Lista de Exercícios Resolvidos - Propriedades da Adição, Multiplicação e Ordem em Números Naturais

134 Exercícios 1 Prove as seguintes propriedades da adição A1 Associatividade m n p m n p para todo mnp N A2 Comutatividade m n n m para todo mn N A3 Lei do Corte m n m p implica que n p 2 Prove as seguintes propriedades da Multiplicação M1 Associatividade m n p m n p para todo mnp N M2 Comutatividade m n n m para todo mn N M3 Lei do Corte m n m p implica que n p M4 Distributividade m n p m n m p para todo mnp N 3 Prove as seguintes propriedades de Ordem O1 Transitividade Se m n e n p então m p O2 Tricotomia Dados mn N só temse apenas três possibilidades ou m n ou m n ou n m O3 Monotonicidade da adição m n implica que m p n p para todo p N O4 Monotonicidade da multiplicação m n implica que m p n p para todo p N 4 Prove que assumindo os axiomas de P1 e P2 verdadeiros o axioma P3 é equivalente ao seguinte axioma Para todo conjunto A N temse que A sA 0 5 Mostre por indução que a 1 2 3 n nn12 b 1 2² 3² n² n2n² 3n 16 c 1 2³ 3³ n³ 1 2 3 n² 6 Dados ab N prove que existe um número natural m tal que m a b 7 Seja a N Se um conjunto X é tal que a X e além disso n X implica que n 1 X então X contém todos os naturais p tal que p a 8 Mostre que a n 2ⁿ para todo n 4 b 2ⁿ n² para todo n 4 9 Mostre que todo número natural maior ou igual que 2 possui uma decomposição em fatores primos A1 mnp m np Seja X o conjunto de todos os p que satisfazem Note que mn1 Smn m sn m hn Assim 1 pertence o X Agora para um p qualquer mnp1 smnp smnp m snp m n p 1 Not que smnp mn sp Assim sp X Desso termo por P3 XIN A2 Vamos mostrar que 1 a a 1 o e X Note que o 1 X já que 1011 Agora vx at X 1a1 1 a1 1 D0 1 a 1 a 1 1 D0 1 Assim aω X Por P3 XIN A3 Vamos mostrar que n p n p então mn mp Seja X o conjunto dãs m 1h sh 1 p sp como n p sh p 1 X Agora 3e mb X m n m p 7 smn smp 7 smt n sm p Assim dm Y Por p3 XIN 2 M1 Aep1 mnp mnh mh mh1 0 Assim 1t X para pεX mnp mhp m np mh 8 m np p mn h p m npmh mhp mh Mh αp Assim X IN M2 lmh n m Somese que y Dy x y 1 h n 1 l X mh 7 h2 Indução Visto Est a m 1 a m a m a u m1 a Assim slnt X 7 XIN M3 Vamos mostrar que se h P então m h mp a h nh 1 p p 1 n 1 p 7 IOCX Se m 6 X m 1 h m n n m 1 p m p p Se np m1 h m 1 p m h n p Absi Assim n p e dm X Logo xIN M hp m n m p Seja m sp m h m 16 X m h sp m sph m ph m mn mp mn mn m sp Sogo sp X Assim XIN 37 01 n m n mu p n 7 p nv Assim p muv 7 p7m 027 m nu ou n mu ou h n m7n mah ou mn 031 mh num pn pmu pm 047 h m u np mu p mp up mp 5 01 n1 1 12 2 123 n n1 n n1 n1 n1 n3 2 2 b n1 1 1 11 21 6 1 2 3 n2 n13 n n1 2n1 n12 n1 n1 2n3 6 6 c n1 112 133 n3 n1 3 nn1 22 n13 n13 n2 4 n1 n1 n3 2 6 O conjunto m m IN é infinito e portanto não possui maximo Assim mab para certo m 7 Considerando o conjunto γ x a 1 u1 o afirmasão se torno equivolente a P3 8 01 1 7 21 n n1 2 n1 2 1 só que n2 b 24 42 2n 2n n2 2 n12 so que n 4 n possui divisor diferente de 1 Sim Noo n é primo Divido por n e repito o procedimento