Introdução aos Sinais Discretos no Tempo

Capitulo 1 11 Introducao O objetivo deste capitulo é apresentar uma introdugao aos sinais discretos no tempo a partir de conhecimentos ja adquiridos da andlise de sinais continuos no tempo Inicialmente é apresentado o teorema da amostragem que mostra como amostras de um sinal continuo no tempo tomadas regularmente a um intervalo de tempo T adequado sao autosuficientes para carregar toda a informacéo do sinal original A partir deste resultado chegase de maneira natural a definicao de seqiiéncias transformada de Fourier de seqiiéncias convolucao discreta etc O unico prérequisito para um bom acompanhamento deste capitulo 6 um conhecimento basico de andlise de sinais continuos no tempo 12 Transformada de Fourier Seja x t um sinal continuo no tempo cuja transformada de Fourier e sua inversa sao dadas res pectivamente por XQ Saxt Jw t exp Jj Mt dt 11 1 net SX O XQ expjanaQ 12 7 onde 2 é a freqiiéncia em rads radianos por segundo ou seja Q 27f ef éa freqiiéncia em Hz Hertz Estamos adotando x t dt co 13 como a condicao suficiente para a existéncia da transformada de Fourier Deve ser relembrado entretanto que existem condicgdes mais fracas nas quais podese mostrar que a transformada de Fourier existe mesmo que como um caso limite E 0 caso por exemplo da funcgao zt K Kk 1 2 CAPITULO 1 SINAIS DISCRETOS NO TEMPO constante cuja transformada de Fourier é dada por XQ 6Q onde dA é a fungdo impulso delta de Dirac 6A 0 paradX AO0e f dAdA1 13 Teorema da amostragem Seja x t um sinal continuo no tempo com faixa de freqiiéncias limitada a 0 27 fi rads A Figura 11 mostra um exemplo para xt e as suas amostras tomadas nos instantes t nT dl 8 0 2T T 0 T 2T 3T t 0 2T T 0 T 2T 3T t Figura 11 Um sinal continuo no tempo e suas amostras nos instantes t nT O desenvolvimento a seguir mostraré que as amostras de xt tomadas a intervalos regulares de T segundos contém toda a informagao de x t desde que T 17Qm isto 6 T 12fim Seja a funcao trem de impulsos periddicos no tempo drt S dtnT 14 conforme mostrado na Figura 12 Uma amostragem ideal do sinal através da funcao trem de impulsos e com freqiiéncia de amos tragem f z pode ser escrita como xt 2tdrt S xnTdt nT 15 Uma ilustragao deste processo esta mostrada na Figura 12 Usando a transformada de Fourier da fungao trem de impulsos no tempo 3 or Qn2 9 7 16 n0oo T 13 TEOREMA DA AMOSTRAGEM 3 CO oO nnoe ot a nT oT x 3 1 S 0 2T T 0 T 2T 3T t 2 rt s oT x a S 0 2T T 0 T 2T 3T t CO me 0 2T T 0 T 2T 3T t Figura 12 Funcoes envolvidas no processo de amostragem e da propriedade da transformada de Fourier do produto de duas fungdes no tempo 1 ai S axtyt a Y YQ XAYQ Add 17 7 7 obtemos 1 CO XQ Fd Xo nQ 18 Suponha o sinal x t cujo espectro de freqiiéncias esta mostrado na Figura 13 Suponha que tal sinal seré amostrado a uma taxa 1T tal que Q 2aT 2Q Usando a expressao 18 podemos inferir que o espectro do sinal amostrado sera semelhante aquele mostrado na Figura 14 ou seja XQ serd composto de réplicas de XQ2 deslocadas de 2 apresentando entaéo um carater periddico Se Q 2Q 0 que corresponde a f 1T 2f entao as réplicas nao se superpoem o que assegura que o sinal original pode ser recuperado através de um filtro analégico passabaixas ideal com ganho T e com freqiiéncia de corte entre Q e Qs Qm conforme mostrado na Figura 15 Se por outro lado fosse empregado 2 2Q ocorreria uma superposicao das réplicas do espectro XQ como mostra a Figura 16 Este fendmeno é conhecido como superposicao espectral aliasing em Inglés Nesse caso a recuperacao do sinal original sem distorgoes fica inviabilizada 4 CAPITULO 1 SINAIS DISCRETOS NO TEMPO XQ A 0 2 a Figura 13 Espectro de freqiiéncias de um sinal continuo xt de faixa limitada Q 27 fim XQ AT 2nT nT 0 Q 2T 2nT Q Figura 14 Espectro de freqiiéncias do sinal amostrado xt para o caso em que 27T 20m XQ peewee ee pene eee ee AT 2nT nT 0 Q 7T 2nT Q Figura 15 Filtragem passabaixas ideal para recuperacao do sinal continuo 2t Vamos agora realizar o procedimento inverso e mostrar como o sinal original xt continuo no tempo pode ser reconstruido a partir de suas amostras xn7T através de um processo de interpola cao Para isto considere a filtragem de xt por um filtro passabaixas ideal HQ com ganho T e faixa 02 1T cuja resposta impulsiva é dada por at ht Sa 19 50F 19 onde SaX 6 a funcdo amostragem sampling em Inglés definida como Sa senA2 Lembrando que a resposta no tempo do filtro HQ a excitagao x t é dada pela convolucao xt x t ht 110 14 CONVOLUCAO DISCRETA 5 XQ AT 2nT 1T 0 mT Q 2nT OQ Figura 16 Espectro de freqiiéncias do sinal amostrado xt para o caso em que 27T 20 fazendose uso das eqs 15 e 19 resulta So ent sa TUS 111 xt xnTSa n0oo T a qual é conhecida como a férmula de interpolagao de um sinal a partir de suas amostras Note que como a funcgéo SaX se anula para kz k inteiro e diferente de zero e se iguala a 1 para k 0 a somatoria da equacao 111 se iguala a xnT nos instantes t nT Nos demais instantes intermediadrios por outro lado a superposicgéo das fungdes amostragem Sa ponderadas pelos valores xnT é feita de modo a produzir uma reconstrugao exata do sinal continuo t O teorema da amostragem é um resultado fundamental para a andlise de sinais e sistemas dis cretos no tempo Como ele garante que as amostras desde que obtidas a uma taxa de amostragem conveniente contém toda a informacao de um sinal o processamento pode ser feito nas amostras e nao no sinal continuo como um todo E depois se houver interesse ou necessidade o sinal processado pode ser reconvertido 4 forma continua no tempo a partir de suas amostras 14 Convolugao discreta O objetivo desta segao é mostrar que 0 processamento de sinais de faixa limitada por sistemas lineares invariantes no tempo também de faixa limitada pode ser feito na forma discreta em um computador Suponha um sistema linear invariante no tempo com resposta impulsiva ht Seja yt a resposta do sistema ao sinal xt na sua entrada conforme mostrado na Figura 17 xt Sistema Linear yt ht hQ Figura 17 Sistema linear A saida yt é dada por 6 CAPITULO 1 SINAIS DISCRETOS NO TEMPO yet xt ht 112 J elrpnelt Tdr enquanto que seu espectro YQ XQ AQ 113 Suponha que xt e ht tenham faixa de freqtiéncias limitada a Q rads e que 2 20Q Com isto podemos escrever a partir de 111 m t nT c c T jr xt a nT Sa F 114 nm t nT ht hnT t nT Sa a 115 Dada a expressao 113 concluimos que yt também tem faixa limitada em 2 e portanto mtnT Yyct S yenT Sa ad 116 Vamos mostrar que tais resultados implicam em que yt pode ser calculado através das amostras de x t e ht Para tanto considere yt xt ht 117 nm t kT nm t IT D telkTSa oo sd hITSa am mt kT nm t IT kThlT DL d wel h IT Sa a Sa 7 Mas mt J T 0Q 27 5F a JQ a T Assim nm t kT mtIT nmtlkT sa F xs 2 TSa Usando este resultado em 117 temos a At T xkThllSa we T YY eaerpnellT Se G Fazendo k 1 n resulta 15 SEQUENCIAS 7 mtnT At T tkThn kT Sa 118 we T YOY alk Yhelln 7 Sa 7A 118 Comparando esta expressao com 116 podemos identificar yenT T S xkThe n kT 119 k0o ou seja as amostras da saida do sistema linear em resposta a entrada xt podem ser calculadas através de uma operacao semelhante a convolugao a qual denominamos de convolugao discreta Assim a convolucao discreta envolve duas seqiiéncias de amostras de dois sinais e resulta em uma terceira seqtiéncia Concluimos que a convolugao entre sinais limitados em faixa pode ser realizada através das amos tras destes sinais via convolucao discreta desde que o teorema da amostragem seja respeitado A forma continua no tempo do sinal resultante pode ser obtida a partir de suas amostras fornecidas pela convolucao discreta utilizandose da formula de interpolacao representada pela expressao 111 ou submetendo as amostras fornecidas a um filtro passabaixas adequado Portanto o processamento de sinais de faixa limitada por sistemas lineares invariantes no tempo também de faixa limitada pode ser feito na forma discreta em um computador 15 Seqiiéncias As amostras xnT de um sinal xt podem ser representadas por nimeros zn os quais podem ser armazenados em memoria Neste caso n pode indicar uma posicgéo de memoria e zn é uma seqtiéncia de numeros O intervalo de amostragem JT nao é explicitado no ambito de uma seqiiéncia por conveniencia Ainda no ambito das seqiiéncias a operagdo de convolugaéo entre duas seqiiéncias xn e hin é definida da seguinte forma yin S afklhn k 120 k0o e é representada como yn an An 121 Devemos observar que além de nao explicitarmos o intervalo de tempo J no argumento das seqtiéncias também nao utilizamos o parametro TJ como fator multiplicador como na expressao 119 Assim quando desejamos calcular o resultado de convolugao discreta utilizando a convolugao entre seqtiencias devemos levar em conta a ausencia do fator multiplicativo Também tal parametro multiplicativo sera necessdrio quando desejarmos retornar ao dominio analdgico 16 A transformada de Fourier dos sinais discretos A auséncia do parametro T nas expressdes envolvendo seqtiéncias motiva a definicéo de um nova expressao para a transformada de Fourier a ser utilizada no contexto das seqiiéncias 8 CAPITULO 1 SINAIS DISCRETOS NO TEMPO Lembrando que 6t 1 e usando a expressao 15 temos XQ S xnT expjOT n paraamostras 122 a partir da qual definimos a transformada de Fourier para seqiiéncias como Xw S xn expjwn para sequéncias 123 onde wOT ou w 27 fT 124 A varidvel continua w é igual a freqiiéncia em radianos por segundo normalizada pelo intervalo de amostragem J associado ao processo de amostragem Quando tratamos com seqiiéncias que nao decorrem de um processo de amostragem podemos considerar JT 1 Denominamos w de freqiiéncia angular normalizada da representacao discreta no tempo ou conforme alguns autores radianos por amostra Alguns autores empregam a notacao um pouco carregada X e ao invés de Xw motivados pelo relacionamento da transformada de Fourier com a transformada Z a qual sera vista no Capitulo 5 A condicao suficiente para a convergéncia uniforme da transformada de Fourier X w é dada por X w alr es So 2n 00 o que implica em Y xn oo 125 Da mesma maneira que a transformada de Fourier de um sinal amostrado XQ 6 periddica com periodo 0 27T a transformada de Fourier Xw é periddica com periodo w 0T 27 ou seja Xw Xwk27 inteiro 126 A Figura 18 mostra a comparacao entre os eixos de freqiiéncia para f 2 ew ea Figura 19 mostra a relacao entre os espectros de freqiiéncias de um sinal analdégico da transformada de Fourier de suas amostras e da seqiiéncia daf resultante Em geral desenhamos o espectro Xw apenas no intervalo 7T w 7 o0u0 w 27 devido a sua periodicidade com periodo 27 Adicionalmente para o caso particular de seqiiéncias reais onde o espectro de amplitude possui simetria par e 0 espectro de fase possui simetria impar 6 comum representarmos o espectro apenas no intervalo 0 w 7 161 Transformada inversa Vamos mostrar que a transformada inversa de um espectro Xw é dada por 20 1 zinj X JOM dw 127 inl f Xe 127 0 Para tanto temos 16 A TRANSFORMADA DE FOURIER DOS SINAIS DISCRETOS 9 et 1T 0 1T fHz et 2nT 0 2nT rads ees 20 0 20 wrad Figura 18 Comparacao entre eixos de freqiiencias XQ 1 a O 0 Q Q XQ 1T 2nT O 0 Q 2nT QO X 1T c 20 QT 0 QT 21 Figura 19 Comparacgao entre espectros de freqiiéncia a sinal continuo eixo Q b sinal com amostragem ideal eixo 2 c seqiiéncia correspondente eixo normalizado w 20 2a oo Xetrae S ake J e du 128 0 0 K00 00 2a S ch ef PB day k0o 0 10 CAPITULO 1 SINAIS DISCRETOS NO TEMPO Mas 20 jnkw 0 k n das QT kn 0 Portanto usando esta ultima igualdade na expressao 128 teremos finalmente a expressao de 127 17 Exemplos de seqiiéncias e transformadas Vamos apresentar algumas seqiiéncias que sao bastante importantes em termos tedricos e praticos discutir suas propriedades e calcular seu espectro de freqiiéncias normalizado 1 seqiiéncia impulso unitaria dn 0 n0 129 A Figura 110 ilustra esta seqiiéncia Veremos que ela representa para o dominio discreto o mesmo papel que a fungao Delta de Dirac representa para os sinais continuos no tempo embora sem as complicagoes matematicas inerentes a esta Ultima Observe que 6n apresenta amplitude unitdria em contraste com a fungao Delta de Dirac 1 Sy 2 1 0 1 2 on Figura 110 Seqiiéncia impulso unitario A transformada de Fourier desta seqiiéncia é calculada como Xw S afnjexpjwn S dn expjwn 17 EXEMPLOS DE SEQUENCIAS E TRANSFORMADAS 11 Dai resulta Xw 1 130 A Figura 111 apresenta o espectro de freqiiéncias discreto desta seqiiéncia Este é constante ao longo do eixo normalizado de freqtiéncias da mesma forma como o espectro da fungao Delta de Dirac X eoe 1 eee 0 T Figura 111 Espectro de freqiiéncias da seqtiéncia impulso unitario A seqiiéncia 6n k apresenta a amostra unitdria deslocada para a posigéo n k Também para qualquer seqiiéncia xn podemos escrever xn S xfkldn ki 131 k0o ou seja a convolugao discreta de xn com 6n reproduz a propria seqiiéncia xzn Esta é uma propriedade importante que auxiliara na obtengao de novos conceitos 2 seqiiéncia degrau unitario 132 wn fomeo 132 A Figura 112 mostra esta seqiiéncia 1 Ss on 3 2 1 0 1 2 3 4 n Figura 112 Seqiiéncia degrau unitario 12 CAPITULO 1 SINAIS DISCRETOS NO TEMPO Dado que d leln 0 un ox n0o n0 nao existe a transformada de Fourier 3 Seqiiéncia retangular ajl0nNI1 ryn 0 cc 133 conforme mostrado na Figura 113 Tied 0 3 2 1 0 1 2 3 4 N1 n Figura 113 Seqiiéncia retangular Podemos ainda escrever ryn uln uln NI 134 onde un N é a seqiiéncia uln com inicio em n N Outra expressao alternativa envolve a seqtiéncia impulso unitaria N1 ryn S dn kl 135 k0 A seqiiéncia ryn no comeca em n no e termina em N no 1 A transformada de Fourier de ryn é calculada da seguinte forma Rynw S ry n expjwn N1 expjwn n0 17 EXEMPLOS DE SEQUENCIAS E TRANSFORMADAS 13 ou seja temos a soma de uma progressao geométrica com razao expjw Lembrando que tal soma é dada por elemento inicial elemento final x razao Se ento final x razao 136 1 razao podemos escrever e INw Ryw 137 le J Esta expressao pode ainda ser alterada da seguinte forma eI Nw2 eNe e INw2 Ryw ejw2 eiv2 esu2 de onde resulta iN sin Nw 2 Ry w IN Del SE 138 n w sin w2 Os espectros de amplitude e de fase associados a transformada de Fourier desta seqtiéncia para o caso de N 7 estao mostrados na Figura 114 8 7 fo 6 Ss 4 3 2 1 yr ao o 0 m2 T 3n2 o 2a a 3 K h 3 3 8 S 0 op 2 3 0 m2 T 302 2a b Figura 114 Espectro de freqiiencias da seqiiéncia retangular com N 7 14 CAPITULO 1 SINAIS DISCRETOS NO TEMPO Observamos pelo grafico de magnitude que RNω 0 N o que tambem pode ser comprovado aplicando a regra de l Hˆopital para o calculo do valor de RNω em ω 0 Observamos ainda que no intervalo 0 ω 2π existem seis cruzamentos por zero nos pontos 2πkN k 1 2 6 Tais cruzamentos sao marcados pelas descontinuidades da derivada de RNω e pelos saltos da resposta de fase nos pontos correspondentes saltos estes com amplitude de π indicando cada um deles uma inversao da polaridade da funcao RNω 4 sequˆencia exponencial real xn anun a constante real e a 1 139 Um esboco desta sequˆencia para a 0 7 esta na Figura 115 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 n a07 anun Figura 115 Sequˆencia exponencial real Esta sequˆencia desempenha um papel bastante destacado no processamento de sinais discretos em particular na analise de sistemas lineares Com base na expressao 139 podemos facilmente deduzir que a transformada de Fourier desta sequˆencia e dada por Xω 1 1 aejω 140 As Figuras 27 e 28 apresentam dois exemplos de curvas associadas a funcao espectral em 140 5 sequˆencias senoidais A expressao a seguir mostra um exemplo de sequˆencia senoidal xn A cosω0n φ para todo n 141 onde A e φ sao numeros reais representando respectivamente a amplitude e a fase A Figura 116 ilustra esta sequˆencia para ω0 π8 e φ 0 17 EXEMPLOS DE SEQ UˆENCIAS E TRANSFORMADAS 15 5 0 5 10 15 20 25 30 1 05 0 05 1 n cosπ n8 Figura 116 Sequˆencia senoidal com w0 π8 Existem varias diferencas importantes entre o sinais senoidais contınuos no tempo e as sequˆencias senoidais Tais diferencas decorrem do carater inteiro e adimensional da variavel n A primeira diferenca e que o parˆametro ω0 embora ainda denominado de frequˆencia tem dimen sao de radiano dada a adimensionalidade de n Entretanto alguns autores adotam a unidade de radianoamostra A segunda diferenca fica aparente atraves do seguinte resultado xn A cosω0 2kπn φ k inteiro 142 A cosω0n φ ou seja sequˆencias senoidais com frequˆencias ω0 e ω0 2kπ sao indistinguiveis entre si Existe entao uma periodicidade em termos do parˆametro ω0 o que nos permite afirmar que devemos considerar valores de frequˆencias apenas em um intervalo de largura 2π como por exemplo 0 ω0 2π Esta propriedade nao se mantem no caso de sinais senoidais contınuos no tempo A Figura 117 ilustra esta propriedade mostrando o resultado da amostragem de duas cossenoides com frequˆencias Ω1 0 5π e Ω2 0 5π 2π respectivamente Ao tomarmos amostras destas duas cossenoides nos instantes t nT com T 1 obtemos as seguintes sequˆencias xn cos05πn 143 yn cos25πn Observe que ω0 0 5π para a sequˆencia xn e que ω0 0 5π 2π para a sequˆencia yn Tambem as duas sequˆencias da Figura 117 apresentam as mesmas amostras Apesar desta propriedade podemos gerar sequˆencias compostas pelas amostras de qualquer sinal senoidal contınuo Considere o seguinte sinal senoidal contınuo xct A cos2πfct φ e suas amostras tomadas nos instantes nT n inteiro gerando xst A cos2πfcnT φ 16 CAPITULO 1 SINAIS DISCRETOS NO TEMPO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 05 0 05 1 xt cos05π t xn cos05π nT T 1 amplitude t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 05 0 05 1 xt cos25π t xn cos25π nT T 1 amplitude t Figura 117 Ilustracao de sequˆencias senoidais com ω0 e ω0 2kπ Fazendo ω0 2πfcT geramos uma sequˆencia senoidal correspondente Observamos que se nos restringirmos a intervalos T 12fc de modo a respeitarmos o teorema da amostragem teremos ω0 π Assim os valores de ω0 tais que 0 ω0 π sao suficientes para representarmos todas as sequˆencias resultantes da amostragem de senoides contınuas desde que o teorema da amostragem seja respeitado A terceira diferenca entre as sequˆencias senoidais e os sinais senoidais contınuos esta na questao da periodicidade no eixo n Uma sequˆencia periodica e aquela onde xn xn N para qualquer n 144 onde o perıodo N e um inteiro Aplicando nas sequˆencias senoidais temos xn A cosω0n φ A cosω0n N φ o que so sera possıvel se Nω0 2lπ l inteiro 145 Uma primeira consequˆencia desta condicao e existˆencia de valores de ω0 para os quais nao existe N inteiro que satisfaca a condicao 145 Por exemplo para ω0 1 temos N 2lπ inteiro Constatamos que e necessario que ω0 seja um multiplo racional de π para que exista a periodicidade Como exemplo vamos tomar ω0 π4 onde entao o perıodo N vale N 8 17 EXEMPLOS DE SEQUENCIAS E TRANSFORMADAS 17 Como contraste os sinais senoidais continuos no tempo sao sempre periddicos qualquer que seja o valor da freqiiéncia associada Por fim é importante observar que a interpretacao de sendides com alta e baixa freqiiéncia é distinta nos casos continuo e discreto No caso continuo quanto maior a freqiiencia f mais rapida sera a oscilagao do sinal Ja no caso discreto quando wy cresce desde 0 até 7 as oscilacgoes se tornam mais rapidas Porém quando wo cresce desde 7 até 27 as oscilagdes se tornam mais lentas A periodicidade do comportamento das seqiiéncias senoidais com wp assegura que as sendides com wo proximo de zero sao indistingitiveis das sendides correspondentes com wo prdximo de 27 Ao contrario do que ocorre no campo analdégico aqui nao definimos a transformada de Fourier das seqiiéncias senoidais uma vez que a condigao 125 nao é satisfeita Este problema é contornado no caso de sinais senoidais com a introducao do conceito de impulso analégico Embora a transformada das seqiiéncias resulte em funcgoes analégicas optamos aqui por nao fazer uso deste conceito 6 Seqiiéncias exponenciais complexas A forma mais geral da seqiiéncia exponencial é an Bet nara todo n 146 onde 7 é a amplitude complexa da seqiiéncia a é o fator de amortecimento e wo é a sua freqiiéncia Em geral temos je B Ae onde A é amplitude real e é a fase da exponencial Para a 0 temos a acao de um fator exponencial de alteragéo das amplitudes Ja no caso a 0 resulta a seqtiéncia exponencial complexa periddica E importante observar que todas as propriedades das seqiiéncias senoidais discutidas anteriormente envolvendo a periodicidade em wy e em ne as diferencas entre o caso analdgico e o discreto valem para a seqiiéncia exponencial complexa periddica Para 0 caso wo 0 temos xin Be 147 Fazendo Ge a obtemos a forma geral para a seqiiéncia exponencial real tratada anteriormente De forma alternativa a seqiiéncia exponencial pode ser escrita como xn Ae coswng jsenwno 148 Podemos agora gerar as seqiiéncias senoidais como combinacao de duas seqiiéncias complexas periddicas 1 wot 4 1 Guod coswno e e 149 2 2 e podemos ainda gerar as seqiiéncias senoidais amortecidas ear ea coswng 4 err e Feo 150 18 CAPITULO 1 SINAIS DISCRETOS NO TEMPO 18 Propriedades da transformada de Fourier 1 Linearidade F azn byn aXw bY w 151 ou seja a transformada de uma combinacao linear de seqiiéncias é igual a combinagao linear das respctivas transformadas 2 Deslocamento no eixo n se xn Xw entao an no XweJ 152 Demonstraao S annoleF S afkjesehrro X we Jono cqd n0o koo Portanto um deslocamento no eixo n produz uma componente linear de fase no dominio da freqtiéncia 3 Deslocamento no eixo w se an Xw entao eexn Xw wy 153 Demonstraao S anjeIe e Jen S anjeIeon Xw wy cqd Portanto dado que elwon e Jwon 1 54 coswon aa 154 entao x x xncoswon Ae Awe 155 ou seja a multiplicagao de uma seqiiéncia por uma seqiiéncia senoidal produz deslocamento espectral 4 Diferenciagao em freqiiéncia dX w er 156 nan j 156 Demonstragao d oe oe 7 3 a0 ool jnznje jF nxn cqd 18 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER 19 5 Seqiiéncias reais se xn é real entao Xw Xw 157 Demonstracao Xw YO anjeser S vlne 9 Xw cqd Como conseqiiéncia deste resultado temos Xw Xw fungao par 158 argXw argXw fungao impar 159 Se calcularmos Xw nao é dificil verificar que se zn é real e par entao Xw é real e par 6 Inversao no eixo n se xn Xw entao xn Xw 160 Demonstragao F an SD an ever alkle I Xw cqd n0co k0o 7 Componentes par e impar para qualquer zn temos azn axn2n onde 161 ren wn eter e Lon win or rn 162 2 2 E facil verificar que n tem simetria par e que xn tem simetria fmpar A Figura 118 ilustra esta decomposicgao para uma seqiiéncia composta por um trecho de uma seqiiéncia exponencial real Calculando a transformada de Fourier de xn podemos verificar de imediato que Xw Xw Xw 163 Com base na propriedade 6 podemos verificar que Xw é uma fungao real e par e que Xjw é imaginaria e impar 8 Teorema de Parseval 00 2a 1 Y xnyn x XwY w dw 164 us n0o 0 20 CAPITULO 1 SINAIS DISCRETOS NO TEMPO a b 1 1 a 2 0 2 4 6 6 3 0 3 6 n n 05 0 n 05 c Figura 118 Exemplo de seqiiéncia e suas componentes par e impar Demonstragao 00 oo 20 1 S xnjyn S yin XW edu 165 n0o n0o 0 2a oo 1 jus Xe y y nje dw 166 0 n0o 2a 1 xwr w dw cgd 167 1 0 Definimos a energia de uma seqtiencia como energia de an S xn 168 Fazendo yn zn em 164 podemos escrever 18 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER 21 oo 20 1 2 ia d 7 x du 169 energia de 2n S xn x X w dw 169 n0o 0 9 Convolugao no tempo xn yn XwY w 170 Demonstraao S alkjyn kle Ie Vw SO alkje I XwWw aq n0oo koo Vamos exemplificar o calculo da convolugao no tempo usando cn rvyn rnnj co N1 Do rvlklrwink D0 ry n i k00 k0 Uma boa maneira de realizar este calculo é contar com o auxilio de representagoes das seqtiencias envolvidas Assim o primeiro passo consiste em observar que precisamos de ry k e de ry nl isto é da seqiiéncia invertida no eixo k e deslocada de n unidades A Figura 119 mostra varias possibilidades para a posicao relativa destas seqiiéncias as quais estao representadas de forma pictérica onde se mostra apenas o perfil das suas amostras O cadlculo da convolugao consiste em definir a seqtiéncia cn para todos os valores de n Para isto precisamos calcular o produto de ryk e rynk a cada valor de n e somar as amostras resultantes deste produto Tal calculo deve ser realizado para faixas de valores de n Por exemplo a Figura 119a mostra que o produto de ryk e ryn k serd nulo para n 0 Portanto cn 0 para n 0 Por outro lado a Figura 119b mostra que enquanto 0 n N 1 ocorre uma sobreposicao de ryk e ryn k no intervalo 0 k n Com isto o produto de ryk e ryn k produziré n 1 amostras unitarias permitindo inferir que cin n1 para OS n N1 Da mesma forma para N 1 n 2N 1 também ocorre sobreposicao entre as seqtiencias deslocadas de forma que o produto produz 2N n 1 amostras unitdrias ou seja cln 2Nn1 para N1n2N1 Por fim para n 2N 1 nao havera sobreposicaéo entre as seqiiéncias deslocadas e teremos cn 0 para n2N 1 Resumindo temos 22 CAPITULO 1 SINAIS DISCRETOS NO TEMPO rnk tyk nN1 n Nl k a rnk ryk nN1 10 n N1 k b tyk rynk 0 nN NI on k c tk tnk 0 N1 nN1 n k d Figura 119 Seqiiéncias deslocadas a n 0 bOn N1c N1 n 2N1 d n2N1 cn 0 para n 0 171 cin n1 para 0On N1 cin 2Nn1 para N1ln2N1 ee cin 0 para n2N 1 A Figura 120 mostra a seqiiéncia cn para N 10 Fazendo uso de 170 e de 138 podemos escrever Nw2 F lw evitpw ser Nw2 172 cn Clu os 172 A Figura 121 mostra o espectro de freqiiéncias associado a Cw 10 Convolugao na freqiiéncia 18 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER 23 10 E or 5 10 15 20 n 25 Figura 120 Seqiiéncia triangular com N 10 magnitude 60 50 40 30 20 10 0 0 w7 2n7 307 4n7 Sn7 6n7 20 w fase TT wW2 Ss rO m2 9 w7 2n7 307 4n7 Sn7 6n7 20 w Figura 121 Espectro de freqiiéncias da seqiiéncia triangular com N 7 20 1 xn yn x xo dd 173 T 0 Demonstragao 24 CAPITULO 1 SINAIS DISCRETOS NO TEMPO oo oo 20 1 obvi Es xevema ine 174 n0oo n0o 0 20 00 1 jnwA al Xa ye Ja 175 0 n0oo 20 1 xo d eq 176 7 0 A integral em 173 é denominada de convolugao periddica entre Xw e Yw Nao utilizamos a convolucaéo usual entre funcdes periddicas pois a mesma pode divergir A convolucao periddica de 173 é definida apenas no intervalo de um periodo e resulta em uma fungao periddica com idéntico periodo 19 EXERCICIOS 25 19 Exercicios 1 Um sinal xt complexo e continuo no tempo tem o espectro mostrado na Figura 122 Este sinal é amostrado produzindo 2n nT x y Q 2 2 Figura 122 Espectro de um sinal genérico complexo a Esboce Xw para T 7Qp b Supondo que Q2 2 qual é a menor freqiiéncia de amostragem sob a restricaéo que xt possa ser recuperado de xn c Desenhe um diagrama de blocos de um sistema que recupera xt nas condigdes do item b 2 O sinal xt com o espectro mostrado na Figura 123 6 amostrado com T 27Qo gerando XQ 1 Q 2o 0 Q 2 a 2 2 Figura 123 Espectro de um sinal genérico a Esboce X w b Desenhe um diagrama de blocos de um sistema que recupera 2t a partir de zn 3 Considere a seqiiéncia xn dn 1 4ndn 1 6n 2 6n 3 0 5dn 4 Esboce as seguintes seqtiéncias a an2 b a4nj ca2nj d anjul2n e an 1dn 3 26 CAPITULO 1 SINAIS DISCRETOS NO TEMPO 4 Demonstre que un So dn ki k0 Baseado neste resultado escreva un no em fungao de dn 5 A seqiiéncia xn cosmn4 oo n co foi obtida amostrando o sinal continuo xt cosQot co t oo com uma taxa de amostragem de 1000 amostrass Quais sao os possiveis valores de Qo 6 O sinal xt cos4000mt oco t co foi amostrado com intervalo T entre amostras gerando a seqiiéncia zn cosmn3 co n oo Determine todos os valores de T consistentes com estas informagoes 7 O sinal xt sen207t cos40mt co t oo foi amostrado com intervalo T entre amostras gerando a seqiiéncia xn senmn5 cos27n5 co n oo Determine todos os valores de T consistentes com estas informacoes 8 Considere a seqiiéncia zn ryn ryn 2N ilustrada na Figura 124 e yn ryn A xn b 0 Nl 2N 3N1 n Figura 124 Seqiiéncia xn a Calcule cn xn yn b Calcule Xw e Cw 9 Considere an a ryn 2N com 0a1leynrnntN1 a Calcule cn xn yn b Calcule Cw 10 Considere as seqiiéncias x n a ro n 10 e yn rio n a Esboce x n b Esboce y n c Calcule cn x n yn d Calcule Cw Capitulo 2 21 Introducao Neste capitulo iremos apresentar a definicao e as propriedades dos sistemas discretos no tempo Os sistema que simultaneamente sao lineares e invariantes no tempo serao tratados de forma especial em funcao de suas propriedades A mais importante é que a saida pode ser calculada para qualquer entrada usando a sua resposta ao impulso unitario Além das propriedade da linearidade e invariéncia no tempo estudaremos a causalidade e a estabilidade tanto na sua forma geral como a forma particular para os sistemas lineares e invariantes no tempo Merece destaque especial a descricao dos sistema lineares e invariantes no tempo no dominio da freqiiencia envolvendo os conceitos e propriedades da transformada de Fourier para sinais discretos Como se pode perceber nesta introducao a denominagao sistemas lineares e invariantes no tempo aparece com muita freqiiéncia o que motiva a adocao das siglas SLID e LID Estes conceitos serao analisados em mais detalhes nos préximos capitulos Porém o material deste capitulo é basico e fundamental para o entendimento dos demais 22 Sistemas Discretos no Tempo Vamos considerar a representacao de um sistema discreto genérico mostrada na Figura 21 O sistema tem uma agao sobre a entrada xn de modo a gerar uma saida yn que é uma transformagao de xn representada por T2n xn TT ynJT xn Figura 21 Sistema discreto Como exemplos de sistemas temos o sistema atrasador definido por yn an no 27 28 CAPITULO 2 SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO e o sistema média mével moving average definido por 1 k yn M M 1 an iF M1 onde a saida yno 6 proporcional soma das amostras de xn ao redor de n no desde ng M até No Mp A acao deste sistema sobre a entrada se assemelha a uma filtragem passabaixas Os sistemas podem ser classificados em varias categorias em funcao de suas propriedades As categorias a seguir sao as mais importantes para o processamento de sinais 1 Sistemas sem memoria Sao aqueles onde a saida em um instante n nao depende da entrada eou da saida em instantes diferentes de n Como exemplo podemos citar yn xn e como contraexemplo os sistema média mével 2 Sistemas lineares Obedecem a se Taynyn e Taen yon entao 21 Taxn bran ayyn by2n O sistema média mdével é um exemplo de sistema linear enquanto que yn an é um exemplo de sistema naolinear 3 Sistemas invariantes com o deslocamento Sao aqueles que obedecem a se Txnyln entao Tan no yn nol 22 Vamos verificar se 0 sistema média movel é invariante ao deslocamento Para tanto temos 1 Mp xin n zlnk e in Wl spat be nt VET 1 Mp k M x1n znno yn Moi x n k as MY 1 no xn no k yn no yi r Wyahet Dy 0 Jyl 0 22 SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO 29 Portanto rnno ylnno o que demonstra que o sistema média movel é invariante com o deslocamento 4 Sistema linear invariante com o deslocamento SLID Ea categoria mais importante pelas propriedades que apresenta A principal é que a saida em resposta a qualquer entrada é a convolugao discreta entre a entrada e a resposta impulsiva do sistema Para atingirmos este resultado vamos tomar uma seqiiéncia genérica xn e escrevéla como gn ta1dn 1 20dn a1Jon 1 22on 2 4 So afkjdn ki k0o Seja um SLID com resposta ao impulso hn resposta para xn dn Para uma entrada genérica xn teremos yl Ton TE alkloln A k0o Pela linearidade podemos escrever yin S 7 alkPSn k k0o e pela invariancia com o deslocamento yin S7 afkhn k k0o de onde obtemos yn zn hn 23 Assim um sistema linear invariante com o deslocamento com resposta ao impulso hn e entrada xn produz uma resposta yn dada pela convolugao entre hn e xn Propriedades de sistemas SLID 1 comutativa xin hn hn xn 24 2 sistemas em cascata 30 CAPITULO 2 SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO xn h n 1 h n 2 yn Figura 22 Sistemas lineares invariantes com o deslocamento em cascata Os sistemas em cascata com h1n e h2n mostrados na Figura 22 sao equivalentes a um unico sistema com hn h1n h2n 3 sistemas em paralelo Os sistemas em paralelo mostrados na Figura 23 sao equivalentes a um unico sistema com hn h1n h2n xn h n 1 h n 2 yn Figura 23 Sistemas lineares invariantes com o deslocamento em paralelo Finalizando a apresentacao das propriedades dos sistemas SLID e importante ressaltar que a operacao de convolucao discreta possui importˆancia pratica o que nao ocorre com a convolucao no campo analogico Enquanto que a convolucao entre sinais contınuos e uma ferramenta com importˆancia teorica para a caracterizacao de sistema lineares invariantes no tempo a convolucao discreta possui a mesma importˆancia e ainda e usada como instrumento de implementacao pratica de alguns sistemas discretos com resposta de duracao finita 5 Causalidade Um sistema e causal se a saıda em n n0 nao depende da entrada existente em n n0 Como exemplo o sistema definido por yn xn xn 1 e causal 22 SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO 31 A causalidade em sistemas SLID implica em que hn 0 para n 0 Para verificar esta propriedade vamos considerar a convolugao entre uma entrada genérica xn e a resposta ao impulso hn yln So afkhn fy k0o Para que a saida yn dependa apenas das amostras de zk localizadas em k n é necessdrio que hn k 0 para k n ou seja que hn 0 para n 0 6 Estabilidade Um sistema é estavel se e somente se a resposta a qualquer entrada limitada em amplitude é também limitada em amplitude Esta é a definicgao geral de causalidade Para sistemas lineares e invariantes com o deslocamento esta propriedade assume uma forma particular Um sistema SLID é estavel se e somente se 5 hn ov Demonstraao 1suponha que hn co Seja zn tal que xn M com M um numero positivo finito yin SO alklhink SY alh afr kl k0o koco MSO hnkM S hk ox k0o k0o 2 Suponha que hn co Vamos mostrar que existe pelo menos uma seqiiéncia de entrada com amplitude limitada que vai causar uma saida com amplitude ilimitada Seja hx helen para hn 4 0 zn hn 0 para An 0 Podemos verificar que xn é limitada em amplitude pois h n ote a hn 32 CAPITULO 2 SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO Vamos agora calcular a saida correspondente em n 0 yl D2 alkain 4 Do Tag RIA k0o k0o S hk eqd k0o Assim é necessdrio que hn oo para que se possa garantir que entradas limitadas produzam saidas limitadas Como exemplo vamos analisar o SLID definido por hn auln Vamos verificar a condicgao Y hn co isto é de lAlr So lal ufn lal 1 oo se a n 1 a dUlal mo diverge se fal1 Portanto o sistema sd sera estavel se a 1 Para o caso em que a 1 ou seja hn un teremos yin So afkjun k k0o do alk k0o o que justifica a denominacao de acumulador para este sistema O acumulador é um sistema instavel Por fim é interessante observar que um sistema instavel em cascata com um sistema estavel pode resultar em um sistema estavel conforme o exemplo a seguir onde temos a cascata de hin e han com hyn un e hgn dn dn 1 Como 23 EQUACAO A DIFERENGAS LINEAR E COM COEFICIENTES CONSTANTES EDLCC33 hyn hon uln dn 6n 1 ulnuln1 én o sistema resultante tem hn dn e é estavel Entretanto devemos observar que existem pelo menos duas formas de implementagao do sistema 1 fazemos yn xn em concordancia com hn dn esta versao é estavel 2 construimos explicitamente e de forma separada os sistemas representados por hn e hgn esta versdo é instavel 23 Equacao a diferencas linear e com coeficientes constan tes EDLCC Uma subclasse importante dos sistemas lineares invariantes com o deslocamento é aquela constituida pelos sistemas em que a entrada xn e a saida yn obedecem a uma equagao a diferengas linear e com coeficientes constantes EDLCC do tipo N M S axyn k S byan kl 25 k0 k0 onde N e M sao inteiros positivos Neste caso a saida yn pode ser calculada a partir da amostra atual na entrada e das M amostras anteriores ou seja de zn k para k 0M e também das N amostras anteriores na saida ou seja de yn k para k 1N Logo esta forma de escrever a EDLCC restringe a sua capacidade de representacao dos sistemas lineares invariantes com o deslocamento atendose apenas com os causais Como exemplo vamos considerar a EDLCC yn ayn 1 an a qual ao ser reescrita como yn xn ayn I pode ser associada a um sistema com a seqiiéncia de calculos ilustrada na Figura 24 yn O A atraso yn1 a ayn1 Figura 24 Representacgao de um sistema definido por yn xn ayn 1 34 CAPITULO 2 SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO Uma EDLCC necessita de restrigoes adicionais para especificar de forma univoca um sistema Para demonstrar este fato vamos considerar a EDLCC de 25 e uma entrada particular xn produzindo uma resposta yn ou seja N M S ayn k S by tyn kl 26 k0 k0 Vamos considerar também a solucao ypn da equacao homogénea isto é da EDLCC para o caso particular quando zn 0 0 que corresponde a observar a resposta do sistema associado quando a entrada é nula Assim N S anynn k 0 27 k0 Neste contexto a solucao geral da equacao pode ser escrita como yln yin yaln 28 Vamos mostrar que yn 6 um membro de uma familia de solugdes da forma N yar So Anz 29 m1 Substituindo 29 em 26 obtemos N N N SracyninB Yrag Anete k0 k0 m N N S AmZm So azn 0 m1 k0 ou seja 6 necessaério que os numeros z sejam raizes da equacao N S anz 0 k0 Satisfeita esta condigao de fato verificamos que todas as solucdes especificadas em 29 sao validas Entretanto 29 nao define os M coeficientes A 0 que significa que existem infinitas solugdes para yn Logo para especificar um sistema de forma unfvoca é necessaério escolher um conjunto de coeficientes A através de algum critério Exemplo 21 Vamos tomar a EDLCC tratada no exemplo anterior yn ayn 1 2n A equacaéo homogénea associada é ynn aypn 1 23 EQUAC AO A DIFERENCAS LINEAR E COM COEFICIENTES CONSTANTES EDLCC35 Como neste caso temos N 1 resulta yhn A1z1 Substituindo esta solucao na equacao homogˆenea obtemos z1 a e portanto yhn A1an e yn ypn A1an a qual exije uma condicao extra para que se possa determinar uma solucao unica A expressao 29 e valida apenas para o caso em que os zm m 1 N representam N raızes distintas Embora a forma dos termos associados a raızes multiplas em 29 seja ligeiramente diferente ainda assim existem N coeficientes indeterminados Como a solucao da EDLCC apresenta N coeficientes indeterminados e necessario especificar um conjunto de N condicoes auxiliares a serem obedecidas pelo sistema para que se tenha uma unica solucao para a EDLC Estas condicoes podem consistir de especificacoes de valores de yn em N posicoes particulares como por exemplo valores para y1 y2 yN indicando que o sistema se apresenta com condicoes iniciais diferentes de zero para entradas iniciando em n 0 De posse destes valores podemos construir um sistema de N equacoes com os coeficientes como incognita bastando para isto usar tais valores em 26 juntamente com 29 De forma alternativa podemos calcular a resposta do sistema para uma dada entrada atraves de uma recursao baseada na equacao a diferencas e fazendo uso dos valores especificados como condicoes auxiliares E facil verificar que o sistema nas condicoes acima com as condicoes auxiliares determinando valores particulares nao nulos na saıda nao obedece a condicao de linearidade Isto porque se mul tiplicarmos as amostras da entrada por uma constante a saıda nao apresentara todas suas amostras multiplicadas pela constante uma vez que os valores y1 y2 yN permanecerao inaltera dos Da mesma forma o sistema nao sera invariante ao deslocamento Nos interessa aqui apenas os sistemas lineares invariantes com o deslocamento Sendo assim nao trabalharemos na condicao em que o sistema apresenta condicoes iniciais nao nulas Entretanto mesmo com a imposicao da linearidade e invariˆancia com o deslocamento ainda assim a equacao a diferencas nao especifica univocamente a saıda para uma dada entrada pois existira um sistema linear invariante ao deslocamento causal e sistemas nao causais que sao descritos pela mesma equacao a diferencas Vamos ilustrar este fato atraves de um exemplo Seja um sistema linear invariante ao deslocamento descrito pela equacao yn ayn 1 xn Como o sistema e linear e invariante ao deslocamento podemos descrevˆelo pela sua resposta ao impulso hn Vamos obter esta resposta atraves de um processo de recursao baseado na equacao a diferencas Numa primeira tentativa vamos supor que o sistema e causal ou seja hn 0 para n 0 Devemos observar que tal condicao implica em condicoes iniciais nulas Tomando yn xn ayn 1 e calculando a saıda para xn δn obtemos 36 CAPITULO 2 SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO hn δn ahn 1 Levando em conta que hn 0 para n 0 podemos calcular passo a passo os valores de hn para n 0 comecando com n 0 h0 δ0 ah1 δ0 h0 1 h1 δ1 ah0 ah0 h1 a h2 δ2 ah1 ah1 h2 a2 hn anun Vamos agora repetir este processo sob a hipotese que hn 0 para n 0 Para isto vamos tomar por facilidade hn 1 hn a δn a e vamos recorrer no sentido dos valores negativos de n uma vez que hn 0 para n 0 h0 h1 a δ1 a 0 h0 0 h1 h0 a δ0 a δ0 a h1 1 a h2 h1 a δ1 a h1 a h2 1 a2 hn anun 1 Portanto uma mesma equacao a diferencas de primeira ordem admite duas respostas ao impulso uma causal e outra anticausal Resumindo temos uma equacao a diferencas linear com coeficientes constantes nao especifica de forma unıvoca um sistema E necessario estabelecer condicoes auxiliares a serem obedecidas quando impomos as condicoes auxiliares atraves de valores especıficos para a saıda independente da entrada o sistema correspondente nao sera linear nem invariante ao deslocamento a imposicao de que a equacao represente um sistema linear invariante ao deslocamento nao basta para especificar completamente o sistema E necessario impor ainda outra condicao como por exemplo a causalidade 24 Sistemas IIR e sistemas FIR Ao trabalharmos com a EDLCC yn ayn 1 xn obtivemos um sistema causal com hn anun 25 REPRESENTACAO DE SLID NO DOMINIO DA FREQUENCIA 37 Esta resposta ao impulso tem duracao ilimitada 0 que caracteriza os sistemas SLID do tipo IR Infinite Impulse Response Veremos nos préximos capitulos que a duragao ilimitada da resposta ao impulso é geralmente provocada pela presenga de realimentagoes no sistema as quais por sua vez estao associadas a valores de N em 25 maiores que zero Quando N 0 ou seja a saida do sistema depende apenas das amostras de entrada e M em 25 é finito teremos Ab k yn S zn ki ao k0 Fazendo xn 6n obtemos b b b b hn 26n 6n 1 26n 2 4 6n M4 ao ao ao ao o que caracteriza um sistema causal com resposta ao impulso com duracao finita M 1 Esta éa caracteristica dos sistemas FIR Finite Impulse Response O fato da resposta ao impulso dos sistemas FIR ser de comprimento finito implica em que tais sistemas serao sempre estdveis supondo que os coeficientes b sejam ntmeros finitos uma vez que a condigao hn co serd sempre satisfeita 25 Representacao de SLID no dominio da freqiiéncia Um sistema linear invariante com o deslocamento é caracterizado pela sua resposta ao impulso hn A transformada de Fourier de hn Hw hfnje 210 é denominada de Fungao de Transferéncia do sistema e permite a caracterizagao do mesmo no dominio da freqiiéncia Lembrando que a relacgao entre uma entrada xn e a safda correspondente yn é dada por yn xn hn e que a operacao de convolucao no dominio do tempo da lugar 4 multiplicacao dos espectros corres pondentes temos Yw XwAw 211 A capacidade de transformar convolucaéo em produto é uma das caracteristicas da transformada de Fourier que melhor justificam sua importancia para o processamento de sinais Como é mais dificil para realizarmos a operacéo de convolugéo em contraste com a operagao de produto optamos por analisar as acoes dos sistemas através das representacoes espectrais em freqiiéncia Devemos observar que Hw é uma funcgaéo complexa Seu mddulo é denominado de Resposta de Amplitude enquanto que seu argumento é denominado de Resposta de Fase Como toda fungao espectral associada a seqiiéncias é periddica com periodo 27 Hw também o é Como esta periodicidade produz fendmenos sem contrapartida no dominio analdgico é interessante observar a forma de algumas funcgoes de transferéncia classicas 38 CAPITULO 2 SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO Exemplo 22 Filtro passabaixas ideal Figura 25 H 1 On Tr 0 T 2n 0 Figura 25 Filtro passabaixas ideal O filtro seleciona as freqtiéncias ao redor de w 0 até w We E importante observar que as altas freqtiéncias estado ao redor de w 7 uma vez que a periodicidade no eixo w faz com que ao redor de w 27 tenhamos o mesmo contetdo espectral da regiao ao redor de w 0 Exemplo 23 Filtro passa altas ideal Figura 26 Ha 1 2n k O 0 O 7 2n Figura 26 Filtro passaaltas ideal Neste caso o filtro seleciona as altas freqtiéncias ao redor dew 7 Sua freqiiéncia de corte ocorre em W We Exemplo 24 hn auln Jal 1 1 AH w 1 aeJ 1 Hw 1a2acosw Hw arctan asenw 1 acosw A Figura 27 mostra a resposta de amplitude e de fase desta funcao de transferéncia para o caso a 08 Podemos observar que se configurou um filtro passabaixas simples A Figura 28 mostra a resposta de amplitude e de fase desta funcao de transferéncia para o caso a 08 Neste caso configurouse um filtro passaaltas 25 REPRESENTAC AO DE SLID NO DOMINIO DA FREQ UˆENCIA 39 0 π2 π 3π2 2π 0 1 2 3 4 5 6 magnitude ω Hω 0 π2 π 3π2 2π 1 05 0 05 1 fase Hω ω Figura 27 Resposta em frequˆencia de um filtro passabaixas de primeira ordem a 0 8 0 π2 π 3π2 2π 0 1 2 3 4 5 6 magnitude Hω ω 0 π2 π 3π2 2π 1 05 0 05 1 fase Hω ω Figura 28 Resposta em frequˆencia de um filtro passaaltas de primeira ordem a 0 8 A funcao de transferˆencia apresenta algumas propriedades importantes 1 se xn ejnω0 n entao yn Hω0 xn pois 40 CAPITULO 2 SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO yln fn n hfkjetmP k0o imo NS hfkjew eHwo Hwo xn egd k0o Isto significa que a resposta de um sistema linear e invariante ao deslocamento a uma entrada exponencial complexa numa determinada freqiiéncia 6 a mesma exponencial multiplicada pela funcao de transferencia calculada na freqiiéncia da exponencial Portanto a amplitude da exponencial sera multiplicada pelo valor da resposta de amplitude do sistema e sua fase sera alterada pela resposta de fase do sistema na mesma freqiiencia Como conseqtiéncia desta propriedade é facil mostrar que se a entrada for xn cos nwo entao a resposta sera yn Hwo cos nwo 6 8 6 arg Hw 2 Existéncia de Hw Sabemos que Hw existe se hn oo quando entdo a série hinje J converge uniformemente para a fungao Hw Portanto todo sistema LID estavel tem Hw pois a estabilidade exige que 5 hn oo Também como todo sistema FIR é estavel todo sistema deste tipo tem funcao de transferéncia 26 Convergéncia da série Vimos que se Y hn co entao a série so S hnje 7 converge de forma uniforme para a fungéo Hw Quando Ihnj mas te Y hn 00 a série converge apenas no sentido de que o erro quadratico médio é minimizado 26 CONVERGENCIA DA SERIE 41 Exemplo 25 Seja 1 Jw w H Cc pw 0 we w tr Podemos mostrar com facilidade que W senwn hn T Wen de onde constatamos que hn 1n para n oo e que portanto hn oo Porém hn 1n para n 00 e portanto S hn 00 Vamos agora analisar como se comporta a transformada de Fourier de hn calculando N Hyw S hnje nN A Figura 29 mostra a fungdo de transferéncia de Hw juntamente com Hyw No tamos que Hyw apresenta oscilagdes em torno de Hw Podese demonstrar que a amplitude mdaima de tais oscilacdes nao tende a zero a medida que n co Porém as oscilagoes tendem a ser concentrar progressivamente nos locais de descontinuidades w we ew u Assim a série nado converge uniformemente para Hyw mas converge no sentido de que o erro quadratico médio lim Hyw Hy w dw Nco sera igual a zero indicando que as duas funcoes diferem apenas na posicdes das descon tinurdades 06 3 2 04 ea a 0 T n2 0 m2 q Figura 29 Resposta em freqiiéncia do filtro FIR passabaixas 42 CAPITULO 2 SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO 27 Exercicios 1 Para cada um dos sistemas a seguir determine se o sistema é linear estavel invariante com o deslocamento e sem memoria a Tan 2n no b Tan xn 3uln 1 c Ten do alk d Pan nno dk nno 2 Calculando de forma explicita a convolucao determine a resposta ao degrau do sistema cuja resposta ao impulso é hin aun 0a 1 3 A resposta ao impulso de um sistema é nula exceto para No n N Considere uma entrada nula exceto para No n N3 A reposta correspondente sera nula exceto para Ny n Ns Calcule Ny e Ns em funcgao de No Ni No e N3 4 Considere o sistema discreto descrito pela equacao a diferengas yn xn axn 1 baxnxn 1 onde xn é a seqiiéncia de entrada yn é a saida correspondente e a é uma constante real nao nula a Classifique o sistema quanto as propriedades a seguir e em fungao do valor da constante real b justificando cada resposta memoria linearidade invariancia com o deslocamento estabilidade causalidade b Se o sistema for linear e invariante com o deslocamento para algum valor de b calcule a resposta ao impulso correspondente 5 Considere o sistema discreto linear e invariante com o deslocamento descrito pela equacao yn 05 yn 1 a n 2 n 2 aCalcule a resposta ao impulso causal b Calcule a resposta ao impulso nao causal supondo h n 0 para n 3 c Calcule Hw d Calcule a resposta do sistema para a entrada x n e7 e Calcule a resposta do sistema causal para a entrada x n 26 n 6 n 1 6 Considere um sistema discreto descrito por yn io byank c onde xn é a seqiiéncia de entrada e yn é a safda correspondente Considere que b k 012 sdo constantes reais finitas e nao nulas e que c é uma constante real finita a Classifique o sistema quanto as propriedades abaixo e em fungao do valor da constante c justificando cada resposta al memoria a2 linearidade a3 invariancia com o deslocamento a4 estabilidade a5 causalidade 27 EXERCICIOS 43 b Se o sistema for linear e invariante com o deslocamento para algum valor da constante c calcule a resposta ao impulso causal correspondente 7 Considere um sistema linear invariante com o deslocamento descrito pela equacao a diferencas yn ayn 1 an brn 1 com condigoes iniciais nulas Suponha que as contantes a e b sao reais e diferentes de zero a Calcule a resposta ao impulso causal b Calcule a resposta ao impulso nao causal c Calcule a fungao de sistema Hw d Qual a condigao para que o sistema causal seja estavel Justifique 8 Considere o sistema da Figura 210 com hn 3dn 1 e han auln xn yn el Figura 210 Sistema LTT a O sistema é causal Sob que condigées o sistema sera estavel Justifique b Calcule a resposta ao impulso hn do sistema todo c Calcule a fungao de sistema Hw para o sistema todo d Especifique uma equagao a diferengas que descreva o sistema todo 9 Considere o sistema da Figura 211 Hw é um filtro passabaixas ideal com freqiiéncia de corte em 72 Determine a resposta ao impulso x oS A xn 1 yn Ho Figura 211 Sistema LTT 10 Considere um sistema LTI com resposta em freqiiéncia dada por le 7 dei Hw edema Lib et Fae w 1 0 5e7J2w Determine a saida em resposta a xn cos7n2 44 CAPITULO 2 SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO Capitulo 3 SINAIS CONTINUOS 31 Introducao Este capitulo trata da aplicacao dos sistemas discretos na substituicao de sistemas analdégicos ou seja vamos estudar as condigdes que um sistema discreto deve satisfazer para que seja equivalente a um sistema anal6gico A motivacao para este estudo é a crescente aplicacao do processamento discreto em substituicao ao analdégico fruto de vantagens como menor custo de projeto e implementacao maior flexibilidade de alteracao de especificagdes de sistemas em funcao de novos requisitos ou aplicagoes Estas vantagens se concretizaram na Ultima década em escala crescente em fungao da redugao de custo e aumento continuo da capacidade dos conversores AD e DA dos processadores de sinais digitais e de me morias Com isto cada vez mais se torna interessante realizar processamentos analdgicos através de sistemas de processamento de sinais discretos A substituicao nos obriga a analisar a discretizacao de sinais continuos e o estudo dos conversores ADe DA Como ja abordamos a amostragem de sinais no inicio do capitulo 1 vamos aqui apenas apresentar uma breve revisao dos conceitos e expressoes mais importantes para este capitulo 32 Amostragem de sinais Para recordamos parte dos conceitos apresentados no capitulo 1 vamos considerar um sinal continuo no tempo 2t com espectro de faixa limitada a Q rads conforme mostrado na Figura 31 As amostras de xt tomadas a intervalos T dao origem ao sinal xt 2t S dtnT 31 Calculando a transformada de Fourier desta expressao obtemos 1 CO X4Q FXeQ 6Q 2nkT ou seja 45 46 CAPITULO 3 PROCESSAMENTO DISCRETO DE SINAIS CONTINUOS XQ 1 Qn 0 Qn Q Figura 31 Espectro de freqiiencias de um sinal continuo no tempo 1 CO XQ XQ2nkT 32 A Figura 32 mostra uma ilustracao de XQ utilizando o espectro da Figura 31 e supondo 2nT 2Qiy XQ 1T XQ2nT XQ XQ2nT 2nT WT O 0 QO WT 2nT Q Figura 32 Espectro do sinal amostrado Uma expressao alternativa a 32 pode ser obtida partindo de 31 e fazendo xt S anTdtnT 33 de onde podemos escrever XQ SO xnTe I 34 Esta ultima expressao pode ser reescrita usando a notacao tipica para seqiiéncias onde xnT xin e XQ Xw w OT dando origem a 32 AMOSTRAGEM DE SINAIS 47 Xw So afnlew 35 Comparando 32 34 e 35 podemos escrever XQ Xw w OT 36 ou Xw XQ QwT 37 Com base nestas relacoes podemos nos reportar a comparacao entre espectros desenhados no eixo 2 e aqueles desenhados no eixo w conforme mostrado na Figura 19 do capitulo 1 Por outro lado combinando 32 com 36 obtemos 1 CO Xw XwT 2nkT 38 a qual sintetiza as relagoes entre o espectro do sinal original e 0 espectro do sinal amostrado este ultimo desenhado no eixo w Suponha agora o esquema mostrado na Figura 33 x0 xQ xn Filtro de x Amostrador recuperacao ideal XQ X HQ XQ Figura 33 Esquema de amostragem e recuperacao Definimos o filtro de recuperacao da seguinte forma Ff LT Q 27 yQ 0 ce 39 conforme ilustrado na Figura 32 Podemos concluir que se 27T 20 entao nao ocorre sobrepo sigdo entre os espectros deslocados de XQ o que garante que xt 2t Esta mesma conclusao pode ser obtida através de uma analise no dominio da freqiiéncia XQ AQXQ de onde usando 32 obtemos 1 CO XQ Hy Qe a XQ 2kT Supondo novamente que 27T 20 podemos escrever finalmente Jf XQ Q 27 XQ 0 CC 310 ou seja obtemos o sinal original 7t na saida do filtro de recuperacao 48 CAPITULO 3 PROCESSAMENTO DISCRETO DE SINAIS CONTINUOS 33 Processamento discreto de sinais continuos Vamos estudar aqui as condicoes para que um processamento analdgico através de um sistema li near invariante com o tempo possa ser realizado através de um processamento discreto equivalente realizado através de um sistema linear invariante com o deslocamento No que se segue trabalharemos sempre nas duas condigoes a seguir 1 os sistemas serao lineares e invariantes com o tempo ou com o deslocamento 2 os sinais analdgicos terao espectros com faixa limitada a 2 rads e serao amostrados com um periodo T tal que 27T 20 Vamos nos ater com o esquema representado na Figura 34 Temos nesta figura um sistema analdégico HQ o qual recebe o sinal xt na sua entrada e produz o sinal yt na sua saida Desejamos estudar o sistema discreto Hw inserido entre um conversor AD e um conversor DA seguido de um filtro de recuperacao HQ de modo a verificar as condigdes que devem ser satisfeitas para que o processamento discreto seja equivalente ao analdgico ou seja que o sinal yt na parte b da referida figura seja igual ao sinal yt na parte a da figura xt yet Ht a Sistema Filtro de x0 Amostrador xn Discreto yin recuperacao yd ideal H HQ t b t T T Figura 34 Esquema de processamento discreto de um sinal continuo a sistema analdgico b sistema discreto Para obter tais condigdes vamos calcular o espectro YQ associado a yt em fungao de XQ associado a 2t Inicialmente a partir dos sinais xzn e yn e do sistema discreto da Figura 34b temos Yw XwHw 311 Considerando que a recuperacao do sinal analégico se da pela aplicacao do filtro de recuperacao o espectro do sinal yt sera calculado filtrando o espectro da seqiiéncia yn pelo filtro de recuperagao Para expressar tal filtragem vamos utilizar a expressao 36 para escrever 0 espectro Y w em termos da freqiiéncia 0 Q HQY QD Usando a relacao 311 obtemos 33 PROCESSAMENTO DISCRETO DE SINAIS CONTINUOS 49 Q HyQX OT H 27 de onde com base em 38 resulta YQ AQ HOT XQ 27kT r IIr c 47 L k0o Se considerarmos XQ 0 para Q Q e 27T 20 teremos apds aplicar a expressaéo 39 AQT XQ JQ T 0 ce Concluimos que o sinal na saida do esquema da Figura 34b quando XQ 0 para Q Qn e 20T 2Qm consiste do espectro do sinal de entrada filtrado pela funcao de transferéncia do filtro discreto na faixa de freqiiéncia deste sinal Por fim levando em conta o resultado da expressao 312 o sistema da Figura 34b sera equi valente ao da Figura 34a se fizermos HQT HQ ou seja se escolhermos Hw de forma a obtermos HQT Q aT AQ Jl 2 0 ce 313 Esta conclusao é valida quando 1 XQ 0 para Q Q e 27T 2Q 2 Hw é um sistema linear invariante com o deslocamento Caso contrario 0 processamento discreto nao sera equivalente a um processamento analdgico linear invariante com o tempo Vamos agora analisar um exemplo para estes conceitos A Figura 35 apresenta todos os passos a nivel de espectros de um processamento discreto que produz uma acao equivalente a uma filtragem passabaixas com um filtro analégico ideal com freqtiencia de corte 2 Portanto o processamento discreto é equivalente ao processamento realizado por um filtro analdgico com freqiiéncia de corte Q wT Podemos observar que esta freqtiencia de corte equivalente depende da freqiiéncia de corte w do filtro discreto e do intervalo de amostragem TJ Assim temos dois mecanismos para alterar o valor da freqiiencia de corte analdgica de modo a poder eventualmente ajustaéla a cada nova situacao pratica variando w ou variando 7 Como estes dois mecanismos sao mais simples que reprojetar e reconstruir um filtro analégico conclufmos que o equivalente discreto ainda oferece a vantagem de flexibilidade de ajuste deste parametro Outra questao que decorre do exemplo é que a filtragem passabaixas permite que aceitemos um certo grau de sobreposicao entre os espectros deslocados da Figura 35b sem que isto implique em deformacao do sinal yt Basta que o intervalo de amostragem T seja escolhido de forma que 20 0 wT T wel 50 CAPITULO 3 PROCESSAMENTO DISCRETO DE SINAIS CONTINUOS XQ 1 Q 0 Qa a a XQ WT 2nT WT Qy 0 Q aT 2nT Q b X aN J t t t t 2 mn OQnT 0 QT 2 2n o c Ho l 2n 1 O 0 1 on o d Figura 35 Etapas de processamento discreto de um sinal a espectro do sinal continuo b espectro do sinal amostrado c espectro da seqiiéncia correspondente d filtro passabaixas Continua na proxima pagina 34 Mudangca da taxa de amostragem via processamento dis creto Freqiientemente tornase necessdrio ou interessante alterar durante um processamento discreto a taxa com que as amostras foram geradas e sao processadas Dentre as motivacoes para tal alteracao destacamse 1 a reducao da taxa para reduzir a quantidade de calculo realizada pela CPU gerando capacidade para novas tarefas 2 aumento e redugaéo da taxa para com isto relaxar as especificagdes de sistemas como por exemplo os filtros de restrigao de faixa de freqiiencia para amostragem de sinais e de recuperacao do sinal analdgico conforme sera discutido mais adiante neste capitulo 3 34 MUDANCA DA TAXA DE AMOSTRAGEM VIA PROCESSAMENTO DISCRETO 51 Y 20 1 O 0 T on o e 2nT nT Q 09 Q nT 2nT Q f YQ 1 Q 09 Q Q g Figura 35 Etapas de processamento discreto de um sinal a espectro do sinal continuo b espectro do sinal amostrado c espectro da seqiiéncia correspondente d filtro passabaixas e espectro da seqiiéncia apés o filtro passabaixas f filtragem para recuperacgao do sinal continuo g espectro do sinal continuo recuperado alterar a taxa de modo a alterar a fase com que os sinal analégico foi amostrado Uma solucao para se conseguir alterar a taxa de amostragem é a reconstrucao do sinal analégico e a realizacao de uma nova amostragem Entretanto tal solugao exige o emprego de um filtro de reconstrucao do sinal analdgico e a utilizagaéo de uma conversao AD Portanto tratase de uma alternativa pouco atraente A solugao mais empregada a alteragao da taxa via processamento discreto dos sinais realizada portanto no mesmo ambiente onde ocorre o processamento E esta alternativa que estudaremos nos proximos itens 341 Reducao da taxa de amostragem Este processo é conhecido como dizimacao ou decimagao downsampling A taxa é reduzida gerando se uma nova seqiiéncia xqn a partir da seqiiéncia original xn através da eliminacao sistematica de parte das amostras La zMn 52 CAPITULO 3 PROCESSAMENTO DISCRETO DE SINAIS CONTINUOS onde M é um inteiro escolhido e que determina o fator de reducao da taxa Tomando zt como o sinal original o qual apéds a amostragem com um intervalo T entre as amostras deu origem a seqiiéncia xn podemos escrever zMn 2MnT 2nT onde JT pode ser interpretado como um novo intervalo entre as amostras aps a dizimacao A Figura 36 mostra um exemplo da operacao de dizimacao para o caso M 3 xn l 01 23 4 56 7 8 9 n 5 4 xn e l 0 1 2 3 n Figura 36 Exemplo de dizimacao por um fator M 3 Supondo que zn sao amostras de xt para t nT entaéo xqn sao as amostras de xt para T MT Neste caso dizemos que xn foi dizimada por um fator M Sabemos que zn representa xt se este tem faixa limitada a 2 e se 20T 20 Da mesma forma xan representara xt se 27T 20 Como T MT entao a ultima condicao pode ser escrita como 27T 2MQ Assim a dizimagao por um fator M exige que o sinal tenha sido superamostrado por um fator maior ou igual a M para que a dizimagao nao produza sobreposicao espectral Neste caso o espectro das amostras xqn serd semelhante aquele das amostras xn exceto pelo espacamento entre os espectros deslocados Embora a conclusdo acima defina a forma do espectro de xgn Xaw vamos ainda expressdlo espectro em uma forma alternativa calculandoo em fungéo de Xw Xaw S ranje 2 S aMnle2 S anje er nmiitiplode M 34 MUDANCA DA TAXA DE AMOSTRAGEM VIA PROCESSAMENTO DISCRETO 53 Para prosseguirmos precisamos do seguinte resultado i eoj2minM 1sen miltiplo de M M 0 cc 10 Usando este resultado na expressao anterior podemos escrever Xqw S anjeForM 314 n mutiplo de M l co M1 M xn S conn eJwnM n0oo 10 l M1 co 72ml4 2 n 7 y xine jar 37 10 Lnco M1 1 2ml ow X M d M M Portanto Xqw 6 uma soma ponderada de M espectros Xw cada um deles deslocado de Aw 271 e expandido por um fator M A Figura 37 ilustra um exemplo para M 3 e 22T 60m Este exemplo permite perceber que dado que os espectros sao alargados por um fator M é necessario que 27T 2MQ para que nao ocorra sobreposicgao espectral Vamos agora relacionar Xqw com XQ 1 Ww 20k XxX X We TPF a Gir MT ou seja X4w 6 composto por réplicas de XQ no eixo normalizado w QMT espagadas de 27 Apos estas consideracoes a representacao geral de um sistema discreto de dizimacao sera aquele dado na Figura 38 342 Aumento da taxa de amostragem Este processo é conhecido como interpolagao upsampling A taxa é elevada gerandose uma nova seqiiéncia xn a partir da seqiiéncia original xn através da insergéo de amostras nulas segundo LT n04L20 xn vnL jm 04 42L 315 0 3 ce onde L é um inteiro que determina o fator de aumento da taxa A Figura 39 ilustra este processo para o caso de L 3 Dizemos que xn é obtida pela expansao de xn por um fator L Tomando zt como o sinal original o qual apdéds a amostragem com um intervalo T da origem a seqiiéncia xn temos que xe A xnTL Fica evidente que é necessdrio alguma acao para alterar as amostras nulas de xe de forma a tornalas iguais Aquelas que resultariam da amostragem de xt com um perfodo TL ou seja 6 necessdrio um processo de interpolagao Vamos agora estudar o efeito do aumento da taxa no dominio da freqiiéncia Para isto devemos calcular Xw em funcgao de Xw 54 CAPITULO 3 PROCESSAMENTO DISCRETO DE SINAIS CONTINUOS XQ 9 0 Q Q a X VTA eeoo5e eooo5e 2T 0 QT 1 2n b X 1MT 10 l1 12 0 Tt 2n 3x 4n c Figura 37 Espectro resultante de uma dizimagao com M 3 xn xn T MT Figura 38 Representacao geral de um sistema discreto de dizimacao Xw S renje 7 S anje 34 MUDANCA DA TAXA DE AMOSTRAGEM VIA PROCESSAMENTO DISCRETO 55 Figura 39 Ilustracao do processo de aumento da taxa com um fator L 3 ou seja Xeω XLω 316 Logo Xeω e igual a Xω porem comprimido por um fator L Esta compressao provocara o surgimento de componentes espectrais indesejaveis que deverao ser eliminadas atraves de um filtro passa baixas adequado A Figura 310 apresenta um exemplo para o caso L 3 e com amostragem tal que 2πT 2Ωm ilustrando as modificacoes nos espectros Analizando a faixa de frequˆencias desde zero ate π percebemos que o processo de compressao produz componentes espectrais que nao fazem parte do espectro do sinal original ou da sequˆencia correspondente Tornase necessario entao a acao de um filtro passabaixas com frequˆencia de corte em ωc πL de modo a separar as componentes espectrais adequadas conforme mostrado na Figura 310e Podemos observar que a sequˆencia resultante da interpolacao xin equivale a amostras do sinal original xct tomadas com intervalo TL ou seja corresponde a amostras de um processo de interpola cao aplicado a xn A representacao geral para um sistema de interpolacao esta mostrada na Figura 311 343 Alteracao da taxa por um fator racional LM Este tipo de alteracao pode ser obtido utilizandose uma interpolacao por um fator L seguida de uma dizimacao por um fator M A Figura 312 ilustra os procedimentos correspondentes Devemos observar que nao podemos inverter a ordem das operacoes sob pena de produzirmos sobreposicao espectral desnecessaria 56 CAPITULO 3 PROCESSAMENTO DISCRETO DE SINAIS CONTINUOS xQ ZN Q 0 2 2 a xo A VT A J KZ wwe XY 2n 1 0 Tt 2n b A X IT 2T 1 13 0 x3 Tt Qn Ho a bo a t 2n 1 o 9 tT Qn d Xo LT a 2T 1 13 0 x3 Tt on oO e Figura 310 Espectros associados a um processo de interpolagéo com L 3 e 2aT 20 a espectro do sinal continuo original b espectro da seqiiéncia resultante c espectro da seqiiéncia interpolada por um fator L 3 d filtro passabaixas com freqiiéncia de corte em w 1L e espectro da seqiiéncia interpolada 344 Aplicagao de dizimagao e interpolagao na conversao AD As técnicas de interpolacao e dizimacgao vém sendo empregadas em conjunto com as operacoes de conversao visando a reducao de custos e flexibilizagao de projetos Tal aplicacgao se desenvolveu 34 MUDANCA DA TAXA DE AMOSTRAGEM VIA PROCESSAMENTO DISCRETO 57 xn xeln FPB H com xiLn T rn wenL e ganho L a Figura 311 Representacao geral de um sistema de interpolacao interpolacao fator L fator M r a A H Li ge M y oO nL b Figura 312 Esquema geral de um procedimento de alteracgao da taxa por um fator racional LM a seqiiéncia de processamentos b operacgdes a serem executadas em fungao do aumento da capacidade e velocidade dos conversores AD e também dos sistemas de processamento discreto em particular os processadores digitais de sinais Com isto tornase atraente por exemplo empregar as técnicas de alteracao de taxa para baratear e simplificar 0 projeto dos filtros analdgicos necessdrios Neste caso um sinal analdégico xt sofre uma amostragem a uma taxa muito superior aquela de Nyquist Com isto criase uma banda de guarda suficiente larga entre os espectros deslocados para que a qualidade do filtro analdgico limitador de faixa aplicado antes da amostragem possa ser de qualidade bastante reduzida e com freqitiéncia de corte relativamente imprecisa Logo conseguimos uma reducao no custo do filtro tipico e uma flexibilizacao do seu uso a varios tipos de sinais Logo apds a amostragem realizase uma filtragem digital de modo a restringir a faixa de freqiiéncias das amostras ao valor desejado originalmente 0 que permite uma reducao da taxa de amostras agora economizar memoria e esforco de processamento nas operacoes a serem executadas sobre o sinal amostrado Apds o processamento desejado e antes que a seqiiéncia resultante seja enviada ao filtro de recuperacao produzimos uma interpolacao sobre a mesma aumentando significativamente a taxa Com este aumento de taxa criamos novamente uma banda de guarda significativa entre os espectros deslocados o que simplificara agora as especificacdes do filtro recuperagao A Figura 313 apresenta um exemplo pratico destas possibilidades Tratase da amostragem de sinais de voz para telefonia digital Vamos supor que o espectro do sinal original de voz se entende até 20 KHz Na Figura 313a temos a situagéo usual ou seja o sinal de voz convencional com espectro de freqiiencias original 6 submetido a um filtro padronizado passabaixas para restricao 58 CAPITULO 3 PROCESSAMENTO DISCRETO DE SINAIS CONTINUOS da faixa de freqiiéncias O filtro passabaixas deve restringir a faixa de freqiiéncia de ut ao valor nominal para a telefonia digital o qual é 38 KHz Uma vez restringida a faixa o sinal filtrado é amostrado na taxa padrao de 8000 amostras Estas amostras sao transmitidas e no receptor sao submetidas ao filtro de recuperacao do sinal analdgico Este filtro é igual aquele passabaixas para restricao de faixa antes da amostragem Estes dois filtros devem apresentar boas caracteristicas com corte agudo para restringir de forma abrupta a faixa do sinal em 38 KHz de modo a permitir a amostragem a 8 Kamostras Logo sao filtros analdgicos relativamente complexos recuperagao FPB FPB vt analogico Vet nT vn tansmissdo vy n analdgico vt pp Ay ooes p 007600n Ti 18000s a recuperagao trans v0 Mol gree Mg Cio Te Lo de al wu T 180000 s simples 0Q7600n 0Q7600n b Figura 313 Exemplo de aplicacao dos processos de dizimacao e interpolacao em telefonia digital A Figura 313c mostra uma solugao alternativa O sinal de voz original antes de ser filtrado para ter sua faixa de freqiiéncias restrita a 38 K Hz é submetido a um conversor AD com a taxa de amostragem bem maior que a taxa padrao de 8 Kamostras Vamos supor para efeito de exemplo 80 Kamostras Teremos entao uma banda de guarda no espectro das amostras de pelo menos 40 K Hz pois a faixa do sinal original nao é maior que 20 K Hz Isto elimina a necessidade de limi tacao da faixa de freqiiéncias do sinal de voz por meio de filtro passabaixas analégico como no caso anterior Para restringir 0 espectro das amostras a faixa padrao para o sinal de telefonia submetemos as amostras a um filtro digital que restringe a faixa gerando amostras filtradas semelhantes aquelas obtidas no esquema da Figura 313a Este filtro digital deve apresentar caracteristicas semelhan tes ao filtro analégico para restricao da faixa a 38 KHz Uma vez que a faixa das amostras foi reduzida podemos submetélas a um processo de dizimacao de modo a atingirmos a taxa padrao de 8 Kamostras conforme mostrado na figura Apos o sinal ser recebido no receptor bastaria submeteélo ao filtro analdgico de recuperagao do sinal continuo no tempo Entretanto aqui também podemos empregar técnicas de alteracao da taxa de amostras para simplificar este filtro de recupe racao Para isto aumentamos a taxa por um fator por exemplo de 10 vezes conforme mostrado na Figura 313b O sinal discreto resultante é igual aquele vn antes da dizimacao Logo seu espectro tem uma banda de guarda de pelo menos 40 K Hz Com isto o filtro de recuperacao pode apresentar uma caracteristica de corte bastante suave como um RCde primeira ordem quando comparada com aquela do filtro tradicional e sua complexidade e custo podem ser despreziveis Este esquema alternativo simplifica significativamente o filtro de recuperacao e substitui os dois filtros analdégicos por filtros digitais semelhantes Para isto precisa de uma operacao de dizimacao e 35 CONVERS AO AD 59 outra de interpolacao Aparentemente esta alternativa nao oferece vantagens Porem a substituicao dos filtros analogicos por filtros digitais pode ser uma vantagem particularmente quando ja existe um processador discreto sendo utilizado em outras funcoes como por exemplo para codificar as amostras de voz visando reduzir a taxa de transmissao Por fim esta alternativa so sera viavel se o conversor AD para a taxa mais elevada nao apresentar custo muito maior que aquele para 8 Kamostras Mas esta e a situacao atual pois os conversores oferecem ampla gama de taxa de amostragem sem custo extra 35 Conversao AD O objetivo desta secao e apresentar aspectos basicos de operacao dos conversores AD Conforme mostrado na Figura 314 os conversores contˆem basicamente dois blocos o amostra dorsegurador e o conversor propriamente dito O amostradorsegurador tem a funcao de amostrar o sinal contınuo na sua entrada e seguraro valor da amplitude amostrada por um intervalo de tempo T ate a proxima amostragem E necessario que a amplitude seja conservada constante na saıda do segurador para que o conversor possa operar sobre a mesma A operacao de conversao analo gicodigital consiste em discretizar o valor da amplitude na saıda do segurador Isto e realizado em geral comparandose tal amplitude com uma serie de nıveis preestabelecidos conforme ilustrado na Figura 315 Figura 314 Operacoes basicas de um conversor AD O eixo das abcissas na Figura 315 representa as amplitudes contınuas xn fornecidas pelo segura dor enquanto que o eixo das ordenadas representa o valor discretizado yn correspondente A relacao entre estes valores e estabelecida pela curva de discretizacao na forma de degraus Assim valores de xn tais que 2 xn 2 sao representados pelo nıvel quantizado zero na saıda do conver sor Para 2 xn 32 teremos o nıvel na saıda enquanto que para 32 xn 52 teremos 2 e assim por diante O valor e denominado de passo de quantizacao enquanto que os valores 2 32 no eixo das abcissas sao os limiares de quantizacao Nos eixos da parte inferior da figura temos o erro de quantizacao definido como a diferenca entre o valor quantizado y e a entrada correspondente x Este erro excursiona entre os extremos 2 enquanto o nıvel de entrada x estiver limitado a χm O extremo χm e denominado de fundo de escala Quando a entrada ultrapassa estes extremos temos o fenˆomeno de saturacao do conversor e o erro de quantizacao cresce indefinidamente A Figura 315 representa um conversor com oito nıveis Estes nıveis sao representados por palavras binarias Dizemos que este e um conversor com trˆes bits ou seja as palavras digitais binarias usadas para representar os nıveis sao compostas de trˆes bits conforme ilustrado na figura O formato mais empregado para a formatacao desta palavras e o complemento de dois Denominando de b0 b1 b2 60 CAPITULO 3 PROCESSAMENTO DISCRETO DE SINAIS CONTINUOS etc os dıgitos binarios de uma palavra onde b0 e o dıgito mais significativo este formato representa os nıveis normalizados com amplitude unitaria da seguinte forma b0 b1 b2 b020 b121 b222 Em conformidade com a praxe na literatura vamos definir B 1 numero de bits do conversor AD Com isto a relacao entre o passo de quantizacao o fundo de escala χm e B e dada por 2χm 2B1 317 Figura 315 Nıveis e erro de quantizacao em um conversor AD de 3 bits 35 CONVERSAO AD 61 351 Modelo estocastico para o conversor A degradagao introduzida pelo conversor AD devido acao de quantizacaéo é melhor analisada adotandose uma modelo estocastico para seu funcionamento Neste modelo supomos que 0 erro en introduzido na quantizagaéo da amostra analdgica xn 6 modelado por um ruido aditivo Este rufdo denominado de ruido de quantizacao ao ser adicionado as amostras continuas conforme a Figura 316 produz o valor quantizado correspondente xfnp yn p en Figura 316 Modelo para o erro de quantizacao rufdo de quantizacao Visando utilizar as ferramentas estatisticas para a caracterizacao do ruido e do sinal quantizado é usual adotarse as seguintes hipdteses para o processo estocdstico representado por en 1 en é estacionario 2 en e xn sdo descorrelacionados 3 en tem fungao densidade de probabilidade uniforme no intervalo A2 A2 Estas hipdteses sao aproximadamente verdadeiras para sinais aleatérios estacionarios cujas am plitudes oscilam entre valores positivos e negativos com igual probabilidade e que sao praticamente descorrelacionadas nos instantes de amostragem escolhidos Um bom exemplo é 0 sinal de fala quando amostrado com uma taxa préxima da de Nyquist Porém claramente estas hipdtese nao sao validas para sinais constantes ou periddicos no tempo Vamos supor as amostras zn de um sinal para o qual as hipdteses acima podem ser aplicadas e vamos calcular a poténcia do ruido de quantizagaéo Como o valor médio de en é nulo a sua poténcia é dada pela sua variancia A2 o epeede A2 onde pe é a fungao densidade de probabilidade de en uniforme no intervalo A2 A2 Logo temos A2 ez 318 12 ou seja a potencia do erro de quantizacao neste caso depende apenas do passo de quantizacao A Denominando de o a poténcia do sinal x submetido ao conversor AD podemos calcular a relacao sinalrutdo de quantizagao como 3 SNR 10 log Usando a expressao 317 em 318 podemos escrever 62 CAPITULO 3 PROCESSAMENTO DISCRETO DE SINAIS CONTINUOS 2 2 i 2Xm Je 12 9B1 a qual permite escrever a relacao sinal ruido de quantizacao como o 1 2Xxm 12 QBF1 ou ainda SNR 602B 108 20 log dB 319 Ox Podemos observar que a relacao sinalruido cresce seis dB cada vez que acrescentamos um bit ao conversor ou seja cada vez que dobramos o numero de niveis de quantizagao O termo 20 log mox depende das propriedades estatisticas de xn e de como ajustamos sua excursao em relagao aos niveis de saturacaéo Se utilizarmos Vm o elevado reduzindo o evitamos a saturacao e pioramos a SNR Por outro lado aumentando o aumenta a probabilidade de saturagao E importante perceber que a degradacao de qualidade devido a saturagoes nao sao levadas em conta na equacao 319 Como exemplo o valor minimo para mo no caso de uma sendide condicionada para que nao ocorra saturacao é Xmoz V2 Por outro lado para um sinal de fala ou de musica adotando uma distribuigao gaussiana para as amplitudes e supondo que as amplitudes raramente excursionarao além de 40 0064 do tempo podemos adotar y 40 Neste caso teremos SNR 602B125 dB Assim para uma SNR entre 90 e 96 dB devemos utilizar B 1 16 ou seja conversores AD de 16 bits como é feito nos processamentos de alta fidelidade 36 EXERCICIOS 63 36 Exercicios 1 Um modelo simples de canal de telecomunicagoes com multipercurso esta mostrado na Figura 317 Suponha que xt é de faixa limitada tal que XQ 0 para Q 7T e que yt é amostrado com um intervalo T entre amostras gerando yn ynT xt t py Nv fame Figura 317 Modelo simples para canal com multipercurso a Determine a transformada de Fourier de yt e de yn em fungao de X Q b Desejamos simular o canal com multipercurso usando o sistema discreto mostrado na Figura 318 Obtenha Hw em termos de Te Ty n eo EP Figura 318 Sistema discreto c Determine a resposta ao impulso do sistema do item b quando a Tg T e b T4 T2 2 Considere o sistema da Figura 319 Considere que XQ 0 para Q 27 x 5x 102 e que Hw é a fungao de transferéncia de um filtro digital passabaixas ideal com freqiiéncia de corte em 72 Considere que T afeta apenas a freqiiéncia de corte do filtro analdégico de recuperagao Esboce YQ nos seguintes casos a 1T 1T 10 b 1T 1T 2x 10 ec 1T 2x 104 1T 104 d1T10 1h2x 104 3 Considere os sistemas na Figura 320 Suponha que Hw é um filtro passabaixas ideal com freqiiéncia de corte w Encontre H2w tal que yan yin 4 Considere o sistema na Figura 321 e suponha que XQ 0 para Q 2a x 100 Considere que T afeta apenas a freqiiéncia de corte do filtro analégico de recuperacao a Qual o valor de T de modo que Xw 0 para 12 w a b Escolha T de forma que yt xt 64 CAPITULO 3 PROCESSAMENTO DISCRETO DE SINAIS CONTINUOS xt yt T T Figura 319 Sistema de amostragem processamento discreto e recuperacao xn y ln xn yn 7 Ho Figura 320 Sistemas discretos equivalentes xt yt xn yn T T Figura 321 Sistema discreto 5 Um sinal xt com faixa de freqiiéncias limitada a 10 KHz é amostrado a uma taxa de 40000 amostrass gerando a seqtiéncia 2n a Esboce X w b Esboce a resposta de amplitude de um filtro discreto passabaixas ideal que atuando sobre xn produza uma limitacao de faixa equivalente 4 de um filtro analégico passabaixas ideal com freqiiencia de corte igual a 8KHz c Esboce Y w na saida do filtro do item b d Esboce um diagrama de blocos de um sistema que altere a taxa de amostras de ynl reduzindoa ao minimo possivel sem provocar sobreposicao espectral e Esboce os espectros ao longo do sistema do item d 6 Considere um sinal continuo no tempo xt com espectro de freqiiéncias limitado a f Hertz Suponha que este sinal foi amostrado a intervalos de tempo de T segundos gerando a seqiiéncia 36 EXERCICIOS 65 xn Esta sequˆencia e submetida a um processamento discreto que recebe xn como entrada e altera a taxa de amostragem fornecendo yn com T 5T3 a Desenhe um diagrama de blocos para o sistema de processamento b Esboce o espectro resultante em cada etapa do processamento c Calcule o valor de T tal que os dois requisitos a seguir sejam atendidos simultanea mente 1 a amostragem de xct deve ser feita com a menor taxa possıvel 2 yn deve permitir a perfeita reconstrucao de xct d Esboce as alteracoes necessarias no item b e repita o item c para o caso em que yn deve permitir a reconstrucao de Xcf apenas na faixa 0 f fo onde fo fm 7 Suponha que um sinal contınuo no tempo xct foi amostrado na taxa de Nyquist gerando a sequˆencia xn Suponha que se deseja filtrar esta sequˆencia com um filtro passabaixas ideal com frequˆencia de corte em π2 Para isto se dispoe de um filtro passabaixas ideal com frequˆencia de corte π2K K inteiro 2 a Desenhe um diagrama de blocos para um sistema que utilize um interpolador com um fator L o filtro disponıvel e um dizimador com fator M adequado para a realizacao da operacao desejada e que forneca uma sequˆencia yn tal que seu espectro nao apresente banda de guarda b Especifique os valores de L e de M c Demonstre o funcionamento do sistema proposto desenhando os espectros para todas as etapas do processamento 8 O sistema padronizado pela ITU para a avaliacao objetiva de qualidade de audio realiza um processamento que se inicia com uma amostragem do sinal contınuo a ser analisado Suponha que a taxa de amostragem e 45 Kamostrass a Supondo que o sinal de audio tem faixa limitada a 20 KHz esboce o espectro de frequˆencias do sinal amostrado eixo Ω e da sequˆencia resultante eixo ω b O sinal amostrado e submetido a um filtro passabaixas ideal que limita o espectro em uma frequˆencia correspondente a 18 KHz Especifique este filtro passabaixas no eixo ω fornecendo a frequˆencias de corte Esboce o espectro da sequˆencia resultante c O espectro da sequˆencia resultante da filtragem passabaixas do item anterior e dividido em 40 faixas de frequˆencias atraves de filtros passafaixa cobrindo o espectro na regiao correspondente a faixa de zero ate 18 kHz Suponha que os filtros sao ideais e que as faixas sao de mesma largura Esboce a resposta de amplitude dos filtros especificando as frequˆencias de corte d O sinal proveniente de cada filtro passafaixa e submetido a uma reducao de taxa de amostras de modo que a nova taxa e de 11 Kamostrass Esboce o diagrama de blocos para o sistema de dizimacao especifique os diversos componentes deste diagrama e esboce o espectro da sequˆencia dizimada cujo espectro esta ao redor da origem 66 CAPITULO 3 PROCESSAMENTO DISCRETO DE SINAIS CONTINUOS 9 Considere um sinal contınuo no tempo xct cujo espectro se estende ate a frequˆencia de 25kHz Este sinal e amostrado na taxa de Nyquist gerando a sequˆencia xn a xn e submetido a um filtro passafaixa ideal com frequˆencias de corte ωc1 π5 e ωc2 3π5 gerando yn Esboce o espectro de yn b Desejase dizimar yn Demonstre analiticamente ou graficamente apresentando explica coes e justificativas qual o maior fator de dizimacao possıvel sem que ocorra sobreposicao de espectros c Esboce um diagrama de blocos completo do sistema que realiza a dizimacao calculada no item b d Esboce os espectros ao longo do diagrama de blocos do item c Capitulo 4 A Transformada Z 41 Introducao A transformada Z pode ser pensada como uma generalizacgéo da transformada de Fourier onde se utiliza uma varidvel independente z com valores no plano complexo Pode também ser interpretada com a contrapartida da transformada de Laplace para o dominio discreto Esta transformada tem a mesma importancia para a andlise de sistemas lineares discretos que a transformada de Laplace para os sistemas continuos Introduziremos o conceito da transformada Z generalizando a transformada de Fourier 42 A transformada Z Sabemos que a transformada de Fourier transforma uma seqiiéncia zn em uma fungao continua X w periddica com periodo 27 e que normalmente é representada no eixo w das freqiiéncias normalizadas conforme ilustrado na Figura 41a Vamos agora tomar o plano complexo com a variavel independente z conforme mostrado na Figura 41b Neste plano destacamos a circunferéncia de raio unitério CRU e denominamos seus pontos de z expjw Podemos interpretar esta circunferéncia como uma versao circular do eixo normalizado de freqiiencias para a representacao da transformada de Fourier Com isto cada periodo 27 é representado por uma volta na circunferéncia Podemos entao escrever San So alnje S anje 41 nN0Co nN0Co Z eIY A expressao 41 permite interpretar a transformada de Fourier como um caso particular de uma transformada envolvendo a varidvel z a qual toma valores em todo o plano complexo Definimos entao a transformada Z de uma seqiiéncia xn como Xz Zaln SO afnje 42 E evidente que podemos interpretar a transformada de Fourier como um caso particular da trans formada Z fazendo z expjw Porém podemos ainda estabelecer outra relacdo entre estas trans formadas Fazendo z r expjw na expressao 42 obtemos 67 68 CAPITULO 4 A TRANSFORMADA Z Imz A a jo Lx rr S 2n 0 a2 1 0 1 Rez a b Figura 41 Espacos de representagao de transformadas a Fourier no eixo linear w b Fourier na circunferencia de raio unitario do plano complexo Z Xz S anre Ie 9 xnr ou seja a transformada de zn pode ser interpretada como a transformada de Fourier da seqiiéncia xn multiplicada por r onde r z 421 Regioes de convergéncia da transformada Z A transformada Z de uma seqiiéncia xn é definida apenas para os valores de z tais que S znz 00 ou seja onde S znjz S znjre 43 S znJr co Dizemos entao que a transformada existe nos pontos z onde a série znz converge de forma uniforme Os pontos onde ocorre a convergéncia definem a Regiao de Convergéncia RC da trans formada Como a regiaéo de convergéncia depende apenas de r z se existe a convergéncia para z 21 entao haverd a convergéncia para todos os pontos z tais que z r ou seja haverd a convergéncia 42 A TRANSFORMADA Z 69 numa circunferˆencia de raio r centrada na origem do plano Z Como por definicao nao pode haver pontos de divergˆencia no interior de uma regiao de convergˆencia podemos afirmar que as regioes de convergˆencia sao delimitadas por circunferˆencias ou seja sao sempre o exterior ou o interior de uma circunferˆencia ou ainda um anel definido por duas circunferˆencias A Figura 42 ilustra estas situacoes Figura 42 Exemplos de regioes de convergˆencia Como decorrˆencia da definicao da transformada Z podemos ainda extrair duas outras proprieda des Sabemos que a transformada de Fourier de uma sequˆencia e igual a transformada Z desta sequˆencia calculada na CRU Por outro lado a transformada Z so existe na regiao de convergˆencia correspon dente Logo A transformada de Fourier de uma sequˆencia existe se e somente se a regiao de convergˆencia da transformada Z correspondente contiver a CRU A serie de potˆencias na definicao da transformada e uma serie de Laurent a qual apresenta uma serie de propriedades importantes Uma delas e que a funcao resultante Xz e analıtica ou seja e contınua e possui todas derivadas tambem contınuas Portanto como decorrˆencia desta propriedade a transformada de Fourier Xω de uma sequˆencia se existir e contınua com derivada contınuas Vamos agora analisar alguns exemplos de calculo da transformada Z Exemplo 41 Seja xn cosnω0 n Nao existe a transformada Z desta sequˆencia pois nenhum valor de r em 43 assegura a convergˆencia uniforme da serie associada Se tomarmos r 1 a soma divergira para n Da mesma forma se r 1 a soma divergira para n Logo nao existe a transformada de sequˆencias senoidais Pelo mesmo motivo nao existe a transformada da sequˆencia exponencial complexa Exemplo 42 70 CAPITULO 4 A TRANSFORMADA Z Seja xzn un Xz S xnz de n0 a qual é uma soma de infinitos termos de uma progressao geométrica Lembrando que tal soma converge somente quando a razao tem valor absoluto inferior a 1 isto é quando zt 1 podemos escrever X5 I 44 zZj z 1lz ou Xz z 1 45 LH 15 Podemos notar que Xz tem um zero em z 0 e um polo em z 1 conforme ilustrado na Figura 43 Também a regiao de convergéncia é o exterior da CRU Assim nao existe a transformada de Fourier de un 4 Imz i regido de convergéncia 0 I Rez 4 Figura 43 Polos zeros e regiéo de convergéncia para Xz zz1 z 1 0 zerox polo As transformadas mais importantes para o processamento digital de sinais sao aquelas descritas pela relacao entre polindmios ou seja descritas por funcoes racionais Pz Lone Xz Pe Pz e Qz polindmios em z Qz Tais funcgoes estao associadas a sistemas lineares invariantes com o deslocamento descritos por equa coes a diferencas lineares e com coeficientes constantes As raizes de Pz e Qz sao os zeros e os pélos respectivamente da transformada Sabemos que a série associada a transformada Z nao converge nos polos Logo a regiao de convergéncia nao contém polos e na verdade é delimitada pelos pélos 42 A TRANSFORMADA Z 71 Exemplo 43 Seja zn aun a constante Xz S xnz n0 de onde resulta apds somarmos os termos da progressao geométrica X lel lal 46 Zz para z al laz Neste caso temos um zero em z 0 e um polo em z a A regiao de convergéncia é o exterior da circunferéncia de raio a Podemos perceber que a situacaéo do Exemplo 42 6 um caso particular deste quando fazemos a 1 Dependendo do valor de a poderemos calcular a transformada de Fourier da seqiiéncia xn aun Esta transformada existira se a regiao de convergéncia de Xz contiver a CRU Assim a transformada de Fourier existira para a 1 e sera descrita como Xw alt w a 1 aes Exemplo 44 Seja agora zn aun 1 a constante Xz S xnz 1 ee de onde obtemos apds a soma dos temos da progressao geométrica X2 lel lal 47 z para z al laz Comparando as expressoes 46 e47 podemos perceber que a expressao algébrica para Xz é a mesma nos dois casos e que as transformadas se diferenciam apenas quanto as regioes de conver gencia Os Exemplos 43 e 44 sao classicos pela importancia das seqiiencias envolvidas e também por evidenciar a importancia da definigao e explicitacao da regiao de convergéncia de uma transformada Z 72 CAPITULO 4 A TRANSFORMADA Z Exemplo 45 1 1 Sejam xn 5 uln e xen Zz uln 1 1 X1z Tip para 2 5 1 l X2z para z 22 res pata el Seja agora yn x1n x2n un 1 ul Como a transformada Z é linear em termos da seqiiéncia a ser transformada temos Yz Xilz X2z 4 1 1 Tote Tye Pa z 3 Observe que a regiao de convergéncia é a intersecao entre as regiOes originais uma vez que deve atender simultaneamente as duas transformadas Assim ela é determinada pelo poélo de maior raio A Figura 44 ilustra as posicdes dos polos e a regiao resultante Mostra também que existem duas outras regides de convergéncia possiveis uma formada pelo anel delimitado pelas circunferéncias que passam pelos pdlos e outra no interior da circunferéncia pelo pédlo em z 13 Estas regides alternativas estao associadas a seqiiéncias distintas daquela yn antes obtida Iniciando pelo anel podemos observar que esta regiao é formada pela intersegao de uma regiao z 13 com outra z 12 Assim associada a z 13 temos a seqiiéncia x2n enquanto que associada a z 12 temos segundo o Exemplo 44 a seqiiéncia x3n 12uln 1 Logo a seqiiéncia resultante associada ao anel sera yan 12uln 1 13uln com transformada 1 1 1 1 Y2z para 2 22 Totet yp yie PM 3 eI5 Para a ultima alternativa temos a intersecdo das regides z 12 com z 13 as quais estao associadas as seqiieéncias xan 13un I e rsn 12uln 1 respectivamente Assim a seqiiéncia resultante sera ysn 12uln 1 13uln 1 com transformada 1 1 1 Y3z2 para 2 3Z 1 27 liztP 3 42 A TRANSFORMADA Z 73 A Imz Izpv2 Le L i3sts12 N x te fe leixt3 ps AM ae z12 z13 Figura 44 Regioes de convergéncia delimitadas pelos pélos em z 12 e z 13 Concluimos que uma dada funcao racional no plano Z pode ser a transformada Z de varias seqiiéncias distintas uma para cada possivel regiao de convergencia onde estas possibilidades sao definidas pelos pdlos associados a funcao racional Esta conclusao estende o conceito estabelecido no Exemplo 44 evidenciando a importancia da definicao da regiao de convergéncia associada a uma dada transformada no plano Z Exemplo 46 Vamos agora considerar uma seqiiéncia com comprimento finito zn aryn com a um numero finito Sua transformada é dada por N1 Xz S anz n0 ee aN zN lag de onde obtemos finalmente 1 2aX X Zz para z 0 z INala gq P A regiado de convergéncia associada a esta transformada é todo o plano exceto z 0 uma vez que zn é uma seqiiéncia de comprimento finito cujas amostras se localizam em n 0 isto é 6 uma seqiiéncia causal Assim a transformada Z envolve apenas um numero finito de poténcias negativas de z convergindo portanto para qualquer valor de z diferente de zero Vamos agora calcular os pdlos e zeros de Xz Temos um pdlo em z a e N 1 polos em z 0 Por outro lado os zeros sao dados por oN a que podemos escrever como 74 CAPITULO 4 A TRANSFORMADA Z ZN aN ce k inteiro Supondo que a aexpj podemos calcular os zeros Zp jalexpj0 2knN OS kKN1 onde os valores de k foram restringidos de modo a contarmos apenas as solucoes distintas A Figura 45 ilustra estas solugdes para o caso em que N4e6076 k0 1 0 jl Rez k3 NN ox k4 Figura 45 Zeros e pdlos para a seqiiéncia do Eexemplo 46 Os zeros se situam sobre uma circunferéncia de raio a e estao uniformemente dis tribuidos Também o zero definido por k 0 z a coincide com o pdélo na mesma posicao Assim a transformada apresenta apenas um polo efetivo com multiplicidade N 1 na origem do plano Z Logo a regiéo de convergéncia pode ser todo o plano Z com excecao de z 0 43 Propriedades da regiao de convergéncia Apresentamos aqui um resumo das propriedades da regiao de convergéncia jé enunciadas na secao anterior e algumas propriedades adicionais 1 A RC é um anel ou um disco com centro na origem do plano Z 2 A RC nao contém pélos E delimitada pelos pdlos da transformada correspondente 3 A transformada de Fourier de zn existe se e somente se a regiao de convergéncia de Xz inclue a CRU 4 Se xn tem duragao finita entéo a RC é todo o plano Z com excegao de z 0 eou z oo Seja No2 Xz S xnjz Ny e No finitos nN 44 TRANSFORMADA Z INVERSA 75 Se N 0 nao ha convergéncia para z oo pois teremos poténcias positivas de z na série que define Xz Por outro lado se Nj 0 nao ha convergéncia para z 0 pois teremos potencias negativas de z 5 Se a RC de Xz é 0 exterior de uma circunferéncia entao xn é uma seqiiéncia a direita isto é xn 0 para n Ni N finito N 0 exclui a condigéo z 00 6 Se a RC de Xz 0 interior de uma circunferéncia entao xn é uma seqiiéncia a esquerda isto é zn 0 paran No No finito Nj 0 exclui a condicgao z 0 7 Se a RC de Xz for um anel entao xn é uma seqiiéncia bilateral isto é se estende indefinidamente em ambas as direcoes do eixo n 44 Transformada Z inversa Vamos mostrar que a expressao geral da transformada inversa é 1 n1 xn Xzz dz 48 279 Je onde a integral é realizada sobre um contorno c fechado antihorario e ao redor da origem do plano z Para atingir este resultado da teoria de funcoes complexas temos 0kAl k ge te Inj k1 onde k é um inteiro e c é um contorno fechado antihordrio ao redor da origem do plano z Este resultado é obtido fazendo c r expj r constante e0 6 27 Com isto teremos no contorno C z re dz jreldo Assim podemos escrever 20 gd rte Mivea6 0 20 peng fev ap 0 0kAl Ong kl Vamos agora aplicar este resultado no calculo da seguinte integral Xz2dz 76 CAPITULO 4 A TRANSFORMADA Z com o contorno c contido na regiao de convergéncia de Xz Usando a definicao da transformada Z para substituir Xz teremos f xa S olk pha ec koco c 0OkAn 2 otk Inj kn k0o Portanto obtemos a expresséo 48 desejada Escolhendo 0 contorno c como a CRU teremos z expjw e a expressao em 48 dé lugar a expressao da transformada inversa de Fourier Embora a expressao 48 permita obter a transformada inversa em geral sua utilizagao nao é simples Entretanto existem varios métodos alternativos que simplificam esta tarefa Vamos apresentar os mais importantes para o processamento digital de sinais 1 Métodos dos residuos Este 6 um método de calculo da transformada através da expressao 48 baseado no conceito de residuos de uma fungao racional complexa em seus polos Embora nao se enquadre na categoria das alternativas mais simples sera apresentado para uso eventual Da teoria de funcgoes racionais complexas sabemos que 1 f xa S residuos de Xzz nos pélos z situados no inteior de c 2m Je onde 1 ANU z residuo de Xzzem z de ordem N Wore R e Uz Xz2 zx 2 Método da inspecao Consiste em usar pares transformados conhecidos Exemplo 47 Sabemos que uln al lal aun mM para z al laz P uln 1 lal auln para z al laz Com isto podemos deduzir por inspecao X2 e 05 afr 05 uln z z 3 xn 05 ull 105z7 44 TRANSFORMADA Z INVERSA 77 3 Expansao em fragoes parciais e inspecao Este se aplica ao calculo da antitransformada de funcoes racionais Apés a expansao em fracdes parciais aplicamos o método da inspecao Seja M bez k0 X So apz7 k0 M bo TI A cez7 k1 ag 1 dz k1 onde c e d sao respectivamente os zeros e os polos nao nulos de Xz A expansao de Xz em fragdes parciais segue as regras a seguir a para M N e todos os polos de primeira ordem OA k 1 1 Xz ode onde A 1dz x cad b para M N e todos os polos de primeira ordem MN N A r k 1 Xz Bpz ae onde A 1dz x r e o primeira somatoria é obtida através da divisao polinomial entre o numerador e o denominador de Xz c para M N e com polos de ordem maior que a unidade Supondo que o polo em z d é de ordem P temos MN N P Ax Cm Xz Bez toast aca onde 1 dh P Cy ty XJ a Pm d a y Xw wd Note que em todos os casos sao geradas parcelas que podem ser antitransformadas pelo método da inspegao Exemplo 48 Seja 12z2142 Xz 1 Tp poeee Hl 78 CAPITULO 4 A TRANSFORMADA Z a qual apresenta pdlos simples em z 05 e z 1 Como M N devemos realizar a divisao entre o numerador e o denominador de Xz até que o grau do numerador resultante seja inferior a N Obtemos 12z14 2 1527 a 1152052 11524052 54 As 7 10527 lzt Expandindo o segundo termo da divisao em fragoes parciais resulta 145271 A 10527 9 1 1 052 12 z05 1527 A 1 2 8 2 I 2 mates Portanto 9 8 Xz 2 1 2 ee ee oO que permite escrever xn 26n 90 5un 8un 4 Expansao em séries de poténcias Este método faz uso da expressao que define a transformada Z para obter a antitransformada por comparacao entre termos Para isto exige a expanséo de Xz em série de poténcias Assim lembrando que Xz S xnz x22 21z202Ijz4a2jz7 ao expandirmos Xz em série de poténcias de z por comparagaéo termo a termo podemos identificar os valores das amostras xn Exemplo 49 Seja Xz21052 1 4 211 271 Desenvolvendo os produtos temos 45 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z 79 Xz 2 052 140527 a qual nos permite escrever xn dn 2 0 5d6n 1 dn 0 5dn 1 Este método pode ainda ser aplicado para a obtencao da antitransformada de algumas funcoes naoracionais Exemplo 410 Seja XzIn1az z a Lembrando que xe In1 n1 2 t 3 s 112 n1 temos ee 1tar In1 1 SU on n1 az 7 z z a a qual nos permite escrever vn f EES no 0 nO0 45 Propriedades da transformada Z Vamos agora explicitar algumas propriedades da transformada Z Verificaremos que varias delas sao extensoes de propriedades da transformada de Fourier Ao longo desta secéo usaremos o seguinte conjunto de seqiiéncias e transformadas x1n Xiz com RC Rx x2n Xoz com RC Rx Propriedade 1 Linearidade axn brn aXz bXoz e a regiao de convergéncia resultante é pelo menos a intersegéo de Rx com Rx pode ser maior se na soma aparecerem zeros que cancelem pélos 80 CAPITULO 4 A TRANSFORMADA Z Demonstragao S axn bxgnz a S xnjz b S Lqnz aXz bX2z cqd Exemplo 411 1 Xiz To aent para z lal x az oz Toast Para z la Portanto X1z Xoz 1V z No outro dominio temos x1n aulnl xqn auln 1 e portanto x4n qn dn 49 Propriedade 2 Deslocamento no eixo n xin no zXz e a regiao de convergéncia resultante é igual a regiao inicial exceto pela adigao ou exclusao de z 0 e z oo provocadas pelo termo z Demonstragao S xznnz S akz ro n0co k0o 2 Xz cqd 45 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z 81 Exemplo 412 xn 6n Xz1Vz Entao dn no 2 Vz exceto z 0 se no 0 ou exceto z 00 se no 0 Propriedade 3 Multiplicagao por exponencial axn Xza RC a Rx A regiao de convergéncia fica alterada pois dado que Xz existe em Rx tal que Rx R z R entao Xza existe em R za R ou seja existe em a R z Ja Ry Demonstragao S aenjz S xnza Xza cqd Propriedade 4 Diferenciagao de Xz dX z nzn 2 e a regiao de convergéncia é Rx exceto pela adicgao ou exclusao de z 0 ou z oo Demonstragao Xz S xnz dX ae de nan2 12 0 nan 2 ou seja dX nzn 4X cqd 410 dz Propriedade 5 Reversao no eixo n xn X1z RC 1Rx A regiao de convergéncia fica alterada pois X1z existe em R 1z Ry 82 CAPITULO 4 A TRANSFORMADA Z Demonstragao So alenje S alkz n0oo k0o So afkaz k0o X1z cgd Propriedade 6 Convolugao no eixo n x1n Lan XyzXoz RC sera pelo menos a intersecao das regides de convergéncias Demonstracao xn Z2n S x4k xan kl k0o S ain aeinjfo So SO aifk aen ke n0o nco koo S x1k S Lq kjz k0o n0co Xz S aykz k0o X1zX2z cgd Propriedade 7 Produto no eixo n in alr Sf XivXolzvjud LIN Loanr Inj J 1U 2ZVUjJU U RC sera pelo menos a intersegao das regioes de convergéncias Demonstragao xn xQnJz0 J Xivjo tae x2nz n0o n0o 2m j I xX n lq Onj iv 2 aanzv Uv du 1 X I qd af 1vXozvu du cqd 45 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z 83 Propriedade 8 Teorema do valor inicial Se zn 0 para n 0 entao x0 lim Xz Demonstraao Xz S en z n0 20 afljz 22z7 Portanto lim Xz 20 cqd Propriedade 9 Teorema de Parseval l 1 Y xn x3n inl XvX1vu7 ldo 411 Demonstracao x1n x5n s J J Xivjo de x5n n0o n0o 2mj ec 1 CO ay pe Dy steyo vdv ss X1v X2n1v lade mj Jo ae 1 say f Xue XG1v0 td cqd 279 Je Este teorema generaliza o Teorema de Parseval do capitulo 1 0 qual apresenta a energia de uma seqiiéncia em termos do espectro correspondente Observe que para x2n xn e z expjw o Teorema de Parseval desta secéo apresenta a mesma relacao expressa no capitulo 1 Propriedade 10 Pélos e zeros de fungoes racionais Seja Xz PzQz Pz e Qz funcoes racionais e z9 um pdlo zero de Xz Se an é real entao os pdlos zeros de Xz ocorrem em pares complexos conjugados 84 CAPITULO 4 A TRANSFORMADA Z Demonstragao Se zn é real entao os coeficientes do numerador e do denominador de X z sao reais uma vez que as amostras de an sao os coeficientes das poténcias de z na expressao da transformada Logo os coeficientes dos polindmios Pz e Qz sao fungao das amostras de xn e portanto sao reais Se z é uma raiz de um polindmio Pz em uma varidvel complexa z e com coeficientes reais c entao zj também sera uma raiz pois se Pz 0 entao Plz doen n0 Cn a n0 Pz0 cqd Como conseqiiéncia desta propriedade é facil verificar que se A 0 coeficiente da fragao parcial de Xz com coeficientes reais referente ao pdlo zp entao o coeficiente da fragao parcial referente a z sera A Pp 46 EXERCICIOS 85 46 Exercicios 1 Determine a transformada Z e a regiao de convergéncia para cada uma das seguintes seqiiéncias a 5 un b 4uln lj 4 unJ d dnj e dln 1 f dn 1 g un un 10 2 Determine a transformada Z a regiao de convergéncia e esboce o diagrama de pdlos e zeros para cada uma das seguintes seqiiéncias n0nN a all b an un uln N c an 2Nn N1n2N 0 ce 3 Considere uma transformada Xz com os seguintes pdlos p 13 po 2 p3 3 e com o zero 21 l a Determine a regiao de convergéncia de Xz para o caso em que existe a transformada de Fourier Determine se a seqiiéncia xn é a direita ou a esquerda ou bilateral b Quantas seqitiéncias bilaterais podem ser associadas aos pdlos e zeros acima 4 Determine a seqiiéncia xn cuja transformada Z é Xz 1 2z132711 271 5 Determine a transformada Z inversa para as fungoes a seguir e indique em cada caso se existe a transformada de Fourier 1 a Xz z 12 X pp Hl b X2 e 12 z 2 1 271 1 4271 c Xz 2 z 12 X poster HI 1 4271 d Xz z 12 X a laz e Xz 2 1a zta 6 A entrada de uma sistema LID causal é xn un 1 un A transformada Z da saida correspondente é 11 sz Yz 2 1 3271 1 274 a Determine Hz e indique a regiaéo de convergéncia b Qual a regiao de convergéncia de Yz 86 CAPITULO 4 A TRANSFORMADA Z 7 Determine a regiao de convergéncia da transformada Z de cada uma das seqiiéncias a seguir sem calcular X z mas apenas por inspecao Determine se a transformada de Fourier converge em cada caso a afr 2 8 uln 10 1 10n10 b an 0 cc c an 2un 8 Determine quais das transformadas abaixo poderia ser a transformada de uma seqiiéncia a direita em n 0 Vocé deve resolver apenas por inspecao e nao calcular a transformada inversa l2t Xz a X2 Tea 2 1 b Xz Xz 05 14 c Xz aay z 05 14 a X2 E z 05 9 Calcule a transformada inversa a direita em n 0 de Xz 1 1427 10 Considere um sistema LID com resposta ao impulso hn auln e entrada xn un un Nj a Obtenha a resposta yn calculando a convolugao entre hn e xn b Obtenha yn usando a transformada Z 11 Calcule a transformada inversa para L1 3 x a Xz Teds xn a direita b Xz poioipt a CRU pertence a RC xXQ Ae leer ad x AE Jao 05 Cc Zz WT 2 7 OI o0 1 ae 105271 12 X z 05 X qe bl Capıtulo 5 Analise de Sistemas Atraves de Transformadas 51 Introducao Neste capıtulo iremos tratar apenas com sistemas lineares invariantes com o deslocamento Vamos considerar um sistema com resposta impulsiva hn entrada xn e saıda yn Sabemos que no domınio transformado podemos escrever Y ω HωXω Y z HzXz Denominamos 1 Hω funcao de transferˆencia do sistema 2 Hz funcao de sistema Vamos agora estabelecer algumas definicoes para os sistemas e analisar suas implicacoes nas funcoes antes definidas Sistema que nao provoca distorcao Para que um sistema nao provoque distorcao sobre a sequˆencia por ele processada e necessario que yn cxn n0 c constante 51 ou seja a sequˆencia de saıda e uma replica da sequˆencia de entrada alterada pela constante c e com um atraso n0 Calculando a transformada de Fourier da expressao 51 obtemos Hω cejωn0 52 o que demonstra que o sistema deve apresentar resposta de amplitude plana e resposta de fase linear pelo menos ao longo da faixa de frequˆencias do espectro de xn isto e 87 88 CAPITULO 5 ANALISE DE SISTEMAS ATRAVES DE TRANSFORMADAS JH w e lw wm Hw wn9 w wm onde w designa a faixa de freqiiéncias de xn Estabilidade Sabemos que um sistema é estavel se e somente se hn oo Como esta também é a condigao para que exista a transformada de Fourier de hn concluimos que o sistema é estavel se e somente se existe Hw Por fim como Hw Hz para z na CRU podemos enunciar a seguinte propriedade Um SLID é estavel a RC de Hz contém a CRU Causalidade Sabemos que um sistema é causal se e somente se hn 0 para n 0 Logo a RC de Hz deve ser o exterior de uma circunferéncia incluindo z oo Com isto podemos enunciar Um SLID é causal a RC de Hz é 0 exterior de uma circunferéncia incluindo z co Estabilidade e Causalidade Combinando as duas propriedades anteriores podemos escrever Um SLID é causal e estavel a RC de Hz é do tipo z r com0r1 52 Sistemas racionais Vamos tratar dos sistemas racionais isto é daqueles onde Hz é uma relacao entre polindmios o que implica em que o sistema obedece a uma equacao a diferengas linear com coeficientes constantes EDLCC Seja a EDLCC N M S axyn k S byxn ki 53 k0 k0 Aplicando a transformada Z a esta equacao obtemos N M S apY zz S bX z2z k0 k0 52 SISTEMAS RACIONAIS 89 Y2 Az M bez k0 Hz 54 So apz k0 Explicitando as raizes dos polindmios de numerador e denominador teremos M 1G cz bo KI Hz 55 TL dee k1 onde cx e d sao os zeros e os polos respectivamente de Hz Portanto todo sistema que obedece a uma EDLCC tem uma funcao de sistema do tipo racional e viceversa Dado Hz para se obter a equacao a diferengas basta multiplicar em cruz e calcular a transfor mada inversa Exemplo 51 Yz 12z214 2 Hz 2 7a pt Sp 1 3 2 1 2 2 l 920 32 Xl 1 22 7442 1 3 yn quln 1j guln 2 2n 2an 1 an 2 521 Definigao da RC Conforme visto no capitulo 4 a transformada Z admite opodes para a RC No caso de uma funcgao de sistema racional temos também varias opcodes para a RC cada qual correspondendo a uma resposta impulsiva associada e portanto a uma solucao da EDLCC correspondente Para um SLID causal e estdvel é necessdério que a RC seja o exterior de uma circunferéncia de raio menor que a unidade Isto implica em duas condigoes sobre HZ e o grau do polindmio de numerador de Hz quando expresso na varidvel z e ndo em z deve ser menor ou igual que o grau do polinomio de denominador expresso na mesma varidvel e todos os pélos devem se situar no interior da CRU Podemos resumir estas conclusoes da seguinte forma 90 CAPITULO 5 ANALISE DE SISTEMAS ATRAVES DE TRANSFORMADAS Um SLID racional é causal e estavel d 1 eo grau do numerador de Hz expresso na varidvel z for menor ou igual que o grau do denominador Exemplo 52 l Hz Toast z Jal Escrevendo Hz 2 al za observamos que os sistema apresenta um zero em z 0 e um polo em z a conforme ilustrado na Figura 51 Podemos afirmar que o sistema é causal e que sera estavel se a 1 Imag z Plano z to y N i Real z J Figura 51 Pélo e zero no plano z Exemplo 53 Seja z Escrevendo 2 Hz 52 SISTEMAS RACIONAIS 91 podemos concluir que de fato a RC nao pode incluir a situagao z oo Assim o sistema nao sera causal E fAcil verificar que An attuln 1 o que confirma que o sistema nao é causal O sistema sera estavel se a 1 Podemos agora explicitar a forma geral da fungao de sistema e a correspondente forma da resposta impulsiva M So bez MeN N A Hz Buz sn sd J ke k0 56 MN N hin Brdnk 7 Ax di ul k0 k1 as quais permitem extrair as seguintes conclusoes no contexto de sistemas lineares causais e estaveis e os pélos produzem exponenciais amortecidas em hn e um polo faz com que hn tenha duragao ilimitada M e se N 0 entao nao ha pdlos fora da origem do plano z e hn 5 Bdnk a qual apresenta k0 comprimento finito M 1 e esta associada a um sistema FIR e Os sistemas IIR tem polos fora da origem do plano z e Os sistemas FIR tém polos apenas na origem do plano z e portanto sao sempre estaveis Exemplo 54 Seja b S zt Az 2 z max a b 2 2g oes 21 mae C00 Temos 1 1 Az 2 laz 1627 hn a 6 unl 92 CAPITULO 5 ANALISE DE SISTEMAS ATRAVES DE TRANSFORMADAS Exemplo 55 Seja 22 Az 09 2 a yi Temos 1 1227 AH 2 210928 1 n n1 hin a 09 uln 09 uln 1 O sistema é causal pois lim Hz 12 0 sistema é estavel pois o seu polo esta no interior da CRU Exemplo 56 Hz 142214327 442 43244 227 42 z0 hn dn 26n 1 36n 2 46n 3 36n 4 2dn 5 dn 6 e o sistema é estavel e causal 53 Resposta em freqiiéncia de sistemas racionais O objetivo desta segao é apresentar algumas propriedades da resposta em freqtiiéncia de sistemas racionais decorrentes do posicionamento de seus polos e zeros Seja M M S bz I cez7 Hz k0 bo e1 WN ay N So apz I G dyz7 k0 k1 M zc Ih kl z N zZ U z A funcao de sistema nesta forma permite uma avaliacao qualitativa da resposta em freqiiéncia pela simples andlise da posicao do pdélos e zeros Para isto considere Hw Hz 53 RESPOSTA EM FREQUENCIA DE SISTEMAS RACIONAIS 93 Portanto a resposta de amplitude pode ser expressa como M z l Hw ASs Il k1 Z el M i z ex A I 2 dx k1 ze de onde concluimos que os polos e zeros em z 0 nao influenciam a resposta de amplitude do sistema Da mesma forma a resposta de fase pode ser escrita como Mourne zd ZHw ZA z wyaca force yeah k1 k1 Z ee Portanto os polos e zeros em z 0 contribuem com uma componente linear de fase pois zZC L Hz 4 Zz z e para z e temos Zz w Esta componente dependera de N M da forma N M Zz N Mw Se A 0O0entao ZA 0ese A 0 entao ZA 7 Exemplo 57 Seja hn auln e portanto 1 z Hz 74 5 z Jal az za Seja por exemplo a situacao ilustrada na Figura 52 com o parametro a real positivo Podemos analisar qualitativamente o comportamento da resposta de amplitude Hw considerando um ponto genérico w e il Az piv aa z e ou seja podemos interpretar a resposta de amplitude como a relagao entre os modulos dos vetores z e z a para z e conforme ilustrado na Figura 52 A medida que variamos o valor de w podemos avaliar o comportamento através da relacao entre os médulos Assim para w 0 o mddulo de e a diminue e a resposta de amplitude cresce Por outro lado quando w 7 0 médulo de e a cresce e a resposta de amplitude decresce A Figura 53 ilustra este comportamento para a 08 evidenciando que tal sistema se comporta como um filtro passabaixas A resposta de fase pode ser avaliada da mesma forma Ela pode ser escrita como 94 CAPITULO 5 ANALISE DE SISTEMAS ATRAVES DE TRANSFORMADAS Imag z Plano z i ov a oo Q i e io e a v a I Real z NS Figura 52 Relacao entre vetores no plano z 5 wo 4 s 3 oO S 2 a e 0 0 T2 o T Figura 53 Resposta de amplitude de um sistema Hz zz 08 LH ce 2222 al lv ou seja pela diferenca entre os angulos dos vetores z e e a Assim reposta de fase é zero para w 0 vai se tornando cada vez mais negativa medida que w cresce passa por um minimo e retorna a zero quando w 7 conforme ilustrado na Figura 54 O mesmo sistema porém com a real negativo produz um filtro passaaltas Usando o mesmo tipo de analise podemos concluir que um par de polos complexo conjugado conforme ilustrado na Figura 55 produz um filtro do tipo passafaixa Um segundo exemplo trata do projeto de um filtro passaaltas para eliminar o nivel constante da 53 RESPOSTA EM FREQUENCIA DE SISTEMAS RACIONAIS 95 60 40 oO 20 S s 0 n 3 2 20 40 8 m2 o 1 Figura 54 Resposta de fase de um sistema Hz zz 08 Imag z fo eX o N A Real 2 x a Wpo oN JL a Figura 55 Par de pélos complexo conjugado para um filtro passafaixa entrada Um sistema simples consiste em alocar um zero em z 1 e um polo bastante préximo de z 1 ou seja utilizar um sistema com zl1 Az aerl 2 Para freqiiéncias proximas de zero o numerador tende a zero A medida que a freqiiéncia cresce 0 numerador cresce e Hw tende a unidade conforme ilustra a Figura 56 96 CAPITULO 5 ANALISE DE SISTEMAS ATRAVES DE TRANSFORMADAS 2 if 3 a o S 05 Qe Qa S 0 0 w2 oO T Figura 56 Resposta de amplitude do filtro eliminador de nivel DC pdlo 095 54 Sistemas passatudo Considere o sistema de 1 ordem Hyp2 67 apZ p 1az7 Podemos escrever esta expressao como z1a Ay q pZ a ya de onde constatamos que existe um pélo em z a e um zero em z 1a conforme mostra a Figura 57 Imag z Plano z a jl La Real z Figura 57 Pélo e zero de um passatudo de primeira ordem com elementos reais Vamos agora mostrar que a resposta de amplitude correspondente a Hz é constante e igual a unidade Para isto considere 54 SISTEMAS PASSATUDO 97 ese a Ayw pw 1 aeJ ef 1 ael 7 laewe Tomando o valor absoluto temos e J 1 aeJ Ayw JHyw Oe latel lL aes eae aesel 1 Assim a resposta de amplitude de Hz constante e igual a 1 para todo valor de w Por isto este sistema é denominado de passatudo A resposta de fase nao é linear e depende do valor de a A Figura 58 ilustra esta resposta 200 100 3 To s 0 n 100 200 0 m2 1 302 o Figura 58 Resposta de fase de um passatudo de primeira ordem com a 08 Estas caracteristicas fazem com que este tipo de sistema seja empregado para a correcao de fase ou seja como equalizador de fase A forma geral de um passatudo pode ser escrita como Mr 1 Mc 1 x 1 z dr Zep Zz x Az 58 pl 7 5 5 58 k1 k1 onde d sao os poélos reais e exe sao os polos complexos conjugados Para que o sistema seja estavel devemos ter os pdélos no interior da CRU Logo todos os zeros estarao fora da CRU 98 CAPITULO 5 ANALISE DE SISTEMAS ATRAVES DE TRANSFORMADAS A Figura 59 ilustra uma distribuicao genérica de pdlos e zeros para um passatudo com um par de pélos complexo conjugado e um polo real Imag z é 4 1e Plano z x 0 Vd d 1 A Real 2 7 et J NN vA 8 ee JL a y le Figura 59 Pélos e zeros de um passatudo genérico com Mp le Mo 1 55 Sistemas de faseminima De uma maneira geral a resposta de amplitude nao é suficiente para definir completamente um sistema linear uma vez que a resposta de fase pode ser arbitraria Entretanto existem sistemas lineares onde a resposta de fase pode ser calculada completamente a partir da resposta de ampli tude e viceversa Portanto a resposta de amplitude ou a resposta de fase basta para especificar completamente o sistema Tais sistemas sao denominados de Sistemas de FaseMinima E possivel demonstrar que Um sistema linear discreto é de faseminima se todos os seus polos e zeros se situam no interior da CRU E facil demonstrar que se um sistema tem um pdlo zero em z p entao a troca do pélo zero pelo seu inverso conjugado nao altera a forma da resposta de amplitude exceto por uma constante multiplicativa Esta propriedade assegura que qualquer sistema linear de fase naominima pode ser decomposto em um sistema de faseminima em cascata com um sistema passatudo Az Amin2Hap2 59 55 SISTEMAS DE FASEMINIMA 99 Para demonstrar este fato suponha que Hz tenha um zero fora da CRU em z 1a com a 1 e que os todos os pdlos e zeros restantes estejam no interior da CRU Tomando Hz e isolando o fator correspondente ao zero em 1a é possivel rearranjar Hz de forma a obter Hz Hyz z a 510 Agora por hipotese Hz é de fase minima uma vez que o zero fora da CRU é descrito pelo fator zt a Como exemplo temos 1 ar Hz 1 z a 1 pz 1 2zta 7 a 1pz7 Retornado expressdo 510 multiplicando e dividindo por 1 az esta decomposicao pode ser reescrita como Hz 1az Ay 2 511 7 eT a Observe que Hminz 1 az Ai z é uma funcao de fase minima enquanto que o fator gl a 1az descreve um sistema passatudo Portanto conseguimos decompor o sistema original na forma descrita pela expressao 59 Dado que o sistema passatudo tem resposta de amplitude unitaria é facil concluir que w Hminw Esta é apenas uma das formas de transformar um sistema de fase naominima em um de fase minima Existem outras porém esta é a unica que envolve um sistema passatudo A Figura 510 ilustra uma tal transformacao Os sistemas de faseminima apresentam varias propriedades importantes Duas delas sao e sua resposta de fase apresenta a cada freqiiéncia na faixa 0 w 7 0 menor valor absoluto dentre todos os sistemas com a mesma resposta de amplitude uma vez que ZH w ZH mine ZHapw ea fase de Hw negativa na faixa 0 w 7 100 CAPITULO 5 ANALISE DE SISTEMAS ATRAVES DE TRANSFORMADAS Plano z é Plano z é Plano z é oN oN a xX RS aA R jl RS i x SS x N a S a Figura 510 Transforma cao de um sistema de fase nao minima em um sistema de fase minima mais um passatudo e apresentam o minimo atraso de energia no sentido de que a energia da resposta ao impulso Aminn esté mais concentrada nas proximidades da origem que a energia da resposta ao impulso de qualquer outro sistema de fase naominima que apresente a mesma resposta de amplitude isto é 2 2 do lain So min r n0 n0 porém N N 2 2 n0 n0 56 EXERCICIOS 101 56 Exercicios 1 Considere um sistema LID descrito pela equacao a diferencas 1 yln 1 zyln 2 alr Escolha entre as opcoes a seguir duas possiveis respostas impulsivas para este sistema a 1 ufn b 3tun 1 c 33 un 2 d 4 un 2 n1 n1 n1 e 3 ufn2 f 3 un 1s og 3 un hy nuln 2 Suponha que quando a entrada de um sistema LID é 1 n xn 5 uln 2uln I a saida é h h inl 65 ulm65 afr yin 6 5 uln 7 unl a Obtenha a fungao de sistema Hz Desenhe os polos e zeros de Hz e indique as regides de convergéncia b Obtenha a resposta impulsiva hn c Escreva a equacao a diferencas para o sistema d O sistema é estavel E causal 3 A resposta de um sistema LID ao degrau é 1 1 yln uln ulnulnl 3 4 a Determine a equacao a diferengas b Determine a resposta ao impulso c Determine se o sistema é estavel 4 Considere um sistema LID descrito pela equacao 5 yln 1 sylr yln 1 ar O sistema pode ser ou nao ser causal ou estavel Usando os polos e zeros associados 4 equagao anterior determine trés possiveis respostas im pulsivas para o sistema Mostre que cada uma delas satisfaz a equagao a diferencas Indique aquelas que correspondem a sistemas estaveis e aquelas que correspondem a sistemas causais 102 CAPITULO 5 ANALISE DE SISTEMAS ATRAVES DE TRANSFORMADAS 5 Considere 1 1 az Az 2 1 rye91 21 1 rges z1 Quais as restrigdes que devem ser impostas aos parametros a 71 720 e 02 para obtermos os seguintes tipos de sistemas a causal b estavel c causal e estdvel d causal estavel e de fase minima e causal estavel de fase minima e com resposta impulsiva real 6 Considere o sistema n yn ee OO eee atraso de A 4 lan atraso de 1 unidade lunidade 12 2 Figura 511 Sistema LID a Obtenha a equacao a diferengas para o sistema b Obtenha a resposta impulsiva causal c Obtenha Hz para o sistema causal Este sistema causal é estavel Justifique d Troque entre si os valores absolutos dos coeficientes dos ramos com atraso mantenha o sinal na posicao inicial e repita o item c e Calcule o valor de Hw para o sistema do item d 7 Suponha um sistema linear invariante com o deslocamento com hn pun p p 7 Suponha que hn é dizimada por 2 gerando hgn a Calcule Hgz b Compare o polo de Haz com aquele de Hz e comente as diferengas 8 Seja o sistema linear invariante com o deslocamento vila volt hn hfn Figura 512 Sistema LID 56 EXERCICIOS 103 onde h1n un e h2n δn δn 1 a O subsistema com h1n e estavel Justifique b O subsistema com h2n e estavel Justifique c O sistema completo e estavel Justifique d Obtenha um sistema com funcao de sistema Hz equivalente ao sistema dadoEste sistema equivalente e estavel Explique 9 Considere que hn nos quatro sistemas da Figura 513 e a resposta ao impulso de um filtro passabaixas ideal com frequˆencia de corte em ωc π4 Eesboce a resposta em frequˆencia para cada sistema indicando os limites dos espectros em funcao de ωc Indique qual o tipo de filtro implementado em cada caso hn xn yn a hn xn yn x x 1 n 1 n b h2n xn yn c hn xn yn d 2 2 Figura 513 Sistema com filtro passabaixas ideal com frequˆencia de corte em ωc π4 10 Considere um sistema LID causal com 3 polos e 2 zeros todos no interior da CRU Supondo Hz a funcao de sistema pode o sistema inverso Gz tal que HzGz 1 ser simultanea mente estavel e causal Justifique 11 Considere um sistema LID causal onde Hz tem os seguintes polos e zeros p1 1 2 p2 1 3 z1 0 e z2 0 zero duplo em z 0 Considere que Hz 1 6 104 CAPITULO 5 AN ALISE DE SISTEMAS ATRAVES DE TRANSFORMADAS a Determine Hz b Determine a reposta impulsiva c Calcule a resposta do sistema a entrada xn un 1 2un 1 12 Para cada conjunto de polos e zeros a seguir determine se o sistema correspondente e do tipo passatudo a p1 34 e z1 43 b p1 1 2ejπ4 c p1 1 2ejπ4 e z1 2ejπ4 d p1 1 2ejπ4 p2 0 e z1 2ejπ4 13 Para cada uma das funcoes de sistema Hz a seguir especifique uma funcao de sistema de fase mınima Hminz tal que Hminz Hz a Hz 12z1 1 1 3z1 b Hz 13z11 1 4z1 z11 1 3z1 14 Um sistema LID causal tem Hz 1 0 5z1 1 4z2 1 0 64z2 Encontre H1z de fase mınima e Hapz de um passatudo tais que Hz H1zHapz 15 Determine uma entrada xn para um filtro passabaixas ideal com frequˆencia de corte ωc de tal forma que a saıda correspondente seja yn un un 10 16 Um sistema LID causal tem a funcao de sistema Hz 1 0 2z1 1 9z2 1 0 81z2 a O sistema e estavel b Obtenha expressoes para um sistema de fase mınima H1z e um passatudo Hapz tais que Hz H1zHapz 56 EXERCICIOS 105 17 Considere a funcao de sistema Hz z 2 z 1 z 0 5 z 0 1 a Obtenha a equacao a diferencas associada b Especifique todas as regioes de convergˆencia possıveis c Classifique o sistema associado a cada regiao de convergˆencia quanto a estabilidade e cau salidade Justifique cada resposta d Calcule a resposta impulsiva do sistema associado a cada regiao de convergˆencia e Obtenha um sistema de fase mınima Hminz e um sistema passatudo Hapz tais que Hz HminzHapz e Hω Hminω f Repita para Hz z z 2 z 3 z 0 5 z 0 1 18 Considere um sistema LID com Hz 1 0 5z1 1 0 16z2 z 0 4 a Calcular os polos e zeros de Hz b O sistema e estavel E causal Justifique c Calcular hn d Obter hn para a funcao de sistema dada e z 0 4 e Transformar o sistema dado em um sistema de fase naomınima com a resposta de amplitude do sistema original deslocando um zero naonulo Decompor o sistema resultante em um sistema de fase mınima e um passatudo explicitando as respectivas funcoes de sistema 19 Considere a seguinte funcao de sistema Hz z 3 z 0 1z 0 5 a Esboce as possıveis regioes de convergˆencia RC e classifique o sistema em cada RC quanto a estabilidade e quanto a forma de hn b Calcule hn para cada RC c Determine um sistema de fasemınima Hminz com resposta de amplitude idˆentica aquela de Hz e um sistema passatudo Hapz tais que Hz HminzHapz 106 CAPITULO 5 AN ALISE DE SISTEMAS ATRAVES DE TRANSFORMADAS 20 Uma sequˆencia xn e saıda de um sistema LID em resposta a sn O sistema e descrito por xn sn e8αsn 8 onde α 0 a Determine a funcao de sistema Hz esboce os polos e zeros no plano z e indique as regioes de convergˆencia possıveis b Especifique a funcao de sistema Hiz de um sistema inverso ao sistema dado isto e cuja saıda em reposta a xn seja sn Determine todas as regioes de convergˆencia possıveis para a funcao de sistema Hiz c Determine todas as repostas impulsivas hin tais que xn hin sn Sugestao escreva Hiz e calcule sua resposta ao impulso causal por exemplo fazendo a divisao polinomial em Hiz 21 Demonstre a A convolucao de duas sequˆencias de fase mınima e de fase mınima b A soma de duas sequˆencias de fase mınima nao e necessariamente de fase mınima De um exemplo para cada possibilidade Capitulo 6 Transformada Discreta de Fourier 61 Introducao A transformada de Fourier de seqiiéncias conforme definida no capitulo 1 é muito importante como ferramenta para andlises tedricas e desenvolvimentos de conceitos Porém nao se presta para o calculo no computador pois gera uma funcao cuja varidvel independente w é continua A trans formada discreta 6 uma ferramenta que contorna esta dificuldade ou seja apresenta as mesmas propriedades que a transformada usual e pode ser calculada no computador O objetivo deste capitulo é definir esta transforma discreta e estudar as principais implicagoes da sua definigao 62 Amostragem da transformada de Fourier de uma seqitién cia Ha uma variedade de maneiras de se apresentar a definicao da transformada discreta de Fourier Uma das mais interessantes define inicialmente o conceito de série de Fourier de seqiiéncias periddicas e apresenta a transformada discreta como as relagdes que existem entre um periodo da seqiiéncia e os coeficientes da série correspondente Oppenheim Estas alternativas induzem distintas maneiras de se apresentar os conceitos da transformada discreta Vamos definir aqui a transformada discreta a partir de amostras da transformada usual de Fourier de uma seqiiéncia conforme definida no capitulo 1 Inicialmente vamos recordar as expressoes para a transformada e transformada inversa de Fourier de uma seqiiéncia Xw S anje 2 61 20 1 xn 5 Xwjeende 62 20 0 107 108 CAPITULO 6 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER Sabemos que Xw é uma fungao continua de w Assim se desejarmos discretizar Xw no eixo w estaremos tratando do problema de amostragem de uma funcao continua semelhante ao problema de amostragem de um sinal continuo no tempo abordado no capitulo 1 Vamos entao representar o espectro resultante da amostragem através de uma seqiiéncia de fungoes impulso do dominio analdégico com areas determinadas pelas amostras de X w Vamos supor que tomamos amostras de Xw nos pontos w 27kN k inteiro onde N é um inteiro que define o ntimero de amostras de X w a cada periodo de 27 Portanto o processo de amostragem produzira as amostras N XNA Xe w 2rkN k inteiro Utilizamos o sobrescrito N nas amostras Xk para ressaltar que elas formam uma seqiiéncia periddica de amostras com periodo N Considerando as amostras Xk como as componentes espectrais de um novo espectro que de nominaremos de Xw podemos escrever com base na expressao 15 do capitulo 1 Xw 22 X h6 w 2k N 63 swW w 27 N k0o onde o fator 27N foi introduzido por conveniéncia como podera ser observado mais adiante Vamos calcular a seqiiéncia xn associada a este espectro discreto Xw 20 n 5 Xuera xn swerdw 20 0 Usando a expressao 63 temos 20 oo 1 20 ven z So XN TKS w anki F duo 0 k0o oo 20 1 N jun F So XNA ove 2tkN J dw k0o 0 Considerando o intervalo de integragao 0 w 27 a integral na expressao acima envolve apenas os impulsos situados no intervalo 0 w 27 ou seja apenas os valores de k tais que0 k N1 Assim tendo em conta que Qn el2mnkN 0kN1 J w 2rkN edw 0 0k0ekN podemos escrever 82 N j2ankN vn S Xx kle 64 k0 E importante observar que a soma na expressao 64 envolve apenas um periodo da seqiiéncia de amostras espectrais Este resultado 6 compreensivel tendo em conta que um perfodo de Xk contém toda a informagao sobre esta seqiiéncia E importante também observar que 62 AMOSTRAGEM DA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UMA SEQUENCIA 109 e a expressao 64 tem o cardter de uma transformada inversa e a amostragem do espectro transformou a operacao de integral em operacao de soma e estao envolvidas apenas as exponenciais nas freqiiéncias selecionadas pela amostragem Vamos agora pesquisar a relacao entre a seqiiéncia xn e a seqiiéncia original zn Para isto substituiremos Xk em 64 por sua relagéo com 2n dada por 61 x2 N j2ankN vn S Xx hle k0 1 N1 lo j2arkN j2ankN Dine came k0 Lroo co 1 N1 j2nrknrN Yat een Troo k0 Mas x2 4 i 3 eierknrN 1 nrlIN l inteiro N 0 ce k0 6nrIN l inteiro Substituindo este resultado temos xsn S xron r LN inteiro onde 6n é a seqiiéncia impulso unitdrio Observe que a cada parcela da soma sera diferente de zero apenas quando o inteiro r for igual a n 1N Logo levando em conta que é um inteiro qualquer esta expressao pode ser reescrita como xsn an2Nan N42n a2n Nan2N ou xn S anIN 65 loo Concluimos que zn é formada pela soma de versdes de xn deslocadas no eixo n de IN inteiro Assim da mesma forma que Xk xn é uma seqiiéncia periddica com o mesmo periodo N Vamos denominar zn 2 n A seqiiéncia x n é usualmente denominada na literatura de extensao periddica de xn com periodo N Esta seqiiéncia desempenha um papel fundamental para a compreensao das propriedades da transformada discreta a ser definida O exemplo a seguir ilustra as relacoes até agora obtidas 110 CAPITULO 6 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER Exemplo 61 Seja xn ri9n Utilizando os resultados do capitulo 1 temos Xw eI 942 sen5w senw2 A Figura 61 mostra o valor absoluto de Xw juntamente com as amostras desta transformada tomadas em w 27k7 dando origem a Xk X a ie w w 2nk7 k inteiro A Figura 62a mostra a formacao da seqiiéncia 7 n para N 7 enquanto que a Figura 62b mostra a seqiiéncia resultante Fica evidente que x n e distinta de zn devido a superposigao provocada pelas parcelas deslocadas a direita e a esquerda e também porque x n é periddica com periodo N A Figura 63 ilustra o mesmo procedimento da Figura 62 porém utilizando agora N 10 Neste caso nao ocorre a superposicao das parcelas deslocadas e portanto cada periodo de x n é igual a xn Concluimos assim que os pertodos de x n somente serdo iguais a xn se o ntimero de amostras espectrais for maior ou igual que 0 comprimento de xn 10 k0 9 8 7 6 So 5 4 3 k4 k6 2 1 k2 k3 k4 K8 Wavavvavavale 0 wW2 T 302 20 Figura 61 Um periodo do espectro de amplitudes da seqiiéncia rion e suas amostras tomadas a intervalos 277 A conclusao atingida no exemplo anterior que cada perfodo de x n sera igual a xn somente quando N for maior ou igual ao comprimento de zn sera muito importante ao longo deste capitulo Resumindo os resultados até agora alcangados temos XN Ik anje227rkN 66 N LS eNypyjennkN x n w 2X kes2mnkN 62 AMOSTRAGEM DA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UMA SEQUENCIA 111 xn xfotl4 xlnt7 xn xm7 oo xn14 75 0 2 7 9 14 16 n a xn eed 1 LO 75 0 2 7 9 b Figura 62 lustracao da extensao periddica de uma seqiiéncia 719n com periodo igual a 7 desenhou se o contorno definido pelas amostras a formacéo da extensao com as superposicoes b seqiiéncia resultante 4 xIn xn10 1 xn xn10 10 10 9 10 19 n Figura 63 Ilustragao da extenséo periddica de uma seqitiéncia rion com periodo igual a 10 desenhouse o contorno definido pelas amostras Vamos mostrar agora que a expressao 66 pode ser escrita em funcao de n Tomando 66 podemos escrever 1 N1 2N1 Xk S anjeJ2rrkN 4 So anjePrh S anjeF27rN 4 nN n0 nN Fazendo uma transformacao de varidveis na expressao anterior de modo que n em cada parcela seja substituido por nIN com assumindo o valor adequado em cada parcela e usando a periodicidade exp2mnkN exp2an 1NkN para qualquer inteiro podemos obter N1 N1 N1 Xk S an NeJ2mnkN 4 S anjeF27rkN 4 S an NjeWJ2rrkiN 4 n0 n0 n0 N1 lo FS cinmh enon n0 loo 112 CAPITULO 6 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER de onde utilizando a expresséo 65 obtemos finalmente N1 XN k S a njeJ27KN n0 Este resultado quando comparado com a expressao 66 permite reescrever o resumo apresentado por 66 da seguinte forma N1 XNTK So aX ne Pr 67 n0 82 Nip Nip oj2nnkN onl S Xx kle 68 k0 indicando que as amostras espectrais podem ser calculadas a partir de um perfodo da extensao periddica de zn com periodo N Da mesma forma a extensao periddica no eixo n pode ser calculada a partir de um periodo das amostras espectrais 63 Transformada discreta de Fourier Vamos agora definir a transformada discreta de Fourier para seqiiéncias utilizando os conceitos da secao anterior Esta definigao utilizard as expressoes 67 e 68 e a observagéo que um periodo de x n pode ser calculado a partir de um perfodo de Xk e que da mesma forma um periodo de Xk pode ser calculado a partir de um perfodo de x n Seja zn uma seqiiéncia com comprimento finito M tal que zn 0 paran 0en M Com base em 67 e 68 definimos a transformada discreta de Fourier de xn TFDy zn ea transformada inversa discreta TFDj xn ambas com comprimento N como N1 TFDy 2n So aX ne PrN 05k N1 69 n0 Xk 0kN1 x2 TFDyX hj OSKSN1 SOX eM 0nN1 610 k0 an 0nN1 O primeiro aspecto a ser ressaltado é que a transformada discreta s6 se aplica a seqiiéncias de comprimento finito Além disto por convencao s6 aplicaremos a transformada discreta a seqtiéncias causais A exigéncia de comprimento finito nao é uma limitacao pois s6 conseguimos armazenar seqiiéncias deste tipo A exigéncia da causalidade nao é restritiva pois qualquer seqtiéncia de comprimento finito pode ser deslocada de modo a se tornar causal Também esta convencao é interessante em funcao das propriedades que dai resultarao Além disto ao armazenar uma seqiiéncia em uma memoria podemos sempre convencionar a causalidade 63 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER 113 O segundo aspecto a ser realcado é que a transformada discreta gera amostras de um periodo do espectro convencional de Fourier Tem assim um comprimento N associado a ela o qual define o numero de amostras espectrais geradas pela transformada A relagao entre o comprimento N escolhido para a transformada discreta e 0 comprimento M da seqiiéncia xn é muito importante De 69 e 610 percebemos que a transformada inversa gera um periodo da seqiiéncia x n e que este perfodo tem comprimento N Assim somente quando escolhemos N M ou seja o numero de amostras espectrais 6 maior ou igual que o comprimento de xn 6 que a transformada inversa retorna a seqiiéncia original Caso contrdrio retornara a n S zjnIN0nNI loo ou seja o resultado das sobreposigdes da seqtiéncia xn com deslocamentos N Assim quando to mamos N M garantimos que nao haverd sobreposicado e que portanto um perfodo de x n sera igual a xn Por fim considerando os casos em que N M podemos sempre considerar que 0 comprimento de xn para efeito da transformada discreta é N Fazendo isto estamos adicionando N M zeros a direita da seqiiéncia xn os quais nao alteram as propriedades basicas da seqiiéncia Esta operagaéo é conhecida na literatura internacional como zero padding Exemplo 62 Vamos utilizar os mesmos elementos do Exemplo 61 Seja xn rion Vamos cal cular a transformada discreta de zn com varios comprimentos para ilustrar os conceitos acima Com base no Exemplo 61 podemos escrever para um valor genérico de N Xw pd 9w2sen5w2 senw2 e com base na definigao da transformada discreta de Fourier N Ok Xk Ok N1 X oki 0k EN I ecimmtyw8eNTH 9 pe yy sentkN A Figura 64 ilustra os valores da transformada para N 7 Podemos perceber as sete amostras de Xw regularmente espacadas entre 0 e 27 A Figura 65 ilustra a transformada inversa xn 0 n 6 Também a transformada inversa 6 uma seqiiéncia com comprimento N 7 e portanto distinta de xn A transformada inversa é igual a um periodo da extensao periddica de xn com periodo N 7 Logo o comprimento é igual a 7 e a sobreposicao decorrente produz alteragdes nas amostras de xn para 0 n 2 Assim podemos estabelecer a seguinte relacdo entre a transformada inversa xn e xn xn an80n2 xn an 3n7 0 nO0en8 Vamos agora repetir esta andlise com N 10 ou seja com N igual ao comprimento efetivo de zn A Figura 66 ilustra as amostras Xk para 0 k 9 enquanto que 114 CAPITULO 6 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER a Figura 67 ilustra a transformada inversa x10n 0 n 9 Fica evidente que agora temos a transformada inversa igual a xn Por fim vamos calcular a transformada com N 13 ou seja com um numero de pontos maior que o comprimento de xn As Figuras 68 e 69 ilustram os resultados correspondentes Podemos notar atraves da Figura 69 que a transformada inversa x13n 0 n 12 embora com comprimento maior que o de xn e igual a xn Isto porque as amostras de x13n para 10 n 12 sao nulas Este mesmo resultado e alcancado quando consideramos xn com comprimento 13 colocando amostras nulas em n 10 11 e 12 atraves da operacao zero padding 0 π2 π 3π2 2π 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xω ω k 0 k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 Figura 64 Um perıodo do espectro de amplitudes da sequˆencia r10n e suas amostras tomadas a intervalos 2π7 a b Figura 65 Ilustracao da extensao periodica de uma sequˆencia r10n com perıodo igual a 7 desenhou se o contorno definido pelas amostras a formacao da extensao com as superposicoes b sequˆencia resultante 64 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DISCRETA 115 0 π2 π 3π2 2π 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xω ω k 0 k 1 k 2 k 3 k 9 Figura 66 Um perıodo do espectro de amplitudes da sequˆencia r10n e suas amostras tomadas a intervalos 2π10 Figura 67 Ilustracao da extensao periodica de uma sequˆencia r10n com perıodo igual a 10 desenhouse o contorno definido pelas amostras 0 p2 p 3p2 2p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xω ω k 0 k 1 k 2 k 3 k 12 Figura 68 Um perıodo do espectro de amplitudes da sequˆencia r10n e suas amostras tomadas a intervalos 2π13 64 Propriedades da transformada discreta As propriedades da transformada discreta de Fourier se diferenciam daquelas referentes a trans formada de Fourier pelo fato de que a transformada inversa nao gera necessariamente a sequˆencia 116 CAPITULO 6 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER A x n xn13 1 xn xn13 13 4 0 9 13 22 n Figura 69 Ilustragao da extensao periddica de uma seqtiéncia rion com periodo igual a 13 desenhouse o contorno definido pelas amostras original a menos que o comprimento da transformada discreta seja maior ou igual que o comprimento da seqiiéncia Além disto a convencao adotada exigindo que a seqiiéncia seja de comprimento finito e causal também impoe modificagoes nas propriedades usuais Propriedade 1 Deslocamento circular A convencao adotada para a seqiiéncia a ser transformada exigindo causalidade nao permite que desloquemos a seqiiéncia xn livremente no eixo n Assim a propriedade da transformada de Fourier de seqiiéncias referente ao deslocamento no eixo n onde o deslocamento de zn de no unidades produz a adigao de uma componente linear de fase no dominio espectral precisa que ser revista Para isto vamos analisar 0 que acontece no eixo n quando adicionamos uma componente linear de fase nas amostras espectrais Seja uma seqiiéncia zn com comprimento N e sua transformada discreta com N pontos aln OnN1 Xk 0k N1 Seja agora ON Tk XN ke Jem bre N ou seja acrescentamos uma componente linear de fase 4s amostras Xk Associada a C k temos a transformada inversa cN n In 0nN1OCk 0k N1 Desejamos calcular a seqiiéncia cn e relaciondla com 2n 62 N ot Nypjj2eknN nl 5 SON kle k0 1X2 oo N j2nrknmN WF S X ke k0 nm0nN1 Usando a definicao da seqiiéncia x n dada em 65 temos Nt cnj 0nN1 S zjnmIN0nN1 l0o 64 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DISCRETA 117 Observamos que a seqiiéncia c n resultante tem a mesma caracteristica basica da transformada inversa de Xk ou seja 6 um periodo da extensao periddica de xn Porém da extensao periddica de xn deslocada de m unidades para a direita Assim a multiplicagao das amostras espectrais por uma exponencial complexa corresponde a um deslocamento no eixo n como na transformada usual de Fourier porém este deslocamento tem agora um carater distinto construimos a extensao periddica da seqtiéncia original zn deslocamos linearmente a extensdo periddica e depois tomamos um periodo gerando cn Usaremos a seguinte notacao para este novo tipo de deslocamento Inj 0nN1 a27nl 611 onde o sinal negativo para o superescrito m designa um deslocamento a direita Este deslocamento é denominado deslocamento circular de m unidades A motivacgaéo para o adjetivo circular ficara clara apdés 0 exemplo a seguir Resumindo a propriedade do deslocamento no eixo n pode ser expressa como ay n XX kle PN Ok N1 612 onde xy n S xzn mINryn 613 l0o A denominacao circular vem da observacao que o deslocamento circular pode ser obtido deslocando se zn circularmente no intervalo 0 N 1 isto é 4 medida que xn é deslocada de uma unidade por exemplo a direita a amostra que sai fora do intervalo 0 N 1 assumindo a posicao N é imediatamente deslocada para a posicao vazia em n 0 Propriedade 2 Convolugao circular Da mesma forma que a propriedade do deslocamento no eixo n assumiu uma forma particular na transformada discreta a propriedade relativa a convolugao de seqiiéncias no eixo n também assume uma forma distinta daquela usual Para explicitar a operagao que ocorre no eixo n quando multiplicamos as amostras espectrais de duas seqiiéncias de mesmo comprimento vamos inicialmente considerar 2n e x2n duas seqiiéncias causais com comprimentos N e No Vamos supor N max Nj No Sejam Xk e X2k as transformadas discretas de xn e x2n tomadas com comprimento N Seja CN k Xk Xk Desejamos agora calcular a seqiiéncia c n 0 n N 1 associada a CN k e relaciondla com 2n e x2n Usando a expressao da transformada inversa de 610 obtemos x2 N Nip oj2mnkN clnh C kle in oeNK 0nN1 k0 1 82 N Nip pj2mnkN F So XD kX he 70h k0 118 CAPITULO 6 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER xn N4 1 0 1 2 3 4 n xn eee oO eee 1 0 1 2 3 4 5 n xnt3 xn1 1 0 1 2 34 55 n 3 l X n x n aii 1 0 1 2 3 4 n Figura 610 Exemplo de deslocamento circular de uma seqiiéncia com comprimento N 4 Usando a expressao da transformada discreta em 69 para substituir Xk resulta Na x2 N Ny g20rkN Nip pj2mnkN Si FL Latino bay nK N 0nN1 k0 r0 N1 x2 N N j2nnrkN Sot e Ale r0 k0 Aplicando a propriedade do deslocamento circular no termo entre chaves obtemos N1 cNn S ry rjao n 1 614 KS 0nN1 64 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DISCRETA 119 Podemos observar que o termo a direita de 614 lembra a operacao de convolucao Para avaliar suas particularidades vamos analisar a forma da sequˆencia x2Nnr Em primeiro lugar e necessario observar que a variavel independente na soma e r Assim x2Nn r e uma sequˆencia no eixo r Portanto e uma extensao periodica da sequˆencia x2r com perıodo N Alem disto a extensao periodica deve ser deslocada de n unidades O exemplo da Figura 611 ilustra esta situacao 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 n n r r xn x n 7 x r 7 x 72r 5 5 5 6 6 6 7 7 7 Figura 611 Exemplo de uma sequˆencia sua extensao periodica com N 7 a extensao periodica invertida e por fim a extensao invertida deslocada de n 2 Retornando a expressao 614 devemos observar que a soma em r se da ao longo de um perıodo da extensao periodica x2Nn r Assim a operacao envolvendo xN 1 n e xN 2 n e semelhante a uma convolucao porem com caracterısticas especiais Convoluımos a extensao periodica xN 1 n com a extensao periodica de x2n mas esta convolucao e tomada apenas sobre um perıodo da extensao periodica resultando em uma sequˆencia cNn 0 n N 1 120 CAPITULO 6 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER Este tipo de convolugao recebe 0 nome de convolugao circular com comprimento N e é representada da seguinte forma N c in a1 L N 615 n rn a2n 615 0nN1 Podemos entao resumir a propriedade da convolucao circular no eixo n como an N xan XP kK XQ kK 0S k N1 616 N1 x4n N x9n So eh r2n 1 0nN1 617 r0 A Figura 612 ilustra a convolugao circular entre x1n x2n r5n ou seja de x1n com ela mesma para N 5 Observe que a extensao periddica de x2n com N 5 é uma seqiiéncia com amostras unitarias e portanto a inversa e suas versoes deslocadas sao idénticas a extensao periddica de x2n Xr 1 o Oo 0 1 2 3 4 r 5 5 X r X r Oo Q Oo lo 9 Oo 0 QO QO 0 QO QO 1 01 2 3 4 5 6 7 r xn5 xn 50 9 9 Q 9 o9 os 1 O01 2 3 4 5 6 n Figura 612 Convolugao circular de x1n r5n com x2n r5n para N 5 A Figura 613 ilustra a convolucao circular entre as mesmas seqiiéncias porém agora com N 7 Observe que no caso em que NV 7 aumentamos o comprimento de xn e de x9n acrescentado dois zeros 4 direita Logo a extensdéo periddica de x2n contém estes dois zeros e as extensdes 64 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DISCRETA 121 Xx 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 r 7 X5 r 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 r 7 x 1r 1 1 01 2 3 4 5 6 7 r xn 7 xn 4 Li 1 0 1 2 3 4 5 6 n Figura 613 Convolugao circular de xn r5n com x2n r5n para N 7 periddicas invertida e deslocadas sao distintas daquelas da Figura 612 Isto faz com que o resultado da convolucao circular seja distinto daquele da Figura 612 Por fim a Figura 614 apresenta a convolugao circular com N 9 641 Relagao entre convolugao circular e linear Como ficou evidente na propriedade anterior a convolugao circular é distinta da convolucao usual definida no capitulo 1 Denominaremos aqui a convolucgao usual de convolugao linear O objetivo aqui é estabelecer uma relagao entre os resultados destes dois tipos de convolucao Como a convolucao circular depende do parametro N escolhido esta relagao sera funcao deste para metro Sejam x1n e x2n duas seqiiéncias causais com comprimentos N e Nj Vamos supor que N 122 CAPITULO 6 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER Xr 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 r 9 X 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 r 9 x 1r 3 1 01 2 3 4 5 6 7 8 r xn9 xn 5 4 9 3 et 4 1 01 2 3 4 5 6 7 8 n Figura 614 Convolugao circular de xn rsn com x9n r5n para N 9 maxN No Seja yn x1n xgn o resultado da convolugao linear entre xn e xgn Sabemos que yn tem comprimento N Nj 1 e que pela propriedade da transformada de Fourier de seqiiéncias relativa convolucao no eixo n temos Y w X1w Xow Seja agora Yk OS kN1XPAXS kK OS kN1 Sabemos que TFDyx Y kl 9 nlrnn Porém sabemos também que 65 C ALCULO DA CONVOLUC AO LINEAR USANDO A CONVOLUC AO CIRCULAR 123 x1n m N x2n XN 1 kXN 2 k 0 k N 1 Y Nk 0 k N 1 Portanto comparando estas expressoes concluımos que x1n m N x2n yNnrNn ou seja A convolucao circular de x1n com x2n com N pontos e igual a um perıodo da extensao periodica da convolucao linear de x1n com x2n O passo seguinte consiste em observar que O resultado da convolucao circular somente sera igual ao resultado da convolucao linear quando N for maior ou igual ao comprimento de yn ou seja quando N N1 N2 1 As figuras anteriores ilustram estes resultados Em particular a Figura 614 mostra o caso em que N N1 N2 1 9 quando entao x1n m N x2n yn Resumindo x1n m N x2n yNnrNn 618 e x1n m N x2n yn N N1 N2 1 619 65 Calculo da convolucao linear usando a convolucao cir cular A convolucao linear entre duas sequˆencias e uma operacao que exige um esforco computacional significativo Veremos mais adiante que em varias circunstˆancias e melhor realizar a convolucao linear atraves da convolucao circular com N N1 N2 1 Isto porque na verdade nao calcularemos a convolucao circular de forma explıcita mas sim usaremos a relacao ver equacao 616 x1n m N x2n XN 1 kXN 2 k 0 k N 1 620 isto e calculamos XN 1 k e XN 2 k para 0 k N 1 fazemos seu produto e calculamos a transformada discreta inversa atingindo x1n m N x2n Este procedimento pode ser mais econˆomico em termos computacionais que o calculo da convolucao linear desejada uma vez que os algoritmos de transformada rapida a serem apresentados mais adiante sao excepcionalmente eficientes para o calculo da transformada e tranformada inversa discretas de Fourier 124 CAPITULO 6 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER Estas idéias em principio funcionam quando as seqiiéncias a serem convoluidas tem comprimentos finitos Porém em intmeras situagoes praticas é necessario processar seqiiéncias muito longas ou com comprimento indeterminado como por exemplo na codificagao de voz e video Em muitas destas aplicacgdes o sistema de processamento é do tipo FIR Assim é necessdrio convoluir uma resposta impulsiva de comprimento finito com uma seqiiéncia de comprimento indefinido ou até ilimitado Para estes casos existem duas técnicas para executar a convolucao através da idéia expressa em 620 denominadas de 1 sobrepde e soma overlap and add 2 sobrepoe e salva overlap and save Estas técnicas serao 0 objeto desta secao Para apresentaélas vamos inicialmente considerar duas seqiiéncias hn e xn causais com compri mentos M e N Seja yn hin zn o resultado da convolugao linear entre hn e xn Sabemos que yn tem comprimento M N 1 e que se fizermos a convolugao circular de hn com 2zn empregando N M N 1 teremos hn xn yn Para os casos em que uma das seqiiéncias tem comprimento indeterminado ou infinito podemos segmentar esta seqtiencia em subseqiiéncias de comprimento finito conhecido e realizar a convolugao linear desejada usando estas subseqiiéncias Como exemplo suponha que xn tenha comprimento infinito Podemos quebrar zn em sub seqiiéncias de comprimento L fazendo rn kbnk1L1 xn 621 0 ce ou seja cada segmento xn é igual 4 seqiiéncia original zn no intervalo kL n k1L1 onde L é um comprimento determinado pelo usuario Fora deste intervalo xn apresenta amostras nulas Portanto temos k0 Vamos agora escrever yn em fungao de xn yn Aln an 622 M S hrjan r r0 M lo S hlr onl uf r0 k0 co M 1y Aran uf k0 r0 O termo M S hran r r0 representa a convolugao entre hn e cada segmento xn Assim concluimos que a convolugaéo en tre hn e xn pode ser feita convoluindo hn com cada segmento xn e em seguida somando os resultados destas convolucoes parciais Com isto podemos realizar a convolucao de seqiiéncia de com primento finito com uma seqiiéncia de comprimento indeterminado ou infinito através de convolugoes parciais entre seqiiéncias de comprimento finito 65 C ALCULO DA CONVOLUC AO LINEAR USANDO A CONVOLUC AO CIRCULAR 125 Vamos agora abordar as duas tecnicas empregadas na pratica para realizar tal convolucao Nos dois casos a convolucao linear entre sequˆencias de comprimento finito e sempre realizada atraves da transformada discreta de Fourier Entretanto para efeito de discussao de cada tecnica trataremos diretamente com a convolucao linear Em ambos os casos estaremos supondo que hn tem comprimento finito M 651 Sobrepoe e soma ovelap and add Neste caso escolhemos um comprimento L para cada segmento e adotamos N L M 1 de modo a satisfazer a restricao em 619 Para as explicacoes que seguem adotaremos N LM 1 A Figura 615a ilustra uma sequˆencia xn enquanto que as Figuras 615b c e d mostram os trˆes primeiros segmentos xkn de acordo com 621 As Figuras 615e f e g ilustram os resultados da convolucao destes trˆes segmentos com uma sequˆencia hn Podemos perceber que cada convolucao parcial apresenta um comprimento N L M 1 e que portanto ao somarmos estas convolucoes parciais para obter yn conforme 622 havera sobreposicao da cauda de cada convolucao com a parte inicial da proxima convolucao Esta sobreposicao faz parte do processo e as amostras correspondentes devem ser somadas para a correta reproducao de yn Este fato justifica o nome desta tecnica 126 CAPITULO 6 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER xn a L1 3L1 0 2L1 n xn b L1 0 n xn L 0 2L1 n xn d 0 2L 3L1 n y 2 e LM2 0 L 2L n y2n f L 2L 0 LM2 2LM2 3L n y3n g ae 2L4M2 0 2L 3L 3LM2 n Figura 615 Ilustracgao da convolucéo na técnica sobrepoe e soma 65 C ALCULO DA CONVOLUC AO LINEAR USANDO A CONVOLUC AO CIRCULAR 127 652 Sobrepoe e salva ovelap and save Este caso difere do anterior quanto a restricao para o tamanho N da convolucao circular Enquanto que la adotamos N L M 1 aqui teremos apenas N L isto e N sera igual ao tamanho de cada segmento de xn Com isto nao estaremos respeitando a condicao 619 Logo havera discre pˆancia entre o resultado da convolucao circular entre hn e cada segmento xkn e a correspondente convolucao linear Como a convolucao linear ykn hn xkn tem comprimento L M 1 e N L entao a convolucao circular ykn hn m N xkn apresentara sobreposicao nas M 1 primeiras amostras de ykn conforme ilustrado na Figura 616 Concluımos que as primeiras M1 amostras geradas pela convolucao circular ykn hn m N xkn serao distintas daquelas desejadas geradas pela convolucao linear Para contornar este problema esta tecnica divide xn em segmentos com redundˆancia nas primeiras M 1 amostras conforme ilustrado na Figura 617 Assim ao realizarmos as convolucoes circulares as primeiras M 1 amostras distorcidas de cada parcela serao deprezadas e o resultado final utilizara as ultimas M 1 amostras da convolucao anterior as quais sao corretas n n n y n 1 L L1 L LM2 M2 LM2 2LM2 0 0 0 L M2 c n 1 y n 1 y n 1 y nL 1 y nL 1 L Figura 616 Ilustracao da sobreposicao entre amostras na convolucao circular do metodo sobrepoe e salva 128 CAPITULO 6 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER n n n n n n n xn x n 1 x n 2 x n 3 c n 1 c n 2 c n 3 0 L1 L1 M2 L1 2L2M2 LM1 M2 LM1 2LM 2LM 3L2M 2L2M2 L1 L1 2LM 2LM 3L2M1 0 0 0 0 0 0 LM1 1 x x x x x xx x x x x Figura 617 Ilustracao da convolucao no metodo sobrepoe e salva 66 EXERCICIOS 129 66 Exercicios 1 Calcule a TDF das seqiiéncias a seguir N é par a n dnJ b zn dn no OS nn N1 1lnpare0nN1 c x n 0 nitmpare0OnN1 0 ce 10n1 Ons O0nN1 pana fo snevr ealnl 9 pans 0 ce 0 ce 2 Considere a seqiiéncia 2n evr OnN1 0 ce a Calcule a transformada de Fourier Xw de xn b Calcule a TDF de xn com N pontos c Calcule a TDF de an para wo 27k N onde ko é um inteiro 3 Considere a seqiiéncia xn uln un 6 e a sua transformada Z Xz Se amostrarmos Xz nos pontos z expj27k4 k 0123 obteremos Xk 0123 Esboce a seqiiéncia x1n obtida através da TDF inversa de Xk k 0 1 23 4 Seja Xw a transformada de Fourier de xzn 12un Seja yn uma seqiiéncia tal que yn 0 para n 0e yn 0 paran 10 A TDF de yn é Yk Xe para 0k 9 Determine yn 5 Um sinal analégico com faixa de freqiiencias limitada a 5 KHz é amostrado a uma taxa de 10 Kamostrass De posse de 1024 amostras compoese uma seqiiéncia xn e calculase sua TDF XNk0 k N 1 com 1024 pontos Calcule o espagamento em Hz entre as amostras de XN Ik 6 Considere uma seqiiéncia xn com 20 pontos tal que xn é nula fora do intervalo 0 n 19 Seja Xw a transformada de Fourier de zn a Desejase calcular o valor de Xw no ponto w 475 através de TDF com M pontos Determine o menor valor de M possivel e explique como se obtém Xw no ponto w 475 usando este valor de M b Desejase calcular 0 valor de Xw no ponto w 10727 através de TDF com L pontos Determine o menor valor de L possivel e explique como se obtém Xw no ponto w 10727 usando este valor de L 130 CAPITULO 6 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER 7 Considere as sequˆencias x1n aδn 1 bδn 2 cδn 3 dδn 4 eδn 5 e x2n dδn eδn 1 aδn 5 bδn 6 cδn 7 Obtenha a relacao entre as TDF destas duas sequˆencias 8 Considere as sequˆencias x1n δn 2δn 1 3δn 2 4δn 3 5δn 4 6δn 5 e x2n δn 2 Calcule a convolucao circular destas duas sequˆencias com seis pontos 9 Considere a sequˆencia x1n cos πn 2 n 0 1 2 3 e a sequˆencia x2n 2n n 0 1 2 3 a Calcule a TDF de 4 pontos de x1n b Calcule a TDF de 4 pontos de x2n c Calcule c1n x1n m N x2n para N 4 fazendo o calculo da convolucao circular d Calcule c1n usando as TDF de x1n e de x2n 10 Considere a sequˆencia xn 2δn δn 1 δn 2 2δn 3 Obtenha a sequˆencia cuja TDF e Y k ej2πk5Xk onde Xk e a TDF de xn com 5 pontos 11 Considere as sequˆencias x1n δn 2δn 1 δn 2 δn 3 2δn 4 δn 5 δn6 2δn7 e x2n δn1 3δn2 2δn3 Determine x3n x1n m N x2n para N 8 12 Considere as sequˆencias x1n δn2δn1δn23δn3 e x2n δn1δn4 δn 5 Qual o menor valor para N tal que x1n m N x2n x1n x2n E qual o menor valor para N de modo que x1nx2n possa ser obtida a partir do resultado de x1n m N x2n 13 Considere as sequˆencias x1n 3δn δn 1 δn 2 2δn 3 δn 4 e x2n δn 3δn 2 δn 3 δn 4 2δn 5 Sabemos que X1k X2kej2πm6 Quais os possıveis valores de m 14 Considere as sequˆencias x1n δn δn 1 δn 2 e x2n δn δn 3 δn 4 Sabemos que XN 1 k XN 2 ke j4πkN Quais os possıveis valores de N 15 Considere uma sequˆencia xn tal que xn 0 para n 0 e n L Desejamos calcular Xω nos pontos ωk 2πkN k 0 1 2 N 1 Determine procedimentos para obter estes valores usando apenas uma TDF com N pontos para os casos a N L b N L 16 Considere a sequˆencia xn 4δn 3δn 1 2δn 2 δn 3 a Esboce a sequˆencia yn cuja TDF e Y 6k 0 k 5 X6kej8πk6 0 k 5 onde X6k 0 k 5 e a TDF de xn com 6 pontos b Esboce a sequˆencia yn cuja TDF de 6 pontos e Y 6k 0 k 6 ℜeX6k 0 k 6 c Esboce a sequˆencia yn cuja TDF de 3 pontos e Y 3k 0 k 3 X62k 0 k 3 66 EXERCICIOS 131 17 Considere as seqiiéncias xn un un 100 e xgn uln uln 10 a Calcule e esboce xn x9n b Calcule e esboce x n N x2n para N 100 c Calcule e esboce xn N x2n para N 110 18 Seja n2 n 345 xn 8n n67 x2n r3n 0 cc yn 24 n x9n TDF ynly Y Xk OS KS N1 a Calcule Y k 0 k N1 calculando as TDF de xn e de z2n O numero N a ser utilizado deve ser o menor possivel porém tal que TDF Yk yn b E possivel utilizar um valor para N menor que aquele minimo obtido no item a e ainda recuperar yn Justifique cuidadosamente c Calcule a convolugao circular cn x1n xen para N 5 d Repita usando o valor minimo para N de modo que o resultado da convolucao circular seja igual a yn 19 Considere as seqiiéncias xn arsn e X2n 6n 1 4n 3 a Calcule a transformada discreta de Fourier xn para N 5 b Esboce a seqiiéncia 2jn considerando N 5 c Calcule xn 6 X2n apresentando todos os passos do calculo da convolugao circular d Calcule a seqiiéncia yn x1 n x2n através da convolugao circular 20 Considere as seqiiéncias x n 26n 1 dn 3 e xQn 715 n a Obtenha x7 n isto 6 x1 n deslocada circularmente de uma unidade A direita b Calcule a convolugao linear de x2 n com x n usando a convolugao circular com o ntimero minimo de pontos posstvel c Determine o nimero minimo de pontos N de uma TDF para através dela obter o valor do espectro Xw na freqiiéncia w 17775 132 CAPITULO 6 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER 21 Considere uma seqiiéncia zn e sua transformada Xz Mostre como modificar xn gerando uma seqiiéncia x1n tal que a sua TDF forneca os valores X zm onde z 0 5e 72m10m10 22 Considere uma seqiiéncia zn com comprimento 10 e sua TDF X1k 0 k 9 Uma nova seqiiéncia yn com comprimento 20 é definida como f an2 n par yln 0 n fmpar Obtenha a TDF Yk 0 k 19 em funcao de X1k 23 Considere uma seqiiéncia zn com comprimento N N par tal que zn 0 paran Oe n N Considere sua TDF Xk 0 k N1 A seguir estado listadas varias seqiiéncias obtidas a partir de zn Obtenha a TDF de cada uma delas em funcgao de Xk O k N1 a yn 2N 1n b yen 1 2n c wn 2n xin O0nN1 d ysn 4 znN Nn2N1 0 cc ain ain N20n N21 e nln hea i xnj O0nN1 f ysn 0 Nn2N1 0 cc xnM n miltiplo de M e 0 comprimento de yn é MN 1 sul 4 6 oe 24 Considere um filtro FIR com resposta impulsiva hn real e com comprimento M 100 Este filtro deve processar uma seqiiéncia x n real com 10000 amostras produzindo a saida yn a Calcule o ntimero de somas e multiplicagdes reais necessdrias para calcular y n pela convo lucao linear Considere agora que yn seré obtido pelos métodos sobrepde e soma e sobrepoe e salva ambos implementados através do cdlculo das TDFs de hn e x n 0 produto destas TDFs e o calculo da inversa Suponha sempre que as amostras Hk 0 k N 1 jd foram calculadas e estao disponiveis na memoria As TDFs direta e inversa serao calculadas usando o algoritmo FFT que exige V2 logV multiplicagoes complexas e N logN somas complexas para calcular uma TDF direta ou inversa com N pontos supondo N 2 Para ambos os métodos sobrepde e soma e sobrepoe e salva considere N 256 b Calcule o ntimero de segmentos de xn para o método sobrepde e soma e o numero total de TDFs direta ou inversa c Repita o item b para o método sobrepoe e salva e compare 66 EXERCICIOS 133 d Calcule o numero total de multiplicacoes reais e o total de somas reais para calcular todas as TDFs em cada metodo e Calcule o numero total de multiplicacoes reais e o total de somas reais para o metodo sobrepoe e soma f Repita o item e para o metodo sobrepoe e salva e compare g Compare os resultados dos itens a f e g