Lista de Exercicios Resolucao de Problemas em Coordenadas Cilindricas e Esfericas

25 Converta os seguintes vetores para os sistemas cilíndrico e esférico a F x aₓ y aᵧ 4 a𝓏 x² y² z² b G x² y²x aₓ x² y² z² y aᵧ x² y² z² z a𝓏 x² y² z² 26 Expresse os seguintes vetores em coordenadas cartesianas a A ρz² 1aₓ ρz cos φ aᵩ b B 2r sen θ cos φ aᵩ r cos θ cos θ aₓ r sen φ aᵩ 27 Converta os seguintes vetores para o sistema de coordenadas cartesianas a C z sen φ aᵩ ρ cos φ aᵩ 2ρz a𝓏 b D sen θ r² aₓ cos θ r² aᵩ 28 Prove o que segue a aₓ aᵩ cos φ aₓ aᵩ sen φ aᵧ aᵩ sen φ aᵧ aᵩ cos φ b aₓ aᵣ sen θ cos φ aₓ aᵩ cos θ cos φ aᵧ aᵣ sen θ sen φ aᵧ aᵩ cos θ sen φ a𝓏 aᵣ cos θ a𝓏 aᵩ sen θ 29 a Demonstre que a transformação de um ponto do sistema de coordenadas cilíndricas para o sistema de coordenadas esféricas é obtida usando r ρ² z² θ tg¹ρz φ φ ou ρ r sen θ z r cos θ φ φ b Demonstre que a transformação de um vetor do sistema de coordenadas cilíndricas para o sistema de coordenadas esféricas é obtida usando Aᵣ Aᵩ A𝓏 sen θ 0 cos θ cos θ 0 sen θ 0 1 0 Aρ Aᵩ Az ou Aρ Aᵩ Az sen θ cos θ 0 0 0 1 cos θ sen θ 0 Aᵣ Aᵩ A𝓏 Dica utilize as Figuras 25 e 26 210 a Expresse o campo vetorial H xy² z aₓ x² y z aᵩ xyz² a𝓏 em coordenadas cilíndricas e esféricas b Tanto em sistemas de coordenadas cilíndricas quanto esféricas determine H em 3 4 5 211 Seja A ρ cos θ aᵩ ρz² sen φ aᵩ a Transforme A para coordenadas retangulares e determine sua magnitude no ponto 3 4 0 b Transforme A para coordenadas esféricas e determine sua magnitude no ponto 3 4 0 212 A transformação Aρ Aᵩ Az Aᵣ Aᵩ A𝓏 na equação 215 não está completa Completea expressando cos φ e sen φ em termos de x y e z Faça o mesmo para a transformação Aᵣ Aᵩ A𝓏 Aρ Aᵩ Az na equação 228 213 No Exercício Prático 22 expresse A em coordenadas esféricas e B em coordenadas cilíndricas Determine A em 10 π2 3π4 e B em 2 π6 1 214 Calcule a distância entre os seguintes pares de pontos a 2 1 5 e 6 1 2 b 3 π2 1 e 5 3π2 5 c 10 π4 3π4 e 5 π6 7π4 215 Descreva a interseção entre as seguintes superfícies a x 2 y 5 b x 2 y 1 z 10 c r 10 θ 30 d ρ 5 φ 40 e φ 60 z 10 f r 5 φ 90 216 No ponto T2 3 4 expresse a no sistema esférico e a no sistema retangular 217 Dados os vetores A 2aₓ 4aᵧ 10a𝓏 e B 5aₓ aᵧ 3a𝓏 determine a A B em P0 2 5 b o ângulo entre A e B em P c a componente escalar de A ao longo de B em P 218 Dado G x y²aₓ xzaᵧ z² zya𝓏 determine a componente vetorial de G ao longo de aₓ no ponto P8 30 60 Sua resposta deve ser dada em coordenadas cartesianas b Demonstre que a transformação de um vetor do sistema de coordenadas cilíndricas para o sistema de coordenadas esféricas é obtida usando Aᵣ Aᵩ A𝓏 sen θ 0 cos θ cos θ 0 sen θ 0 1 0 Aρ Aᵩ A𝓏 ou Aρ Aᵩ A𝓏 sen θ cos θ 0 0 0 1 cos θ sen θ 0 Aᵣ Aᵩ A𝓏 Dica utilize as Figuras 25 e 26 210 a Expresse o campo vetorial H xy² z aₓ x² y z aᵩ xyz² a𝓏 em coordenadas cilíndricas e esféricas b Tanto em sistemas de coordenadas cilíndricas quanto esféricas determine H em 3 4 5 211 Seja A ρ cos θ aᵩ ρz² sen φ aᵩ a Transforme A para coordenadas retangulares e determine sua magnitude no ponto 3 4 0 b Transforme A para coordenadas esféricas e determine sua magnitude no ponto 3 4 0 212 A transformação Aρ Aᵩ A𝓏 Aᵣ Aᵩ A𝓏 na equação 215 não está completa Completea expressando cos φ e sen φ em termos de x y e z Faça o mesmo para a transformação Aᵣ Aᵩ A𝓏 Aρ Aᵩ A𝓏 na equação 228 213 No Exercício Prático 22 expresse A em coordenadas esféricas e B em coordenadas cilíndricas Determine A em 10 π2 3π4 e B em 2 π6 1 214 Calcule a distância entre os seguintes pares de pontos a 2 1 5 e 6 1 2 b 3 π2 1 e 5 3π2 5 c 10 π4 3π4 e 5 π6 7π4 215 Descreva a interseção entre as seguintes superfícies a x 2 y 5 b x 2 y 1 z 10 c r 10 θ 30 d ρ 5 φ 40 e φ 60 z 10 f r 5 φ 90 216 No ponto T2 3 4 expresse a no sistema esférico e a no sistema retangular 217 Dados os vetores A 2aₓ 4aᵧ 10a𝓏 e B 5aₓ aᵧ 3a𝓏 determine a A B em P0 2 5 b o ângulo entre A e B em P c a componente escalar de A ao longo de B em P 218 Dado G x y²aₓ xzaᵧ z² zya𝓏 determine a componente vetorial de G ao longo de aₓ no ponto P8 30 60 Sua resposta deve ser dada em coordenadas cartesianas 219 Se J r sen θ cos φ aᵩ cos 2θ sen φ aᵩ tg θ2 ln r a𝓏 em T2 π2 3π2 determine a componente vetorial de J que seja 218 Dado G x y2ax xzaz z2 zyay determine a componente vetorial de G ao longo de a0 no ponto P8 30 60 Sua resposta deve ser dada em coordenadas cartesianas Sistemas e Transformação de Coordenadas 61 219 Se J r sen θ cos φ ar cos 2θ sen φ aθ tg θ2 ln r aφ a em T2 π2 3π2 determine a componente vetorial de J que seja a paralela à az b normal à superfície φ 3π2 c tangencial à superfície esférica r 2 d paralela à linha y 2 z 0 220 Seja H 5ρ sen φ aρ ρz cos φ aφ 2ρaz No ponto P2 30 1 determine a um vetor unitário ao longo de H b a componente de H paralela à ar c a componente de H normal a ρ 2 d a componente de H tangencial a φ 30 221 Seja A ρz2 1aρ ρz cos φ aφ ρ2z2az e B r2 cos φ ar 2r sen θ aθ Calcule em T3 4 1 a A e B b a componente vetorial de A ao longo de B em T em coordenadas cilíndricas c o vetor unitário perpendicular tanto a A quanto a B em T em coordenadas esféricas 222 Uma outra maneira de definir um ponto P no espaço é através de r α β γ onde as variáveis estão indicadas na Figura 211 Utilizando essa definição determine r α β γ para os seguintes pontos a 2 3 6 b 4 30 3 c 3 30 60 Dica r é o r de coordenadas esféricas 0 α β γ 2π Figura 211 Referente ao Problema 222 223 Um campo vetorial em um misto de variáveis coordenadas é dado por G x cos φ ρ ax 2yz ρ2 1 x2 ρ2 az Expresse G de maneira completa em um sistema esférico