Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo Vetorial e Integração

Cálculo IV 1 Questão Calcular c F dr para F Y i X 32 j X 32 k Desde 000 até 390 Ao longo Da Parábola Y X2 z 0 2 Questão Se F X i Y j Z k Calcular s F ds onde S É A Superfície Cilíndrica Representada Por r Cos u i Sen u j v k onde 0 u 2π e 0 v 2 ds n ds e n vetor unitário normal Exterior 3 Questão Calcular R x F dv Se F 3 i Y k E R É Uma Região Com Volume V 4 Questão Se w X2 dx Y dy X Y Z dz E C For uma Curva Representada Pela Transformação X t Y t2 Z t 0 t 1 Calcular c w Questão 1 Para parametrizar a curva fazemos 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡2 𝑧 0 Temse o seguinte campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑦𝑖 𝑥 𝑧2 𝑗 𝑥 𝑧2 𝑘 A curva é dada por 𝑟𝑡 t 𝑖 𝑡2 𝑗 0 𝑘 A derivada da curva é dada por 𝑟𝑡 𝑖 2𝑡 𝑗 O campo vetorial avaliado ao longo da curva é dado por 𝐹𝑟 𝑡2𝑖 𝑡2 𝑗 𝑡2 𝑘 A integral de linha é calculada como segue 𝐹𝑟 𝑑𝑟 3 0 𝐹𝑟 𝑟𝑡𝑑𝑡 3 0 𝑡2𝑖 𝑡2 𝑗 𝑡2 𝑘 𝑖 2𝑡 𝑗𝑑𝑡 3 0 𝑡2 2𝑡3𝑑𝑡 3 0 𝑡3 3 2 4 𝑡4 0 3 33 3 1 2 34 33 1 3 3 2 33 2 9 6 32 11 2 𝟗𝟗 𝟐 Questão 2 Vamos parametrizar a superfície S da seguinte forma 𝜓𝑢 𝑣 cos 𝑢 sin 𝑢 𝑣 Logo temos 𝜓 𝑢 sin𝑢 cos 𝑢 0 𝜓 𝑣 001 Assim o vetor normal à superfície é dado por 𝑁 𝜓 𝑢 𝑋 𝜓 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 sin 𝑢 cos 𝑢 0 0 0 1 cos 𝑢𝑖 sin𝑢𝑗 0𝑘 cos 𝑢 sin 𝑢 0 Logo temos 𝐹 𝑑𝑆 𝐹 𝑁 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 cos 𝑢 sin 𝑢 0 𝑑𝑢𝑑𝑣 cos 𝑢 sin 𝑢 𝑣 cos 𝑢 sin𝑢 0 𝑑𝑢𝑑𝑣 cos2 𝑢 sin2 𝑢 𝑑𝑢𝑑𝑣 1 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝑢 𝑣 Logo temos 𝐹 𝑑𝑆 2𝜋 2 𝟒𝝅 Questão 3 Logo o rotacional é dado por 𝑥𝐹 𝐹𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝐹𝑥 𝑧 𝐹𝑧 𝑥 𝐹𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧 0 𝑧 𝑦 𝑥 𝑧 𝑥 0 𝑦 1 100 200 Logo a integral fica 𝑥𝐹𝑑𝑉 200𝑑𝑉 200𝑉 𝟐𝑽𝟎𝟎 Questão 4 Para parametrizar a curva fazemos 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡2 𝑧 𝑡 Temse o seguinte campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2𝑖 𝑦 𝑗 𝑥𝑦𝑧 𝑘 A curva é dada por 𝑟𝑡 t 𝑖 𝑡2 𝑗 𝑡𝑘 A derivada da curva é dada por 𝑟𝑡 𝑖 2𝑡 𝑗 𝑘 O campo vetorial avaliado ao longo da curva é dado por 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑡2𝑖 𝑡2 𝑗 𝑡4 𝑘 A integral de linha é calculada como segue 𝜔 1 0 𝐹𝑟 𝑑𝑟 1 0 𝐹𝑟 𝑟𝑡𝑑𝑡 1 0 𝑡2𝑖 𝑡2 𝑗 𝑡4 𝑘 𝑖 2𝑡 𝑗 𝑘𝑑𝑡 1 0 𝑡2 2𝑡3 𝑡4𝑑𝑡 1 0 𝑡3 3 2 4 𝑡4 𝑡5 5 0 1 1 3 2 4 1 5 3 5 15 1 2 8 15 1 2 16 30 15 30 𝟑𝟏 𝟑𝟎 Questão 1 Para parametrizar a curva fazemos xt yt 2 z0 Temse o seguinte campo vetorial F x y z y ixz 2 jxz 2 k A curva é dada por r t t it 2 j0k A derivada da curva é dada por r ti2t j O campo vetorial avaliado ao longo da curva é dado por F r t 2 it 2 jt 2 k A integral de linha é calculada como segue 0 3 F r d r 0 3 F r r t dt 0 3 t 2 it 2 jt 2 k i2t jdt 0 3 t 22t 3dt t 3 3 2 4 t 4 0 3 3 3 3 1 2 3 4 3 3 1 3 3 2 3 3 29 6 3 2 11 2 99 2 Questão 2 Vamos parametrizar a superfície S da seguinte forma ψ uv cosu sinuv Logo temos ψ u sinucos u0 ψ v 00 1 Assim o vetor normal à superfície é dado por Nψ u X ψ v i j k sinu cosu 0 0 0 1 cosu isinu j0 k cosusinu0 Logo temos FdSF N dud v x y z cosusinu0dud v cosusinu v cos usinu0dudv cos 2usin 2ududv 1dudv u v Logo temos FdS2 π2 4 π Questão 3 Logo o rotacional é dado por x F Fz y F y z Fx z Fz x F y x Fx y y y z z 0 z y x z x 0 y 1100 200 Logo a integral fica x F dV200dV 200V 2V 00 Questão 4 Para parametrizar a curva fazemos xt yt 2 zt Temse o seguinte campo vetorial F x y z x 2 i y jxyz k A curva é dada por r t t it 2 jt k A derivada da curva é dada por r ti2t jk O campo vetorial avaliado ao longo da curva é dado por F x y z t 2 it 2 jt 4 k A integral de linha é calculada como segue 0 1 ω 0 1 F r d r 0 1 F r r t dt 0 1 t 2 it 2 jt 4 k i2t jkdt 0 1 t 22t 3t 4dt t 3 3 2 4 t 4 t 5 5 0 1 1 3 2 4 1 5 35 15 1 2 8 15 1 2 16 30 15 30 31 30