Escoamento ao Redor de Corpos Imersos - Força de Arraste e Sustentação

CAPÍTULO X ESCOAMENTO AO REDOR DE CORPOS IMERSOS Se estamos expostos a um escoamento de ar por exemplo atua em nós uma força de arraste Para se determinar matematicamente essa força e para explicar a força que faz um avião voar a humanidade teve que passar por uma complicada evolução da ciência Paradoxo de DAlembert Com o advento da Hidrodinâmica Clássica especialmente para movimentos bidimensionais ficou fácil a partir da distribuição das velocidades e do uso da equação de Bernoulli encontrar a distribuição das pressões ao redor dos corpos e por integração a força total exercida sobre os mesmos Teoricamente a configuração do escoamento bidimensional ideal abaixo ao redor de um cilindro que apresenta simetria resulta em uma força total nula conforme é possível concluir pela distribuição de pressões indicada à direita Este paradoxo foi apontado por DAlembert em 1774 Hoje sabese muito bem que no caso de escoamento de fluido real existe força de arraste oriunda 1 do desenvolvimento da camada limite ao redor do cilindro e 2 da separação que causa diferenças na distribuição das pressões ao redor do cilindro Na figura abaixo são mostradas as linhas de corrente para casos típicos em que ocorre a separação Na região frontal do cilindro a pressão é de estagnação 2 2 Uo p diminuindo ao longo do percurso sobre a curva devido ao aumento da velocidade Existe um ponto onde a pressão é nula e a pressão passa a ser negativa Decrescendo a velocidade poderia aumentar a pressão seguindo a mesma tendência do caso ideal mas tratandose de fluido real ocorre a separação onde daí por diante a pressão fica constante Na figura abaixo a separação ocorre ainda no primeiro quadrante e a pressão é negativa na zona de separação A resultante da integral do produto pdA é uma força horizontal da esquerda para a direita força que o escoamento impõe ao corpo que é a força de arraste Força de arraste e de sustentação Em geral a força causada pelo escoamento ao redor de corpos imersos pode ser decomposta em duas componentes Força paralela ao escoamento chamada de força de arraste Drag em inglês e outra perpendicular ao escoamento chamada de força de sustentação Lift em inglês Por exemplo em um avião que voa horizontalmente o seu peso está sendo balanceado pela força de sustentação Mas com certeza há também a força de arraste que cria resistência ao movimento necessitando consumir combustível para vencêla Para se estudar a força sobre corpos imersos essas duas componentes são enfocadas separadamente Fórmula básica da força sobre corpos imersos Para se determinar a força F sobre um corpo de dimensão característica L sendo a área A proporcional a L2 e rugosidade k quando incide um escoamento de fluido de densidade e viscosidade com velocidade de aproximação Uo chegase pela análise dimensional à expressão 2 2 C A U0 F onde C é um coeficiente que pode ser de arraste ou de sustentação que pode ser função do número de Reynolds da rugosidade relativa kL e da forma do corpo Para a força de arraste 2 2 C A U0 F D D onde o índice D vem da palavra inglesa drag que significa arraste Para a força de sustentação 2 2 C A U0 F L L onde o índice L vem da palavra inglesa lift que significa sustentação É interessante observar que 2 2 A U0 é a força que resultaria se pressão de estagnação atuasse homogeneamente em toda a área A Força de arraste A força de arraste pode ser classificada em dois tipos Resistência de superfície que tem origem na força de tensão tangencial que ocorre devido ao desenvolvimento da camada limite na superfície do corpo imerso e Resistência de forma que tem origem na distribuição de pressões ao redor do corpo imerso normalmente em conseqüência da separação Normalmente a força de arraste total é a soma dessas duas parcelas No caso de incidência de velocidade sobre um disco a resistência de forma é predominante No caso de corpo aerodinâmico a resistência de superfície é predominante No caso de uma esfera os dois tipos de resistência estão presentes Disco Esfera Corpo Aerodinâmico Resistência de Superfície placas planas Uma placa plana lisa de largura B sujeita a um escoamento de velocidade de aproximação Uo desenvolve ao longo do escoamento uma camada limite que pode ser laminar ou turbulenta No início essa camada tem espessura nula mas vai aumentando com a distância x contada a partir da borda da placa Para caracterizar essa posição definese o número de Reynolds de posição Re x U o x que é muito importante nos cálculos tratados na seqüência Camada limite integralmente laminar Camada limite integralmente turbulenta Junto à superfície da placa surge portanto a tensão tangencial de valor elevado no início da placa e que vai diminuindo com x Com a integração do produto dA desde o início da placa até a posição x obtémse a força de arraste devida à resistência de superfície até aquela posição Para se obter esses valores da tensão tangencial e da força aplicase o princípio das quantidades de movimento em um volume de controle cuja seção de entrada é onde a velocidade é igual a Uo e a seção de saída onde a distância é x Nessa seção de saída dentro da camada limite laminar considerase que a distribuição das velocidades obedece a lei parabólica e na camada limite turbulenta a lei de Blasius ou da potência 17 que assemelha muito à distribuição logarítmica de velocidades para escoamentos turbulentos hidraulicamente liso No caso do desenvolvimento de camada limite turbulenta ocorre primeiramente a camada limite laminar no início da placa que pode permanecer nesse regime até a posição em que o número de Reynolds de posição Re x U o x atinge valor da ordem de 400000 a 500000 Depois disso ocorre camada limite turbulenta propriamente dita na apostila chamase essa situação de camada limite de transição Nesse caso coexiste ainda uma subcamada laminar junto à placa conforme indicado na figura abaixo Para escoamento hidraulicamente liso essa subcamada cobre integralmente a rugosidade Provocandose uma turbulência a parte laminar no início da placa pode desaparecer tornando a camada limite integralmente turbulenta Mostramse abaixo as equações que definem a espessura da camada limite a tensão tangencial e a força de arraste resistência de superfície FD todas as grandezas definidas na posição x Placa plana lisa a Camada limite integralmente laminar Espessura da camada limite Re1 2 5 x x Força de arraste sobre a placa 2 2 2 2 0 o ft D D U C Bx C A U F onde x C ft Re 133 Tensão tangencial na posição x 2 2 o f o U C onde x C f Re 0 66 b Camada limite turbulenta desde o início Espessura da camada limite Re 0 2 38 0 x x Força de arraste sobre a placa 2 2 2 2 0 o ft D D U C Bx C A U F onde Re 0 2 074 0 x C ft para Re 107 x 2 58 Re log 455 0 x C ft para 107 Re x Podese utilizar também a fórmula implícita de Schoenherr que abrange as duas faixas Re 413log 1 x ft ft C C Tensão tangencial na posição x 2 2 o f o U C onde Re 0 2 059 0 x C f c Camada limite de transição laminarturbulenta Força de arraste sobre a placa 2 2 2 2 0 o ft D D U C Bx C A U F onde x x C ft Re 1700 logRe 455 0 2 58 o escoamento é hidraulicamente liso quando a rugosidade Uo K 100 A figura abaixo resume a relação entre o coeficiente de arraste ft C e o número de Reynolds de posição x Re para o caso de placas planas lisas Placa plana rugosa No caso do cálculo da força de arraste sobre placas planas rugosas temse o seguinte Força de arraste sobre a placa 2 2 2 2 0 o ft D D U C Bx C A U F onde 52 1 62log 89 1 L k C ft expressão válida para escoamentos turbulentos plenamente rugosos A figura abaixo mostra também a região de escoamento turbulento de transição lisorugoso Resistência de Forma em corpos sujeitos à separação A mesma placa estudada anteriormente se posicionada perpendicularmente como na figura abaixo recebe agora uma força de natureza diferente Se anteriormente era devido à integração das forças elementares devidas à tensões tangenciais agora é devido à integração das forças elementares devidas às forças de pressão Na parte frontal o escoamento de velocidade Uo se estagna no centro da placa causando um aumento de pressão igual a 2 2 Uo p e à medida que se aproxima da borda a pressão vai diminuindo a velocidade aumenta Na borda em si a velocidade seria extremamente alta pressão baixa no caso do escoamento de fluido ideal no centro da parte posterior da placa poderseia chegar à estagnação Assim a força de arraste seria nula Mas no caso de fluido real isso não acontece na borda certamente ocorre a separação em ponto de alta velocidade e baixa pressão Então ocorre uma pressão negativa sucção na parte posterior da placa As forças elementares de pressão pressão positiva na parte anterior provocam uma força resultante da esquerda para a direita e a força devida à pressão negativa na parte posterior também provoca uma resultante da esquerda para a direita Essa força resultante pode ser maior do que o produto pA sendo A a área exposta ao escoamento Aliás recordandose a fórmula geral percebese que o coeficiente de arraste é a relação entre a força de arraste e a força total de estagnação pA força que resultaria se a pressão de estagnação atuasse homogeneamente em toda a área do corpo No exemplo citado da placa posicionada perpendicularmente ao escoamento o coeficiente CD é maior que a unidade ele é da ordem de 112 ou mais lembrese por causa da pressão negativa que se estabelece na região de separação Este é um caso extremo em que a força de arraste é totalmente devida à forma que provoca a separação e o coeficiente de arraste CD não depende do número de Reynolds e o seu valor é alto Quando se pretende construir um veículo com pequena força de arraste procurase evitar a separação Aquele caso da placa posicionada paralelamente ao escoamento é o outro caso extremo em que a força de arraste é totalmente devida à resistência de superfície Um corpo aerodinâmico ou hidrodinâmico feito para se diminuir a separação assemelhase à placa posicionada paralelamente ao escoamento lembrese da dependência do coeficiente de arraste ao número de Reynolds e valor relativamente pequeno CD da ordem de 006 O escoamento ao redor de uma esfera ou cilindro são casos intermediários em que o coeficiente de arraste depende do número de Reynolds e da forma A rugosidade da superfície pode também influenciar na posição onde ocorre a separação portanto causando grandes diferenças no valor da força de arraste Esta é a razão da bola de golf sempre ter uma rugosidade para se desenvolver camada limite turbulenta e manter o escoamento aderido à esfera para diminuir o arraste Coeficiente de arraste de corpos de revolução Coeficiente de Arraste para cilindro e outros corpos bidimensionais Força de sustentação Definese como sustentação a componente normal à direção do fluxo da força que age sobre o corpo imerso Para fluidos ideais como visto por DAlembert a rigor não deveria aparecer essa força Entretanto é possível estudar a sustentação a partir dos princípios teóricos da Hidrodinâmica Clássica lançandose mão do conceito de circulação Conforme visto no início o escoamento com velocidade de aproximação Uo provocaria a existência da velocidade local junto ao contorno do cilindro igual a U sen v 2 o para 0o e 180o ocorreria a estagnação e para 90o e 270o a velocidade seria 2Uo ambas da esquerda para a direita Agora se num ambiente sem velocidade incidente se impor uma rotação no cilindro com velocidade tangencial vo criase um escoamento com uma grandeza chamada circulação cujo valor é dado por 2Rvo sendo R o raio do cilindro A velocidade fora do cilindro sendo o escoamento do tipo potencial numa posição onde o raio é r é dada por r v 2 Esses dois escoamentos são casos típicos estudados com rigor na Hidrodinâmica Clássica escoamentos de fluidos ideais Superpondose esses dois movimentos temse a velocidade sobre a superfície cilíndrica em qualquer posição R U sen v o 2 2 Determinando os pontos de estagnação sobre o cilindro onde a velocidade é nula tem se o seguinte Caso Valor da circulação Pontos de estagnação Posição configuração 1 0 2 pontos 0o e 180o 2 4RUo 0 2 pontos No terceiro e quarto quadrantes 3 4RUo 1 ponto 90o 4 4RUo 1 ponto Fora da superfície O caso 1 é o citado no paradoxo de DAlembert No caso 2 é interessante perceber que a 90o as velocidades dos dois campos se somam resultando uma alta velocidade baixa pressão Na parte inferior a velocidades se subtraem tanto é que ocorrem pontos de estagnação velocidade nula e pressão alta Assim percebese que ocorrerá uma força resultante de sustentação Esse caso é possível deduzir analiticamente o valor do coeficiente de sustentação o o o L U v U R C 2 Então concluise que basta sobrepor uma circulação em um escoamento de aproximação uniforme que surge a sustentação Baseado nisso explicase as vibrações em cabos elétricos e de pontes devido às forças transversais ao escoamento que se alternam É a esteira de vórtices de Von Karman que chegou a derrubar uma ponte nos EUA porque a sua oscilação atingiu a freqüência natural do cabo ressonância Escoamento ao redor de asa de avião Um espelho curvo poderia fornecer uma imagem alongada do cilindro e conhecendose as características dessa curvatura poderseia definir matematicamente a configuração da imagem Pois existe um processo matemático de fazer a transformação abaixo por meio de funções de variáveis complexas é a transformação conforme Em especial a Transformação de Joukowski Essa transformação mantém as linhas de correntes perpendiculares às linhas equipotenciais vistas nas redes de correntes Assim tudo que se viu no cilindro teria uma imagem na transformação Joukowski em forma de asa de avião Fazendo valer a noção de que basta sobrepor uma circulação em um escoamento de aproximação uniforme que surge a sustentação Sendo possível o tratamento matemático através da transformação conforme números complexos Então na figura abaixo somandose os dois campos a e b resulta num campo c com a sustentação Evidentemente a asa não gira Mas a existência da circulação em torno da asa foi explicada Ao se partir do repouso criase a jusante do perfil um vórtice devido à descontinuidade das velocidades denominado vórtice de partida Assim a existência da sustentação em asa de avião pode ser explicada Evidentemente o perfil Joukowski é uma maneira matemática de até deduzir a formula da sustentação mas por diversas razões estruturais econômicas e práticas as asas não têm exatamente o perfil matemático A NACA dos Estados Unidos criou diversos padrões práticos de asa em que as suas características encontramse bem definidas