Equação Exponencial e Polinômio

Agora vamos calcular gf x f x x² 1 gf x gx² 1 gx² 1 x² 1 1 gx² 1 x² gx² 1 x OBS Nesse caso a raiz de x² só deu x pois x 0 se não seria x Portanto gf x x Como f gx x e gf x x e o domínio de uma é a imagem da outra para ambas concluímos que f e g são funções inversas uma da outra Questão 3 Resolva as equações exponenciais abaixo Item a 04x 06x 2 09x Vamos resolver a equação exponencial 04x 06x 2 09x Primeiro fazemos a substituição a 04x b 06x c 09x A equação fica a b 2c Sabemos que a 04x 25x 2x 5x b 06x 35x 3x 5x c 09x 910x 3x 3x 10x 32x 10x Vamos dividir todos os termos da equação original por 09x 32x 10x 04x09x 06x09x 2 09x09x Isso simplifica para 0409x 0609x 2 Calculamos as frações 0409 49 0609 23 Portanto temos 49x 23x 2 Agora vamos fazer uma substituição y 23x 49x 232x 232x 232x y2 A equação se torna y2 y 2 Resolvemos a equação quadrática y2 y 2 0 Fatorando obtemos y 1y 2 0 Portanto as soluções são y 1 ou y 2 Como y 23x sabemos que y deve ser positivo Portanto descartamos y 2 ficando com y 1 Substituímos y de volta 23x 1 Portanto x 0 A solução da equação 04x 06x 2 09x é x 0 Item b 2x1 2x 3y2 3y Vamos resolver a equação 2x1 2x 3y2 3y Primeiro simplificamos os termos da equação 2x1 2x 2 2x 2x 3 2x 3y2 3y 3y 32 3y 9 3y 3y 8 3y Assim a equação se torna 3 2x 8 3y Dividimos ambos os lados por 3 2x 8 3y3 Para simplificar ainda mais analisamos os termos em suas bases 2x 83 3y Podemos reescrever 8 como 23 2x 233 3y Multiplicamos ambos os lados por 3 para eliminar o denominador 3 2x 23 3y Para resolver essa equação igualamos as bases e os expoentes No entanto como as bases 2 e 3 são diferentes isso só é possível se uma parte da equação for zero ou ambas as partes da equação são iguais Questao 1 Faca o que se pede nos itens a seguir Item 1 Determine o resto da divisao de px x2 2x 1 por x 1 Para determinar o resto da divisao de px por x 1 podemos usar dois metodos o teorema do resto e a divisao longa de polinˆomios Usando o Teorema do Resto Segundo o teorema do resto o resto da divisao de um polinˆomio px por x a e pa No caso queremos dividir px por x 1 que e o mesmo que dividir por x 1 Entao vamos calcular p1 px x2 2x 1 Substituindo x 1 p1 12 21 1 p1 1 2 1 p1 0 Portanto o resto da divisao de px x2 2x 1 por x 1 e 0 Usando a Divisao Longa de Polinˆomios Vamos realizar a divisao longa de px x2 2x 1 por x 1 Para encontrar o resto da divisao de px x22x1 por x1 realizamos a divisao polinomial conforme abaixo x2 2x 1 x 1 Primeiro dividimos x2 por x obtendo x x2 2x 1 x 1 x2 x x x 1 Depois dividimos x por x obtendo 1 x2 2x 1 x 1 x2 x x 1 x 1 x 1 0 Portanto a divisao de px x2 2x 1 por x 1 resulta em Quociente x 1 com resto 0 Item 2 Encontre os valores de a para que 1 seja raiz do polinˆomio px x2 a2 1x 2a Para que x 1 seja uma raiz do polinˆomio px devemos ter p1 0 Dado px x2 a2 1x 2a substituımos x 1 e igualamos a zero p1 12 a2 1 1 2a 0 Simplificando obtemos 1 1 a2 1 2a 0 a2 2a 0 Podemos fatorar colocando em evidˆencia aa 2 0 Portanto a solucao e a 0 ou a 2 Portanto o valor de a para que 1 seja raiz do polinˆomio px x2 a2 1x 2a e a 0 ou a 2 Questao 2 Faca o que se pede Item a Seja f D R R dada por fx 2024x 2024 Sabendo que f e bijetora encontre a funcao inversa de f Para encontrar a funcao inversa de fx 2024x 2024 vamos seguir os seguintes passos 1 Substituımos fx por y y 2024 x 2024 2 Resolvemos a equacao para x y 2024 2024 x x 2024 2024y 3 Substituımos y por x para obter a funcao inversa f 1x 2024 2024x Portanto a funcao inversa de fx 2024x 2024 e f 1x 2024 2024x Item b Seja f 0 1 dada por fx x2 1 e g 1 0 dada por gx x 1 Componha em ambos os lados isto e faca fgx e gfx e conclua que f e g sao inversas Para mostrar que f e g sao funcoes inversas precisamos verificar se fgx x e gfx x Primeiro vamos calcular fgx gx x 1 fgx f x 1 f x 1 x 12 1 f x 1 x 1 1 f x 1 x Portanto fgx x 2 y2 y 2 Resolvemos a equação quadrática y2 y 2 0 Fatorando obtemos y 1y 2 0 Portanto as soluções são y 1 ou y 2 Como y 23x sabemos que y deve ser positivo Portanto descartamos y 2 ficando com y 1 Substituímos y de volta 23x 1 Portanto x 0 A solução da equação 04x 06x 2 09x é x 0 Item b 2x1 2x 3y2 3y Vamos resolver a equação 2x1 2x 3y2 3y Primeiro simplificamos os termos da equação 2x1 2x 2 2x 2x 3 2x 3y2 3y 3y 32 3y 9 3y 3y 8 3y Assim a equação se torna 3 2x 8 3y Dividimos ambos os lados por 3 2x 8 3y3 Para simplificar ainda mais analisamos os termos em suas bases 2x 83 3y Podemos reescrever 8 como 23 2x 233 3y Multiplicamos ambos os lados por 3 para eliminar o denominador 3 2x 23 3y Para resolver essa equação igualamos as bases e os expoentes No entanto como as bases 2 e 3 são diferentes isso só é possível se uma parte da equação for zero ou ambas as partes da equação são iguais UFPER Universidade Federal do Paraná Setor de Educação Pós Graduação em Matemática DMCM Instituto de Matemática 1301 Análise funcional e teoria da medida Trabalho final Professor Conceição Chieffler Orientações O trabalho deve ser entregue pessoalmente no dia 3007 Não serão aceitos trabalhos entregues de forma online portanto que não contenham o trabalho data nota e assinatura do aluno O trabalho contém 5 questões e cada uma vale 2 pontos Nome Data GRR Nota Questão 1 Faça o que se pede nos itens a seguir 1 Determine o resíduo da divisão de px x2 2x 1 por x 2a 2 Encontre o valor a parte a para que 1 seja raiz do polinômio hx x2 a2 1x 2a Questão 2 Faça o que se pede Seja f D R R dada por f x 20242021 Sabendo que f é bijetora encontre a função inversa de f a def de f b Resolva as equações exponenciais abaixo em ambos isto é faça gf x x e f gx x dado por gx x 1 Componha Questão 3 Resolva as equações exponenciais abaixo a 04x 2 09x b 2x1 2x 3y2 3y Questão 4 Encontre x R tal que Log103x 1 Log10x 2 2 Questão 5 Encontre x 0 2π tal que sen2x cosx 0 Vamos usar logaritmos para resolver a equação Tomamos o logaritmo de ambos os lados log32x log233y Usamos propriedades dos logaritmos para simplificar log3 log2x log23 log3y log3 x log2 3 log2 y log3 Isolamos y x log2 3 log2 y log3 log3 x log2 3 log2 y log3 log3 x 3 log2 y 1 log3 Isolamos y y 1 x 3 log2 log3 y x 3 log2 log3 1 Portanto a solução da equação é y x 3 log2 log3 1 Questão 4 Encontre x ℝ tal que log103x 1 log10x 2 2 Para resolver a equação log103x 1 log10x 2 2 podemos usar as propriedades dos logaritmos 1 Aplicar a propriedade da diferença de logaritmos A diferença de logaritmos pode ser reescrita como o logaritmo do quociente log103x 1x 2 2 2 Converter a equação logarítmica para exponencial Para remover o logaritmo convertemos a equação logarítmica para sua forma exponencial 3x 1x 2 102 3x 1x 2 100 3 Resolver a equação resultante Multiplicamos ambos os lados por x 2 para eliminar a fração 3x 1 100x 2 3x 1 100x 200 Isolamos x 3x 100x 200 1 97x 201 x 20197 4 Verificar se a solução é válida A solução x deve garantir que os argumentos dos logaritmos sejam positivos Verificamos 3x 1 0 e x 2 0 Substituindo x 20197 320197 1 60397 9797 70097 0 20197 2 20197 19497 797 0 Ambos os argumentos dos logaritmos são negativos então a solução não é válida Portanto não há valores de x ℝ que satisfaçam a equação log103x 1 log10x 2 2 Questão 5 Encontre x 0 2π tal que sin2x cosx 0 Para resolver a equação sin2x cosx 0 podemos usar identidades trigonométricas e propriedades das funções trigonométricas 1 Aplicar a identidade de sin2x Usamos a identidade sin2x 2 sinx cosx 2 sinx cosx cosx 0 2 Fatorar a equação Fatoramos cosx da equação cosx2 sinx 1 0 Isso nos dá duas equações cosx 0 2 sinx 1 0 3 Resolver cosx 0 cosx 0 ocorre quando x π2 kπ Para x 0 2π as soluções são x π2 e x 3π2 4 Resolver 2 sinx 1 0 Isolamos sinx 2 sinx 1 sinx 12 Para sinx 12 as soluções em 0 2π são x 7π6 e x 11π6 Portanto os valores de x em 0 2π que satisfazem a equação sin2x cosx 0 são x π2 3π2 7π6 11π6