Apostila Escoamento Externo Viscoso Incompressível -2021 2

Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 57 Capítulo 3 (Baseado no cap. 9 do livro de Fox e McDonald, 9ª ed.) Escoamento Externo Viscoso Incompressível Escoamentos externos são escoamentos sobre corpos imersos em fluido sem fronteiras. Os escoamentos sobre placa plana semi-infinita e sobre cilindro são exemplos de escoamentos externos. O objetivo neste capítulo é quantificar o comportamento dos fluidos viscosos e incompressíveis em escoamentos internos. Diversos fenômenos que ocorrem no escoamento externo sobre corpo imerso são ilustrados no esboço do escoamento viscoso com alto número de Reynolds sobre aerofólio, Fig. 3.1. O escoamento na camada limite é inicialmente laminar (CLL). A transição para escoamento turbulento ocorre a alguma distância do ponto de estagnação, dependendo das condições da corrente livre, rugosidade da superfície e gradiente de pressão (CLT). Os pontos de transição estão indicados por “T”. Na região de pressão crescente (com gradiente adverso de pressão) a separação do escoamento poderá ocorrer. O fluido que estava nas camadas limites da superfície do corpo forma a esteira viscosa atrás dos pontos de separação. Existe solução exata para o escoamento na camada limite laminar, mas para a camada limite turbulenta, somente é possível solução aproximada. O aerofólio da Fig. 3.1 é submetido a força resultante oriunda das forças de cisalhamento e de pressão que atuam nas superfícies do corpo. A componente da força resultante perpendicular ao escoamento uniforme a montante, U  , é chamada de sustentação, enquanto a componente paralela é denominada arrasto. A presença de separação do escoamento impede a determinação analítica da sustentação e do arrasto. Fig.3.1 Detalhes do padrão de escoamento viscoso em torno de aerofólio Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 58 PARTE A CAMADAS LIMITES 3.1 Conceito de Camada Limite O conceito de camada limite foi introduzido primeiro por Ludwig Prandtl, alemão estudioso de aerodinâmica, em 1904, conceito que marcou o começo da era moderna da mecânica dos fluidos. Prandtl mostrou que muitos escoamentos viscosos podem ser analisados dividindo-os em duas regiões, uma perto das fronteiras sólidas (a camada limite), na qual o efeito da viscosidade é importante, e outra cobrindo o restante do escoamento (escoamento externo), para a qual o fluido pode ser tratado como invíscido. Na camada limite, tanto as forças viscosas quanto às de inércia são importantes. Por isso, para facilitar a caracterização de escoamentos na camada limite, define-se o número de Reynolds ( Rex ) como a razão entre as forças de inércia e as forças viscosas: Rex U x U x    = = (3.1) Sendo: U a velocidade do fluido distante da parede (U  ); [m/s]  a massa específica do fluido; [kg/m3]  a viscosidade dinâmica; [Pa.s]  a viscosidade cinemática ( /   ); [m2/s] x o comprimento característico [m], dependente da geometria do escoamento, Fig. 3.2. Sob condições típicas de escoamento, a camada limite apresenta escoamento laminar desde o início da placa até a região de transição, a partir da qual, o escoamento passa a ser turbulento. Entre os fatores que afetam a transição da camada limite, está o gradiente de pressão, a rugosidade superficial, a transferência de calor, as forças de campo e perturbações da corrente livre. Em geral, a transição ao longo da placa plana correspondente a número de Reynolds de 500.000. Em muitas situações reais, a camada limite desenvolve-se sobre superfícies amplas essencialmente planas. Os exemplos incluem escoamentos sobre cascos de navios e de submarinos, asas de aviões e movimentos atmosféricos sobre terreno plano. A Fig. 3.2 ilustra o crescimento da camada limite sobre placa plana. Pode-se verificar o crescimento mais acelerado da espessura da camada limite na região turbulenta que na laminar. Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 59 Fig. 3.2 Camada limite sobre placa plana (espessura vertical exageradamente ampliada) Espessuras de Camada Limite A camada limite é a região adjacente à superfície sólida na qual as forças viscosas são importantes. Três espessuras são definidas, conforme Fig. 3.3. i. A espessura de perturbação ou simplesmente espessura,  , da camada limite, Fig. 3.3b - distância da superfície ao ponto em que a velocidade é 99% da velocidade da corrente livre, / u U = 0,99 . ii. A espessura de deslocamento, *  , Fig. 3.3b - distância pela qual a fronteira sólida teria que ser deslocada com escoamento sem atrito para fornecer o mesmo déficit de vazão em massa que existe na camada limite. Para escoamento incompressível,  =constante e ( ) * 0 U U u dy     = −  * 0 0 1 1 u u dy dy U U        = −  −           [m] (3.2) iii. A espessura da quantidade de movimento,  , Fig. 3.3c - espessura da camada de fluido, com velocidade U , para qual o fluxo de quantidade de movimento é igual ao déficit do fluxo de quantidade de movimento através da camada limite. Para  =constante ( ) 2 0 U u U u dy     = −  e 0 0 1 1 u u u u dy dy U U U U        = −  −           [m] (3.3)  * e  são espessuras integrais, cujos integrandos desaparecem na corrente livre, pois uU, e são mais fáceis de avaliar com precisão a partir de dados experimentais, do que a espessura de perturbação,  , da camada limite. x y L T Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 60 As hipóteses simplificadoras usualmente feitas em análises de engenharia para o desenvolvimento da camada limite são: 1. para u U y  → = 2. 0 para u y y    → = 3.v  U dentro da camada limite Os resultados das análises desenvolvidas nas duas próximas seções mostram que a camada limite é muito delgada comparada com o seu comprimento de desenvolvimento ao longo da superfície, /L<<1. Então, é também razoável supor que: 4. A variação de pressão através da camada limite delgada é desprezível. A distribuição de pressão da corrente livre é impressa sobre a camada limite. Fig. 3.3 Definições das espessuras da camada limite: a) espessura de deslocamento; b) espessura de perturbação e c) espessura de quantidade de movimento Exemplo 3.1 – Escoamento de Camada Limite em Canal O túnel de vento de laboratório possui seção de teste quadrada, com 305 mm de lado. Os perfis de velocidade de camada-limite são medidos em duas seções transversais e as espessuras de deslocamento são avaliadas a partir dos perfis medidos. Na seção 1, onde a velocidade da corrente livre é U1= 26 m/s, a espessura de deslocamento é 1*=1,5 mm. Na seção 2, localizada a jusante da seção 1, 2*=2,1 mm. Calcule a variação na pressão estática entre as seções 1 e 2. Expresse o resultado como fração da pressão dinâmica da corrente livre na seção 1. Considere a atmosfera na condição padrão. Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 61 3.2 Camada Limite Laminar em Placa Plana: Solução Exata A solução para a camada limite laminar em placa plana horizontal foi obtida por H. Blasius, aluno de Prandtl, em 1908. Para escoamento bidimensional, permanente, incompressível, com gradiente de pressão nulo, as equações que governam o movimento reduzem-se a 0 u v x y  +  =   (3.4) 2 2 u u u u v v x y y    + =    Q.M. em x (3.5) com condições de contorno na fronteira, Fig. 3.3: para 0, 0, 0 y u v = = = para , 0 u y u U y  →  = =  (3.6) Blasius argumentou que o perfil de velocidade adimensional, / u U , deveria ser similar para todos os valores de x , quando traçado contra a distância adimensional em relação à parede; a espessura de camada limite,  , é escolha natural para tornar adimensional a distância da parede. Então a solução proposta tem a forma ( ) u g U  = onde y    (3.7) Fundamentado na solução de Stokes, Blasius concluiu que vx U   e estabeleceu U y vx  = (3.8) Introduzindo a função de corrente,  ,onde u y  =  e v x  = −  (5.4) A definição de função de corrente adimensional é expressa como: ( ) f v U   = (3.9) Faz-se ( ) f  a variável dependente e  a variável independente na Eq. (3.5). As componentes da velocidade são dadas por df U df u vxU U y y d vx d          = = = =    (3.10) 1 1 1 1 2 2 2 f vU df vU v vxU f vxU f x x x d x x            = − = − + = − − +               1 2 vU df v f x d     = −     (3.11) Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 62 Derivando as componentes da velocidade, também pode ser mostrado que 2 2 2 2 3 2 2 2 3 ; ; 2 u U d f u d f u U d f U U vx x x d y d y vx d        = − = =    Substituindo essas expressões na Eq. (3.5) 3 2 3 2 2 0 d f d f f d d   + = (3.12) com condições de fronteira: para 0, 0 df f d   = = = para , 1 df d   →  = (3.13) As equações diferenciais parciais de segunda ordem que preveem o crescimento da camada limite em placa plana (Eqs. (3.4) e (3.5)) foram transformadas na equação diferencial não linear de terceira ordem (Eq. (3.12)) com condições de fronteira dadas pela Eq. (3.13). Os valores numéricos de 2 2 , e f df d d f d   na Tabela 3.1 foram calculados com microcomputador, usando integração numérica de Runge-Kutta de 4ª ordem. Tabela 3.1 A função ( ) f  para a camada limite laminar em placa plana com ângulo de incidência zero U y vx  = f ' u f U = f '' 0 0 0 0,3321 0,5 0,0415 0,1659 0,3309 1,0 0,1656 0,3298 0,3230 1,5 0,3701 0,4868 0,3026 2,0 0,6500 0,6298 0,2668 2,5 0,9963 0,7513 0,2174 3,0 1,3968 0,8460 0,1614 3,5 1,8377 0,9130 0,1078 4,0 2,3057 0,9555 0,0064 4,5 2,7901 0,9795 0,0340 5,0 3,2833 0,9915 0,0159 5,5 3,7806 0,9969 0,0066 6,0 4,2796 0,9990 0,0024 6,5 4,7793 0,9997 0,0008 7,0 5,2792 0,9999 0,0002 7,5 5,7792 1,0000 0,0001 8,0 6,2792 1,0000 0,0000 Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 63 Da Tabela 3.1, verifica-se que para 5,0, 0,992 u U  = = . Com a espessura de camada limite,  , é definida como o valor de y para o qual u U = 0,99 , a Eq. (3.8) resulta em 5,0 5,0 Rex x U vx   = → ( ) 5,0 Rex x x  = (3.14) A tensão de cisalhamento na parede pode ser expressa como 2 2 0 0 w y u d f U U vx y d      = =    = =      Então 2 0,332 0,332 Re w x U U U x    = = (3.15) e o coeficiente de tensão de cisalhamento na parede 2 0,664 1 Re 2 w f x C U   = = (3.16) A espessura de camada limite aumenta segundo x1/ 2 , e a tensão de cisalhamento na parede e o coeficiente de atrito superficial variam de acordo com 1/ x1/ 2 . 3.3 A Equação Integral da Quantidade de Movimento A solução exata de Blasius fornece expressão para a espessura da camada limite laminar, ( ) x  , e para a tensão de cisalhamento na parede, ( ) w x . A solução analítica fechada para o perfil de velocidade não era possível, então a solução numérica foi necessária. Como soluções exatas para camadas limites turbulentas não existem, técnicas de soluções aproximadas são necessárias. O objetivo é desenvolver uma equação que preveja a como a camada limite cresce em função da distância ao longo do corpo. Deduz-se uma relação que pode ser aplicada tanto ao escoamento laminar quanto ao turbulento; além disso, a relação não é restrita aos escoamentos com gradientes de pressão nulos. Considere o escoamento permanente, incompressível, bidimensional, sobre superfície sólida. A espessura da camada limite,  , cresce dependente do aumento da distância x . Para a análise, escolhe-se o volume de controle diferencial, de comprimento dx , largura w e altura ( ) x  , conforme mostrado na Fig. 3.4. A velocidade da corrente livre é ( ) U x . Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 64 Fig. 3.4 Volume de controle diferencial em camada limite. a. Equação da Conservação da Massa Aplicando a Equação da Conservação da Massa ao VC da Fig. 3.4 ( ) 0 1 0 VC SC d V dA t   = =   +    (3.12) Considerações: (1) Escoamento permanente (2) Escoamento bidimensional Portanto: 0 SC =  V dA → 0 ab bc cd m m m = + + ou bc cd ab m m m = − − Avaliando esses termos para o volume de controle de largura w . (Note que a componente velocidade, u, e a espessura da camada-limite, δ, o limite superior na integral, dependem de x.) Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 65 0 mbc u dy dx w x        = −          b. Equação de Balanço de Quantidade de Movimento Aplicando a componente x da equação da quantidade de movimento ao volume de controle abcd ( ) ( ) 0 3 0 1 x x S B VC SC F F u d u V dA t   = =  + =  +    (4.18a) Suposição: (3) 0 FBx = Então: Sx ab bc cd F mf mf mf = + + + sendo mf a componente x do fluxo da quantidade de movimento. O fluxo de quantidade de movimento na direção x , através da superfície de controle, 0 0 SC u V dA u u dy dx U u dy dx w x x              = − −                  Agora que se tem expressão adequada para o fluxo de quantidade de movimento na direção x , através da superfície de controle, consideremos as forças superficiais que atuam sobre o volume de controle na direção x . Reconhecemos que as forças normais com Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 66 componentes não nulas na direção x atuam sobre as três superfícies de controle. Além disso, uma força cisalhante atua sobre a superfície ad . Como o gradiente de velocidade tende a zero na borda da camada limite, a força de cisalhamento atuando ao longo de bc é desprezível. Fig. 3.5 Volume de controle diferencial. Somando as componentes na direção x de todas as forças atuando sobre o volume de controle, Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 67 0 0 1 1 2 2 Sx w w w dp dp dp F dx dx d dx d dx w dx dx w dx dx dx             = − − − − = − −         Substituindo as expressões para e x S SC u V dA F   na equação de balanço da quantidade de movimento em x , 0 0 w dp dx dx w u udy dx U udy dx w dx x x                   − − = −                       e dividindo a equação por , wdx resulta 0 0 w dp u udy U udy dx x x         − − = −     O gradiente de pressão, dp dx pode ser determinado pela aplicação da equação de Bernoulli ao escoamento não viscoso externo a camada limite; resultando em: dp dx = − UdU dx . Usando as definições de espessura de deslocamento, *  , (Eq. (3.2)), e espessura de quantidade de movimento,  , (Eq. 3.3), obtém-se ( ) 2 * w d dU U U dx dx     = + (3.17) A Eq. (3.17) é a equação integral de balanço da quantidade de movimento, representando a equação diferencial ordinária para a espessura de camada limite, desde que seja admitida forma adequada para o perfil de velocidade e que a tensão de cisalhamento na parede possa ser relacionada com as outras variáveis. Determinada a espessura da camada limite, as espessuras de quantidade de movimento e deslocamento, e a tensão de cisalhamento na parede podem ser calculadas. A Eq. (3.17) fica restrita a escoamento permanente, incompressível e bidimensional sem a presença de forças de campo paralelas à superfície. Para fazer uso da equação para estimar a espessura de camada limite como função de x , deve-se: 1. Propor uma primeira aproximação para a distribuição de velocidade de corrente livre, ( ) U x , o quê pode ser feita a partir da teoria de escoamento não viscoso. A pressão na camada limite é relacionada com a velocidade de corrente livre ( ) U x , através da equação de Bernoulli. 2. Admitir forma razoável para o perfil de velocidade dentro da camada limite. 3. Relacionar a tensão de cisalhamento na parede com o campo de velocidade. Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 68 3.4 Uso da Equação Integral da Quantidade de Movimento para Escoamento com Gradiente de Pressão Nulo Para o caso especial de placa plana com gradiente de pressão zero, a pressão p e a velocidade U da corrente livre são ambas constantes, de modo que U(x) = U = constante → dp dx = 0 . integral da quantidade de movimento reduz-se então a 2 2 0 1 w d d u u U U dy dx dx U U        = =  −     (3.18) Note que u U é adimensional e  é função de x apenas. Consequentemente, é conveniente mudar a variável de integração de y para y  y   = e dy d =   e a equação integral da quantidade de movimento para gradiente de pressão zero se torna 1 2 2 0 1 w d d u u U U d dx dx U U         = =  −     (3.19) Para se resolver esta equação para a espessura de camada limite com função de x : 1. Admitir uma distribuição de velocidade na camada limite - qualquer relação funcional da forma ( ) u y f f U     = =     (a) A distribuição de velocidade admitida precisaria satisfazer certas condições físicas de contorno: Para 0, 0 y u = = Para , y u U =  = Para , 0 u y y   = =  (b) Note que, admitida a distribuição da velocidade, o valor numérico da integral na Eq. (3.19) é; 1 0 1 constante u u d U U       − = = =      e a equação integral da quantidade de movimento torna-se 2 w d U dx     = 2. Obter expressão para w em termos de  , permitindo resolver para ( ) x  , como ilustrado a seguir. Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 69 3.5.1 Escoamento Laminar Para escoamento laminar sobre placa plana, suposição razoável para o perfil de velocidade é o polinômio em y : 2 u a by cy = + + As condições de contorno na camada limite são: Para 0, 0 y u = = Para , y u U =  = Para , 0 u y y   = =  Avaliando as constantes ,a b e c resulta 2 2 2 2 u y y U         = − = −         (3.20) A tensão de cisalhamento na parede é dada por 0 w y u y   =   =    Substituindo o perfil de velocidade admitido, Eq. (3.20), na expressão para w  , resulta 0 / 0 0 ( / ) ( / ) ( / ) w y y u U u U U d u U y y d           = = =    = = =     ou 2 0 0 (2 ) 2 (2 2 ) w U d U U d d              = = − = = − = Agora pode-se de aplicar a equação integral da quantidade de movimento 1 2 0 1 w d u u U d dx U U       =  −     (3.19) Substituindo w e u U ,obtém-se 15 d dx U     = que é a equação diferencial para  . Integrando novamente resulta 2 15 2 x c U    = + Se for admitido que  = 0 para x = 0 , o que é equivalente a admitir camada limite laminar a partir do bordo de ataque da placa, então c = 0 , assim 30 x U    = ou ( ) 30 5,48 Rex x x Ux    = = (3.21) Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 70 É notável constatar que a Eq. (3.21) apresenta erro de somente em 10% (a constante é maior que 5,0) em comparação com a solução exata (Seção 3.3). A Tabela 3.2 resume resultados correspondentes calculados com o uso dos perfis de velocidade aproximados e lista os resultados obtidos da solução exata. Conhecida a espessura de camada limite, todos os detalhes do escoamento podem ser determinados. O coeficiente de tensão de cisalhamento na parede, ou de “atrito superficial”, é definido como: 2 1 2 w f C U   = (3.22) e ( ) 2 2 2 Re 4 4 1 1 1 Re 5,48 2 2 x w f x U x C Ux U U         = = = = Finalmente, 0,730 Re f x C = (3.23) Como a variação de w  é conhecida, o arrasto viscoso sobre a superfície pode ser avaliado por integração sobre a área da placa plana. Exemplo 3.2- Camada Limite Laminar sobre Placa Plana: Solução aproximada usando Perfil de Velocidade Senoidal O problema ilustra a aplicação da forma integral da equação de balanço de quantidade de movimento para escoamento de camada limite laminar sobre placa plana. Encontre expressões para: (a) A taxa de crescimento de δ como função de x. (b) A espessura de deslocamento, δ*, como função de x. (c) A força de atrito total sobre a placa de comprimento L e largura b. sin 2 u y U     =     Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 71 Tabela 3.2 Resultados do Cálculo do Escoamento de Camada Limite Laminar sobre Placa Plana com Ângulo de Incidência Zero Fundamentado em Perfis de Velocidade Aproximados 3.5.2 Escoamento Turbulento Detalhes do perfil de velocidade turbulento em camadas limites com gradiente nulo de pressão são muito semelhantes à aqueles para escoamento turbulento em tubos e canais. Para escoamento turbulento de camada limite, adapta-se a expressão desenvolvida para escoamento em tubos 0,25 2 0,0332 w v V RV     =     (2.39) Para perfil de potência 1 7 em tubo, a Eq. (2.24) fornece V U = 0,817 . Substituindo para 0,817 V U = e R =  na Eq. (2.39), 14 2 0,0233 w v U U      =     (3.25) Agora pode-se aplicar a equação integral de balanço de quantidade de movimento 1 2 0 1 w d u u U d dx U U       =  −     (3.19) Substituindo para w  e u U e integrando, ( ) 1/ 4 1 1 7 1 7 0 7 0,0233 1 72 v d d d U dx dx         = − =      Desse modo, obtém-se a equação diferencial para  : 14 14 0,240 v d dx U     =     Integrando resulta em: 1/ 4 5 4 4 0,240 5 v x c U    = +     Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 72 Se for admitido que   0 para x = 0 (isso é equivalente a admitir escoamento turbulento a partir da borda de ataque), então c = 0 e 1 5 4/5 0,382 v x U    =     ou 1/5 1/5 ( ) 0,382 0,382 Rex x v x U x    = =     (3.26) Usando a Eq. (3.25), obtém-se o coeficiente de atrito superficial em termos de  : 1/ 4 2 0,0466 1 2 w f v C U U      = =     Substituindo para  , 1/5 2 0,0594 1 Re 2 w f x C U   = = (3.27) Experimentos mostram que a Eq. (3.27) prediz muito bem o atrito superficial turbulento em placa plana para 5 7 5 10 Re 10 x    . A concordância é notável tendo em vista a natureza aproximada da análise . A tensão de cisalhamento na parede é muito maior na camada limite turbulenta que na camada limite laminar, razão primária para o desenvolvimento mais rápido das camadas limites turbulentas. Exemplo 3.3 – Camada Limite Turbulenta sobre Placa Plana: Solução Aproximada com Perfil de Velocidade de Potência 1/7. Água escoa a U = 1 m/s sobre placa plana, com L = 1 m na direção do escoamento. A camada-limite se torna turbulenta na borda de ataque. Avalie a espessura de perturbação, δ, a espessura de deslocamento, δ*, e a tensão de cisalhamento de parede, w, para x = L. Compare com os resultados nessa posição para o escoamento mantido laminar. Considere o perfil de lei de potência 1/7 para a velocidade na camada-limite turbulenta. Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 73 3.5 Gradientes de Pressão no Escoamento de Camada Limite A equação integral de balanço de quantidade de movimento para a qual o gradiente de pressão é zero 2 2 0 1 w d d u u U U dy dx dx U U        = =  −     (3.19) indica que a tensão de cisalhamento na parede é equilibrada pelo decréscimo na quantidade de movimento do fluido. A espessura da camada limite continua a crescer e o fluido perto da parede fica sendo continuamente retardado (perdendo quantidade de movimento). “Será o fluido próximo a parede eventualmente levado ao repouso?”. Ou seja, “Para o caso em que dp dx = 0 é possível que ) 0 0 y u y =   = ?” Ao considerar as distribuições de tensão de cisalhamento para as placas planas, verifica- se que para escoamento laminar ( ) 2 x constante Re w x U   = e para escoamento turbulento ( ) 2 1/5 constante Re w x x U   = Lembrando que 0 / w y u y   = =   pode-se então dizer que para qualquer comprimento finito de placa 0 / y u y =   nunca será zero. O ponto na fronteira sólida em que 0 / 0 y u y =   = é definido como o ponto de separação. Consequentemente, para / dp dx = 0 , nunca ocorrerá separação do escoamento; a camada de fluido na vizinhança da superfície sólida não pode ser trazida à velocidade zero. O gradiente de pressão é dito ser adverso se a pressão aumenta no sentido de escoamento, se ( / dp dx  0) . Quando / dp dx  0 , a pressão diminui no sentido de escoamento, e o gradiente de pressão é dito ser favorável. Considere o escoamento através de canal de seção transversal variável, mostrado na Fig. 3.6. Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 74 Fig. 3.6 Escoamento de camada limite com gradiente de pressão (espessura de camada limite exagerada para maior clareza) O gradiente de pressão adverso, / dp dx  0 , é condição necessária para a separação, ou seja, a separação não pode ocorrer a menos que / dp dx  0 . O perfil turbulento é muito mais obtuso do que o laminar. Para a mesma velocidade de corrente livre, o fluxo de quantidade de movimento dentro da camada limite turbulenta é maior do que dentro da camada limite laminar (Fig.3.7b). A separação ocorre quando a quantidade de movimento de camadas de fluido adjacentes perto da superfície é reduzida a zero pela ação combinada de forças viscosas e de pressão. Conforme mostrado na Fig. 3.7b, a quantidade de movimento do fluido próximo da superfície é significativamente maior para o perfil turbulento. Assim, a camada turbulenta possui maior capacidade de resistir a separação com a condição de gradiente de pressão adverso. Os gradientes de pressão adversos causam importantes mudanças nos perfis de velocidade para ambos os escoamentos de camada limite, turbulento e laminar. Soluções aproximadas para escoamento com gradiente de pressão diferente de zero podem ser obtidas da equação integral da quantidade de movimento ( ) 2 * w d dU U U dx dx     = + (3.17) Expandindo o primeiro termo, pode-se escrever 2 ( * 2 ) w d dU U U dx dx      = + + ou ( ) 2 2 2 f w C d dU H U dx U dx     = = + + (3.28) Escoamento reverso Prof. Dr. Admilson T. Franco UTFPR - Curso de Engenharia Mecânica Cap. 3 - Mecânica dos Fluidos 2 75 sendo * H   = o “fator de forma” do perfil de velocidade. O fator de forma aumenta para gradiente de pressão adverso. Para escoamento de camada limite turbulento, H aumenta de 1,3 para gradiente de pressão zero para aproximadamente 2,5 na separação. Para escoamento laminar com gradiente de pressão zero, H = 2,6 ; na separação H = 3,5 . A distribuição de velocidade de corrente livre, ( ) U x , deve ser conhecida antes que a Eq. (3.28) possa ser aplicada. Como / / dp dx = − UdU dx , especificar ( ) U x é equivalente a especificar o gradiente de pressão. Pode-se obter a primeira aproximação de ( ) U x da teoria do escoamento ideal para o escoamento não viscoso nas mesmas condições. Fig. 3.7 Perfis adimensionais para escoamento de camada limite sobre placa plana.