Avaliação-2022 2

Seja Idn a matriz identidade nn Seja pAλ o polinômio característico de A Seja On a matriz nn em que todas as entradas sejam 0 pAλ detA λIdn Como λ 0 é autovalor de A pA0 0 detA 0Idn 0 detA On 0 detA 0 A é matriz não invertível pTλ det 3λ 2 2 3λ4λ5λ 24 24 44λ 85λ 183λ 3λ4λ5λ 48 16 4 40 8λ 54 18λ 3λ4λ5λ 22λ 62 3λ20λ λ2 22λ 62 60λ 3λ2 20λ λ2 3λ 22λ 62 2 5λ 4λ2 2λ3 2 λ 4λ2 λ3 λ2 λ44λ λ2 λ2λ2 λ1²λ2 λ1²2λ λ1 λ2 1 λ3 2 são autovalores de T 1 tem multiplicidade algébrica 2 e 2 tem multiplicidade algébrica 1 20 pontos Seja A uma matriz n n Mostre que se λ 0 é autovalor de A com v autovetor correspondente então a matriz A é não invertível 20 pontos Seja T ℝ³ ℝ³ um operador linear tal que Txyz 3x 2y 2z 4x 4y 6z 2x 3y 5z Determine o polinômio minimal de T e verifique se T é diagonalizável Caso afirmativo determine uma base de autovetores de T 30 pontos Verifique se o operador linear T P₂ℝ P₂ℝ dado por Tpx px 2px px é diagonalizável Caso afirmativo determine uma base de autovetores de T 30 pontos Seja A 0 1 1 1 0 1 Determine A¹⁰⁰ VL px R3 x x1 y z1 multiplicidad geométrica d1 e s1 Como as multiplicidades algébrica e geométrica d1 diferem T não é diagonalizável VL px α0 α1x α2x2 P2 α2 α2 0 Como as multiplicidades algébrica e geométrica de λ diferem T não é diagonalizável V1 xyz ℝ³ z x y V2 xyz ℝ³ y z x 1 As multiplicidades algebraica e geométrica de cada autovalor de A são iguais 1 9 0 23 1 0 1 13 0 1 1 13 1 1 1 Mpβ beginpmatrix 1 0 0 0 0 2100 0 0 0 endpmatrix Mpβ1