Regressão Linear Múltipla - Conteúdo Programático e Plano de Aula

UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO UFMA Fundação instituída nos termos da Lei nº 5152 de 21101966 São Luís Maranhão CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CCET DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DEMAT afonsofilhoufmabr Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade II CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS RECURSOS DIDÁTICOS PROCEDIMENTOS AVALIATIVOS REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA Explicar Regressão Linear Múltipla Aplicar Teste de Hipótese para existência de Regressão Linear Metodologia dialética Aula dialógica Notebook Apresentação de slides Será numa perspectiva processual através de critérios qualitativos frequência interação participação interesse compromisso habilidade atitude e competência comunicativa Na abordagem diagnóstica sondar os níveis de aprendizado dos alunos através da interação e competência comunicativa Na abordagem formativa acompanhar mediando o processo ensinoaprendizagem Na abordagem somativa atribuir critérios quantitativos aspectos da cientificidade compreensão análise e síntese dos conteúdos Plano de Aula REFERÊNCIA FONSECA Jairo Simon MARTINS Gilberto A TOLEDO Geraldo L Estatística Aplicada SP Atlas 1991 Correlação e Regressão Na prática procurase verificar se existe relação entre duas ou mais variáveis A verificação da existência e do grau de relação entre variáveis é objeto de estudo da Correlação Uma vez caracterizada a Correlação procurase descrever uma relação sob forma matemática através de uma função A estimação dos parâmetros dessa função matemática é objeto de estudo da Regressão Regressão Linear Múltipla RLM com duas variáveis independentes Após verificar que a correlação linear entre duas variáveis é significativa o próximo passo é determinar a equação da reta que melhor modela os dados Essa reta é chamada de reta de regressão e sua equação pode ser usada para predizer os valores de Y para um dado valor de X Uma reta de regressão também chamada de reta de melhor ajuste é a reta para a qual a soma dos quadrados dos resíduos desvios ou erros é um mínimo TERMINOLOGIA E NOTAÇÃO Y X Variável dependente Variável independente Variável explicada Variável explicativa Variável prevista Previsor Regressando Regressor Resposta Estímulo Variável endógena Variável exógena Saída Entrada Variável controlada Variável de controle ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DA RLM COM DUAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES EQUAÇÃO 𝑌 𝑎 𝑏1𝑋1 𝑏2𝑋2 𝑒𝑖 Com o método dos mínimos quadrados interessa encontrar os valores dos estimadores 𝒂 e 𝒃 que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos desvios ou erros Cálculo das médias das variáveis 𝑌 é 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑌 𝑝𝑟𝑒𝑣𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑋 𝑏1 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑌 𝑒𝑚𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑋1 𝑏2 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑌 𝑒𝑚𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑋2 𝑒𝑖 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑌 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑌 Cálculo dos errospadrões de estimativas Cálculo dos coeficientes b2 SY2S12 SY1S11 S22S12 S12S11 b1 SY2S12 S22S12 b2 a Ȳ b1 X1 b2 X2 Y venda 1000 unid X1 TV R1000000 X2 internet R1000000 10 4 16 15 7 49 12 5 25 70 20 400 80 20 400 100 30 900 20 8 64 30 8 64 10 3 9 60 15 225 EXEMPLO Vendas e Gastos com Publicidade Roteiro de elaboração para o plano de regressão múltipla Y X1 X2 Y X1 Y X2 X1 X2 X1² X2² Y² 6 3 1 18 6 3 9 1 36 7 4 2 28 14 8 16 4 49 15 8 3 120 45 24 64 9 225 18 8 5 144 90 40 64 25 324 20 10 8 200 160 80 100 64 400 23 11 6 253 138 66 121 36 529 89 44 25 763 453 221 374 139 1563 Y ΣYn 896 1483 X₁ ΣX₁n 446 733 X₂ ΣX₂n 256 417 SY₁ ΣYX₁ ΣY ΣX₁n 763 89446 11033 SY₂ ΣYX₂ ΣY ΣX₂n 453 89256 8217 S₁₁ ΣX₁² ΣX₁²n 374 44²6 5133 S₁₂ ΣX₁X₂ ΣX₁ ΣX₂n 221 44256 3767 S₂₂ ΣX₂² ΣX₂²n 139 25²6 3483 SYY ΣY² ΣY²n 1563 89²6 24283 b₂ SY₂S₁₂ SY₁S₁₁S₂₂S₁₂ S₁₂S₁₁ b₂ 82173767 11033513334833767 37675133 b₂ 016 b₁ SY₂S₁₂ S₂₂S₁₂ b₂ b₁ 82173767 34833767 016 b₁ 203 a Y b₁ X₁ b₂ X₂ a 1483 203733 016417 a 072 Ŷ a b₁X₁ b₂X₂ Ŷ 072 203X₁ 016X₂ Frequentemente denominado Coeficiente de Determinação Múltipla o poder explicativo da regressão tem por objetivo avaliar a qualidade do ajuste 𝑅2 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝐸𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 Quanto mais próximo de 1 estiver o valor do coeficiente de determinação melhor a qualidade do ajuste da função aos pontos do diagrama de dispersão e quanto mais próximo de zero pior será a qualidade do ajuste Podemos expressar Podemos expressar também o 𝑹𝟐 Ajustado serve para comparação de dois ou mais modelos de regressão que estão prevendo a mesma variável dependente embora tenham um número diferente de variáveis independentes O PODER EXPLICATIVO DO MODELO DE REGRESSÃO 𝑅2 𝑏1 𝑆𝑌1 𝑏2 𝑆𝑌2 𝑆𝑌𝑌 0 𝑅2 1 𝑜𝑛𝑑𝑒 SYY 𝑌2 𝑌2 𝑛 𝑅2 𝐴𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 1 1 𝑅2 𝑛 1 𝑛 𝑘 1 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑛º 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 R² b₁SY₁ b₂SY₂SYY R² 20311033 016821724283 R² 09765 9765 Esse resultado indica que 9765 das variações de Y vendas são explicadas por X₁ gasto com publicidade em TV e X₂ gasto com publicidade em jornal através da função linear para relacionar as variáveis e 235 são atribuídas a causas aleatórias DECOMPOSIÇÃO DA VARIAÇÃO EM TORNO DA RETA DE REGRESSÃO VT Variação Total É a soma dos quadrados das diferenças entre o valor de y em cada par ordenado e a média de y VR Variação Residual ou Não Explicada É a soma dos quadrados das diferenças entre o valor de y em cada par ordenado e cada valor correspondente de y previsto VE Variação Explicada É a soma dos quadrados das diferenças entre cada valor de y previsto e a média de y 1º Passo 2º Passo Fixar α Escolha da variável F com 2 graus de liberdade no numerador e n 3 graus de liberdade no denominador 3º Passo Com auxílio da Tabela F determine RA e RC 𝐻0 𝛽1 𝛽2 0 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝐻1 𝛽1 0 𝑒 𝛽2 0𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝐴 𝜋𝑟2 TESTE DE HIPÓTESE para a Existência de Regressão 𝛼 4º Passo Cálculo da variável pela Análise de Variância 5º Passo Decisão 𝛼 Exemplo de Aplicação Aplicando o teste F para o exemplo da Regressão Linear Múltipla 1º Passo Enunciado das Hipóteses Y α β1 X1 β2 X2 H0 β1 β2 0 não existe regressão linear múltipla H1 β1 0 e β2 0 existe regressão linear múltipla 2º Passo Fixação do risco α e escolha da variável F com 2 graus de liberdade no numerador e n 3 graus de liberdade no denominador α 5 3º Passo Determinação da região RA e RC utilizando a tabela F α 5 Região Crítica Região de Aceitação F tabelado 955 RA RC Tabela 3 Distribuição de F de Snedecor α 5 2 955 3 4º Passo Elaboração do Quadro de Análise de Variância QAV Teste F Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrados Médios F Devido às Variáveis X1 e X2 21712 2 10856 Residual 571 633 190 Fcal5714 Total 24283 615 5º Passo Conclusão Fcalculado 5714 F tabelado 955 Rejeitase Ho e existe regressão