Limites e Continuidade de Funções Reais - Teoremas e Exemplos

Existe limite Exemplos 1 fx x x x 0 2 fx x2 1 x 1 x 1 Prova Seja lim x c fx L Então dado ε 0 existe δ 0 tal que x A c temse x c δ fx L ε Tomemos xn A c com xn c Então existe n0 N tal que xn c δ fxn L ε n n0 lim n fxn L Reciprocamente Exercício Por contradição IMPORTANTE Exemplo Mostre que não existe o lim x0 sen1x Corolário consequência A função f I R é contínua em c I se e somente se ε 0 δ 0 Tq x I 0 x c δ fx fc ε Prova Exercício Lema 1 Seja f ab R contínua 060622 em a ab Então f é limitada Prova exercício Teorema Seja f I R contínua e monótona no intervalo I Então a função inversa f¹ fI é contínua Prova exercício