Princípio das Quantidades de Movimento em Mecânica dos Fluidos - Teorema e Aplicações

If áa á Fp áaF á ár Ú fr á á ít ã pp p b bbYY nt CAPITULO V PRINCÍPIO DAS QUANTIDADES DE MOVIMENTO Em conjunto com as equações da energia e da continuidade o teorema ou princípio da quantidade de moümento é um dos instrumentos básicos ao equacionamento de problemas em Mecânica dos Fluidos Deriva da segunda lei de Newton enunciada na seguinte forma O vetor soma de todas as forças atuantes sobre uma massa fluido é igual à taxa de variação no tempo da quantidade moümento linear da mesma massa de flúdo Matematicamente implica em multiplicarmos os termos da expressão de Newton por dt Fú ãat v1 A relação da força com a aceleração associada a um intervalo de tempo fica claramente evidente quando se considera um estrangulamento em um tubo figura Vl Ao se transfeú determinada massa de fluido da posição t à posição t dt a mena seni acelerada deüdo à reduÉo de seo originandose uÍna força sobre as paredes do tubo à qual se contrapõe uma reação F atuante sobre a massa fluida em movimento FIGUR VI De forma geral as forças atuantes sobre massas fluidas podem ser separadas em dois grupos de de F tllct aro I lÀl F t t l lr I I lFz T I tPz Forças atuantes sobre os contornosdâmassa que podem ser subdiüdidas em forças normais pressões e paralelas tensões tangenciaii a eles Forças de massa resultando da ação d campos graütacionais ou magnéticos destacandose entre elas a força decorrente da ação da graüdade terrestre peso Atribuindo a essas forças os símboros F lpressões tangenciais e F massa a equação V l conduz a IFFoFF v2 superficies l 2 3 e àsstperficies I eTe F tensões fr considerandose a massa de flüdo confinada pelas 4 da figurav 28Í que A e I são versores normais orientados para o exterior da massapodese escrever superficies 3 e 4 formadas por liúas de correntes para regime pennanente e as FIGURA V2 U F ipiaÀ 1 b r LVíuAí Z L o I N aw furt J ZFruÀA ZT pJyâ expressão em que o segundo membro engloba o fluxo de quantidade de movimento que adentra o sistema seção I e que o abandona seção 2 parao caso de regime não permanente deverseia acrescentar ao segundo membro a variação no tempo 78 v3 áma mppppppppr m m a pppppppp rpp tp r t rtp Ja b rr da quantidade de movimento do proprio sistema Adicionalmente as superficies 3 e 4 não mais seriam necessariamente liúas de corrente pois ainda que o fossem no início do intervalo de tempo poderiam deixar de sêlo ao final O caráter vetorial da expressão V3 permite desdobrála em três expressões escalares Sendo vx vy vz as componentes da velocidade segundo as direçàes x y z obtémse I n upÇaÀ ZF rroÇaÁ v4 r rpÇaÀ Para aplicação essas equações podem ser ajustadas considerando um contorno fixgu representativo de um sistema qualquer como esquematizado na figura V3 Os limites da massa fluida são tomados coincidentes com o próprio contorno solido e com as seções normais às liúas de corrente nas seções t e j O fltxo líquido de quantidade de moümento e a diferença entre os fluxos que deixam o sistema na seção 2 e o adentram na seção I assumindo as equações ffa a forma I Ie ZF Ir lr lrr FIGURA V3 vNo IxlrNe de çf de vNQ IatNO v5 No caso de se ter distribuição rrniforme de velocidades nas seções I e 2 e de constância da densidade e designando U a velocidade media as equações acima se resumem ao segrrinte conjunto t I I J 4 FT FT n Gt dfJ Çci Ç ÇF Ç Ç Çq qqq q qq Ç tqotq f te teete te Uh iri É r u Nz uN ZFo l Nz uN uNruú A constância da densidade ao longo da seção transversal e comum mesmo nos casos de fluidos compressiveis o mesmo não ocorre com a velocidade que nos fluidos reais é sempre variável deüdo à propria condição de aderência para permitir o uso nessa forma simplificada ou s3à para tratar o problema como unidimensional introduzse um coeficient lhante ao coeficiente corretor da energia cinética adotado na equação da energia com a mesma finalidade Designandoo por p resulta v6 A expressão que define o Bún I rroà partir da quar sentido de Ú e u s obtem xil I r Frúz u ú zFr u ú u úr uN fuil p T2 A v7 valor de p resulta da igualdade com p constante e mesmas direções e v8 Da mesma forma que o coeficiente corretor da energia cinética o coeficiente corretor da quantidade de moümento é unitári para a distribuição uriforme de velocidades u Ú e maior que um para distribuição não unifornre Sua importância sob o ponto de üsta prático é firnção do caso que se analise Como se trata de uma correção a empregar em dois termos que são subtraídos sua importância será grande se os números envolüdos também à fo e pequena em caso contrário quando varia pouco de uma seção a outra Se sua variação de uma seção a outra é marcada sua importância se torna significativa mesmo quando a ordem de grandeza das duas pàlu é pequena A tíhrlo de exemplo são apresentadas na seqüência algumas aplicações do princípio exposto a casos típicos em Mecânica dos Fluidos Hidráulica e obras Hidráulicas 80 õtt Ftttftftitiífíifít Épp tap lrppp ilr Frp rp rfrtrpr Frbbb t franque descarreganôHquido por dâ furça necessária para manter o bocal está sujeito à carga h um bocal figura V4 Determinação tanqueparado no instante em que o Ç h 3rn pr 5n hrz QZOrnz l Definindo como limites do dotanqueeaireaàsaída xaprópria força f Avelocida deàsaída do bocal ayzJ241n eavazão L s lrvlrro rvrya r Õ vçrrrvlLll rç a sarua uo uouar cy2 izgn eavaza vazÁo é Q Afrdt admitindo que a forma do bocal seja tal que elimine a contração à sua saída Resulta tomando a superficie liwe como a seção I e a saída do bocal como a seção 2 nrevalecffirboÊa pressãoryrSca pt tH O sentido da força é o indicado na figura O líquido exercerá uma força de sentido contrário sobre a parede do tanque b Determinação da diferença de energia do escoamento entre seções anteriores e posteriores a uma expansão brusca em um conduto figura V5 A pressão imediatamente junto à expansão será igual à pressão anterior à expansão Admitindo ser Êr Bz l resulta aplicando o princípio da quantidade de moürnento ao volume limitado pelas paredes do tubo e as seções I e 2 g o FIGURA V4 sistema a superficie liwe do líquido as paredes do bocal temse como força na direção 8l f ü àq üd Ç Ç Ç Çdcc Çtcc 1Sii ü I Ç l Ç a t Jed ü üe hL F kt LÉ u7x uila3 rt eAÍvpl 1 FIGURA V5 f r ptAt pt42 Ar pzA In A2 pzAz NJz pU Tendo em conta a equação da continuidade g 2A2 f or pír2 Áz puru r y v Diüdindo ambos os mernb ros por yA2 h Pz rUU i L r considerando a equação de Bernoulli e acrescentando o termo h1 paÍater êm conta a energia perdida na transição pJ J 6ri ururu qt g2929I h t2ut e 29g29 82 Y 29 29 4t toJL zoLL L lljgÁ t s Igualando os segundos membros das duas últimu ffi r PrPz Vr 0 ffiffifl Y2g2gr t mpppppppppppppppppppppppTIptfipp n m n tt t tr I u u r n 29 ve expressão coúecida como a fórmula de Borda Camot e Escoamento sob uma comporta figura V6 AiAaeltls oe reeso a F r LrtPGeA B10 I f FIGURA V6 Negligenciando as perdas de carga fazendo ÊrÊz1 temse pela equação de continuidade conjugada à equação de energia considerada a largura unitaria PJ PU r29y 2g h h 41 2shi q2 ã o que permite determinar a vazão coúecidas as profirndidades Aplicando o princípio da quantidade de movimento ao volume definido pelas seções I e 2 firndo do canal superficie liwe do líquido e comporta resulta Ie IF t t aE 83 1íêrâL I l rh2 1tt t 12 LL expressão cujo segundo membro resultará certzrmente positivo indicando que o sentido da força na figura está correta q q 4í d Mudança de direção e velocidade no escoamento em figura V7 uma tubulação IlF4qqqqqqqq Çqqqqqqqqqqqqqq Ç b Ç Jà Çde ü Ç FIGURA V7 coúecid a a vazão e as seções A1 a A2a pressão p1 e àscotas podem ser determinados velocidades UI e J2 prassão pl e as forças de nas seções extremas do volume hachurado Fr pp4r e F pzAzobtémse forças externas segundo as direções x e z 21 e 22 pressão para as F F cosa úU2 cos o ur FFrsencPúJzsena conhecidos os valores dessas duas forças podese determinar a resultante a partir de F JF F2 Assumindo que as forças F e F ajam no centro das áreas Á1 e A2 e coúecendose a posição cG podese definir integralmente a força F tomando momentos das várias forças em relação a um determinado ponto o centro da sção l por exemplo v l0 l IItt tpppttttt H tttf tIp tippp HP tLpir ãp pa ttta mF ümrf m ümu m m Hr m f i p Mudançadadieção do escoâEaento em um figua V8 gb i BLEGoEA fluxo com superficie liwe Ur aqlt úrwrê 0r cotd uxO atrYt FIGURA V8 Sendo à1 a profrmdidade na seção 1 hz a ospessura do jato imediatamente a jusante da seção 2 e Ut e Jz as velocidades nessas seções temse para a força segundo a direção x admitindose distribuição hidrostática de pressões na seção 1 trecho retilineo e pressão atmosférica ao longo dir seção 2 rhi Ii il os a Hl zc os á u cos a Para a direção z com P representando o poso do líquido contido no volume hachurado F rrl cosasena P çaJzsená Ursena t2 Da mesma forma que no caso da aplicação anterior a composição das forças F e F condul à determinação da intensidade e direção da força resultante Sua liúa de ação resulta da equação de momentos em relação a um eixo qualquer A observar que em todos os exemplos foram negligenciadas as forças resultantes de tensões tangenciais normalmente pequenas eln presença das demais A considerar também que na forma apresentada o princípio representa a quantidade de moümento linear não sendo aplicável por exemplo a massas fluidas com moümento de rotação Nestas seria aplicado o princÍpio da quantidade de moümento angular também designado por momento da quantidade de moümento 85