Lista de Exercícios Resolvidos - Integrais de Funções Complexas

Universidade Federal do Pará Instituto de Ciências Exatas e Naturais Faculdade de Física VARIÁVEIS COMPLEXAS Turma EC01010 20231 Docente em estágio M Sc Ruan Lucas Sousa Lima Professor supervisor Prof Dr Newton Martins Barbosa Neto LISTA 4 INTEGRAIS DE FUNÇÕES COMPLEXAS 1 2 pontos Calcule as integrais a 1 2𝑖𝑡2 𝑑𝑡 1 0 b exp𝑖 2𝑡 𝑑𝑡 𝜋 6 0 2 2 pontos Calcule 𝑧 𝑑𝑧 𝐶 de 𝑧 0 a 𝑧 4 2𝑖 ao longo da curva 𝐶 dada por a 𝑧 𝑡2 𝑖𝑡 b A reta de 𝑧 0 a 𝑧 2𝑖 e depois a reta de 𝑧 2𝑖 a 𝑧 4 2𝑖 3 1 ponto Calcule 𝑓𝑧 𝑑𝑧 𝐶 se 𝑓𝑧 𝜋 exp𝜋 𝑧 e 𝐶 é a fronteira do quadrado de vértices nos pontos 0 1 1 𝑖 𝑒 𝑖 sendo a orientação no sentido antihorário Orientações Enumere suas páginas e assine seu nome e matrícula em todas as folhas Assim você estará seguro que todas as suas folhas serão corrigidas e nenhuma folha será perdida Leve suas soluções de forma grampeada com um clipe ou qualquer outra forma que garanta que seus papeis não fiquem avulsos Você tem tempo Evite entregar rascunhos com contas espalhadas ou mal postas Tenha o carinho de organizar suas contas de forma clara e legível para uma correção justa Boa prova a Primeiro calculamos 12it2 1 4t2 4it Assim 01 12it2 dt 01 1 4t2 4it dt 01 1 4t2 dt i 01 4t dt t 4t33 2it201 13 2i b Como e2it cos2t i sen2t temos 0π6 e2it dt 0π6 cos2t dt i 0π6 sen2t dt 12 0π3 cosu du i2 0π3 senu du 12 senu i cosu0π3 12 senπ3 i cosπ3 12 sen0 i cos0 14 3 i A ideia é separar a integral em parte real e parte imaginária Substituições 2t u dt du2 Outra solução para b 0π6 e2it dt 0π6 12i e2it dt 12i e2it0π6 12i eiπ3 e0 14 3 i Note que 12i e2it e2it 2 a Nesse caso temos overlineZ t2 it e dz 2ti dt Com t indo de 0 a 2 logo C overlinez dz 02 t2 it2t i dt 02 2t3 t t2 i dt 02 2t3 t dt i 02 t2 dt t42 t22 i t3302 10 83 i Esboço de C b Iremos separar C em duas partes C1 é aresta de 0 a 2i C2 é aresta de 2i a 42i Note que C1 pode ser parametrizada por z t i para 0 t 2 e C2 pode ser parametrizada por z s 2i para 0 s 4 Assim C z dz C₁ z dz C₂ z dz ₀² ti idt ₀⁴ s 2i ds ₀² t dt ₀⁴ s ds 2i ₀⁴ ds t²2 ₀² s²2 2is ₀⁴ 2 8 8i 10 8i Em C₁ temos z ti e dz idt Em C₂ temos z s 2i e dz ds Esboço de C 3 Primeiro esboçamos C Dividimos C em 4 partes e parametrizamos elas Em C₁ z t 0 t 1 dz dt Em C₂ z 1 ti 0 t 1 dz idt Em C₃ z 1 i t 0 t 1 dz dt Em C₄ z i ti 0 t 1 dz idt Assim C fz dz C₁ fz dz C₂ fz dz C₃ fz dz C₄ fz dz ₀¹ π t dt ₀¹ π t eπ j ti idt ₀¹ π t eπ 1 i t dt ₀¹ π t eπ i ti i dt π ₀¹ eπt i eπ j ti eπ 1 i t i eπ i ti dt π ₀¹ eπt i eπt eπ i t eπ 1 t π i t 1 dt π ₀¹ eπt i ecosπ t i senπ t eπ j t i cosπ t π senπ t dt π ₀¹ eπt dt 1π eπt ₀¹ eπ 1π i eπ cosπ t i senπ t dt eπ ₀¹ senπ t dt i eπ ₀¹ cosπ t dt eππ cosπ t i senπ t ₀¹ 2 eππ ₀¹ eπ1t dt eπ ₀¹ eπt dt eπ 1π eπt ₀¹ eππ eπ 1 eπ 1π ₀¹ i cosπtπ i senπt π dt ₀¹ senπt π dt i ₀¹ cosπt π dt cosπt π i senπt ππ ₀¹ 2π Juntando tudo temos C fz dz π eπ 1π 2eππ eπ 1π 2π 4 eπ 1