P2-2021-2

Segunda Prova Algebra Linear Prof Dr Luis Andres Rosso Ceron Sao Luıs 17 de agosto de 2021 A seguir estao as questoes que deverao resolver Como mencionado em aula no momento do envio da prova intitulem a mensagem como P2 Linear TURMA 01 ou P2 Linear TURMA 02 segundo o seu caso Por gentileza desenvolvam as questoes de forma clara limpa ordenada e legıvel QUESTAO 1 3 PONTOS Em cada caso abaixo decida se o subconjunto dado W e ou nao um subespaco vetorial do espaco vetorial V indicado 1 W A V A e simetrica V MnnR sobre R 2 W a 1 a3 a a R V R2 sobre R 3 W f V f e limitada V e o Respaco vetorial das funcoes reais definidas na reta inteira Lembrando que uma funcao f V e dita limitada quando possıvel encontrar um numero a 0 fixo tal que fx a para todo x R 4 W x y z R3 x2 y2 z2 4 V R3 5 W f V lim x fx 0 V e o Respaco vetorial das funcoes reais definidas na reta inteira 6 W A V trA 0 V MnnR sobre R 7 W f V f e par V e o Respaco vetorial das funcoes reais definidas na reta inteira 8 W f V f e ımpar V e o Respaco vetorial das funcoes reais definidas na reta inteira 9 W f V f e diferenciavel V e o Respaco vetorial das funcoes reais definidas na reta inteira 10 W A V A 0 V M22 sobre R QUESTAO 2 2 PONTOS Sejam F f R R f e uma funcao o Respaco vetorial das funcoes reais cujo domınio e a reta inteira Considere os subespacos vetoriais V h F h e par e W g F g e ımpar de F Decida se cada funcao a seguir pertence ou nao ao espaco vetorial F a γx 1 x2 1 x b ηx 4x 1 1 6x Mostre ainda que F V W Nesta situacao dada uma funcao f F as unicas funcoes h V e g W tais que fx hx gx para todo x R sao chamadas respectivamente as componentes par e ımpar de f Para cada funcao f abaixo determine as suas correspondentes componentes par e ımpar fx 3x 1 fx 5x3 x2 x 2 fx 3 4x2 4x 2 fx 1 x2 se x 0 1 se x 0 x se x 0 Desenhe ainda em cada caso os graficos de f h e g verificando a paridade e imparidade de h e g respectivamente WF M4 La Segunda Prova Algebra Li a 5 egunda Prova Algebra Linear Sao Luis 17 d to de 2021 S Te KS s Prof Dr Luis Andrés Rosso Cerén ons agosvo we 2 Federch 0 QUESTAO 3 2 PONTOS Uma base B v1v213 C R do espaco V R é chamada ortogonal quando v1v2 v1v3 v2U3 0 isto é quando os vetores de B sao dois a dois ortogonais Note que a base can6énica C 100 010 001 é uma base ortogonal de V Em cada caso abaixo verifique que a base dada é uma base ortogonal de V Determine ainda as coordenadas de cada vetor dado v V em relacao a base indicada e By v1 30 1 v2 103 v3 010 v 111 v 347 v 11 10 1 e By v 111 v2 34 7 vg 11101 v é qualquer vetor na reta solucao do sistema linear homogéneo gl ty 5z0 2x7 ytz0 QUESTAO 4 3 PONTOS Mostre que toda base do espaco vetorial R contém exatamente trés 03 vetores nao nulos Para isto siga o roteiro seguinte bastante parecido ao caso R visto em aula vx Mostre que todo subconjunto do R contendo QUATRO ou MAIS vetores NAO nulos do R é ne cessariamente LD Deste modo uma base para R NAO pode conter QUATRO ou MAIS vetores nao nulos ve Mostre que todo conjunto do R contendo exatamente UM vetor nao nulo ou exatamente DOIS ve tores nao nulos NAO pode gerar o espaco R Dado que 100 0 10 001 6 uma base para R concluise que TODA base deste espaco vetorial deve conter exatamente trés 03 vetores nao nulos Page 2