Sistemas e Transformação de Coordenadas

SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS A educação torna fácil liderar um povo mas difícil manobrálo fácil governálo mas impossível escravizálo HENRY P BROUGHAM 21 INTRODUÇÃO Em geral as quantidades físicas com que trabalhamos no EM são funções do espaço e do tempo A fim de descrever as variações espaciais dessas quantidades devemos ser capazes de definir todos os pontos de maneira única no espaço de forma adequada Isto requer o uso de um sistema de coordenadas apropriado Um ponto ou um vetor pode ser representado em qualquer sistema de coordenadas curvilíneo ortogonal ou nãoortogonal Um sistema ortogonal é aquele em que as coordenadas são mutuamente perpendiculares Sistemas nãoortogonais são difíceis de trabalhar e são de pouca ou nenhuma utilidade prática Exemplos de sistemas de coordenadas ortogonais incluem o sistema cartesiano ou retangular o cilíndrico circular o esférico o cilindrico elíptico o cilindrico parabólico o cônico o esferoidal oblongo o esferoidal achatado e o elipsoidal Podese economizar uma parcela considerável de tempo e de trabalho ao escolher um sistema de coordenadas que mais se adapta a um dado problema Um problema difícil em um sistema de coordenadas pode ser de fácil solução em outro sistema Neste texto nos restringiremos aos três mais conhecidos sistemas de coordenadas o cartesiano o cilíndrico circular e o esférico Embora tenhamos considerado o sistema cartesiano no Capítulo 1 o trataremos em detalhe nesse capítulo Devemos ter em mente que conceitos abordados no Capítulo 1 e demonstrados para um sistema de coordenadas cartesiano são igualmente aplicáveis para outros sistemas de coordenadas Por exemplo o procedimento para determinar o produto ponto ou o produto cruzado entre dois vetores no sistema cilíndrico é o mesmo que o usado no sistema cartesiano no Capítulo 1 Alguma vez é necessário transformar pontos e vetores de um sistema de coordenadas para outro sistema As técnicas para operar essa mudança de coordenadas serão apresentadas e ilustradas com exemplos 22 COORDENADAS CARTESIANAS X Y Z Como mencionado no Capítulo 1 um ponto P pode ser representado por x y z conforme ilustrado na Figura 11 Os intervalos de variação das variáveis coordenadas x y e z são x y z Um vetor A em coordenadas cartesianas também conhecida como retangulares pode ser escrito como Aₓ Aᵧ A𝓏 ou A Aₓ aₓ Aᵧ aᵧ A𝓏 a𝓏 onde aₓ aᵧ e a𝓏 são vetores unitários ao longo de x y e z como mostrado na Figura 11 23 COORDENADAS CILÍNDRICAS CIRCULARES ρ φ z Um sistema de coordenadas cilíndrico circular é conveniente quando tratamos problemas com simetria cilíndrica Um ponto P em coordenadas cilíndricas é representado por ρ φ z como mostrado na Figura 21 Observe a Figura 21 atentamente e verifique como definimos cada uma das variáveis espaciais ρ é o raio do cilindro que passa por P e δ é a distância radial a partir do eixo x φ denominado ângulo azimutal é medido a partir do eixo x no plano xy e z é o mesmo do sistema cartesiano Os intervalos das variáveis são 0 ρ 0 φ 2π z Um vetor A em coordenadas cilíndricas pode ser escrito como Aᵇ Aᶜ A𝓏 ou A Aᵇ aᵇ Aᶜ aᶜ A𝓏 a𝓏 onde aᵦ aᶜ e a𝓏 são vetores unitários ao longo de ρ φ e z como mostrado na Figura 21 Observe que aᵦ não é dado em graus ele assume a unidade do vetor unitário de A Por exemplo se uma força de 10 N age sobre uma partícula em movimento circular a força pode ser representada como F 10aₐ N Neste caso aᵦ é dada em newtons Finalmente as relações entre Ar Aθ e Aϕ e Ax Ay e Az são obtidas simplesmente substituindo a equação 29 na equação 22 e agrupando os termos Assim A Ax cos φ Ay sen φab Az sen φ Az cos φazz Azz 211 Os vetores unitários ar aθ e aϕ são mutuamente ortogonais ar orientado segundo o raio ou no sentido de crescimento de r aθ no sentido de crescimento de θ e aϕ no sentido de crescimento de φ Logo ar aθ aθ aϕ aϕ ar 1 ar ar aθ aθ aϕ aϕ 0 220 O sistema de coordenadas esférico é mais apropriado para tratar problemas com simetria esférica Um ponto P pode ser representado como r θ φ conforme ilustrado na Figura 24 Dessa figura verificase que r é definido como a distância a partir da origem até o ponto P ou o raio da esfera centrada na origem e que passa por P φ denominado colatitude é o ângulo entre o eixo z e o vetor posição de P e φ é medido a partir do eixo x o mesmo ângulo azimutal em coordenadas cilíndricas De acordo com essas definições os intervalos de variação das variáveis são 0 r 0 θ π 0 φ 2π 217 Na forma matricial a transformação de vetores Ar Aφ Az Ax Ay Az é obtida através de Dado um ponto P2 6 3 e o vetor A ya x xa expresse P e A em coordenadas cilíndricas e esféricas Determine A em P nos sistemas cartesian cilíndrico e esférico De maneira similar no sistema esférico Ar sen θ cos φ Aφ cos θ cos φ Az sen φ EXERCÍCIO PRÁTICO 21 a Converta os pontos P1 3 5 T0 4 3 e S3 4 10 do sistema cartesianopara o sistema de coordenadas cilíndrico e para o esfera b Transforme o vetor Q x² y² aϕ yz az para coordenadas cilíndricas e esféricas c Determine Q em T nos três sistemas de coordenadas Resposta a P3162 7156 5 P5916 3231 7156 T4 270 3 S5 5313 270 S5 2331 10 S11 18 15343 2331 b cos φ aϕ sen φ az sen θ sen φ aϕ sen θ az sen φ cos θ cos φ aϕ r sen θ aϕ sen θ sen φ az 08 aϕ 24 az 08 aϕ 24 az 144 az 192 aϕ 08 az c 08 aϕ 24 az 08 aϕ 24 az 144 az 192 aϕ 08 az EXEMPLO 22 Expresse o vetor B 10r aϕ r cos θ aϕ az em coordenadas cartesianas e cilíndricas Determine B3 4 0 e B5 π2 2 Solução Usando a equação 228 Bx By Bz sen θ cos φ sen θ sen φ cos θ 10 rr cos θ onde Bx By e Bz como dados acima Em 3 4 0 x 3 y 4 e z 0 tal que Bx 3025 0 45 2 By 4025 0 35 1 Bz 0 0 0 Portanto B 2aϕ az Para transformação de vetor de coordenadas esféricas para coordenadas cilíndricas veja Problema 29 Bφ Bθ Bz sen θ cos θ 0 1 10rr cos θ ou Bφ 10r sen θ r cos² θ Bθ 1 Bz 10r cos θ r sen θ No entanto r ρ² z² e θ tg¹ ρz Portanto sen θ ρ ρ² z² cos θ z ρ² z² Bp 10ρ ρ² z² Bz 10z ρ² z² ρ ρ² z² Por conseguinte B 10p ρ² z² ap 10z ρ² z² az Em 5 π2 2 ρ 5 φ π2 e z 2 tal que B 5029 429 ap aϕ 1029 2029 az 2467aϕ az 1167az Observe que em 3 4 0 Bx y z Bρ φ z Br θ φ 2907 Esse procedimento pode ser usado para conferir sempre que possível a correção do resultado EXERCÍCIO PRÁTICO 22 Expresse os seguintes vetores em coordenadas cartesianas a A ρz sen φ az 3ρ cos φ aϕ ρ cos φ sen φ az b B r² ar sen θ aϕ Resposta a A 1x² y²xy2 3xy az x² 3x² ay xy ax b B ω x² y² z² ay yx² y² z² zx² y² z² ax zx² y² z² az As superfícies nos sistemas coordenados cartesianas cilíndrico ou esférico são facilmente obtidos ao manter uma das variáveis coordenadas constante enquanto as demais variam No sistema cartesiano se mantivermos x constante e deixarmos y e z variar um plano infinito é gerado Portanto podemos ter planos infinitos x constante y constante 234 z constante os quais são perpendiculares aos eixos x y e z respectivamente como mostra a Figura 27 A interseção entre dois planos é uma linha Por exemplo x constante y constante 235 é a linha RPQ paralela ao eixo z A interseção entre os três planos é um ponto Por exemplo x constante y constante z constante 236 é o ponto Px y z Portanto podemos definir o ponto P como a interseção entre os três planos ortogonais infinitos Se P é 1 5 3 então P é a interseção dos planos x 1 y 5 e z 3 Superfícies ortogonais em coordenadas cilíndricas podem ser geradas da mesma forma As superfícies ρ constante 237 φ constante z constante 238 estão ilustradas na Figura 28 onde é fácil observar que ρ constante é um cilindro circular φ constante é um semiplano infinito com suas bordas ao longo do eixo z e z constante é o mesmo plano infinito do sistema cartesiano O encontro de duas superfícies tanto pode ser uma linha quanto um círculo Portanto z constante ρ constante é um círculo QPR de raio ρ enquanto z constante e φ constante é uma linha semiinfinita Um ponto é a interseção de três superfícies na equação 237 Portanto ρ 2 φ 60 z 5 239 é o ponto P2 60 5 A natureza ortogonal do sistema de coordenadas esféricas fica evidente ao considerarmos as três superfícies r constante 240 θ constante φ constante que são mostradas na Figura 29 onde observamos que r constante é uma esfera com o centro na origem θ constante é um cone circular tendo seu eixo sobre o eixo z e o vértice na origem φ constante é um semiplano infinito como no sistema cilíndrico Uma linha é formada pela interseção de duas superfícies Por exemplo r constante φ constante 241 é um semicírculo que passa por Q e P A interseção das três superfícies é um ponto Portanto r 5 θ 30 φ 60 242 é o ponto P5 30 60 Observamos que em geral um ponto no espaço tridimensional pode ser identificado como a interseção de três superfícies mutuamente ortogonais Igualmente um vetor unitário normal à superfície n constante é a1 onde n é x y z ou θ Por exemplo para o plano x 5 o vetor unitário normal é a1 e para o plano φ 20 um vetor unitário normal é aφ Solução a E F aρ aφ az 5 aρ 10 aφ 3 az 60 6aρ 3 30aφ 10 10az 66 27 20 E F 66² 27² 20² 7406 b A linha x 2 z 3 é paralela ao eixo y dessa forma a componente de E paralela a essa linha é E aφaφ Contudo em P5 π2 3 aφ sen φ aρ cos φ az sen π2 aρ cos π2 az aρ Dessa forma E aφaφ E aφaρ 5 aρ ou 5a c Uma vez que o eixo z é normal à superfície z 3 o ângulo entre o eixo z e E como mostrado na Figura 210 pode ser determinado usando o produto ponto E a1 E1 cos θE 3 134 cos θE D r sen φ ar 1r sen θ cos φ aθ r² aθ 1 Os três sistemas de coordenadas mais comuns que iremos utilizar ao longo desse livro são o cartesiano ou retangular o cilíndrico circular e o esférico a 20ar b 50aθ c 40aϕ d 20ar 40aθ e 40aϕ 20aθ 22 Expresse os seguintes pontos em coordenadas cilíndricas e esféricas a P1 4 3 b Q3 0 5 c R2 6 0 210 a Expresse o campo vetorial H xy²za x²yza xyz²aₓ em coordenadas cilíndricas e esféricas b Tanto em sistemas de coordenadas cilíndricas quanto esféricas determine H em 3 4 5 218 Dado G x y²za xza z² xyza determina componente vetorial de G ao longo de aₓ no ponto P8 30 60 Sua resposta deve ser dada em coordenadas cartesianas