Exercicios Resolvidos - Conjuntos Numericos e Limitantes

Dados A R não vazio limitado superiormente seja c A c x x A Mostre que a c A é limitado superiormente b supc A c sup A Dados abε num corpo ordenado K prove que b ε a b ε Dados AB R não vazios limitados inferiormente seja A B x y x A y B Mostre que a A B é limitado inferiormente b infA B inf A inf B Sejam A R não vazio limitado superiormente e c A c x x A a Seja a sup A Então x a x A Multiplicando ambos lados da desigualdade por c obtemos c x ca Logo ca é uma cota superior de c A Portanto o conjunto c A é limitado superiormente b Seja d tal que d ca então dc a impli cando que d não é cota superior de A Logo existe x A tal que dc x ou seja d c x implicando que d não é cota superior de c A Assim ca é a menor cota superior de c A ou seja supc A ca Portanto c sup A sup c A Dados a b ε IK IK corpo ordenado Prove b ε a b ε Prova Suponha que a b ε Somando b a ambos lados a bb ε b Temos a a b b a b b des triangular Logo a ε b I Analogamente suponha b a ε Então b a a ε a Temos b b a a b a a des triangular Logo b b a a ε a ou seja b ε a II Portanto por I e II b ε a b ε Dados A B IR não vazios limitados inferiormente Seja A B x y x A y B a Como A e B são limitados inferiormente então existem d t IR tais que x d x A e y t y B Logo x y d t x y A B Portanto o conjunto A B é limitado inferiormente b sejam a inf A b inf B Então x A a x e y B b y Logo a b x y Donde segue que a b é uma cota inferior para A B Então existem x A y B tais que ε 0 vale x a ε2 e y b ε2 Pois a b são cotas inferiores Daí temos x y a ε2 b ε2 a b ε ou seja x y a b ε Logo a b é maior cota inferior ou seja infAB a b Portanto inf A inf B infAB