Análise Matricial de Estruturas Parte 4-2021 2

TC036 - Mecânica das Estruturas II Prof. Marcos Arndt 4. Análise Matricial de Estruturas – Parte 4 4.4 Análise Matricial de Treliças Planas Seja a treliça plana abaixo: Características: - As barras se deformam axialmente (alongamento ou encurtamento); - Cargas aplicadas nas rótulas. Discretização: Coordenadas generalizadas globais Discretização: Coordenadas generalizadas globais Coordenadas generalizadas locais no sistema global Coordenadas generalizadas locais no sistema local Matriz de Rigidez elementar no sistema local: 𝐾𝑒 = 𝐸𝐴 𝐿 − 𝐸𝐴 𝐿 − 𝐸𝐴 𝐿 𝐸𝐴 𝐿 u1 = 1 u2 = 1 𝐾𝑒 = 𝐸𝐴 𝐿 1 −1 −1 1 Matriz de Rigidez Elementar para Treliças Planas Matriz de Rigidez elementar no sistema global: e e TU u =                 =       j j i i v u v u u u     sen cos 0 0 0 0 sen cos 2 1 e i j L  = x − x cos e i j L  = y − y sen ( ) ( ) 2 2 i j i j e y y x x L − + − = Matriz de Rigidez elementar no sistema global: 𝑲𝒆𝒖𝒆 = 𝑭𝒆 𝑲𝒆𝑻𝑼𝒆 = 𝑭𝒆 Pré-multiplicando ambos os lados da equação por TT: 𝑻𝑻 𝑲𝒆𝑻𝑼𝒆 = 𝑻𝑻 𝑭𝒆 𝑲𝒆𝑮𝑼𝒆 = 𝑭𝒆𝑮 𝑲𝒆𝑮 = 𝑻𝑻 𝑲𝒆𝑻 𝑭𝒆𝑮 = 𝑻𝑻 𝑭𝒆 Montagem da matriz de rigidez global: Exemplo Vetor de Forças: Para o caso de treliças, onde as forças atuam apenas nas rótulas (nós), o vetor de forças global 𝑭𝒆𝑮 é obtido diretamente pela consideração das forças aplicadas no nós e das reações de apoio no sistema global de coordenadas. Exemplo: 𝐹 = 𝐻𝐴 𝑉𝐴 0 −𝑃1 0 0 0 −𝑃2 0 0 0 −𝑃3 0 𝑉𝐵 Sistema de equações não restringido (sem considerar as condições de contorno dos apoios): Faz-se agora a reordenação da matriz K e dos vetores F e D da seguinte forma: a) Numera-se primeiro os graus de liberdade livres Dl e depois os graus de liberdade restringidos Dp , tal que: b) Neste caso Fl contém as forças nodais conhecidas e Fp contém as reações de apoio (desconhecidas): 𝐾 𝐷 = 𝐹 𝐊𝑙𝑙 𝐊𝑙𝑝 𝐊𝑝𝑙 𝐊𝑝𝑝 𝑫𝑙 𝑫𝑝 = 𝑭𝑙 𝑭𝑝 ൝ 𝐊𝑙𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑙𝑝𝑫𝑝 = 𝑭𝑙 𝐊𝑝𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑝𝑝𝑫𝑝 = 𝑭𝑝 𝐊𝑙𝑙𝑫𝑙 = 𝑭𝑙 − 𝐊𝑙𝑝𝑫𝑝 ⇒ Determina−se 𝑫𝑙 𝑭𝑝 = 𝐊𝑝𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑝𝑝𝑫𝑝 ⇒ Determina−se 𝑭𝑝 Os esforços normais são obtidos pelo equilíbrio individual de cada elemento: Por equilíbrio do elemento: 𝐾𝑒 𝐷𝑒 = 𝐹𝑒 𝐹𝑒 = 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 Exemplo 5: Utilizando o Método da Rigidez Direta resolva a treliça abaixo considerando que todas as barras tem rigidez axial EA = 105 kN. Discretização: com 𝑑1 = 𝑑2 = 𝑑4 = 0 Matrizes elementares de rigidez: Elemento 1 𝐾𝑒 = 𝐸𝐴 𝐿 1 −1 −1 1 𝐾𝑒1 = 105 2 2 1 −1 −1 1 = 35355,34 −35355,34 −35355,34 35355,34 𝑇𝑒1 = 0,707 0,707 0 0 0 0 0,707 0,707 𝑐𝑜𝑠𝛾 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 𝐿 = 2 − 0 2 2 = 0,707 𝑠𝑒𝑛𝛾 = 𝑦𝑗 − 𝑦𝑖 𝐿 = 2 − 0 2 2 = 0,707 𝑲𝒆𝑮 = 𝑻𝑻 𝑲𝒆𝑻 𝐾𝑒1𝐺 = 17677,67 17677,67 17677,67 17677,67 −17677,67 −17677,67 −17677,67 −17677,67 −17677,67 −17677,67 −17677,67 −17677,67 17677,67 17677,67 17677,67 17677,67 Matrizes elementares de rigidez: Elemento 2 𝐾𝑒 = 𝐸𝐴 𝐿 1 −1 −1 1 𝐾𝑒2 = 105 2 1 −1 −1 1 = 50000 −50000 −50000 50000 𝑇𝑒2 = 0 1 0 0 0 0 0 1 𝑐𝑜𝑠𝛾 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 𝐿 = 2 − 2 2 = 0 𝑠𝑒𝑛𝛾 = 𝑦𝑗 − 𝑦𝑖 𝐿 = 2 − 0 2 = 1 𝑲𝒆𝑮 = 𝑻𝑻 𝑲𝒆𝑻 𝐾𝑒2𝐺 = 0 0 0 50000 0 0 0 −50000 0 0 0 −50000 0 0 0 50000 Matrizes elementares de rigidez: Elemento 3 𝐾𝑒 = 𝐸𝐴 𝐿 1 −1 −1 1 𝐾𝑒3 = 105 2 1 −1 −1 1 = 50000 −50000 −50000 50000 𝑇𝑒3 = 1 0 0 0 0 0 1 0 𝑐𝑜𝑠𝛾 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 𝐿 = 2 − 0 2 = 1 𝑠𝑒𝑛𝛾 = 𝑦𝑗 − 𝑦𝑖 𝐿 = 0 − 0 2 = 0 𝑲𝒆𝑮 = 𝑻𝑻 𝑲𝒆𝑻 𝐾𝑒3𝐺 = 50000 0 0 0 −50000 0 0 0 −50000 0 0 0 50000 0 0 0 Matriz de Rigidez: 𝐾 = 67677,67 17677,67 −50000 17677,67 17677,67 0 −50000 0 50000 0 −17677,67 −17677,67 0 −17677,67 −17677,67 0 0 0 0 0 0 −17677,67 −17677,67 0 −17677,67 −17677,67 0 50000 0 −50000 0 17677,67 17677,67 −50000 17677,67 67677,67 3 4 5 6 1 2 5 6 3 4 5 6 1 2 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 𝐾𝑒1𝐺 = 17677,67 17677,67 17677,67 17677,67 −17677,67 −17677,67 −17677,67 −17677,67 −17677,67 −17677,67 −17677,67 −17677,67 17677,67 17677,67 17677,67 17677,67 𝐾𝑒2𝐺 = 0 0 0 50000 0 0 0 −50000 0 0 0 −50000 0 0 0 50000 𝐾𝑒3𝐺 = 50000 0 0 0 −50000 0 0 0 −50000 0 0 0 50000 0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 Vetor de Forças: 𝐹 = 𝐻1 𝑉1 0 𝑉2 5 −10 𝐷 = 𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4 𝑑5 𝑑6 Reordenação dos vetores e matrizes: 3 5 6 1 2 4 𝐷 = 𝑑1 = 0 𝑑2 = 0 𝑑3 𝑑4 = 0 𝑑5 𝑑6 𝐷𝑜𝑟𝑑 = 𝑑3 𝑑5 𝑑6 𝑑1 = 0 𝑑2 = 0 𝑑4 = 0 com 𝑑1 = 𝑑2 = 𝑑4 = 0 Reordenação dos vetores e matrizes: 𝐾 = 67677,67 17677,67 −50000 17677,67 17677,67 0 −50000 0 50000 0 −17677,67 −17677,67 0 −17677,67 −17677,67 0 0 0 0 0 0 −17677,67 −17677,67 0 −17677,67 −17677,67 0 50000 0 −50000 0 17677,67 17677,67 −50000 17677,67 67677,67 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 𝐾 = 50000 0 0 0 17677,67 17677,67 0 17677,67 67677,67 −50000 0 0 −17677,67 −17677,67 0 −17677,67 −17677,67 −50000 −50000 −17677,67 −17677,67 0 −17677,67 −17677,67 0 0 −50000 67677,67 17677,67 0 17677,67 17677,67 0 0 0 50000 3 5 6 1 2 4 3 5 6 1 2 4 Reordenação dos vetores e matrizes: 𝐹 = 𝐻1 𝑉1 0 𝑉2 5 −10 𝐹𝑜𝑟𝑑 = 0 5 −10 𝐻1 𝑉1 𝑉2 3 5 6 1 2 4 50000 0 0 0 17677,67 17677,67 0 17677,67 67677,67 −50000 0 0 −17677,67 −17677,67 0 −17677,67 −17677,67 −50000 −50000 −17677,67 −17677,67 0 −17677,67 −17677,67 0 0 −50000 67677,67 17677,67 0 17677,67 17677,67 0 0 0 50000 𝑑3 𝑑5 𝑑6 0 0 0 = 0 5 −10 𝐻1 𝑉1 𝑉2 Sistema reordenado: Kll Kpl Klp Kpp Dl Dp Fl Fp 𝐊𝑙𝑙𝑫𝑙 = 𝑭𝑙 − 𝐊𝑙𝑝𝑫𝑝 50000 0 0 0 17677,67 17677,67 0 17677,67 67677,67 𝑑3 𝑑5 𝑑6 = 0 5 −10 𝑑3 = 0; 𝑑5 = 0,000583 𝑚; 𝑑6 = −0,0003 𝑚 Sistema reordenado: 𝐻1 𝑉1 𝑉2 = −50000 −17677,67 −17677,67 0 −17677,67 −17677,67 0 0 −50000 0 0,000583 −0,0003 𝑭𝑝 = 𝐊𝑝𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑝𝑝𝑫𝑝 𝐻1 𝑉1 𝑉2 = −5 −5 15 50000 0 0 0 17677,67 17677,67 0 17677,67 67677,67 −50000 0 0 −17677,67 −17677,67 0 −17677,67 −17677,67 −50000 −50000 −17677,67 −17677,67 0 −17677,67 −17677,67 0 0 −50000 67677,67 17677,67 0 17677,67 17677,67 0 0 0 50000 𝑑3 𝑑5 𝑑6 0 0 0 = 0 5 −10 𝐻1 𝑉1 𝑉2 Kll Kpl Klp Kpp Dl Dp Fp 𝐾𝑒 𝑢𝑒 = 𝐹𝑒 35355,34 −35355,34 −35355,34 35355,34 0 0,0002 = 𝑁11 𝑁13 𝑁11 𝑁13 = −7,07 7,07 Esforços internos - elemento 1: 𝑢𝑒 = 𝑇 𝑈𝑒 𝑢𝑒 = 0,707 0,707 0 0 0 0 0,707 0,707 𝑑1 = 0 𝑑2 = 0 𝑑5 = 0,000583 𝑑6 = −0,0003 = 0 0,0002 𝑁1 = 7,07 𝑘𝑁 (𝑇) 𝐾𝑒 𝑢𝑒 = 𝐹𝑒 50000 −50000 −50000 50000 0 −0,0003 = 𝑁22 𝑁23 𝑁22 𝑁23 = 15 −15 Esforços internos - elemento 2: 𝑢𝑒 = 𝑇 𝑈𝑒 𝑢𝑒 = 0 1 0 0 0 0 0 1 𝑑3 = 0 𝑑4 = 0 𝑑5 = 0,000583 𝑑6 = −0,0003 = 0 −0,0003 𝑁2 = −15 𝑘𝑁 (𝐶) 𝐾𝑒 𝑢𝑒 = 𝐹𝑒 50000 −50000 −50000 50000 0 0 = 𝑁31 𝑁32 𝑁31 𝑁32 = 0 0 Esforços internos - elemento 3: 𝑢𝑒 = 𝑇 𝑈𝑒 𝑢𝑒 = 1 0 0 0 0 0 1 0 𝑑1 = 0 𝑑2 = 0 𝑑3 = 0 𝑑4 = 0 = 0 0 𝑁3 = 0