, u^2 + v^2, uv) no ponto \varphi(2,2). Exercício 4 (2,5 pontos). Denote por S parte da superfície esférica x^2 + y^2 + z^2 = 2 que se encontra dentro do parabolóide z = x^2 + y^2. a) Esboce e exiba uma parametrização para S, indicando o domínio correspondente à variação dos parâmetros. b) Determine a área de S. Exercício 5 (Questão extra: 1,5 pontos) Calcule \iint_{S} x dS, onde S é a porção do cilindro x^2 + y^2 = 1 que está entre os planos z = y, z = 2y e acima do plano xy.