Analise Dimensional e Semelhanca - Teorema de Buckingham e Metodo de Rayleigh

CAPÍTULO VI ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA Análise Dimensional AIem dos princípios da continuidade quantidade de movimento abordados nos dimensional se constitui em instrumento de moümento dos fluidos A análise dimensional se fundamenta no idade dimensional ou de Fourier 1822 que estabelece que se umaexpressão descreve um fenômeno fisico ela deverá ser dimensionalmente homogênea isto é ambos os seus membros devem ter a mesma dimensão Na aplicação do princípio fazse uso do mé leieh ou método do de potÊncias que admite que a equação que define uÍna certa grandeza fisica e formada pelo produto das variáveis de que depende elevadas de expoentes cujos valores decorrem da condição de homogeneidade Numericamente a equação ficará satisfeita multiplicandose esse produto por um fator adimensional Matematicamente se uma grandeza fisica G depende das variáveis A B C D temse G KÁBb C Dd u1 Fica eüdente da equação VI1 que se pode estabelecer a forma da equação que define G se são coúecidas as variáveis de que depende E de interesse adicional porém principalmente quando se programam pesquisas experimentais que o número de variáveis a analisar seja reduzido ao mínimo Esse objetivo se atinge utilizando em paralelo à aniilise dimensional e ao método de Rayleigh o teorema de Buckingham ou dos zrs Este estabelece que se determinada relação satisfaz o princípio da homogeneidade dimensional e pode ser escrita como um produto de variáveis estas podem ser reduzidas a um número mÍ1 de parâmetros adimensionais sendo m o número de variáveis independentes envolüdas e n o número de dimensões básicas que as definem usualmente Eês rlassa comprimento e tempo Para a determinação de cada adimensional devem ser selecionadas no máximo três das variáveis independentes não devendo o produto entre elas ser adimensional Tomando como base as cinco variáveis envolüdas na equação VI 1 resulta da conservação da energia e da capítulos anteriores a análise importância maior no estudo do m5 n3MLf k532 87 Os parâmetros adimensionais serão dois Se l R e C forem tornadas como variáveis básicas resultará El nu c c M o LaTo E2 U u r M 0 LoTorcorn os expoenres de G e D tomados arbitrariamente iguais à unidade Imaginada a pesquisa experimental destinada a tornar explícita a relação ul não mais será necessário fazer variar A B c e D mas somente n1 e Íc2 obtendose um gráfico ou uma relação anarítica na forma SemelhançA o ír vr 2 Como a relação Vf2 envolve todas as variáveis contidas em VIl também a relação de dependência entre estas será coúecida A análise dimensional e o teorema dos ns têm aplicação direta na teoria da semelhança base para toda a experimentação ern mecânica dos fluidos hidráulica obras hidráulicas hidrodinâmica e aerodinâmica Permite que informações obtidas em um determinado escoamento sejam transpostas a outro de ordem de grandeza completarnente diferente maior ou menor desde que os dois escoamentos sejam semelhantes entre si 7 ruor f n aeala ozia eqLe rÁrt âÁn trA 1 n a pu frmr tní ffif h Lt Dois escoamentos serão semelhantes se suas características geomekicas e fisicas em pontos e instantes homólogos mantem entre si uma relação bem definida A semelhança integral exige que se teúa simultaneamente semelhança geometrica cinemática dinâmica e eventualmente termodinâmica A semelhança geométrica existirá sempre que relações entre todas as dimensões lineares forem as mesmas envolve portanto somente semelhança de forma A semelhança cinemática implica em semelhança de moümento Exige portanto que velocidades em todos os pontos homologos de dois sistemas geometricamente semelhantes mantenham entre si relações bem definidas quanto ao módulo e possuzrm mesmo sentido e direção A semelhança integral oÇorre quando ausentes fenômenos termodinâmicos além das semelhanças geometrica e cinemática prevalece a semelhança dinâmica isto é que em todos os pontos homologos do campo de fluxo as forças afuantes manteúam entre si a mesma relação úr os mesmos seus sentido e direção As três condições da semelhança a respeitar são esquematicamente indicadas na figura VIl a fi nrlç r t ÍA I lt L O i f tr s tor C L d L Il l ç i r t O lzl V trr m çeíp l r raCI rl 1 r arn1çn tLrxtLb cilca o3 Ér F sL l o Ér ê À À À FIGURA Rm tp Vn Vp mm õm mp õp vt I t vrD F im F ip eito Flrn F sp oçôo V rm v tp jiE Fzo lustr Hm Hp V rm Y Frm Fto I Lim Ii Vim semelhonço geomélrico semelhonço cinemótico semelhonço dinômico de semelhonço ljm termos gerais atuam em um movimento além da força de inercia forças deüdas a pressões à ação da graüdade a ações üscosas a efeitos decorrentes da compressibilidade e à tensão superficial as ultimas conduzindo a resultantes que são iguais à força de inercia segunda lei de Newton Se os índices m e p caracterizarem as forças em dois escoilmentos semelhantes deverseá ter para que subsista semelhança dinâmica entre eles ffrrh uo Tr73x M ooo F orFr p o Foo Fo e adicionalmente do conc M a F F F mm P7 86 Pm rüÇü Fo Fo Fp vr 4 Fo Se todas essas relações de igualdade forem satisfeitas uma pode ser excluída o que e imediatamente üsualiável se imaginarmos o paralelogramo de forças que irão o1o Usualmente a relação entre forças de pressão é considerada como a relação dependente e portanto não levada em conta no estabelecimento da condição de semelhança 89 E na teoria dasemelhança que se firndamenta a téeniea daexploração de modelos Os índices acima adotados m e p podem corresponder respec tivamente ao que se designa de modelo e de prototipo ambos constituindo dois sistemas em que as semelhanças geométrica cinemática e dínâmica são respeitadas ou seja constituindo escoamentos semelhantes entre si permitindo transpor observações ou medições efetuadas em um dos sistemas ao outro através de relações bem definidas designadas genericamente de escalas Em termos práticos contudo a aplicação da teoria da semelhança encontra obstáculos Conseguir semelhança integral especialmente dinâmica e inüável razão pela qual se torna necessário selecionar entre as forças afuantes em um movimento aquelas que realmente são ütais à sua definição restringindose a semelhança dinâmica a essas forças negligenciandose as demais Dgfinemse dessa forma os chamados criterios de semelhança ou seja as condições de semelhança que de forma simplificada se adotam para reproduzir um determinado escoamento em escala reduzida ou ampliada para prever a condição de fluxo em outro escoamento geometricamente semelhante O que caracteriza um determinado criterio de semelhança são os chamados invariantes cle semelhança Sua determinação pode ser efetuada de várias maneiras A mais usual é a partir da aplicação do teorema dos ns à firnção que envolve todas as variáveis atuantes nos escoamentos exceto as termodinâmicas respectivamente Dimensões lineares L I TempostITJl VelocidadesvILTt Acelerações em particular a deüda à ação da graüdade g I LTl Pressões p IM Lt T2 Densidade do fluido p I ML3 Viscosidade do fluido p I Irflr Tr Compressibilidade que pode ser representada pela velocidade do som no 11Íi1o orMr2r c Esse conjunto de nove variáveis conduz à fiurção íQtrgppltaoQ rflq VI5 n í3 considerando o teorema dos ns e as dimensões básicas MLT reduzir essa firnção a outra com seis parâmetros adimensionais rç a Çl 1c Çl CI Cl4 Çrl á Cl Ç1 Ç1d ú1 C1 Cl Cl ú1 C4 a4dúld ú1ddd4rí JA 1 ál F r o r 7T 3 E 4T r7r u a podese Tomando como variáveis básicas v e p e chamando de n1 a variável adicional que irá compor cada rrm dos adimensionáis Ei vo u prl Mo LoTo Fazendo a I e atribuindo a ni as dimens ões ltf t Ld2 p31 vr 6 LTI Lb M c 13c 74 ddt Ldd2Tdd3 Mo IoTa Obtemse assim o seguinte sistema de equações lul cdd e z tb3cddo r l dd3o Resolvendo o sistema o 1 b drdr3d d3 d dr t 4 u dr substituindo sequencialmente dt d2 dj por seus coÍrespondentes valores obtémse os adimensionais procurados Para maior facilidade o processo de solução e efetuado na tabela sequente 9l N dr d2 dj ü b C d 7i t 0 0 I I l 0 v1t p I l 2 I 0 112 tl2 tl vpp z tl I l l I I l I lppt oô 0 I 2 I rl2 0 rl2 ll vg o 0 I l I 0 1 t I va o I 0 2 I rl2 rl2 rl2 lll v2p 2o 2 J Z b 4 Jc b Tradicionalmente alguns desses adimensionais siio apresentados de foçma ligeiramente diferente invertidos elevados ao quadrado ou na forma da raiz quadrada Recebem designações específicas em liomenagem a quem os estabeleceu ou contribuiu notavelmente na sua definição respectivamente Tts número deStroúal nu nç J t ôâr l número de Euler ln n vt p pv2 vp p v Jst Eu 1ft Fr 7f2 lt3 lt4 Y número de Reynolds U Flattt ciêt lt 1yl tc1Q r Ma T6We ft nuero de Mach número de Froude núnero de Weber vttt eJ â Í ç ü 6 í oL tel7l nní ç 0 pv2 F7roãa af À exceção do número de Stroúal todos os demais derivam do relacionamento das forças de inercia com as forças decorrentes da ação da variável que conduziu a cada um dos parâmetros CaracterrzNn portanto a relação entre as forças de inercia e as forças de pressão Ettas forças deüdas à üscosidade l i l i i I I as forças deüdas à graüdade Ir as forças clevidas à compressibilidade Ma e às forças deüdas à tensão superficial We Definidos esses adimensionais podese agora estabelecidas quais as forças de importância em determinado fenômeno fixar as condições de semelhança dinâmica que devem ser satisfeitas Voltando à múltipla igualdade da equação VI4 se como exemplo são de importância maior as forças deüdas à ação da graüdade e as deüdas à üscosidade interessa preservar dessa expressão o conjunto F Fro Fuo Ftp Fr Fo Flm F õm Flm Fr o Fr Fo Fnr t i i vm lm vr 7 F Reynolds Inferese portanto que se são de importância no escoamento as forças deüdas à gravidade e as de natureza üscosa devem ser iguais no modelo e no prototipo os números de Froude e de Reynolds como observado automaticamente serão também iguais os números de Euler Dizse nesse caso que o modelo ou a lei de semelhança obedece aos critérios de Froude e Reynolds A igualdade desses dois números implica em que se teúa Na primeira igualdade se tem quocientes proporcionais aos números de Froude do modelo e do prototipo e na segunda aos correspondentes números de JíÇ V Vo uu Js 1 J se g const vmm V É Vy vr v Reynolds P P uo Eliminado v vp nas duas equações obtémse u t u Duas opções ficam disponíveis para satisfazer essa equação na primeira efetuamse os testes com um fluido diferente daquele que será usado no prototipo Froude til ãr t7 tp na segunda se o fluido for o mesmo no modelo e no prototipo estes devem ter a mesma dimensão Ambas as opções são eüdentemente praticamente inüáveis o que mostra que o atendimento simultâneo de várias ou mesmo duas condições critérios de semelhança raras vezes pode ser alcançado A modelagem em decorrência acrescenta técnicas adicionais para contornar as dificuldades que inüabilizam a semelhança total entre modelo e protótipo Jm exemplo típico da necessidade de criar técnicas específicas para üabilizar estudos em modelo reduzido ocoÍre na modelagem do transporte de sedimentos em que se abandona a semelhança geométrica para obter o beneficio de uma melhor embora não exata reprodução do fenômeno específico que se pretende analisar A exclusão do número de Stroúal da análise geral efetuada decorre de sua natureza A variável tempo não pode conduzir a uma força Seu significado fica restrito aos movimentos não permanentes Sendo v o tempo necessário para que uma partícula percorra a distância com a velocidade v esse adimensional permite confrontar esse tempo com o tempo I em que um determinado fenômeno não perrnanente ocorre se S tende a zeÍo tlv e pequeno em relaçáo a t e o moümento pode ser considerado semipermanente Para fenômenos não pennanentes que se repetem de forma periodica lt pode ser substituído por uma freqüêhciaT e S I f v Em freqüências suficientemente baixas o fluxo pode ser considerado semipermanente enquanto para freqüências mais altas S deve ser consirieracio como critério de semelhança para a modelagem do fenômeno Escalas Pelo termo escala entendese a relação entre duas grandezas fisicas em dois escoamentos semelhantes entre si Usualmente a escala geométrica relação entre dimensões lineares dos dois escoamentos é considerada a escala básica as demais se escrevendo em função dela As escalas de um modelo reduzido decorrem da lei critério de semelhança segrurdo o qual foi construído e e operado A título ilustrativo estabelecemse na seqüência as escalas de algumas grandezas para os critérios de semelhança de Froude e de Reynolds Considerando um modelo que segue o cntério de semelhança de Froude temse como escalas das principais grandezas fisicas as indicadas abaixo Escalas Geometricas 1 á d Íqqqq í l Av 94 Escala de Velocidades Escala de Vazões Escala de Forças Também a partir de Eu P Fr Irr s e l o QvA le2trt p vP t 4u st I v ti l I 1 o vn 5 11 7i 7z 7i EscaladeTempos t4 f l t w rr f L Ati Pr Pr A 7À tr púo I ÀrÀvXo Àr 2 yV L l I mo m pV lolfrfr Seppr77oa Àp luÀ 13 7tr2 le 71 Escala de kessões Ààg Àa 3 d çoã f9 t 3 22i A Eup pP pv P ori Sep pn Aob pP f t 95 7o1 r I I 1 i Para ocritério de semelhança de Reynolds resultariam as sequentesescalas principais Re Re v u of o Um u Seuruvrrlvop Escala de Velocidades Escala de Tempos vt t1 v 77 Â2 Escaia de Vazões n P I L i Ãt trro trt tr2 Escala de Forças lir A regishar que as escalas acima foram propositadamente obtidas por diversas üas todas válidas pois grandezas fisicas em qualquer escoamento tem a mesma equação básica vt F ma e a mesma dimensão r ILT como simplificação adotouse também tm up e g pp o que nem sempre ocoÍTe especialmente no caso do criterio de semelhança de Reynolds Vrilido e real na grande maioria dos casos é se ter g gp F ma Ãr trÃo rLvÃo F ffr iry tr r A t Se ppp7 lou FF