Resumo Transferencia de Massa por Difusao Incropera - Fenomenos de Transporte

TH047 Elementos de Mecânica dos Fluidos II TH064 Fenômenos de Transporte na Eng de Produção Segundo Semestre de 2024 Resumo número 6 O resumo apresentado foi preparado com base no livro texto adotado na disciplina Incropera FP Dewitt DP Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa LTC 1998 Os tópicos apresentados também podem ser encontrados na bibliografia básica listada no texto que descreve as instruções gerais sobre a disciplina 14 TRANSFERÊNCIA DE MASSA POR DIFUSÃO O termo transferência de massa é usado para descrever o movimento relativo de espécies numa mistura pela presença de gradientes de concentração difusão ordinária O movimento de ar induzido por um ventilador o movimento de água pelo efeito da gravidade num rio ou o movimento de água forçado por uma bomba numa tubulação não são descritos pelo termo transferência de massa embora exista transferência de massa nos três exemplos 141 Origens Físicas e Equações da Taxas Existem modos de transferência de massa que são semelhantes aos modos de transferência de calor por condução e convecção Estudase a transferência de massa por difusão semelhante a transferência de calor por condução 1411 Origens físicas A transferência de massa por difusão é um processo de transporte que tem a sua origem na atividade molecular A difusão mássica ocorre em líquidos sólidos e gases Influenciada pelo espaçamento molecular ocorre mais facilmente em gases vapor de água no ar nos líquidos água no etanol e com maior dificuldade nos sólidos água no solo Exemplo 1 Na seguinte figura esquematizase um reservatório com duas câmaras A câmara da esquerda contém gás de hidrogênio com concentração molar 𝐶1 e a da direita o gás nitrogênio com concentração molar 𝐶2 Retirandose a parede divisória entre as câmaras o gás da esquerda se difunde para a direita e o gás da direita se difunde para a esquerda Com a retirada da separação como o movimento molecular é aleatório existe igual probabilidade das moléculas se moverem e se misturarem até que o equilíbrio seja atingido Sendo 𝐶13molm³ e 𝐶21molm³ no equilíbrio mistura total todos os átomos de hidrogênio e todos os átomos do nitrogênio se associam formando o gás de amônia com concentração 𝐶32molm³ Este exemplo ilustra a ocorrência de um processo de difusão mássica ordinária A difusão ordinária ocorre quando existe um desequilíbrio de uma substância no meio A Natureza tende a redistribuíla até que o equilíbrio seja estabelecido pela ação da força motriz mecanismo natural relacionado com os fenômenos de transporte Exemplo 2 Na seguinte figura ilustrase a ocorrência de um processo de difusão do sal na água No instante inicial t 0 uma camada de água é colocada sem causar impacto sobre uma camada de sal Com o passar do tempo t 0 naturalmente partículas de sal se deslocam para a região com água onde a concentração de sal é baixa e a água se infiltra na camada de sal onde a concentração de água é menor 1412 Composição de misturas Uma mistura é constituída por duas ou mais espécies Uma espécie 𝑖 𝑖 1 𝑁 pode ser caracterizada pelas seguintes propriedades i massa específica 𝜌𝑖 de um componente definida com a razão entre a massa do componente por unidade do volume ocupado pelo componente em kgm³ ii concentração mássica 𝜌𝑖 de um componente é a massa do componente por unidade de volume da mistura em kgm³ iii quantidade molar específica 𝐶𝑖 de um componente é o número de moles do componente por unidade de volume ocupado pelo componente em kmolm³ iv concentração molar 𝐶𝑖 de um componente é o número de moles do componente por unidade de volume da mistura em kmolm³ v massa molar 𝑀𝑖 de um componente em kgkmol A mistura é caracterizada pela concentração mássica total igual a sua massa específica 𝜌 𝜌 concentração molar total igual a sua quantidade molar específica 𝐶 𝐶 e massa molar da mistura M As seguintes relações são válidas 𝜌𝑖 𝑀𝑖𝐶𝑖 𝜌 𝜌𝑖 𝑁 𝑖1 e 𝐶 𝐶𝑖 𝑁 𝑖1 13 Definese também fração mássica 𝜔𝑖 𝜌𝑖 𝜌 e fração molar 𝑥𝑖 𝐶𝑖 𝐶 As seguintes relações são válidas 𝜔𝑖 1 𝑁 𝑖1 𝑥𝑖 1 𝑁 𝑖1 14 𝑥𝑖 𝜔𝑖𝑀𝑖 𝜔𝑗𝑀𝑗 𝑁 𝑗1 e 𝑀 1 𝜔𝑖𝑀𝑖 𝑁 𝑖1 15 A massa específica de uma mistura de líquidos pode ser estimada usandose as frações mássicas 𝜔𝑖 dos componentes e das massas específicas dos componentes puros 𝜌𝑖 usandose as seguintes equações 𝜌 1 𝜔𝑖𝜌𝑖 𝑁 𝑖1 16 𝜌 𝜔𝑖𝜌𝑖 𝑁 𝑖1 17 Na equação 16 considerase que é válida a lei da aditividade de volumes e a equação 17 é simplesmente uma ponderação das massas específicas dos componentes puros pelas suas frações mássicas Exemplo 3 Determinar a massa específica de uma mistura composta por 50 em massa de água H2O e por 50 de ácido sulfúrico H2SO4 a 20C As massas específicas dos componentes são 𝜌 H2O 998kgm³ e 𝜌H2SO4 1834kgm³ Usandose a equação 16 estimase que 𝜌 1290kgm³ e com a equação 17 resulta 𝜌 1420kgm³ Consultandose uma tabela verificase que 𝜌 1395kgm³ O erro cometido com a estimativa obtida com a equação 16 é de 73 e com a equação 17 é igual a 15 Em algumas misturas simples a aditividade de volume não é verificada Numa mistura binária das espécies A e B o volume molar das espécies podem depender da fração molar das espécies 𝑉𝑚𝐴𝑥𝐴 e 𝑉𝑚𝐵𝑥𝐴 sendo 𝑥𝐴 1 𝑥𝐵 Nesta situação o volume da mistura resulta 𝑉0 𝑛𝐴𝑉𝑚𝐴 𝑥𝐴 𝑛𝐵𝑉𝑚𝐵𝑥𝐴 18 Sendo 𝑛𝐴 a quantidade molar de espécie A e 𝑛𝐵 a quantidade molar da espécie B Exemplo 4 Nas misturas de água com etanol existe a relação apresentada na seguinte tabela entre o volume molar de etanol 𝑉𝑚𝑒𝑡𝑎 𝑛𝑜𝑙 𝑥𝑒𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙 e o volume molar da água 𝑉𝑚á𝑔𝑢𝑎 𝑥𝑒𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙 em função da fração molar de etanol 𝑥𝑒𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙 Atkins PW Físico Química vol 1 LTC1999 𝑥𝑒𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙 𝑉𝑚𝑒𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙 𝑥𝑒𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙 cm³mol 𝑉𝑚á𝑔𝑢𝑎 𝑥𝑒𝑡𝑎𝑛𝑜𝑙 cm³mol 0 540 180 01 524 181 02 551 178 04 568 173 06 576 166 08 579 157 1 580 140 Em misturas de gases ideais as seguintes relações são válidas 𝜌𝑖 𝑝𝑖𝑅𝑖𝑇 𝐶𝑖 𝑝𝑖𝑇 𝑥𝑖 𝑝𝑖𝑝 e 𝑝 𝑝𝑖 𝑁 𝑖1 19 sendo 𝑝𝑖 as pressões parciais para gás que contribuem para a pressão total p Em Psicrometria Ieno G Negro L Termodinâmica Pearson 2014 estudase o ar atmosférico como uma mistura de ar seco e vapor de água Umidade é o termo usado para descrever a quantidade do vapor de água contido na atmosfera Originase pela evaporação e transpiração da água Do vapor total da água na atmosfera 50 encontrase abaixo dos 2000m Geralmente as seguintes medidas de umidade são usadas umidade absoluta u em gL índice de umidade w adimensional e umidade relativa φ em porcentagem Considerandose o vapor de água como um gás perfeito as seguintes relações são usadas em Psicrometria 𝑢 𝑝𝑃𝑉𝑀𝑉𝑇 𝑤 𝑝𝑃𝑉𝑀𝑉 𝑝 𝑝𝑃𝑉 𝑀𝑎e φ 100𝑝𝑃𝑉𝑝𝑉𝑇 20 Sendo T a temperatura atmosférica 𝑇𝐵𝑆 temperatura de bulbo seco p a pressão atmosférica 𝑝𝑉 a pressão de vapor da água pode ser estimada com os modelos apresentados no apêndice deste texto 𝑝𝑃𝑉 a pressão parcial do vapor de água na mistura com o ar seco 𝑀𝑉 é a massa molar do vapor de água 18015kgkmol e 𝑀𝑎 é a massa molar do ar seco 28932kgkmol A pressão parcial do vapor de água na mistura com o ar seco é função do ponto de orvalho 𝑇𝑝𝑜 temperatura em que o vapor de água na atmosfera tornase saturado O ponto de orvalho pode ser observado num higrômetro de condensação e 𝑝𝑃𝑉 𝑝𝑉𝑇𝑝𝑜 A pressão parcial do vapor da água também pode ser estimada pelo modelo proposto por Carrier 𝑝𝑃𝑉 𝑝𝑉 𝑇𝐵𝑈 𝑝 𝑝𝑉 𝑇𝐵𝑈 𝑇 𝑇𝐵𝑈 1810 𝑇𝐵𝑈 21 sendo 𝑇𝐵𝑈 a temperatura de bulbo úmido medida com um termômetro de vidro contendo mercúrio com o bulbo coberto com um tecido úmido o líquido é evaporado quando o ar é soprado sobre o tecido provocando uma queda na temperatura num processo que é semelhante ao de saturação adiabática As pressões na equação 21 devem estar na mesma unidade e as temperaturas em Kelvin A umidade relativa geralmente é determinada por meio de higrômetros de absorção que fazem uso de relações empíricas estabelecidas entre φ e o comprimento de tecidos higroscópicos materiais com superfícies que variam com a umidade ou entre φ e a capacitância de capacitores fabricados com materiais dielétricos higroscópicos Exemplo 4 As temperaturas de bulbo úmido e bulbo seco do ar são 200C e 283C respectivamente No barômetro observase a pressão de 99560 Pa Calcular a umidade absoluta b índice de umidade c umidade relativa e d o ponto de orvalho Com a equação 39 calculase 𝑝𝑉 𝑇𝐵𝑈 233715 Pa e 𝑝𝑉 𝑇𝐵𝑆 384641 Pa Com a equação 21 fazendose 𝑇 𝑇𝐵𝑆 calculase 𝑝𝑃𝑉 180516 Pa Com as equações expressas em 20 calculase a 𝑢 1298 kgm³ b 𝑤 00115 c 𝜙 4693 e d Invertendose a equação 39 calculase 𝑇𝑝𝑜 𝑇 𝑝𝑃𝑉 159C O conceito de umidade do ar é importante em Fisiologia Okuno E Caldas IL Chow C Física para Ciências Biológicas e Biomédicas Harbra 1982 O processo de resfriamento do corpo humano depende da evaporação da água na superfície da pele Quando a umidade relativa do ambiente é alta pouca água é evaporada diminuindo o resfriamento Quando a umidade do ar é baixa a pele tornase seca eliminando a água do corpo muito rapidamente Na seguinte tabela apresentamse alguns valores de referência para a umidade relativa 𝜙 12 Não realizar atividades físicas 12 𝜙 20 Não realizar atividades físicas entre 10h e 16h 20 𝜙 30 Evitar exercícios físicos entre 11h e 15h 𝜙 90 Pode ocorrer superaquecimento do corpo humano Com os procedimentos usados na solução do exemplo 4 no Apêndice B listamse para valores selecionados de 𝑇𝐵𝑈 e 𝑇𝐵𝑆 os valores calculados para p u w e 𝑇𝑝𝑜 fixandose 𝜙 nos seguintes valores 12 20 30 e 90 1413 Lei de Fick da difusão A equação usada para determinar a taxa de transferência em um processo de difusão de massa é conhecida por lei de Fick este modelo tem mesma forma das leis de Ohm e de Fourier Considerando que o meio em que ocorre a mistura binária das espécies A e B é estacionário a lei de Fick tem a seguinte forma 𝐧𝐴 𝜌𝐷𝐴𝐵𝑚𝐴 ou 22 𝐍𝐴 𝐶𝐷𝐴𝐵𝑥𝐴 23 sendo 𝐧𝐴 𝑀𝐴𝐍𝐴 o fluxo mássico da espécie A em kgsm² 𝐍𝐴 𝐧𝐴𝑀𝐴 o fluxo molar da espécie A em kmolsm² 𝜌 𝜌𝐴 𝜌𝐵 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐵 e 𝐷𝐴𝐵 é o coeficiente de difusão binária ou difusividade mássica em m²s O coeficiente de difusão binária 𝐷𝐴𝐵 𝐷𝐵𝐴 é uma propriedade que depende das espécies A e B e são determinados experimentalmente e obtidos em tabelas Para gases pode ser usado o modelo proposto por Fuller Shettler e Giddings em 1966 Perry RH Green DW Maloney JOH Perrys Chemical Engineers Handbook McGrawHill New York 1997 𝐷𝐴𝐵 01013 𝑇175 1𝑀𝐴 1𝑀𝐵𝑝 𝑊𝐴 13 𝑊𝐵 13 2 24 com 𝐷𝐴𝐵 em m²s T é a temperatura da mistura em Kelvin p é a pressão da mistura em Pa 𝑀𝐴 e 𝑀𝐵 são as massas molares em kgkmol e 𝑊𝐴 e 𝑊𝐵 são os volumes de difusão atômico tabelados para a equação 24 Exemplo 5 Na seguinte figura representase uma parede espécie B de um reservatório que armazena um gás espécie A sob pressão Na superfície esquerda da parede a concentração do gás é igual a 𝐶𝐴1 e na superfície direita 𝐶𝐴2 O fluxo molar kmols através da parede pode ser aproximado como unidimensional e determinado com a expressão 𝑁𝐴𝑥 𝐴𝑠𝑢𝑝 𝐷𝐴𝐵 𝐶𝐴1 𝐶𝐴2 𝐿 25 sendo 𝐴𝑠𝑢𝑝 a área da parede do reservatório 142 Conservação das Espécies Químicas Da mesma forma que a lei de conservação de energia desempenha um papel importante na transferência de calor a lei de conservação das espécies é importante na análise de problemas de transferência de massa A seguinte expressão descreve a lei de conservação de massa da espécie A em kgs numa mistura binária aplicada num VC 𝑀 𝐴𝐸 𝑀 𝐴𝑆 𝑀 𝐴𝑔 𝑑𝑀𝐴𝐴𝐶𝑑𝑡 26 Com os índices E e S representando os fluxos de massa que entram e saem do VC o índice g representa o fluxo de massa da espécie A gerado ou consumido no VC por meio de reações químicas com a espécie B e o índice AC especifica a massa acumulada no VC Exemplo 6 Consideramse dois tanques conectados como ilustrado na seguinte figura O tanque A contém num volume igual a 𝑉0 água e uma massa diluída de sal igual a 𝑥0 O tanque B contém um volume igual a 𝑉0 somente com água pura Inicialmente as conexões de interligação entre os dois reservatórios estão fechadas assim como a entrada em 1 e a saída em 4 Num determinado instante de tempo abremse as conexões entre os dois reservatórios e pela abertura 1 adicionase uma vazão 𝑄1 de água pura no reservatório A e abrese a válvula 4 saindo uma vazão igual a 𝑄4 Através da conexão 2 circula uma vazão igual a 𝑄2 do reservatório A para o reservatório B e através da conexão 3 circula uma vazão igual a 𝑄3 do reservatório B para o reservatório A Neste problema considerase que a massa específica da mistura águasal é constante e que as vazões 𝑄1 𝑄2 𝑄3 e 𝑄4 satisfazem as relações que garantem a conservação de massa 𝑄1 𝑄2 𝑄3 0 e 𝑄2 𝑄3 𝑄4 0 Sendo 𝑥𝑡 a quantidade de sal no reservatório A e 𝑦𝑡 a quantidade de sal no reservatório B este problema pode ser solucionado aplicandose separadamente para cada reservatório a lei de conservação de massa expressa na equação 26 resultando no seguinte problema de valor inicial 𝑑𝑥𝑑𝑡 𝑄3𝑉0 𝑦 𝑄2𝑉0 𝑥 27 𝑑𝑦𝑑𝑡 𝑄2𝑉0 𝑥 𝑄3 𝑄4 𝑉0 𝑦 28 com 𝑥 0 𝑥0 e 𝑦0 0 Um método que pode ser usado para solucionar o sistema de equações diferenciais ordinárias formado pelas equações 27 e 28 é apresentado no Apêndice C Usandose equação 26 podese deduzir a equação da difusão mássica com a mesma forma da equação da difusão de calor para a espécie A numa mistura binária 𝜌𝐷𝐴𝐵𝑚𝐴 𝑛 𝐴 𝜌𝐴𝑡 29 sendo 𝑛 𝐴 a taxa do aumento ou redução do fluxo de massa da espécie A por unidade de volume da mistura kgsm³ A equação 27 também pode ser representada em termos do fluxo molar 𝐶𝐷𝐴𝐵𝑥𝐴 𝑁 𝐴 𝐶𝐴𝑡 30 sendo 𝑁 𝐴 a taxa do aumento ou redução do fluxo da quantidade molar da espécie A por unidade de volume da mistura kmolsm³ Exemplo 7 Na figura da próxima página representase um solvente sólido tridimensional como um bloco de açúcar ou de sal denominado de espécie A Sobre o sólido colocase uma camada de um líquido espécie B com concentração da espécie A nula A espécie A dissolvese no líquido mantendo uma concentração constante 𝜌𝐴0 𝑡 𝜌𝐴𝑠𝑢𝑝 na interface entre o solvente sólido e o líquido Considerandose que inicialmente a concentração da espécie A é constante 𝜌𝐴z0 devese determinar uma equação para determinar a variação da concentração da espécie A no líquido B 𝜌𝐴zt Este problema pode ser solucionado com a equação 29 com uma dimensão espacial na direção vertical z e com 𝑛 𝐴 0 Sendo 𝐷𝐴𝐵 e 𝜌 constantes a equação 29 se reduz para 2𝜌𝐴𝑧2 1𝐷𝐴𝐵 𝜌𝐴𝑡 31 Por analogia entre a equação 31 e a equação 15 do capítulo 5 verificase que a solução da equação 31 tem a mesma forma da expressão 37 do capítulo 5 Fazendose a equivalência entre as variáveis e os parâmetros correspondentes aos dois problemas concluise que 𝜌𝐴 𝑧 𝑡 𝜌𝐴𝑠𝑢𝑝 𝜌𝐴 z 0 𝜌𝐴𝑠𝑢𝑝 erf𝑧 𝐷𝐴𝐵𝑡 122 32 Nas expressões 32 a função erf𝜂 é chamada de função erro de Gauss definida com a seguinte integral erf 𝜂 2 𝜋 exp 𝑢2 𝑑𝑢 𝜂 0 33 No Apêndice D do capítulo 5 apresentase uma tabela com valores para a função erro de Gauss Exemplo 8 No problema analisado no exemplo 7 obter uma expressão para calcular a velocidade da redução da camada do solvente sólido Considerar que a massa específica do solvente sólido é constante 𝜌𝐴𝑆 Aplicandose a lei da conservação de massa expressa em 26 para o bloco de solvente obtêmse 𝑀 𝐴𝑆 𝑑𝑀𝐴𝐴𝐶𝑑𝑡 34 Dividindose a expressão 34 pela área de contato da superfície de contato entre o solvente sólido e o líquido e usando a lei de Fick resulta 𝑛𝐴𝑠𝑢𝑝 𝐷𝐴𝐵𝑑𝜌𝐴 𝑧 𝑡 𝑑𝑧𝑧0 𝑑 𝐿𝜌𝐴 𝑆 𝑑𝑡 35 Substituindose a expressão 32 para 𝜌𝐴 𝑧 𝑡 na equação 35 e derivando resulta 𝑑𝐿𝑑𝑡 𝐷𝐴𝐵 𝜋𝑡 12𝜌𝐴𝑠𝑢𝑝 𝜌𝐴 𝑆 36 Integrandose a expressão 35 com L desde 0 até 𝐿 e t desde 0 até 𝑡 determinase a redução da camada de sal após ter decorrido o intervalo de tempo 𝑡 𝐿 2𝐷𝐴𝐵𝑡𝜋12𝜌𝐴𝑠𝑢𝑝 𝜌𝐴 𝑆 37 Apêndice A Pressão de Vapor Na seguinte figura apresentase esquematicamente um diagrama de fases de uma substância Este gráfico mostra as condições em a que substância existe em estado sólido estado líquido ou em forma de gás em função da temperatura e da pressão Os pontos em destaque na figura são o ponto triplo em que a substância existe nas três fases e o pronto crítico que delimita uma região Ttemperatura crítica ou ppressão crítica em que não se distingue o estado líquido do vapor Por exemplo para a água ponto triplo T00098C e p0006 atm e ponto crítico T3743C e p2183 atm Se T e p definem um ponto sobre a curva de equilíbrio líquidovapor para uma determinada substância p é a pressão de vapor da substância na temperatura T e T é a temperatura do ponto de ebulição da substância na pressão p Para estimar a pressão de vapor 𝑝𝑉 pode ser usada a equação de ClausiusClapeyron ln 𝑝𝑉 𝐴 ℎ𝑙𝑣𝑇 38 sendo ℎ𝑙𝑣 o calor latente de vaporização da substância Jmol e A é uma constante adimensional que também depende da substância Também podese estimar a pressão de vaporização usandose equações empíricas como por exemplo a equação de Antoine log 𝑝𝑉 𝐴 𝐵𝑇 𝐶 39 sendo 𝑝𝑉 a pressão de vaporização em mmHg T em C A B e C parâmetros tabelados em função da substância Para a água estes parâmetros são apresentados na seguinte tabela 0C 𝑇 60C 60C 𝑇 150C A 810765 796681 B C 1750286 1668210 C C 235 228 Num líquido em movimento numa temperatura T podem existir regiões em que a pressão do escoamento é menor do que a pressão de vaporização da substância líquida na temperatura T Nestas situações na massa em movimento o líquido vaporizase formando cavidades contendo vapor Em mecânica dos fluidos este fenômeno é chamado de cavitação Uma cavidade é uma região com vapor no interior de um líquido A cavitação está relacionada com a formação e colapso das cavidades em líquidos em movimento Quando a cavidade é transportada pelo escoamento para uma região com pressão mais alta do que a pressão de vaporização do líquido na temperatura T as cavidades colapsam Geralmente estas cavidades são aceleradas contra as paredes dos dispositivos em que ocorrem os escoamentos podendo causar erosões Algumas situações em que pode ocorrer cavitação são na entrada de bombas quando existe combinação de alta viscosidade eou tubulação de pequeno diâmetro alta carga e grande comprimento nos filtros instalados em linhas de baixa pressão em condutos com jatos de alta velocidade Apêndice B Pressão do ar em função de 𝜙 𝑇𝐵𝑆 e 𝑇𝐵𝑈 𝜙 𝑇𝐵𝑆C 𝑇𝐵𝑈C 𝑝Pa 𝑢kgm³ 𝑤 ad 𝑇𝑃𝑂C 12 5 0000 155656 0814 0000418 12 5 0100 160213 0814 0000406 12 5 0200 164968 0814 0000394 12 5 0300 169934 0814 0000383 12 5 0400 175126 0814 0000372 12 5 0500 180559 0814 0000360 12 5 0600 186248 0814 0000349 12 5 0700 192212 0814 0000339 12 5 0800 198470 0814 0000328 12 10 0000 71572 1126 0001283 12 10 1000 87283 1126 0001051 12 10 2000 107482 1126 0000854 12 10 3000 134129 1126 0000684 12 10 4000 170489 1126 0000538 12 10 4100 174851 1126 0000524 12 10 4200 179373 1126 0000511 12 10 4300 184062 1126 0000498 12 10 4400 188929 1126 0000485 12 10 4500 193982 1126 0000473 12 10 4600 199232 1126 0000460 12 15 3000 71230 1537 0001792 12 15 4000 85375 1537 0001495 12 15 5000 102876 1537 0001240 12 15 6000 124882 1537 0001021 12 15 7000 153119 1537 0000833 12 15 8000 190299 1537 0000670 12 15 8100 194661 1537 0000655 12 15 8200 199160 1537 0000640 12 20 6000 72304 2073 0002425 12 20 7000 85667 2073 0002045 12 20 8000 101771 2073 0001721 12 20 9000 121390 2073 0001442 12 20 10000 145613 2073 0001202 12 20 11000 176011 2073 0000994 12 20 11100 179472 2073 0000975 12 20 11200 183020 2073 0000956 𝜙 𝑇𝐵𝑆C 𝑇𝐵𝑈C 𝑝Pa 𝑢kgm³ 𝑤 ad 𝑇𝑃𝑂C 12 20 11300 186659 2073 0000937 12 20 11400 190391 2073 0000919 12 20 11500 194220 2073 0000900 12 20 11600 198149 2073 0000883 12 25 9000 74302 2762 0003201 12 25 10000 87344 2762 0002721 12 25 11000 102761 2762 0002312 12 25 12000 121128 2762 0001960 12 25 13000 143212 2762 0001657 12 25 14000 170063 2762 0001395 12 25 14100 173062 2762 0001370 12 25 14200 176125 2762 0001347 12 25 14300 179253 2762 0001323 12 25 14400 182449 2762 0001300 12 25 14500 185713 2762 0001277 12 25 14600 189049 2762 0001254 12 25 14700 192459 2762 0001232 12 25 14800 195944 2762 0001210 12 25 14900 199507 2762 0001188 12 30 11000 65694 3639 0004864 12 30 12000 76932 3639 0004149 12 30 13000 89957 3639 0003545 12 30 14000 105128 3639 0003031 12 30 15000 122901 3639 0002591 12 30 16000 143863 3639 0002212 12 30 17000 168782 3639 0001884 12 30 18000 198686 3639 0001600 20 5 0000 134255 1356 0000808 20 5 1000 185224 1356 0000586 20 5 1100 191821 1356 0000566 20 5 1200 198777 1356 0000546 20 10 0000 56497 1876 0002714 20 10 1000 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30 12000 12229 9098 0072350 1056 𝜙 𝑇𝐵𝑆C 𝑇𝐵𝑈C 𝑝Pa 𝑢kgm³ 𝑤 ad 𝑇𝑃𝑂C 30 30 13000 21492 9098 0039202 1056 30 30 14000 32432 9098 0025439 1056 30 30 15000 45410 9098 0017959 1056 30 30 16000 60891 9098 0013295 1056 30 30 17000 79487 9098 0010134 1056 30 30 18000 102013 9098 0007868 1056 30 30 19000 129582 9098 0006178 1056 30 30 20000 163756 9098 0004878 1056 30 30 20100 167615 9098 0004765 1056 30 30 20200 171565 9098 0004655 1056 30 30 20300 175609 9098 0004547 1056 30 30 20400 179748 9098 0004441 1056 30 30 20500 183987 9098 0004338 1056 30 30 20600 188328 9098 0004237 1056 30 30 20700 192776 9098 0004139 1056 30 30 20800 197333 9098 0004043 1056 90 5 4000 43704 6102 0011364 350 90 5 4100 58251 6102 0008487 350 90 5 4200 76501 6102 0006442 350 90 5 4300 100040 6102 0004914 350 90 5 4400 131515 6102 0003731 350 90 5 4500 175687 6102 0002789 350 90 5 4600 242078 6102 0002021 350 90 5 4650 289558 6102 0001689 350 90 10 9000 66347 8444 0010531 844 90 10 9100 86805 8444 0008018 844 90 10 9200 112461 8444 0006170 844 90 10 9300 145546 8444 0004757 844 90 10 9400 189772 8444 0003642 844 90 10 9500 251827 8444 0002741 844 90 10 9550 293255 8444 0002352 844 90 15 14000 98399 11530 0009857 1338 90 15 14100 126771 11530 0007624 1338 90 15 14200 162345 11530 0005937 1338 90 15 14300 208206 11530 0004620 1338 90 15 14400 269500 11530 0003563 1338 90 15 14410 276780 11530 0003469 1338 90 15 14420 284313 11530 0003376 1338 𝜙 𝑇𝐵𝑆C 𝑇𝐵𝑈C 𝑝Pa 𝑢kgm³ 𝑤 ad 𝑇𝑃𝑂C 90 15 14430 292112 11530 0003286 1338 90 20 19000 142935 15547 0009300 1831 90 20 19100 181775 15547 0007290 1831 90 20 19200 230461 15547 0005735 1831 90 20 19300 293213 15547 0004499 1831 90 25 24000 203787 20715 0008833 2324 90 25 24100 256306 20715 0007003 2324 90 25 24150 287260 20715 0006241 2324 90 25 24160 293898 20715 0006098 2324 90 30 29000 285661 27295 0008437 2818 90 30 29010 292035 27295 0008251 2818 90 30 29020 298541 27295 0008068 2818 Apêndice C Solução de sistema de equações diferenciais ordinárias Solução do sistema 𝑑𝑥𝑑𝑡 𝑝𝑥 𝑞𝑦 40 𝑑𝑦𝑑𝑡 𝑟𝑥 𝑠𝑦 41 𝑥0 𝑎 e 𝑦0 𝑏 42 Com a edo 41 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑡 𝑠𝑦 𝑟 43 Substituindose a expressão 43 na edo 40 resulta 𝑦 𝑎1𝑦 𝑎2𝑦 0 44 sendo 𝑎1 𝑠 𝑝 e 𝑎2 𝑠𝑝 𝑟𝑞 A edo 44 é de segunda ordem com coeficientes constantes com solução que pode ser expressa em termos de 𝛼1 e 𝛼2 que são as raízes da seguinte equação auxiliar 𝑚2 𝑎1𝑚 𝑎2 0 como segue 𝛼1 𝛼2 Solução geral para y Reais 𝛼1 𝛼2 𝐶1 exp 𝛼1𝑡 𝐶2 exp 𝛼2𝑡 Reais 𝛼1 𝛼2 𝛼 𝐶1 C2exp 𝛼𝑡 Complexas 𝛼1 𝑎 𝑏𝑖 𝛼2 𝑎 𝑏𝑖 𝐶1cos 𝑏𝑡 𝐶2sen 𝑏𝑡 exp 𝑎𝑡 As constantes 𝐶1e 𝐶2 são determinadas aplicandose na solução geral as condições iniciais expressas na equação 42 Constantes e Propriedades físicas g981ms² σ 5670 108Wm2K4 𝑇K 𝑇C 273 𝑇 C 𝑇 F 32 18 hp746W bar100kPa atm101325Pa mmHg1333224Pa lbfin²6894757Pa 83145JmolK0082058atmLmolK Rar2869JkgK kar14 Rvapor água4610JkgK kvapor água133 Rhélio2077JkgK khélio166 NA602214210²³mol Evágua216 109Pa in254cm ft3048cm lbm04535924kg slug1459390kg lbf4448222N Massa molar M Substância Al Ar ar B C Ca Cl H Mgmol 2698 3995 2897 1081 1201 4008 3545 1008 Substância K N Na O S Zn Mgmol 3910 1401 2299 1599 3206 6538 Propriedade Substância ρ kgm³ k WmK cp kJkgK µ Pas hlf kJkg hlv kJkg pv Pa Acetona l 791 0180 2151 0000337 962 521 Aço s 7800 43 0473 Água l 1000 0628 4178 0000891 334 2257 2340 Água g 00195 1868 0000009 2257 Alumínio s 2700 237 0903 85 Amônia l 612 0521 4798 00002196 322 1357 910000 ar g 1269 00240 10065 00000175 Benzeno l 883 0161 1675 00006850 126 394 10100 Cobre s 8933 401 0385 209 Concreto 2400 14 0950 Chumbo s 11340 353 0130 234 Etanol l 789 0167 2840 0001060 108 855 5700 Etileno glycol l 1096 0258 2505 00007570 181 800 12 Ferro s 7272 52 420 Gasolina l 680 000031 55100 Glicerina l 1264 0286 2386 1519 201 974 0014 Hélio g 0152 5193 00000199 Mercúrio l 13560 8515 0139 01534 114 295 00011 Metanol l 779 0198 2577 00005088 992 1100 13400 Óleo de motor 878 0145 1950 0253 Querosene l 820 20 00017 251 3110 l Líquido g Gás