Terceira Prova Algebra Linear-2021 2

FM 4 AG conBATE Saal Q Terceira Prova Algebra Linear Sao Luis 21 de setembro de 2021 a Te KS s Prof Dr Luis Andrés Rosso Cerén Ye Ww ey 226 Faderch 8 A seguir estao as quest6es que deverao resolver Como mencionado em aula no momento do envio da prova intitulem a mensagem como P3 Linear TURMA 01 ou P3 Linear TURMA 02 segundo o seu caso Por gentileza desenvolvam as questées de forma clara limpa ordenada e legivel QUESTAO 1 4 PONTOS Dados P 000 Q 110 e R 001 mostre que os vetores G7 Q Pe v R P sao ortogonais Determine 0 conjunto de todos os pontos S abc R tais que os vetores R Se 8 QS sejam ortogonais A figura formada ligando os quatro pontos P Q Re S é um retaéngulo no espaco R Explique Suponha que acima de cada um trés pontos P Q e R esta localizada uma carga pontual POSITIVA com intensidade q C q 0 Com as condicoes acima isto é tais que os vetores e 3 sao ortogonais suponha que sobre o ponto S é colocada uma quarta carga POSITIVA de intensidade 2q C Determine a forca eletrostatica resultante sobre a carga em S devido as trés cargas localizadas em P Q e R Onde deveria ser colocada uma quinta carga e qual deveria ser o seu sinal e a sua intensidade para neutralizar a ultima forca calculada Encontre condigoes suficientes sobre as coordenadas do ponto S que garantam com que os quatro pon tos PQ Re S formem um retangulo QUESTAO 2 2 PONTOS Verifique que cada um dos conjuntos By u 1 20 we 0 1 2 us 201 e By v1 2 3 2 v2 1 1 0 v3 4 0 4 é uma base para o Respaco vetorial R Determine as coordenadas de cada vetor uj By em relagao a base Bg e as coordenadas de cada vetor v Bz em relagao a base B Calcule entao as duas matrizes de mudanga de base Mzp da base B para a base By e Mzgp da base Bz para a base B Mostre ainda que Mo 0 que Mos 0 e que 1 00 MB B2Mp B 0 1 0 Me8MBBo 001 WF M4 LF Terceira Prova Algebra Li a 5 erceira Prova Algebra Linear so Luis 21 5021 a Te KS s Prof Dr Luis Andrés Rosso Cerén 580 Luis 21 de setembro de 20 4 Sa Y 2 Federa ey QUESTAO 3 4 PONTOS Seja T R R a transformacao linear tal que 1 V3 7 V3 1 ria 5 mn83 sendo i 10 e j 01 os vetores unitdrios positivamente orientados ao longos dos eixos x e y respec tivamente a Verifique que Ti e Tj sio ortonormais ie Ti L Tz e T ZG 1 Isto mostra que as cabecas dos quatro vetores 1 j Tt e Tj descansam acima da circunferéncia de raio um 1 centrada na origem de coordenadas do plano Mostre ainda que o conjunto B TiTj é uma base para R Determine a matriz associada a transformacao T em relacdo as bases C i7 e B do R b Dado qualquer vetor ab R é claro que ab ai bj Use isto bem como a linearidade de V3b V3atb T para mostrar que Tab vier hy c Mostre que o angulo formado entre vetores a b e Ta b vale radianos ou 60 sexagesimais Conclua que Tab coincide com a rotacao de radianos no sentido antihorario do vetor ab d Dada uma fungaéo f R R o conjunto Tf a f a R CR é o grafico de f Perceba que f F sendo o Respaco vetorial das funcoes reais cujo dominio é reta inteira Definese a agao da transformacao T dada anteriormente no item b sobre f como o conjunto TUf Ta 6 a 6 Pf 7a 6 2b fa ae R Ta fa a R Geometricamente TIf é a rotagao de radianos no sentido antihorario do grafico f de f Determine a acao de T sobre o grafico das funcgdes fa 0 e fa a Interprete geometricamente cada caso e Claramente fa a 6 tal que f F A acdo de T sobre If vem dada por 3a V3 2 TUf La fa R Taa2a ER 2e vate a R 3a 3 2 Defina as varidveis x an vse ey Varo para verificar que a acao de T sobre f esté dada por x V3y TCf avy RP sy Ve CVD Determine as intersegoes de TIf com ambos eixos coordenados x e y No conjunto TIf a varidvel y é uma funcgao de x Noutras palavras y F Page 2 Terceira Prova Algebra Linear ala Sao Luis 21 de setembro de 2021 S qe KS s Prof Dr Luis Andrés Rosso Cerén agus Seven no ce Ye we a 2 Federo 0 a Repita o mesmo que pedese no final do item e anterior agora para a funcao fa Trae Vocé a devera concluir que a V3y TIf xy ER yV3a 4 ws 4 2 V3y Podemse auxiliar do programa Geogebra Suite para visualizar tanto os graficos das funcdes f quanto os graficos das acoes respectivas de T Page 3