Slide Cálculo de Deslocamentos em Estruturas Isostáticas-2022 1

TC036 - Mecânica das Estruturas II Prof. Marcos Arndt 1. Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas 1.1 Introdução O cálculo de deslocamentos em estruturas tem como principais objetivos: a) Verificação de deformações excessivas; b) Determinação de contra-flechas; c) Comparação com provas de carga; d) Determinação de incógnitas hiperestáticas. Para determinação de deslocamentos em estruturas elásticas vamos usar Métodos de Energia aplicados a corpos elásticos. 1.2 Trabalho das Forças Externas e Energia de Deformação a) Trabalho das Forças Externas: O trabalho feito por uma força sobre uma estrutura é definido simplesmente como a força vezes o deslocamento de seu ponto de aplicação na direção da força. O trabalho é considerado positivo quando a força e o deslocamento na direção da força apresentam o mesmo sentido, negativo quando a força e o deslocamento apresentam o sentidos opostos. (Kassimali, 2015) Suponha uma barra de material elástico linear submetida a uma carga P: P varia a medida que o ponto de aplicação se desloca, logo : O trabalho total realizado por P sobre todo o deslocamento é: 𝑑𝑊 = 𝑃𝑑𝛿 𝑊 = න 0 𝛿 𝑑𝑊 = න 0 𝛿 𝑃𝑑𝛿 𝑊 = 1 2 𝑃𝛿 Trabalho mecânico da força P Trabalho das forças externas em uma barra de material elástico linear: 𝑊 = 1 2 𝑃𝛿 Trabalho mecânico da força P 𝑊 = 1 2 𝑀𝜃 Trabalho mecânico do momento aplicado M Para várias forças concentradas e momentos concentrados em uma estrutura de comportamento linear, pela superposição dos efeitos: 𝑊 = 1 2 ෍ 𝑖 𝑃𝑖𝛿𝑖 + 1 2 ෍ 𝑗 𝑀𝑗𝜃𝑗 No caso de força externa distribuída, o trabalho é a integral do produto da força pelo deslocamento em cada ponto ao longo do comprimento de atuação da força. A barra elástica retorna à sua posição indeformada com a retirada das forças, recuperando-se o trabalho realizado. O trabalho fica armazenado em todos os pontos da barra como trabalho das forças internas, o que se denomina trabalho de deformação ou energia de deformação. b) Energia de Deformação: U* : Energia de deformação por unidade de volume ou densidade de energia de deformação. Densidade de energia de deformação: A energia de deformação U é: Em estado múltiplo de tensões, pelo Princípio da Superposição dos Efeitos: 𝑈∗ = න 0 𝜀 𝜎𝑑𝜀 = 1 2 𝜎𝜀 𝑈 = න 𝑉 𝑈∗𝑑𝑉 = 1 2 න 𝑉 𝜎𝜀𝑑𝑉 𝑈∗ = 1 2 𝜎𝑥𝜀𝑥 + 𝜎𝑦𝜀𝑦 + 𝜎𝑧𝜀𝑧 + 𝜏𝑥𝑦𝛾𝑥𝑦 + 𝜏𝑥𝑧𝛾𝑥𝑧 + 𝜏𝑦𝑧𝛾𝑦𝑧 O produto tensão x deformação no cálculo da energia interna pode ser substituído por produtos esforço interno x deslocamento relativo. Hipóteses simplificadoras: - Teoria de vigas de Navier para barras submetidas à flexão acrescida da consideração de efeitos axiais provocados por esforços normais à seção transversal da barra (e torção). - Desacoplamento dos efeitos axiais, transversais (flexão e cisalhamento) e de torção. (Superposição de Efeitos) b.1) Deslocamento axial relativo interno provocado por esforço normal: Deslocamento axial relativo interno 𝑁 = 𝜎𝑥𝐴 𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 ֜ 𝑁 = 𝐸𝜀𝑥𝐴 𝜀𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ֜ 𝑁 = 𝐸 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝐴 𝑑𝑢 = 𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 𝑈 = 1 2 න 𝑉 𝜎𝑥𝜀𝑥𝑑𝑉 = 1 2 ඵ 𝜎𝑥𝜀𝑥𝑑𝐴𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 𝑈 = 1 2 න 𝜀𝑥 න 𝜎𝑥𝑑𝐴 𝑑𝑥 = 1 2 න 𝜀𝑥𝑁𝑑𝑥 𝑈 = 1 2 න 𝑁 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑈 = 1 2 න 𝑁𝑑𝑢 𝑈 = 1 2 න 𝑁2 𝐸𝐴 𝑑𝑥 b.2) Rotação relativa interna provocada por momento fletor: Rotação relativa interna 𝜀𝑥 = −𝑦 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃 = 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 M M 𝑀 = න 𝐴 𝜎𝑥 −𝑦 𝑑𝐴 𝑀 = න 𝐴 𝐸𝜀𝑥 −𝑦 𝑑𝐴 = න 𝐴 𝐸 −𝑦 𝑑𝜃 𝑑𝑥 −𝑦 𝑑𝐴 𝑀 = 𝐸 𝑑𝜃 𝑑𝑥 න 𝐴 𝑦2𝑑𝐴 = 𝐸𝐼 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑈 = 1 2 න 𝑉 𝜎𝑥𝜀𝑥𝑑𝑉 = 1 2 ඵ 𝜎𝑥𝜀𝑥𝑑𝐴𝑑𝑥 𝑈 = 1 2 ඵ 𝜎𝑥 −𝑦 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝐴𝑑𝑥 = 1 2 න 𝑀 𝐸𝐼 න 𝜎𝑥 −𝑦 𝑑𝐴 𝑑𝑥 𝑈 = 1 2 න 𝑀𝑑𝜃 𝑈 = 1 2 න 𝑀2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝑑𝜃 𝑑𝑥 = 𝑀 𝐸𝐼 𝜀𝑥 = −𝑦 𝑑𝜃 𝑑𝑥 = −𝑦 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝜃 = 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 b.3) Deslocamento transversal relativo interno provocado por esforço cortante: Real: Empenamento da seção transversal com distorções não uniformes ao longo da seção. Aproximação: Distorção de cisalhamento média na seção transversal. Distorção de cisalhamento Deslocamento transversal relativo 𝛾𝑐 = 𝑑ℎ 𝑑𝑥 𝑑ℎ = 𝜒 𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 𝑄 = 𝜏𝑦𝑚𝑒𝑑 𝐴 𝜒 𝑄 = 𝐺𝛾𝑐 𝐴 𝜒 = 𝐺 𝑑ℎ 𝑑𝑥 𝐴 𝜒 Área efetiva de cisalhamento 𝑈 = 1 2 න 𝑉 𝜏𝑦𝑚𝑒𝑑𝛾𝑐𝑑𝑉 = 1 2 ඵ 𝜏𝑦𝑚𝑒𝑑 𝜏𝑦𝑚𝑒𝑑 𝐺 𝑑𝐴𝑑𝑥 𝑈 = 1 2 ඵ 𝜏𝑦𝑚𝑒𝑑 2 𝐺 𝑑𝐴𝑑𝑥 𝜏𝑦𝑚𝑒𝑑 = 𝑄 𝐼𝑧𝑡 𝐴𝑒 ത𝑦𝑒 𝑈 = 1 2 ඵ 𝑄2 𝐴𝑒 ത𝑦𝑒 2 𝐺𝐼𝑧2𝑡2 𝑑𝐴𝑑𝑥 𝑈 = 1 2 න 𝑄2 𝐺𝐼𝑧2 න 𝐴 𝐴𝑒 ത𝑦𝑒 2 𝑡2 𝑑𝐴 𝑑𝑥 𝜒 = 𝐴 𝐼𝑧2 න 𝐴 𝐴𝑒 ത𝑦𝑒 2 𝑡2 𝑑𝐴 𝑈 = 1 2 න 𝑄2 𝐺𝐼𝑧2 න 𝐴 𝐴𝑒 ത𝑦𝑒 2 𝑡2 𝑑𝐴 𝑑𝑥 𝑈 = 1 2 න 𝜒𝑄2 𝐺𝐴 𝑑𝑥 𝑈 = 1 2 න 𝑄𝑑ℎ 𝑑ℎ = 𝜒 𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 𝜒 = 6 5 para seção retangular b.4) Rotação relativa interna provocada por momento torçor: Rotação relativa de torção 𝑑𝜑 = 𝑇 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 𝑈 = 1 2 න 𝑇𝑑𝜑 𝑈 = 1 2 න 𝑇2 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 A energia de deformação U pode ser expressa por: 𝑈 = 1 2 න 𝑁𝑑𝑢 + 1 2 න 𝑀𝑑𝜃 + 1 2 න 𝑄𝑑ℎ + 1 2 න 𝑇𝑑𝜑 𝑈 = 1 2 න 𝑁2 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + 1 2 න 𝑀2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + 1 2 න 𝜒 𝑄2 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + 1 2 න 𝑇2 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝜃 = 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝑑ℎ = 𝜒 𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝜑 = 𝑇 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 Esforço Normal Momento Fletor Esforço Cortante Momento Torçor 1.3 Teorema de Castigliano a) PrimeiroTeorema de Castigliano A derivada parcial da energia de deformação em relação a um deslocamento elástico segundo a direção de uma das cargas aplicadas é igual ao valor desta carga. 𝜕𝑈 𝜕𝛿𝑖 = 𝑃𝑖 Demonstração: Conservação de energia: Deslocamento é diretamente proporcional à força: 𝛿𝑖 = 𝑘𝑃𝑖 𝜕𝑈 𝜕𝛿𝑖 = 𝜕𝑊 𝜕𝛿𝑖 = 𝜕 𝜕𝛿𝑖 ෍ 𝑖 1 2 𝑃𝑖𝛿𝑖 𝑈 = 𝑊 𝜕𝑈 𝜕𝛿𝑖 = 𝜕 𝜕𝛿𝑖 ෍ 𝑖 1 2 𝛿𝑖 2 𝑘 = 1 2 2𝛿𝑖 𝑘 𝜕𝑈 𝜕𝛿𝑖 = 𝑃𝑖 b) SegundoTeorema de Castigliano A derivada parcial da energia de deformação em relação a uma das cargas aplicadas é igual ao deslocamento elástico do ponto de aplicação dessa força em sua própria direção. 𝜕𝑈 𝜕𝑃𝑖 = 𝛿𝑖 Demonstração: Conservação de energia: Deslocamento é diretamente proporcional à força: 𝛿𝑖 = 𝑘𝑃𝑖 𝜕𝑈 𝜕𝑃𝑖 = 𝜕𝑊 𝜕𝑃𝑖 = 𝜕 𝜕𝑃𝑖 ෍ 𝑖 1 2 𝑃𝑖𝛿𝑖 𝑈 = 𝑊 𝜕𝑈 𝜕𝑃𝑖 = 𝜕 𝜕𝑃𝑖 ෍ 𝑖 1 2 𝑘𝑃𝑖 2 = 1 2 2𝑘𝑃𝑖 𝜕𝑈 𝜕𝑃𝑖 = 𝛿𝑖 Aplicação 1: Calcular o deslocamento vertical do ponto B da viga que tem rigidez EI constante. Utilizar o Teorema de Castigliano e desprezar a parcela de deslocamento devido ao cisalhamento. 𝑈 = 1 2 න 0 𝐿 𝑀2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝑈 = 1 2 න 𝑁2 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + 1 2 න 𝑀2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + 1 2 න 𝜒 𝑄2 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + 1 2 න 𝑇2 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 𝑀 = −𝑃𝑥 𝑈 = 1 2 න 0 𝐿 𝑀2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 2𝐸𝐼 න 0 𝐿 𝑃2𝑥2 𝑑𝑥 𝑈 = 𝑃2 2𝐸𝐼 𝑥3 3 0 𝐿 = 𝑃2𝐿3 6𝐸𝐼 𝛿𝐵 = 𝜕𝑈 𝜕𝑃 𝛿𝐵 = 2𝑃𝐿3 6𝐸𝐼 = 𝑃𝐿3 3𝐸𝐼 Aplicação 2: Calcular a rotação ponto B da viga que tem rigidez EI constante. Utilizar o Teorema de Castigliano e desprezar a parcela de deslocamento devido ao cisalhamento. M1 𝑈 = 1 2 න 0 𝐿 𝑀2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝑀 = −𝑃𝑥 − 𝑀1 𝑈 = 1 2 න 0 𝐿 𝑀2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 2𝐸𝐼 න 0 𝐿 −𝑃𝑥 − 𝑀1 2𝑑𝑥 𝑈 = 1 2𝐸𝐼 𝑃2𝑥3 3 + 2𝑃𝑀1𝑥2 2 + 𝑀1 2𝑥 0 𝐿 𝜃𝐵 = 𝜕𝑈 𝜕𝑀1 𝜃𝐵 = 𝑃𝐿2 2𝐸𝐼 𝑈 = 1 2𝐸𝐼 න 0 𝐿 𝑃2𝑥2 + 2𝑃𝑥𝑀1 + 𝑀1 2 𝑑𝑥 𝑈 = 1 2𝐸𝐼 𝑃2𝐿3 3 + 𝑃𝑀1𝐿2 + 𝑀1 2𝐿 𝜃𝐵 = 1 2𝐸𝐼 𝑃𝐿2 + 2𝑀1𝐿 𝑀1 = 0 Aplicação 3: Determine a flecha (deslocamento vertical) no ponto C da viga que tem E = 2 x108 kN/m2 e I = 8 x 10-4 m4 . Utilizar o Teorema de Castigliano e desprezar a parcela de deslocamento devido ao cisalhamento. 𝑈 = 1 2 න 0 𝐿 𝑀2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 2𝐸𝐼 න 0 9 𝑀2𝑑𝑥 + න 9 12 𝑀2𝑑𝑥 𝑀 = 135 − 𝑃 3 𝑥 − 30𝑥 𝑥 2 0 ≤ 𝑥 ≤ 9𝑚: 𝑀 = 135 − 𝑃 3 𝑥 − 15𝑥2 𝑀 = −𝑃𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 3𝑚: 𝑈 = 1 2𝐸𝐼 න 0 9 𝑀2𝑑𝑥 + න 0 3 𝑀2𝑑𝑥 𝑈 = 1 2𝐸𝐼 න 0 9 135 − 𝑃 3 𝑥 − 15𝑥2 2 𝑑𝑥 + න 0 3 −𝑃𝑥 2𝑑𝑥 𝑈 = 1 2𝐸𝐼 න 0 9 135 − 𝑃 3 2 𝑥2 − 30𝑥3 135 − 𝑃 3 + 225𝑥4 𝑑𝑥 + න 0 3 𝑃2𝑥2𝑑𝑥 𝑈 = 1 2𝐸𝐼 135 − 𝑃 3 2 𝑥3 3 − 30 𝑥4 4 135 − 𝑃 3 + 225 𝑥5 5 0 9 + 𝑃2 𝑥3 3 0 3 𝑈 = 1 2𝐸𝐼 135 − 𝑃 3 2 729 3 − 15 6561 2 135 − 𝑃 3 + 45 59049 + 9𝑃2 𝑈 = 1 2𝐸𝐼 18225 − 90𝑃 + 𝑃2 9 243 − 13286025 2 + 32805𝑃 2 + 2657205 + 9𝑃2 𝑈 = 1 2𝐸𝐼 13286025 2 − 10935𝑃 2 + 36𝑃2 𝑈 = 1 2𝐸𝐼 13286025 2 − 10935𝑃 2 + 36𝑃2 𝛿𝐶 = 𝜕𝑈 𝜕𝑃 𝛿𝐶 = 1 2𝐸𝐼 − 10935 2 + 72𝑃 𝛿𝐶 = 1 2 2 108 8 10−4 − 10935 2 + 72 55 𝛿𝐶 = −0,00471 𝑚 = −4,71 𝑚𝑚 𝛿𝐶 = 4,71 𝑚𝑚