Fisica e Estatistica

Universidade Federal do Pará Faculdade de Física Curso de Física EAD Mecânica Estatística 1 Prof Dr Elinei Santos Primeira Lista avaliativa da disciplina Digite a equação aqui 1 Considere o problema de passeio aleatório com p q e seja m n1 n2 representando o deslocamento total para a direita Após N passos calcule a seguintes médias m m2 m3 e m4 2 A probabilidade Wn de um evento caracterizado por uma probabilidade p de ocorrer n vezes em N tentativas foi mostrado ser dada pela distribuição binomial Wn NnNn pn1pNn Considere a situação onde a probabilidade p é pequena p 1 e onde estamos interessados no caso em que n N Note que se N é grande Wn se torna muito pequeno se n N por causa do valor muito pequeno do fator pn quando p 1 Várias aproximações podem ser feitas para reduzir a equação acima para formas mais simples a Usando o resultado ln1 p p mostre que 1 pNn eNp b Mostre que NN n Nn c Mostre portanto que a equação geral acima se reduz para Wn λnn eλ Onde λ Np é o número médio de eventos Essa distribuição é chamada de distribuição de Poisson 3 Em um curso de Física Básica para um aluno mediano é duas vezes mais frequente tirar um 6 do que um 4 e quatro vezes mais frequente tirar um 8 do que um 6 e metade da frequência de tirar um 6 para reprovar a Determine a probabilidade de cada resultado b Faça um gráfico da distribuição de probabilidade para as notas do aluno Questão 1 Passeio Aleatório Simétrico Considero um passeio aleatório onde em cada passo o deslocamento é 1 para a direita ou 1 para a esquerda com probabilidades iguais ou seja p q 12 Denoto por m n1 n2 Σ i1 a N Xi onde cada variável Xi assume o valor 1 ou 1 com probabilidade 12 Primeiramente verifico que o valor esperado de cada Xi é Xi 121 121 0 de forma que m m Σ i1 a N Xi 0 Para o segundo momento observo que Xi2 1212 1212 1 Como os passos são independentes não há correlação entre Xi e Xj para i j Assim a média de m2 é m2 m2 Σ i1 a N Xi2 2Σ ij XiXj N x 1 0 N Devido à simetria da distribuição dos Xi o terceiro momento se anula m3 m3 0 Para o quarto momento utilizo o fato de que para cada Xi temos Xi4 1 e novamente as variáveis são independentes o que me permite escrever m4 Σ i1 a N Xi4 3Σ ij Xi2Xj2 Sendo o primeiro somatório igual a N e o segundo somatório igual a NN1 concluo que m4 N 3NN 1 3N2 2N Resumindo obtive m 0 m2 N m3 0 m4 3N2 2N Questão 2 Aproximação da Distribuição Binomial para p 1 A distribuição binomial é dada por Wn NnNn pn1pNn Assumindo que p é muito pequeno p 1 e que n N procedo com as seguintes aproximações a Aproximação de 1pNn Utilizando a expansão do logaritmo para p 1 ln1p p tenho ln1pNn Nnln1p Nnp Como n N posso aproximar N n N resultando em 1pNn eNp b Aproximação de NNn Observo que NNn NN1N2Nn1 Se n é pequeno em relação a N cada fator Nk N para k N o que me permite escrever NNn Nn c Obtenção da Distribuição de Poisson Substituindo as aproximações na distribuição original obtenho Wn Nnn pn eNp Note que Nn pn Npn Definindo λ Np a expressão se torna Wn λnn eλ que é a distribuição de Poisson Questão 3 Distribuição de Notas para um Aluno Mediano No problema as relações entre as frequências relativas são as seguintes Tirar um 6 é duas vezes mais frequente do que tirar um 4 Tirar um 8 é quatro vezes mais frequente do que tirar um 6 Tirar um 4 que corresponde à reprovação ocorre com metade da frequência de tirar um 6 Seja f4 a frequência de tirar um 4 f6 a de tirar um 6 e f8 a de tirar um 8 Assim posso escrever f6 2 f4 e f8 4 f6 8 f4 Como a soma das frequˆencias deve ser 1 tenho f4 f6 f8 f4 2f4 8f4 11f4 1 Dessa forma concluo f4 1 11 f6 2 11 f8 8 11 Logo as probabilidades para cada resultado sao P4 1 11 P6 2 11 P8 8 11 Grafico da Distribuicao de Probabilidade Figura 1 Distribuicao de Probabilidade das Notas do Aluno 3