Funcoes Injetoras e Sobrejetoras Lista de Exercicios Resolvidos e Explicados

1 Dados os diagramas abaixo diga qual das funções são injetoras ou sobrejetoras Figura 1 Diagramas 2 Prove que a função afim f IR IR definida por fx ax b com a 0 é injetiva 3 Prove que a função f IR 1 IR 2 definida por fx 2x 1 x 1 é injetiva 4 Prove que a função afim f IR IR definida por fx ax b com a 0 é sobrejetiva 5 Verifique se a função f IN 0 IN 0 definida por fx x 1 é sobrejetiva 6 Mostre que a função f IR 1 IR definida por fx 2x 1 x 1 não é sobrejetiva O que pode ser feito para que f se torne sobrejetiva 7 Seja f IR 1 0 uma função definida por fx x 12 se x 1 x 2 se x 1 cujo gráfico é dado por Figura 2 Gráfico Prove usando a definição que f é sobrejetivaa 8 Sejam f A B e g B C duas funções Prove que se f é injetiva sobrejetiva e g é injetiva sobrejetiva Então g o f A C é injetiva sobrejetiva 9 Sejam f A B e g B C duas funções Se g o f A C é injetiva sobrejetiva então f g é injetiva sobrejetiva 10 Considere as funções f g e h definidas pelos diagramas abaixo Figura 3 Diagrama É possível obtermos funções de B em A ou de D em C ou ainda de F em E invertendo os sentidos das flechas Justifique sua resposta 11 Dadas as funções f IR 0 e g 0 IR Podemos afirmar que g é a função inversa de f Justifique sua resposta 12 Dadas as funções gx x 12 e fx x determine f o g 13 Nos exemplos a seguir determine g o f a Para as funções fx 1 1x e gx 11 x b Para as funções gx x 12 se x 1 x 2 se x 1 e fx 1x 14 Use a definição para verificar que a função f IR 1 IR 3 definida por fx 3x 2 x 1 é injetiva 15 Dadas as funções f A B e g B C mostre que a fx e gx crescentes implicam em g o fx é crescente b fx e gx decrescentes implicam em g o fx é crescente c fx decrescentes crescentes e gx crescentes decrescentes implicam em g o fx é decrescente 1 PRIMEIRO DIAGRAMA f1 2 f2 4 f3 5 OS PONTOS DE A SÃO LEVADOS EM PONTOS DISTINTOS DE B PORTANTO f É INJETIVAINJETORA INJETORA INJETIVA MAS f NÃO É SOBREJETORA VEJA QUE O NÚMERO 6 EM B NÃO RECEBE NENHUMA FLECHA ISTO É NÃO EXISTE x A TAL QUE fx 6 1 SEGUNDO DIAGRAMA g1 2 g2 4 g3 6 PONTOS DISTINTOS DE C SÃO LEVADOS A PONTOS DISTINTOS DE D LOGO g É INJETORA AGORA VEJA QUE TODOS ELEMENTOS DE D RECEBEM UMA FLECHA PORTANTO g É SOBREJETORA TERCEIRO DIAGRAMA NOTE QUE h1 1 h2 PORTANTO h NÃO É INJETIVA MAS TODOS OS ELEMENTOS DE F RECEBEM AO MENOS UMA FLECHA PORTANTO h É SOBREJETORA 2 DE FATO TEMOS QUE PROVAR QUE SE x1 x2 ENTÃO fx1 fx2 SEJAM x1 x2 R COM x1 x2 LOGO x1 x2 a 0 2x1 2x2 2x1 b 2x2 b fx1 fx2 PORTANTO f É INJETIVA 3 f R 1 R 2 SEJAM x1 x2 R 1 COM x1 x2 ENTÃO x1 x2 x1 1 x2 1 1x1 1 1x2 1 2x1 1 x1 1 2x2 1 x2 1 fx1 fx2 f É INJETIVA 4 DADO y R PRECISAMOS ACHAR x R TAL QUE fx y DAÍ fx y 2x b y 2x y b x y b2 OU SEJA SE x y b2 R fx y PORTANTO f É SOBREJETIVA 5 f N 0 IN 0 NÃO É SOBREJETIVA DE FATO SE fx 0 PARA ALGUM x IN 0 ENTÃO fx x 1 0 x 1 IN 0 PORTANTO NÃO EXISTE x IN 0 TAL QUE fx 0 VAMOS MOSTRAR QUE x R 1 TAL QUE fx 2 DE FATO suponha que tal x exista fx 2x1x1 2 2x1 2x1 2x1 2x2 CONTRADIÇÃO PORTANTO f NÃO É SOBREJETIVA PARA QUE f SEJA SOBREJETIVA VAMOS EXCLUIR 2 DE SEU CONTRADOMÍNIO DE MODO QUE f R 1 R 2 DAÍ f É SOBREJETIVA DE FATO fx 2x1x1 y 2x1 yx1 2x1 yx y 2x yx y 1 x 2 y y 1 x y 2 y 1 x y 1y 2 LOGO f R 1 R 2 É SOBREJETORA 7 SEJA y 1 U 0 VAMOS PROVAR QUE x R TAL QUE fx y SE y 0 fx y x12 y x1 y x y 1 SE y 1 fx y x 2 y x y 2 PORTANTO y 1 U 0 x R TAL QUE fx y f É SOBREJETIVA SUPONHA QUE f E g SEJAM INJETIVAS SEJAM x1 x2 ELEMENTOS DE A ENTÃO x1 x2 fx1 fx2 gfx1 gfx2 g o f INJETIVA AGORA SUPONHA QUE f E g SEJAM SOBREJETIVAS SEJA y C ENTÃO PELA SOBREJETIVIDADE DE g x B TAL QUE gx y COMO x B E f É SOBREJETIVA z A TAL QUE fz x LOGO y gfz g o fz g o f É SOBREJETIVA 9 QUESTÃO ERRADA A f B g C g o f BEM DEFINIDA MAS fg f o g NÃO É BEM DEFINIDA 12 fx x gx x12 fgx fgx x12 x1 módulo Obs Lembre que x2 x e não x2 x errado NO CASO DE B EM A É POSSÍVEL A FUNÇÃO f É INJETORA E SOBREJETORA TODOS OS ELEMENTOS DE B RECEBEM EXATAMENTE UMA FLECHA PODEMOS DEFINIR f1 B A COMO f11 1 f12 2 f13 3 NO SEGUNDO CASO PARA QUE SEJA UMA FUNÇÃO PODEMOS RESTRINGIR O DOMÍNIO DE g1 1 2 3 C NO ENTANTO APENAS INVERTER AS FLECHAS NÃO É POSSÍVEL POIS 5 NÃO RECEBE NENHUMA FLECHA NO ÚLTIMO CASO NÃO É POSSÍVEL POIS h18 NÃO ESTÁ BEM DEFINIDO O NÚMERO 8 SERIA LEVADO EM 2 E 4 E ISSO NÃO É FUNÇÃO 11 NÃO SEJA f R 0 DADA POR fx x4 SEJA g 0 R DEFINIDA POR gx x x CLARAMENTE g NÃO É A INVERSA DE f POIS fgx x4 x4 x4 x2 x Idx 14 f ℝ 1 ℝ 3 Sejam x₁ x₂ ℝ 1 com x₁ x₂ Então x₁ x₂ x₁ 1 x₂ 1 1x₁ 1 1x₂ 1 3x₁ 2x₁ 1 3x₂ 2x₂ 1 fx₁ fx₂