Lista de Exercicios Resolvidos - Teoria dos Numeros e Primos

Exercícios Lembrese do que dissemos no Prefácio nos exercícios propostos dêse ao trabalho de redigir a demonstração ou resolução Redija leia e releia o que escrever Isso vai lhe ajudar muito no aprendizado além de ser um modo eficiente de adquirir competência em redação e expressão oral 1 Prove que todo número primo maior que 2 é ímpar 2 Enuncie e demonstre a recíproca do teorema provado no texto o quadrado de um número par é par 3 Prove sem usar contraposição que se o quadrado de um inteiro n for ímpar então n também é ímpar 1 Suponha por absurdo que n é um número primo maior que 2 e n é par Como n é par k ℕ tal que n 2k e assim 2 divide n o que é absurdo pois n 2 e assim n tem um divisor diferente de 1 dele mesmo o que não pode ocorrer porque n é primo 2 Enunciado Se o quadrado de um número é par então o número é par Prova Por contraposição suponha que n é ímpar então k ℤ tal que n 2k 1 logo n² 2k 1² n² 4k² 4k 1 n² 22k² 2k 1 n² 2q 1 com q 2k² 2k ℤ logo n² é ímpar A contrapositiva é justamente o enunciado e portanto está provada 3 Sendo n ℤ e n² ímpar então não existe o fator 2 na decomposição em primos de n² Por outro lado n² n n logo não existe o fator 2 na decomposição de n em primos pois caso existisse o fator também estaria na decomposição de n n n² já que essa decomposição é única Portanto com n não tem fator 2 na sua decomposição em primos n é ímpar