Resumo Elementos de Mecânica dos Fluidos e Fenômenos de Transporte - Condução de Calor

TH047 Elementos de Mecânica dos Fluidos II TH064 Fenômenos de Transporte na Eng de Produção Segundo Semestre de 2024 Resumo número 4 O resumo apresentado foi preparado com base no livro texto adotado na disciplina Incropera FP Dewitt DP Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa LTC 1998 Os tópicos apresentados também podem ser encontrados na bibliografia básica listada no texto que descreve as instruções gerais sobre a disciplina 2 INTRODUÇÃO À CONDUÇÃO São apresentados os seguintes assuntos generalização da lei de Fourier análise das propriedades térmicas da matéria equação da difusão de calor e comentários sobre problemas de valor inicial e de contorno No Apêndice apresentase uma introdução sobre dimensões homogeneidade dimensional e unidades 21 Equação da Taxa de Condução de Calor O fluxo de calor por unidade de área é uma grandeza vetorial normal as superfícies isotérmicas Tconstante 𝐪 𝑞𝑥 𝐢 𝑞𝑦 𝐣 𝑞𝑧 𝐤 1 sendo 𝑞𝑥 𝑞𝑦 e 𝑞𝑧 os componentes do vetor fluxo de calor por unidade de área no espaço tridimensional em coordenadas cartesianas Os componentes do vetor fluxo de calor podem ser determinados com a lei de Fourier 𝑞𝑥 𝑘𝑥 𝑑𝑇𝑑𝑥 𝑞𝑦 𝑘𝑦 𝑑𝑇𝑑𝑦 𝑞𝑧 𝑘𝑧 𝑑𝑇𝑑𝑧 2 sendo 𝑘𝑥 𝑘𝑦 e 𝑘𝑧 a condutividade térmica nas direções x y e z respectivamente Num meio isotrópico 𝑘𝑥 𝑘𝑦 𝑘𝑧 𝑘 𝐪 𝑘𝑇 3 onde o símbolo representa o operador nabla A equação 3 representa o fenômeno de transporte de energia por difusão ao longo do gradiente de temperatura O fenômeno de transporte da carga elétrica ao longo de um gradiente de potencial elétrico pode ser calculado por meio de uma relação com a mesma forma da equação 3 𝐉 𝜍 4 sendo 𝐉 o vetor densidade superficial de corrente elétrica Am² σ a condutividade elétrica Sm e o potencial elétrico V Em sistemas que ocorrem simultaneamente fenômenos termoelétricos as equações 3 e 4 relacionamse através dos efeitos Peltier e Seebeck 𝐪 𝑘𝑇 𝛼𝑆𝑇𝐉 5 𝐉 𝜍 𝛼𝑆𝑇 6 Sendo que 𝛼𝑆 é uma propriedade do material onde ocorre o fenômeno termoelétrico chamado de coeficiente de Seebeck VK A segunda parcela da equação 5 representa o efeito Peltier produção de fluxo de calor quando existe um gradiente de potencial elétrico e a segunda parcela da equação 6 representa o efeito Seebeck produção de densidade de corrente elétrica num gradiente de temperatura A taxa de transferência de calor W através de uma superfície S é calculada com a integral de superfície 𝑞 𝑆 𝐪 𝐧𝑑𝐴 7 onde n é um vetor unitário normal ao elemento diferencial de área dA Exemplo 1 Sendo 𝐪 𝑧𝐢 𝑥𝐣 3𝑥2𝑧𝐤 Wm² com x y e z em metros a taxa de transferência de calor através da superfície de um cilindro com equação 𝑥2 𝑦2 16 no primeiro octante entre z0 e z5m resulta em 90W Este valor foi determinado com a equação 18 considerandose um sistema de coordenadas polares com 𝐧 𝐢𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐣𝑠𝑒𝑛𝜃 sendo θ o ângulo polar e com dARdθdz R4m o raio do cilindro 22 Propriedades Térmicas da Matéria Os materiais são caracterizados por propriedades que os distinguem Essas propriedades podem ser físicas quantificadas sem alterar a substância e químicas capacidade de uma substância transformarse em outra substância As propriedades também podem ser intensivas independem da quantidade da matéria e extensivas dependem da quantidade da matéria De modo geral as propriedades das substâncias são dependentes da temperatura Os sólidos e líquidos geralmente não dependem da pressão que estão submetidas entretanto os gases são altamente dependentes da pressão que são submetidos Neste item descrevemse algumas propriedades termodinâmicas e propriedades de transporte dos materiais 221 Propriedades Termodinâmicas Definese massa específica peso específico densidade e calor específico Também é descrita a lei dos gases perfeitos e a equação de van der Waals a Massa Molar A quantidade de substância de um corpo é definida em número de moles O mol é definido como a quantidade da substância que contém um número de unidades discretas átomos moléculas íons etc igual ao número de átomos em 12 g de carbono 12 Este número determinado experimentalmente é o número de Avogadro 𝑁𝐴 𝐿 602214199 1023 A massa molar também chamada de massa molecular peso atômico e de peso molecular é representada por M A massa molar de um elemento é a massa de um mol dos seus átomos A massa molar de um composto molecular é a massa de um mol de suas moléculas b Massa específica peso específico e densidade A massa de um corpo B pode ser caracterizada pela massa específica kgm³ definida com a razão entre a massa m da substância do corpo B e o volume 𝑉𝑜 ocupado pelo corpo 𝜌 𝑚𝐵𝑉𝑜𝐵 8 Na seguinte tabela apresentamse alguns valores para a massa específica kgm³ para a água e para o ar T C Água ar 1atm 20 1395 0 9999 1293 4 10000 10 9997 1247 30 9957 1165 40 1127 50 9880 Definese volume específico m³kg como o inverso da massa específica 𝑣 1𝜌 9 Definese peso específico Nm³ como 𝛾 𝜌𝑔 10 sendo g a aceleração da gravidade local Definese densidade Specific Gravity como 𝑆𝐺 𝜌 𝑇1 𝜌𝑟𝑒𝑓 𝑇2 11 sendo 𝜌 𝑇1 a massa específica da substância na temperatura 𝑇1 e 𝜌𝑟𝑒𝑓 𝑇2 a massa específica de uma substância de referência na temperatura 𝑇2 Para líquidos e sólidos a substância de referência é a água na temperatura de 4C e para os gases é o ar na temperatura de 0C e pressão de 1atm Em alguns livros a densidade é representada pela letra Grega δ Para expressar a densidade do petróleo e derivados é de uso comum o chamado grau API American Petroleum Institute definido por API 1415𝑆𝐺60F 60F 1315 12 sendo 𝑆𝐺60𝐹 60𝐹 a densidade da substância com massa específica medida a 60F 1556C e a massa específica da substância de referência água na mesma temperatura Em função do grau API os petróleos são classificados Na seguinte tabela apresentase uma faixa de variação Valor mínimo API Valor máximo do grau API com os tipos de petróleos Tipo de petróleo Valor mínimo Valor máximo Leves 311 Médios 223 311 Pesados 100 223 extra pesados 1315 100 Os melhores petróleos são do tipo leve O teor de enxofre que caracteriza as impurezas dissolvidas no petróleo aumenta com a densidade do petróleo O petróleo brasileiro tem um grau API médio igual a 246 classificado como do tipo médio c Lei dos gases perfeitos A lei dos gases perfeitos é uma equação de estado que define a relação entre a massa específica a pressão e a temperatura para gases rarefeitos É definida como 𝑝 𝜌𝑅𝑇 13 sendo p a pressão absoluta Pa ρ a massa específica kgm³ T a temperatura absoluta K e R a constante do gás JkgK Para o ar R2869JkgK Podese representar também a equação dos gases perfeitos com as variáveis pressão volume ocupado e temperatura 𝑝 𝑛𝑇𝑉𝑜 14 sendo n a quantidade do gás em mol nmM M é a massa molar do gás 𝑉𝑜 volume ocupado em m³ e 83145 Jkmol K a constante Universal dos gases A massa molar para o ar é igual a 2897 kgkmol Um gás é considerado perfeito quando a energia de interação média entre as partículas é muito menor que a sua energia térmica A interação entre as partículas deve ser pequena O gás deve ser suficientemente rarefeito para ser considerado perfeito A energia potencial de interação tende a aumentar na proporção que as partículas fiquem mais próximas quando o gás tornase denso Uma forma prática de classificar um gás como perfeito pode ser realizada por meio da verificação do volume molar 𝑉𝑜𝑛 Os gases diatômicos podem ser considerados como perfeitos quando 𝑉𝑜𝑛 5lmol 15 e os gases poliatômicos quando 𝑉𝑜𝑛 20lmol 16 Numa mistura de gases não reagentes pela lei de John Dalton 17661844 para as pressões parciais 𝑝𝑖 cada gás contribui para a pressão total 𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 proporcionalmente à fração molar do gás que está presente na mistura 𝑝𝑖 𝑛𝑖𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑛 17 𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑖 𝑒 𝑖1 18 sendo i uma espécie que compõe a mistura e e é o número de espécies que compõe a mistura Os gases densos em geral não satisfazem a lei dos gases perfeitos Os desvios são notáveis nas pressões elevadas e nas baixas temperaturas quando o gás está a ponto de se transformar em líquido Nestas situações podese introduzir um fator de compressibilidade z para corrigir a lei dos gases perfeitos 𝑝 𝑧𝑛𝑇𝑉𝑜 19 O fator de compressibilidade é altamente dependente da temperatura e da pressão que o gás está submetido Uma alternativa é fazer uso da equação de van der Waals definida como 𝑝 𝑇𝑉𝑚 𝑏 𝑎𝑉𝑚 2 20 sendo 𝑉𝑚 𝑉𝑜 𝑛 o volume molar Os parâmetros a e b podem ser calculados com as seguintes expressões em função da temperatura crítica 𝑇𝑐 e da pressão crítica 𝑃𝑐 do gás 𝑎 272𝑇𝑐 264𝑃𝑐 e 𝑏 𝑇𝑐8𝑃𝑐 20a Na seguinte tabela listamse os valores de 𝑇𝑐 e 𝑃𝑐 para alguns compostos químicos Felder RM Rousseau RW Princípios Elementares dos Processos Químicos LTC 2005 Composto Fórmula 𝑇𝑐 K 𝑃𝑐 atm Água H2O 6474 2183 Etanol C2H5OH 5163 630 Amônia NH3 4055 1113 Dióxido de carbono CO2 3042 729 Monóxido de Carbono CO 1330 345 Exemplo 2 Calcular o volume molar com a LGP e EVDW para o CO2 a 500K e 100atm Para o CO2 𝑎 3640 atmLmol² e 𝑏 004267 Lmol Com a LGP 𝑉𝑚 𝑇𝑝 resultando 𝑉𝑚 0082058 500100 04103 Lmol Pelo critério especificado na expressão 16 verificase que o valor calculado não é uma boa aproximação Com a EVDW 𝑉𝑚 é uma das raízes reais da equação cúbica obtida operandose com a equação 20 𝑉𝑚 3 𝑉𝑚 2 𝑏 𝑇𝑝 𝑎𝑉𝑚𝑝 𝑎𝑏𝑝 0 Explicitandose o termo 𝑉𝑚 3 e aplicandose o método geral da iteração resulta 𝑉𝑚 03649 Lmol Usandose a LGP cometese um erro 12 d Calor específico e capacidade calorífica Com o calor específico definese a quantidade de calor que deve ser adicionado a uma unidade de massa por exemplo 1 kg de uma substância para elevar a temperatura de uma unidade por exemplo 1K O calor específico pode ser medido considerandose a substância mantida numa pressão constante 𝑐𝑝 ou mantendose com o volume constante 𝑐𝑣 No caso de sólidos e líquidos 𝑐𝑝 𝑐𝑣 A unidade de calor específico no SI é JKgK Multiplicandose o calor específico 𝑐𝑝 e 𝑐𝑣 pela massa molar M da substância definese a capacidade calorífica molar 𝐶𝑀𝑝 e 𝐶𝑀𝑣 com unidade JmolK No início do século XIX Dulong e Petit com base em resultados experimentais concluíram que para sólidos monoatômicos metais 𝐶𝑀 25JmolK Einstein em 1907 demonstrou teoricamente que 𝐶𝑀 249JmolK para altas temperaturas Para gases perfeitos é válida a seguinte relação 𝐶𝑀𝑝 𝐶𝑀𝑣 21 Definindo a razão entre as capacidades caloríficas como 𝛾1 𝐶𝑀𝑝𝐶𝑀𝑣 e substituindo na equação 21 resulta 𝐶𝑀𝑣 𝛾1 1 22 Para gases ideais a monoatômicos 𝛾1 53 b diatômicos 𝛾1 75 e c poliatômicos 𝛾1 13 Para o ar 𝛾1 14 Multiplicandose o calor específico 𝑐𝑝 e 𝑐𝑣 pela massa específica ρ da substância definese a capacidade calorífica volumétrica 𝐶𝑉𝑝 e 𝐶𝑉𝑣 com unidade Jm³K Esta propriedade é usada como medida da capacidade de uma substância armazenar energia térmica Bons armazenadores de calor possuem 𝐶𝑉𝑝 𝜌𝑐𝑝 106Jm³K 222 Propriedades de Transporte As seguintes propriedades de transporte são descritas viscosidade condutividade térmica e o coeficiente de Seebeck a Viscosidade A viscosidade expressa o grau de resistência de um fluido a uma força cisalhante Mede a dificuldade com que os fluidos escoam Representa a manifestação dos processos de dissipação de energia transformação de energia mecânica em calor Pelo modelo de Ostwald o logaritmo das tensões viscosas τ que ocorrem entre camadas de fluidos que se movimentam com velocidades diferentes varia linearmente com o logaritmo do gradiente de velocidade dudy na direção normal y ao movimento do fluido que ocorre na direção x ln 𝜏 𝑎 𝑏 ln𝑑𝑢𝑑𝑦 25 sendo uxy a velocidade na direção x e a e b são parâmetros que dependem do tipo de fluido Em função do parâmetro b os fluidos podem ser classificados como pseudoplásticos 0b1 Newtonianos b1 e dilatantes b1 A mecânica dos fluidos restringese ao estudo dos fluidos Newtonianos Neste caso a lei de Ostwald se reduz na lei de Newton da viscosidade representada como 𝜏 𝜇𝑑𝑢𝑑𝑦 26 onde μ é chamado de coeficiente de viscosidade dinâmica Pas Definese o coeficiente de viscosidade cinemática m²s como 𝜈 𝜇𝜌 Exemplo 7 Um cilindro massa 𝑚 1814 kg e diâmetro 𝐷 60 mm desliza num plano inclinado com velocidade constante 𝑈 30 mms como ilustrado na seguinte figura Considerandose que existe uma camada 𝑏 061 mm de óleos espessos entre a base do cilindro e a superfície do plano inclinado calcular o ângulo A de inclinação do plano Como o cilindro desliza com velocidade constante a resultante das forças é nula conseqüentemente 𝑃sen𝐴 𝐹𝑉 sendo 𝑃 𝑚𝑔 e 𝐹𝑣 𝜇𝐴𝑑𝑢𝑑𝑦 Considerando se que 𝐴 𝜋𝐷24 e 𝑑𝑢𝑑𝑦 𝑈𝑏 resulta sen𝐴 𝜇𝑈𝜋𝐷24𝑚𝑔 Substituindo se os dados do exercício calculase que sen𝐴 012406 ou seja 𝐴 7128 Exemplo 8 No caso dos óleos lubrificantes que são comercializados a viscosidade é especificada por uma unidade identificada pela sigla SAE Society of Automotive Engineers A viscosidade de um determinado óleo é identificada como SAE20W40 O primeiro número identifica uma faixa de variação de viscosidade do óleo operando em baixa temperatura 0F178C e o segundo número identifica uma faixa de variação da viscosidade do óleo operando em alta temperatura 130F544C ou 210F989C A classificação SAE é definida em função da medida do tempo de escoamento de 60 mL de óleo num viscosímetro denominado Saybolt Universal O tempo medido é identificado pela sigla SUS Saybolt Universal Seconds Em função da variável SUS podese calcular a viscosidade cinemática por meio de uma relação com a seguinte forma geral 𝜈 𝐶1𝑆𝑈𝑆 𝐶2𝑆𝑈𝑆 27 sendo 𝐶1 e 𝐶2 parâmetros calibrados para o viscosímetro Na seguinte tabela apresentase a relação entre a especificação SAE e a variável SUS para alguns tipos de óleos ObertEE Motores de Combustão Interna Globo 1971 Temperatura do óleo F SAE 0 130 210 10 90120 10W 600012000 20 120185 20W 1200048000 30 185255 40 255 80 50 80105 69 105125 70 125150 Exemplo 9 Algumas vezes os vidros são referidos como líquidos com elevada viscosidade Os vidros são sólidos nãocristalinos amorfos obtidos a partir do estado líquido Para a formação de um vidro a partir da fase líquida é necessário resfriar rapidamente o líquido para evitar a cristalização Quando não ocorre cristalização os vidros líquidos com a redução da temperatura passam do estado líquido ao estado sólido sem que exista descontinuidade das propriedades físicas Não existindo um ponto de solidificação A viscosidade dos vidros pode ser determinada empiricamente em função da temperatura T por meio de equações com a seguinte forma log 𝜇 𝐴 𝐵𝑇 𝑇0 28 sendo A B e 𝑇0 parâmetros que dependem do tipo de vidro Os pontos específicos na fabricação e processamento de vidros podem ser caracterizados pela viscosidade como ilustrado na seguinte tabela Ponto μ Pas Observação sobre o vidro Fusão 10 Considerado líquido Operação 103 Deformado com facilidade Amolecimento 4 106 Deformado com menos facilidade Recozimento 1012 Quando submetidos por tensões não quebram Deformação 3 1013 Quando submetidos por tensões quebram b Condutividade térmica Descrevemse teoricamente os processos físicos que caracterizam a variação da condutividade térmicas das substâncias Da teoria cinética dos gases considerandose um sistema de partículas em que podem existir somente colisões binárias 𝑘 𝑛𝑘𝑏𝜆𝑉 2 29 sendo n o número de partículas por unidade de volume λ o livre caminho médio entre colisões entre partículas 𝑘𝑏 1380650 1023JK é a constante de Boltzmann e 𝑉 a velocidade térmica média Para um gás perfeito partículas distinguíveis considerando a distribuição de MaxwellBoltzmann determinase 𝜆 2𝜋𝑎2𝑛1 𝑉 8𝑘𝑏𝑇 𝜋𝑚 12 30 sendo a o diâmetro da partícula e m a massa da partícula Substituindose as equações 30 em 29 resulta 𝑘 𝑐𝑘 𝑇𝑚 31 Sendo 𝑐𝑘 𝑘𝑏𝜋32𝑎2 uma constante Analisandose a equação 31 verificase que a condutividade térmica para os gases é diretamente proporcional a raiz quadrada da temperatura Nos sólidos a condutividade térmica pode ser explicada pela agitação molecular realizada através da vibração da rede cristalina 𝑘𝑟 ou pelo movimento dos elétrons livres 𝑘𝑒𝑙 𝑘 𝑘𝑟 𝑘𝑒𝑙 32 Nos metais puros 𝑘𝑒𝑙 𝑘𝑟 Com a equação 29 aplicada para um gás de elétrons partículas indistinguíveis que obedecem a lei de exclusão de Pauli e considerandose a distribuição de FermiDirac determinase que 𝑘𝑒𝑙 𝜋𝑘𝑏 2𝑛𝑒𝑛𝑇𝜏3𝑚𝑒 33 sendo 𝑛𝑒 o número de elétrons livres por unidade de volume 𝑚𝑒 9109382 1031kg a massa do elétron e τ é intervalo de tempo médio entre as colisões dos elétrons Da teoria cinética dos gases determinase uma expressão para a condutividade elétrica para os metais puros 𝜍 𝑛𝑒𝑒2𝜏𝑚𝑒 34 onde 𝑒 1602176 1019C é a carga do elétron Eliminandose τ com as equações 33 e 34 resulta a lei de WiedemannFranz 𝑘𝑒𝑙𝜍 𝐿𝑇 35 onde 𝐿 𝜋𝑘𝑏𝑒23 2443010 108 WΩK2 é o número de Lorentz Analisandose a equação 35 verificase que a condutividade térmica para os metais puros é diretamente proporcional ao produto da temperatura pela condutividade elétrica Na seguinte tabela apresentamse valores experimentais do número de Lorenz para alguns metais Metal L 108 WΩK2 Alumínio 220 Cobre 225 Ouro 250 Ferro 271 Níquel 208 Prata 213 Tungstênio 320 Para os sólidos não metálicos 𝑘𝑟 𝑘𝑒𝑙 as ondas vibracionais são preponderantes na definição da condutividade térmica da matéria Modelagens com a teoria cinética dos gases são realizadas considerandose gases de fônons são pseudopartículas quânticas consideradas duais com as ondas vibracionais Com a equação 29 aplicada para um gás de fônons partículas indistinguíveis que não obedecem a lei de exclusão de Pauli e considerandose a distribuição de BoseEinstein podese verificar que 𝑘𝑟𝑇𝑎 36 Se 𝑇 𝜃𝐷 então 2 𝑎 3 e se 𝑇 𝜃𝐷 então 2 𝑎 1 𝜃𝐷 𝜈𝐷𝑘𝑏 é a temperatura de Debye 6626069 1034Js é a constante de Planck e 𝜈𝐷 é a freqüência máxima de vibração das moléculas do sólido A capacidade de uma substância conduzir energia térmica por difusão em relação a capacidade de armazenamento é determinada pela difusividade térmica definida por 𝛼 𝑘𝐶𝑉𝑝 37 Exemplo 10 Estimar a condutividade térmica na temperatura ambiente de um óxido de alumínio 𝑘 39 WmK que possui fração volumétrica dos poros de 25 os quais estão preenchidos com ar estagnado Considerando que a condutividade do ar é 𝑘 00240 WmK podese calcular a condutividade térmica como uma média ponderada 𝑘 025 00240 075 39 2926 WmK c Coeficiente de Seebeck Thomas Johann Seebeck 17701831 descobriu em 1821 a existência de uma corrente termoelétrica enquanto observava o efeito eletromagnético associado com circuitos de bismutocobre e bismutoantimônio e Jean Charles Athanase Peltier 17851845 descobriu em 1834 um efeito térmico peculiar quanto introduziu pequenas correntes elétricas externas em termoacoplamentos de Seebeck com bismutoantimônio Benedict RP Fundamentals of Temperature Pressure and Flow Measurements Wiley 1984 Nos efeitos termoelétricos Seebeck e Peltier a razão entre a diferença de tensão elétrica 𝑑 denominada tensão de Seebeck e a diferença de temperatura dT é função de uma propriedade dos materiais chamada de coeficiente de Seebeck O coeficiente de Seebeck 𝛼𝑆 tem valores baixos nos metais 2 106VK𝛼𝑆2 106VK e valores mais altos nos semicondutores 150 106VK 𝛼𝑆250 106VK O efeito Seebeck é o processo que ocorre na produção de força eletromagnética num acoplamento térmico sob condições de corrente nula O efeito Peltier é o processo que ocorre na transferência de calor que acompanha o fluxo de corrente através de uma junção isotérmica de dois materiais diferentes Estes efeitos estão relacionados através das equações 𝐪 𝑘𝑇 𝛼𝑆𝑇𝐉 37a 𝐉 𝜍 𝛼𝑆𝑇 37b Em termoeletricidade prática o coeficiente absoluto de Seebeck não é usado para determinar a tensão de Seebeck A tensão de Seebeck é determinada em função de algum material de referência 𝑑 𝛼𝑆𝐴𝐵𝑑𝑇 O coeficiente relativo de Seebeck 𝛼𝑆𝐴𝐵 𝛼𝑆𝐴 𝛼𝑆𝐵 representa para uma dada combinação de materiais A e B a variação líquida na tensão térmica provocada por uma diferença de temperatura Em geral consideramse relações calibradas para termo acoplamentos de cabos elétricos com materiais A e B 𝛼𝑆𝐴𝐵 𝑑𝑑𝑇 𝑎𝐴𝐵 𝑏𝐴𝐵𝑇 37c sendo 𝑎𝐴𝐵 𝑎𝐴 𝑎𝐵 e 𝑏𝐴𝐵 𝑏𝐴 𝑏𝐵 23 Equação da Difusão de Calor Se a temperatura em um ponto xyz num sólido ou num recipiente contendo um fluido estacionário no instante t é Txyzt podese demonstrar considerandose a equação da conservação de energia a lei de Fourier e que o armazenamento de calor não provoca mudança de estado na substância analisada que a seguinte equação pode ser usada para modelar a difusão de calor 𝑘𝑇 𝑞 𝜌𝑐𝑝𝑇𝑡 38 sendo 𝑞 a taxa de geração de calor na substância analisada por unidade de volume Wm³ No modelo de difusão térmica descrito pela equação 38 quando k não varia espacialmente esta equação se reduz em 2𝑇 𝑞 𝑘 𝑇𝑡𝛼 39 onde 2 representa o operador Laplaciano Se o processo é estacionário a equação 39 transformase na equação de Poisson 2𝑇 𝑞 𝑘 0 40 Quando não existe geração de calor a equação 40 se reduz a equação de Laplace 2𝑇 0 41 A equação de Laplace Surgiu num artigo de Leonhard Euler sobre hidrodinâmica em 1752 Ficaram conhecidas com o nome Laplace em homenagem a PierreSimon Laplace que desde 1782 estudou suas soluções enquanto investigava a atração gravitacional entre corpos no espaço A equação diferencial de Laplace é linear homogênea e de segunda ordem Com a equação de Laplace solucionamse problemas de valores de contorno que descrevem processos estacionários Uma função contínua que satisfaz uma equação de Laplace é denominada de função harmônica Exemplo 11 A função 𝑇 𝑥 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐 é harmônica porque para quaisquer constantes 𝑎 𝑏 e 𝑐 satisfaz a equação 41 Exemplo 12 Determinar as funções harmônicas 𝑇 𝑟 𝜃 que somente dependem do raio polar e que satisfazem a equação 41 Em coordenadas polares 𝑟 𝜃 𝑟 0 0 𝜃 2𝜋 𝑥 𝑟 cos 𝜃 e 𝑦 𝑟 sen 𝜃 Substituindose na equação 41 resulta 𝑟𝑇𝑟𝑟 𝑟 2𝑇𝜃2𝑟2 0 41a Procuramse soluções para a equação 41a com a forma geral 𝑇 𝑟 𝜃 𝑓𝑟 A equação 41a se reduz numa equação diferencial ordinária 𝑑𝑟𝑑𝑓𝑑𝑟𝑑𝑟 𝑟 0 Integrandose resulta 𝑟𝑑𝑓𝑟 𝐶1𝑑𝑟 Integrandose novamente resulta 𝑓 𝑟 𝐶1 ln 𝑟 𝐶2 Portanto 𝑇 𝑟 𝜃 𝐶1 ln 𝑟 𝐶2 Exemplo 13 Das equações de Maxwell e considerandose que 𝐄 𝐀𝑡 e 𝐁 𝐀 42 sendo E o campo elétrico Vm B a densidade de fluxo magnético T e A o potencial magnético Wbm determinamse as equações dos potenciais eletromagnéticos 2 𝜌𝑒𝑙𝜖 𝜖𝜇𝑚2𝑡2 43 2𝐀 𝜇𝑚𝐉 𝜇𝑚𝜖2𝐀𝑡2 44 sendo 𝜌𝑒𝑙 a densidade de carga elétrica Cm³ 𝜖 a constante dielétrica Fm e 𝜇𝑚 a permeabilidade magnética Hm Comparandose as equações 38 43 e 44 verificase que existe muita semelhança A diferença encontrase na derivada em relação ao tempo Na equação 38 que é uma equação de difusão a derivada em relação ao tempo é de primeira ordem e nas equações dos potenciais eletromagnéticos são de segunda ordem por que são equações de ondas Quando o processo é estacionário as equações 43 e 44 tornamse totalmente semelhantes com a equação 40 porque também são equações do tipo de Poisson Os fenômenos modelados são muito diferentes mas os modelos matemáticos são os mesmos Em campos magnéticos quase estáticos em meios condutores existe uma equação de difusão totalmente semelhante a equação do calor com 𝑞 0 para modelar o potencial magnético 2𝐀 𝜇𝑒𝑙𝜍𝐀𝑡 45 24 Condições Iniciais e de Contorno Para solucionar uma equação diferencial são necessárias informações adicionais em relação ao estado inicial do sistema e das interações com o ambiente Para cada ordem de derivada da equação necessitase de uma condição Por exemplo na equação 39 da difusão de calor são necessárias 7 condições uma condição inicial associada com a derivada em relação ao tempo e 6 condições de contorno associadas com as seis derivadas espaciais Na região identificada como volume de controle VC esquematizada na seguinte figura necessitase determinar a distribuição de temperatura com a equação 39 Para tanto é necessário conhecer uma condição inicial que identifica uma distribuição de temperatura num instante inicial t0 sobre toda a região VC Txyz0fxyz Também devem ser conhecidas condições de contorno sobre SC Os seguintes tipos de condições de contorno geralmente são usadas a Condição de Dirichlet Txyztgxyzt com xyz sobre SC Num caso particular a função g pode ser uma constante Fisicamente isto é possível mantendose uma substância que está mudando de fase em contato com a superfície b Condição de Neumann 𝑇𝑛 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝐧 com xyz sobre SC sendo n um vetor unitário normal a superfície SC Por exemplo no caso de uma superfície plana normal ao eixo x ni que é mantida em contato com um aquecedor que produz um fluxo de calor por unidade de área constante igual a 𝑞𝑠𝑢𝑝 𝑘𝑇𝑥 𝑞𝑠𝑢𝑝 c Condição de Robin 𝑇𝑛 𝐴𝑇 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝐧 sendo A uma constante Por exemplo no caso de uma superfície plana normal ao eixo x ni que é mantida em contato com um fluido em movimento na temperatura 𝑇e coeficiente de transferência de calor por convecção h 𝑘𝑇𝑥 𝑇 𝑇 Um dos métodos usados para resolver problemas de valores de contorno consiste na determinação da solução geral da equação diferencial para particularizála com o objetivo de obter a solução aplicando a condição de contorno Para obter a solução geral de uma equação diferencial parcial linear homogênea é de grande importância o uso do princípio da superposição na forma finita Se 𝑇1 𝑇𝑛 são soluções da equação 39 então 𝐶𝑗𝑇𝑗 𝑛 𝑗1 onde 𝐶𝑗 𝑗 1 𝑛 são constantes também é solução O espaço de solução também pode ser dimensão infinita Iório V EDP Um Curso de Graduação IMPA 1989 Conhecendose soluções de problemas básicos essas soluções podem ser combinadas linearmente para obter soluções de problemas mais complexos que sejam compostos por vários problemas básicos Exemplo 14 Considerar a região retangular esquematizada na seguinte figura Considerandose as condições de contorno 𝑇 0 𝑦 𝑇 𝑥 𝑏 𝑇 𝑎 𝑦 0 𝑇 𝑥 0 𝑓𝑥 e que 𝑓0 𝑓𝑎 0 determinar a função 𝑇 𝑥 𝑦 0 𝑥 𝑎 e 0 𝑦 𝑏 que satisfaz a equação de Laplace 41 A solução procurada é determinada com a seguinte expressão Figueiredo DG Análise de Fourier e Equações Diferenciais parciais IMPA 1977 𝑇 𝑥 𝑦 𝑓𝑛sen 𝑛𝜋𝑥𝑎 senh 𝑛𝜋 𝑦 𝑏 𝑎 senh 𝑛𝜋𝑏𝑎 𝑛1 46 𝑓𝑛 2𝑎 𝑓 𝑥 sen 𝑛𝜋𝑥𝑎 𝑑𝑥 0 47 Exemplo 15 Considerar a região circular esquematizada na figura da próxima página Considerandose as condições de contorno 𝑇 𝑟 0 𝑇 𝑟 2𝜋 𝑇 𝑎 𝜃 𝑓𝜃 e que 𝑓0 𝑓2𝜋 determinar a função 𝑇 𝑟 𝜃 0 𝑟 𝑎 e 0 𝜃 2𝜋 que satisfaz a equação de Laplace 41a A solução procurada é determinada com a seguinte expressão Figueiredo DG Análise de Fourier e Equações Diferenciais parciais IMPA 1977 𝑇 𝑟 𝜃 𝑟𝑛𝑎𝑛cos 𝑛𝜃 𝑏𝑛sen𝑛𝜃 𝑛0 48 𝑎0 1 2𝜋 𝑓 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 49 𝑎𝑛 1 𝜋𝑎𝑛 𝑓 𝜃 cos 𝑛𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 50 𝑏𝑛 1 𝜋𝑎𝑛 𝑓 𝜃 sen 𝑛𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 51 APÊNDICE Dimensões Homogeneidade Dimensional e Unidades As propriedades dos fluidos podem ser caracterizadas descrevendose a qualitativamente identificandose a natureza ou o tipo e b quantitativamente informando a medida numérica e a unidade ou o padrão Exemplo 3 Taxa de transferência de calor de 160 kW Taxa de transferência de calor é a descrição qualitativa e 160 kW é a descrição quantitativa a Descrição qualitativa Geralmente a descrição qualitativa é realizada utilizandose dimensões primárias Dimensão é uma propriedade de uma grandeza que pode ser medida Grandeza é um atributo mensurável de um componente do Universo Algumas dimensões primárias são as seguintes comprimento Ll tempo tT massa mM temperatura Tθ corrente elétrica iI As dimensões primárias podem ser usadas para descrever dimensões secundárias Por exemplo área 𝐴 𝐿2 e velocidade 𝑉 𝐿𝑇1 O símbolo é usado para identificar dimensão b Princípio da homogeneidade Uma equação física será dimensionalmente homogênea se todas as parcelas possuírem igual dimensão Toda equação física verdadeira é dimensionalmente homogênea ou toda equação física deve ser invariante relativamente a qualquer mudança de sistemas de unidades empregado princípio da homogeneidade Ou seja a equação é válida em qualquer sistema de unidades Exemplo 4 A seguinte equação é dimensionalmente homogênea 𝑎 3𝑑𝑡2 2𝑉𝑡 23 sendo a aceleração d distância V velocidade e t tempo Uma equação que não é dimensionalmente homogênea pode ser usada desde que sejam conhecidas as unidades de cada variável da equação Exemplo 5 A seguinte equação não é dimensionalmente homogênea 𝐹 4𝑃𝜔𝑑13𝜋 24 sendo F força N P potência W ω velocidade angular rads e d densidade superficial kgm² c Descrição quantitativa A descrição quantitativa de uma propriedade do fluido é realizada com o auxílio de sistemas de unidades Unidades são valores específicos de dimensões definidas por convenção costume ou lei Para que as medições possam ser corretamente interpretadas em qualquer lugar e para que seus significados perdurem é necessário que sejam expressas por unidades bem estabelecidas Em 14101960 na XI Conferência Geral de Pesos e Medidas foi estabelecido um Sistema Universal de unidades SI Sistema Internacional de Unidades Algumas unidades básicas do SI são para medir comprimentos o metro m para medir massas o quilograma kg para medir o tempo o segundo s e para medir temperaturas o Kelvin K27315C Unidades derivadas são definidas em função das unidades básicas como por exemplo para medir forças definese o Newton definido com a força que uma massa de 1kg está submetida a uma aceleração de 1ms² N kg ms2 Na prática continuam sendo usados outros sistemas de unidades como por exemplo o Sistema Técnico ST que tem como unidades básicas o metro m o segundo s e o quilograma força definido como o peso de uma massa de 1kg na latitude 45 ao nível do mar onde a aceleração da gravidade é igual a 980665ms² 1kgf980665N No ST a unidade de massa é o UTM980665 kg definida como a massa com a aceleração de 1ms² que resulta em 1kgf Nas especificações de equipamentos máquinas e em medidores ainda é costume usar unidades do Sistema Inglês de Engenharia SIE e do Sistema Britânico Gravitacional SBG No SIE as unidades básicas são para o comprimento o pé ft03048m para a massa a libramassa lbm0453592kg equivalente a massa de seis maçãs para o tempo o segundo s e para a temperatura o grau Rankine KR18 A unidade de força é o poundal01382550N No SBG as unidades básicas são o pé ft para força a libraforça lbf4448222N equivalente ao peso de seis maçãs segundo s e para a temperatura o grau Fahrenheit KF4596718 A unidade de massa é o slug1459390kg Com o objetivo de simplificar o valor da medida numérica costumase usar múltiplos e submúltiplos nano n 109 micro μ 106 mili m 103 quilo k 103 mega M 106 e giga G 109 Exemplos quilograma kg1000g milímetro mm0001m Informações detalhadas sobre sistemas de unidades e conversão de unidades podem ser obtidos no seguinte texto Thomson A Taylor BN Guide for the Use of the International System of Units SI NIST Special Publication 811 2008 Exemplo 6 Numa operação são usados dois corpos A e B O corpo A tem 10kg de massa e o corpo B tem massa desconhecida Os dois corpos são colocados numa balança numa região onde 𝑔 967m²s O peso combinado dos dois corpos observado na balança é de 17406 N Determinar a massa do corpo B em kg lbm e slug A massa dos dois corpos é determinada como 𝑚 17406967 18kg Sendo 𝑚𝐴 10kg a massa do corpo B resulta 𝑚𝐵 18 10 8kg A massa em lbm é determinada por 𝑚𝐵 80453592 1764lbm e em slug 𝑚𝐵 81459390 05482slug Constantes e Propriedades físicas g981ms² σ 5670 108Wm2K4 𝑇K 𝑇C 273 𝑇 C 𝑇 F 32 18 hp746W bar100kPa atm101325Pa mmHg1333224Pa lbfin²6894757Pa 83145JmolK0082058atmLmolK Rar2869JkgK kar14 Rvapor água4610JkgK kvapor água133 Rhélio2077JkgK khélio166 NA602214210²³mol Evágua216 109Pa in254cm ft3048cm lbm04535924kg slug1459390kg lbf4448222N Massa molar M Substância Al Ar ar B C Ca Cl H Mgmol 2698 3995 2897 1081 1201 4008 3545 1008 Substância K N Na O S Zn Mgmol 3910 1401 2299 1599 3206 6538 Propriedade Substância Ρ kgm³ k WmK cp kJkgK µ Pas hlf kJkg hlv kJkg pv Pa Acetona l 791 0180 2151 0000337 962 521 Aço s 7800 43 0473 Água l 1000 0628 4178 0000891 334 2257 2340 Água g 00195 1868 0000009 2257 Alumínio s 2700 237 0903 85 Amônia l 612 0521 4798 00002196 322 1357 910000 ar g 1269 00240 10065 00000175 Benzeno l 883 0161 1675 00006850 126 394 10100 Cobre s 8933 401 0385 209 Concreto 2400 14 0950 Chumbo s 11340 353 0130 234 Etanol l 789 0167 2840 0001060 108 855 5700 Etileno glycol l 1096 0258 2505 00007570 181 800 12 Ferro s 7272 52 420 Gasolina l 680 000031 55100 Glicerina l 1264 0286 2386 1519 201 974 0014 Hélio g 0152 5193 00000199 Mercúrio l 13560 8515 0139 01534 114 295 00011 Metanol l 779 0198 2577 00005088 992 1100 13400 Óleo de motor 878 0145 1950 0253 Querosene l 820 20 00017 251 3110 l Líquido g Gás