Sequencias Periodicas Convergentes e Limites de Sequencias Numericas - Exercicios Resolvidos

1 Uma sequência xnnℕ dizse periódica quando existe p ℕ tal que xnp xn para todo n ℕ Prove que toda sequência periódica convergente é constante 2 Dadas as sequências xnnℕ e ynnℕ defina znnℕ pondo z2n1 xn e z2n yn Se lim xn lim yn a prove que lim zn a 3 Se lim xn a prove que lim xn a 4 Se lim xn a lim yn b e xn yn ε para todo n ℕ prove que a b ε 5 Sejam k ℕ e a 0 Se a xn nk para todo n então lim nxn 1 Prova Seja xn uma sequência periódica convergente Suponha por absurdo que xn não é constante Então existem elementos xi xk em xn com i k tais que A sequência xi xip xi2p onde xi xi np n N converge para xi A sequência xk xkp xk2p onde xk xk np n N converge para xk Logo existem pelo menos duas subsequências de xn que convergem respectivamente para xi e xk com xi xk contrariando a hipótese que xn é convergente Portanto xn é constante Prova Sejam xn e yn sequências Defina a sequência zn como z2n1 xn e z2n yn n N Suponha que lim xn lim yn a Então dado ε 0 existem n1 n2 N tais que n n1 xn a ε e n n2 yn a ε Tome n0 maxn1 n2 Logo temos simultaneamente xn yn a ε a ε ou seja z2n z2n1 a ε a ε então para n 2n0 1 temos zn a ε a ε Portanto lim zn a 3 Prova Suponha que lim xn a então dado ε0 existe no N tal que nno então xnaε Queremos mostrar lim xn a ou seja dado ε0 existe no N tal que n no implica xna ε No conjunto dos números reais vale xna xn a Logo xna xn a ε n no xna ε Portanto lim xn a 4 Prova Suponha por absurdo que abε e ynxnε Tomando nno tal que ynbε2 e xnaε3 onde ε1ε2ε3ε com ε1ab já que tomando ε2ε3εε1 0 logo ynxn ynbba xna ε1 ε2 ε3 ε contradição Pois ynxnε 5 Prova Dados ε0 e k N tais que εxn nk temos que xn é limitada ou seja 0xn nk Queremos mostrar que limⁿxn 1 A sequência xn é convergente pois é uma sequência monótona e limitada Logo podemos escrever limⁿxn a Afirmação a0 De fato o se xn1 então a sup ⁿxn n N t xn o se 0 xn 1 então a inf ⁿxn n N t 1 Considere a subsequência xn1n xn11n1 xn21n2 xn31n3 Precisamos mostrar que lim xn1n1 1 Pois se uma sequência converge para a então toda subsequência também converge para a ou seja a lim xn1n1 lim xn1n 1n1 lim xn1n xn1n1 aa 1 Agora seja xn n k para n 0 temos xn n k nk nn n k vezes nk 0 xn nk Portanto lim nxn lim nn k 1