Desigualdades-Conjuntos-Funcoes-Exercicios Resolvidos

Dados x y a b R prove as desigualdade abaixo a x y x y b Se x a 𝜀2 e y b 𝜀2 então x y a b 𝜀 c xy x²2 y²2 d xy x²4𝜀 𝜀y² para todo 𝜀 0 Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito Prove que existe uma função sobrejetiva f Y X Seja B nn1 Q n N um subconjunto de Q Mostre que a B é não vazio b B é limitado c 1 é o supremo de B Seja f X Y uma função Prove que a Se f é injetiva e X é infinito então Y é infinito b Se f é sobrejetiva e Y é infinito então X é infinito Prove que o conjunto X x 𝜋2 𝜋 R sinx 32 é enume 1 la Pelo designaldade triangular Int In yay É in yittyl bet lyle lat yl lb linty ca b l 14 a t ly b l et la alt ly bl TE E E c Ny e ayy I sett ys Zay es d zay y so G y 20 que é Verdad ta yeiR portanto segue que ay I 24 I Hayek Id my e g t Ey E 0 Sja E g g e y enter KJ Z yEE ay e por la E R Je ETE É t Ey portanto ay I 4 t Ey D Eso Ny E IR 2 Sega X Lan any um conjunto finite a Y um Conjunto infinite Selecione n elements distintos de Y que enistem pois Y r infinite 1 Ly ya yn4 CY Define f Y X por f fyi hi i 12 n fly hi yet hymn Yny entao f Y X é fungo sobujetora poi por construgao Imlf Lan and X 3 B I i ne ing ca a Como A e in f 1 E B B e nai vazio b Quero nostro que tf s f t he in s e ne nti e Ost que é sempre Verdad portanto I s 1 t n E N logo Be limitado por cima por 1 Como t ne on htt o e n 20 segre que f 20 portanto Be limitado interiormente pro Be limitado Ic Sega s umc coke superior de B enter I s t ne in em particular s o hens s n ns es s n 11 s Ys the IN Pelor propriedade Anguimedianc ar IR supondo que 1 s 0 eaiste ME IN i n 7 s 5 o que por Carol e absendo por tanto 1 see a 521 Segue que 1 sup B 4 f X Y funcat la fi ingativa X infinite Superhero que Y seja finite Entao F ne in bas que Fg Yt In 412 ny e mma bijecat Considers g of X t In fungus composta Como f e injutora e g i injetora se a the flap flan g flan glfian Portanto go f é fungo injetora Como In e infinite e g f X In Sigue que X é infinite o que e abounds Portanto Y é infinity b Suponhe que X sega finito a gun F ne in X 421 any Como f i sobujelora Im Ifl Y 4 fears float if canty 5 Note que f title it IR flat sin a e fungo injelora Come In If to I I CE title it bl que flat E Pele injetividade de f y se d e title it f lol By c c Assim X hey portanto X i finito Em particular X e enumerdvel 5 Note que f 𝜋2𝜋 R fx sin x é função injetora Como Imf 01 c 𝜋2 𝜋 tal que fc 32 Pela injetividade de f se c 𝜋2 𝜋 fc 32 c c Assim X c portanto X é finito Em particular X é enumerável