Questao Prova-2022 2

Senda Tpx px 2px px vejamos que é T na base canônica Sendo β 1 x x² a base canônica de P₂R Então Tpx Tα₀ α₁x α₂x² α₀ α₁x α₂x² 2α₀ α₁x α₂x² α₀ α₁x α₂x² Tpx α₂x² 2α₁ 2α₂ α₀ α₁x α₂x² Tβ 1 Tx 2s x Tx² 2 4x x² Portanto T 1 2 2 0 1 4 0 0 1 Polinômio característico fTx detxI T x1 2 2 0 x1 4 0 0 x1 fTx x1³ logo 1 é autovalor de multiplicidade 3 Vejamos quem é o autospaco associado ao λ1 V₁ p P₂R Tpx 1px Logo Tpx 1px px 2px px px px 2px 0 px 2px 0 px 2px é constante como px α₀ α₁x α₂x² α₀ α₁ α₂ R temos px 2px C C R α₁ 2α₂x 2α₀ α₁x α₂x² C Pela identidade dos polinômios temos α₁ 2α₀ C i 2α₂ 0 ii α₁ 0 e ii α₁ 0 e i α₀ C2 Portanto o nível autovetor de T é o polinômio gx C2 Daí V₁ gx e dim V₁ 1 3 dim P₂R Logo concluímos que T é diagonalizável e por T P₂ P₂ não é operador diagonalizável afirmativo determine uma base de autovetores 30 pontos Verifique se o operador linear T P₂R P₂R dado por Tpx px 2px px é diagonalizável Caso afirmativo determine uma base de autovetores de T 0 1 1