Apostila Mecgeral2 Monitoria Ufpr Estática com Exercícios 7 Resolvidos

LISTA DE EXECÍCIOS 7 MONITORIAS Daniel: Seg e Qua 11:30-13:30 Felipe: Seg,Ter e Qui 15:30-16:50 UFPR 2022 ESTÁTICA MECÂNICA PARA ENGENHARIA 14ª edição Pearson Education EMPRESA CIDADÃ Capítulo 10 — Momentos de inércia 483 10.66. Determine o produto de inércia da área da seção transversal em relação aos eixos u e v. 10.67. Determine os momentos de inércia Iu e Iv da área sombreada. *10.64. Determine o produto de inércia da área da seção transversal da viga em relação aos eixos x e y. 10.65. Determine a localização (x̄, ȳ) do centroide C da área da seção transversal do perfil e depois determine o produto de inércia em relação aos eixos x' e y'. *10.68. Determine a distância ȳ até o centroide da área e depois calcule os momentos de inércia Iu e Iv da área da seção transversal do canal. Os eixos u e v possuem sua origem no centroide C. Para o cálculo, considere que todos os cantos são quadrados. 484 ESTÁTICA 10.69. Determine os momentos de inércia Iuv, Iu e o produto de inércia Iuvv da área retangular. Os eixos u e v passam pelo centroide C. 10.70. Resolva o Problema 10.69 usando o círculo de Mohr. Dica: para resolver, ache as coordenadas do ponto P(Iu, Iuv) no círculo, medidas em sentido anti-horário a partir da linha radial OA. (Ver Figura 10.19.) O ponto Q(Iv, -Iuv) está no lado oposto do círculo. 10.74. Resolva o Problema 10.73 usando o círculo de Mohr. 10.75. Determine a orientação dos eixos principais, que têm sua origem no centroide C da área da seção transversal da viga. Além disso, determine os momentos de inércia principais. 10.73. Determine a orientação dos eixos principais, que têm sua origem no ponto C, e os momentos de inércia principais da seção transversal em relação a esses eixos. *10.76. A área da seção transversal de uma asa de avião tem as seguintes propriedades em relação aos eixos x e y passando pelo centroide C: Ix = 180(10^6) m^4, Iy = 720 (10^6) m^4, Ixy = 60 (10^6) m^4. Determine a orientação dos eixos principais e dos momentos de inércia principais. Apêndices 535 Identidades trigonométricas sen2 θ + cos2 θ = 1 sen(θ ± ϕ) = sen θ cos ϕ ± cos θ sen ϕ sen 2θ = 2 sen θ cos θ cos(θ ± ϕ) = cos θ cos ϕ ∓ sen θ sen ϕ cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ cos θ = ± √ 1 + cos 2θ / 2 , sen θ = ± √ 1 − cos 2θ / 2 tg θ = sen θ / cos θ 1 + tg2 θ = sec2 θ 1 + cotg2 θ = cossec2 θ Fórmula quadrática Se ax2 + bx + c = 0, então x = −b ± √b2 − 4ac / 2a Funções hiperbólicas senh x = e x − e −x / 2 , cosh x = e x + e −x / 2 , tanh x = senh x / cosh x Expansões de séries de potências sen x = x − x3 / 3! + ⋯ , cos x = 1 − x2 / 2! + ⋯ senh x = x + x3 / 3! + ⋯ , cosh x = 1 + x2 / 2! + ⋯ Derivadas d / dx (u n ) = nu n−1 du / dx d / dx (uv) = u dv / dx + v du / dx d / dx (sen u) = cos u du / dx d / dx (cos u) = −sen u du / dx d / dx (u / v) = v du / dx − u dv / dx , v2 d / dx (tg u) = sec2 u du / dx d / dx (cotg u) = −cossec2 u du / dx d / dx (senh u) = cosh u du / dx d / dx (sec u) = tg u sec u du / dx d / dx (cosh u) = senh u du / dx d / dx (cossec u) = −cossec u cotg u du / dx Integrais ∫ x n dx = x n+1 / n + 1 + C, n ≠ −1 ∫ dx / a + bx = 1 / b ln(a + bx) + C ∫ dx / a + bx2 = 1 / 2√− ab ln a + x √−ab / a − x√−ab + C , ab < 0 ∫ x dx / a + bx2 = 1 / 2b ln(bx2 + a) + C ∫ x2 dx / a + bx2 = x / b − a / b tg−1 x √ab / a + C, ab > 0 ∫ √a + bx dx = 2 / 3b √a + bx3/ 2 + C ∫ x√a + bx dx = −2(2a − 3bx) √a + bx3/ 2 / 15b2 + C ∫x2√a + bx dx = 2(8a2 − 12abx + 15b2x2)√a +(bx)3 / 105b3 + C ∫ √a2 − x2 dx = 1 / 2 x √a2 − x2 + a2 sen−1 x / a + C, a > 0 ∫ x √a2 − x2 dx = 1 / 3 √a2 − x23/ 2 + C ∫ x2 √a2 − x2 dx = x / 4 √a2 − x23/ 2 + d2 / 8 x √a2 − x2 + a2 sen−1x / a3 /2 + C, a > 0 536 ESTÁTICA ∫ √x2 ± a2 dx = 1 / 2 ∣x √x2 ± a2 ± a2 ln(x + √x2 ± a2)∣ + C ∫ x √x2 ± a2 dx = 1 / 3 √x2 ± a23/ 2 + C ∫ x2 √x2 ± a2 dx = x / 4 √x2 ± a23/ 2 ± a2 / 8 √x2 ± a2 − a4 / 8 ln(x + √x2 ± a2) + C ∫ dx / √a + bx = 2 √a + bx / b + C ∫ x dx / √x2 ± a2 = √x2 ± a2 + C ∫ dx / √a + bx + cx2 = 1 / √c ln √a + bx + cx2 + x √c + b / 2 √c + C, c > 0 = 1 / √− c sen−1 −2cx − b / √b2 − 4ac + C, c < 0 ∫ sen x dx = −cos x +C ∫ cos x dx = sen x +C ∫ x cos(ax) dx = 1 / a2 cos(ax) + x / a sen(ax) +C ∫ x2 cos(ax) dx = 2x / a2 cos(ax) + a2x2 −2 / a3 sen(ax) +C ∫ e axt dx = 1 / a e axt +C ∫ xe axt dx = e axt / a2 (ax −1) +C ∫ senh x dx = cosh x +C ∫ cosh x dx = senh x +C Apêndices 537 B – Equações fundamentais da Estática Vetor cartesiano A = A i i + A j j + A k k Intensidade A = √ A2 + A2 + A2 Direções = A / A = A i / A i + A j / A j + A k / A k = cos α i + cos β j + cos γ k cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 Produto escalar A ⋅ B = AB cos θ = A x B x + A y B y + A z B z Produto vetorial C = A + B = ∣ i j k A x A y A z B x B y B z ∣ Vetor posição cartesiano r = (x2 − x1)i + (y2 − y1)j + (z2 − z1)k Vetor força cartesiano F = F u = F ( r / r ) Momento de uma força Mo = Fd Mo = r × F = ∣ r x r y r z F x F y F z ∣ Momento de uma força em torno de um eixo especificado Mo = u ⋅ r × F = ∣ u x u y uz r x r y rz F x F y Fz ∣ Simplificação de um sistema de forças e de binários F R = ΣF (M o)0 = ΣM + ΣM o Equilíbrio Partícula ΣF x = 0, ΣF y = 0, ΣF z = 0 Corpo rígido — duas dimensões ΣF x = 0, ΣF y = 0, ΣM0 = 0 Corpo rígido — três dimensões ΣF x = 0, ΣF y = 0, ΣF z = 0 Atrito Estático (máximo) F s = μ s N Cinético F k = μ k N Centro de gravidade Partes Discretas r̄ = Σ i r W / Σ W Corpo r̄ = ∫r̄ dW / ∫dW Momentos de inércia de área e de massa I = ∫ r2 dA I = ∫ r2 dm Teorema dos eixos paralelos I x = I + Ad2 I + l + m l2 Raio de giração k = √ I / A k = √ I / m Trabalho virtual δU = 0 538 ESTÁTICA PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE ELEMENTOS DE LINHA E DE ÁREA Posição do centróide Momento de inércia de área Posição do centróide Segmento de arco de A = θr² I_x = 1/4 r⁴ (θ – 1/2 sen 2θ) circunferência θ θ I_y = 1/4 r⁴ (θ + 1/2 sen 2θ) π L = 2θr C C sen θ Área de setor circular Arcos de quarto de círculo e de Área de quarto de círculo I_x = 1/16 πr⁴ semicircunferência L = πr A = 1/4 πr² I_y = 1/16 πr⁴ 4r/3π L = πr/2 4r/3π C C A = 1/2 h (a + b) Área trapezoidal Área semicircular I_x = 1/8 πr⁴ C C I_y = 1/8 πr⁴ b A = πr² Área semiparabólica Área circular I_x = 1/4 πr⁴ A = 3/4 ab A = 1/2 bh 1/3 b Área parabólica Área triangular 1/3 a x A = 1/3 ab C C Área sob curva parabólica C C Área retangular x I_y = 1/12 bh³ 1/12 b³ 539 Apêndices CENTRO DE GRAVIDADE E MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA DE SÓLIDOS HOMOGÊNEOS Esfera I_xx = I_yy = I_zz = 2/5 mr² Cilindro V = πr²h I_xx = I_yy = 1/12 m (3r² + h²) I_zz = 1/2 mr² V = 4/3 πr³ Hemissfério V = 2/3 πr³ I_xx = I_yy = 0.259 mr² I_zz = 2/5 mr² V = 1/3 πr²h I_xx = I_yy = 3/80 m (4r² + h²) X Placa fina z I_xx = 1/12 mb² I_yy = 1/12 ma² I_zz = 1/12 m(a² + b²) Anel fino x I_xx = I_yy = 1/2 mr² I_zz = mr² Haste delgada I_xx = I_yy = 1/12 ml² I_xx’ = I_yy’ = 1/3 ml² I_zz’ = 0 544 ESTÁTICA F4.8. + (MO)o = ΣFd; (MO)o = ({3/8}500 N)(0,425 m) − ({3/5}500 N)(0,25 m) − [(600 N) cos 60°](0,25 m) − [(600 N) sen 60°](0,425 m) = −268 N·m = 268 N·m Resposta F4.9. + (MO)o = ΣFd; (MR)o = (30 cos 30° kN)(3 m + 3 sen 30° m) − (30 sen 30° kN)(3 cos 30° m) + (20 kN)(3 cos 30° m) = 129,9 kN·m Resposta F4.10. F = FUAB = 500 N ({3/4}i − {3/4}j) = {400i – 300j } N MO = rOA × F = {3/4} m × {400i – 300j } N = {−1200k } N·m Resposta ou MO = rOB × F = {4i} m × {400i − 300j } N = {−1200k } N·m Resposta F4.11. F = FUBC = 120 N [{4i − 4j − 2k } m] √(4 m)² + (−4 m)² + (−2 m)² = {80i − 80j − 40k } N MO = rC × F = i j k 5 0 0 80 −80 −40 = {200j − 400k } N·m Resposta ou MO = rB × F = i j k 1 4 2 80 −80 −40 = {200j − 400k } N·m Resposta F4.12. FR = F1 + F2 = {(100 − 200)i + (−120 + 250)j + (75 + 100)k } N = {−100i + 130j + 175k } N (MO)o = rA × FR = i j k 4 5 3 −100 130 175 = {485i − 1000j + 1020k } N·m Resposta F4.13. MO = i·(rOB×F) = i j k 1 0 0 0,3 0,4 −0,2 300 −200 150 = 20 N·m Resposta F4.14. uOA= rA rA = {0,3i + 0,4j } m √(0,3 m)² + (0,4 m)² = 0,6 i + 0,8 j MOA = uOA·(rAB × F) i j k 0,6 0,8 0 0 0 −0,2 300 −200 150 = −72 N·m |MOA| = 72 N·m Resposta F4.15. Análise escalar As intensidades das componentes de força são Fx = |200 cos 120°| = 100 N Fy = 200 cos 60° = 100 N Fz = 200 cos 45° = 141,42 N Mz = (−Fy)(z) + Fz(y) = − (100 N) (0,25 m) + (141,42 N) (0,3 m) = 17,4 N·m Resposta Análise vetorial Mz = i j k 1 0 0 0 0,3 0,25 −100 100 141,42 = 17,4 N·m Resposta F4.16. My = j · (rA × F) = i j k 3 −4 2 30 −20 50 = 210 N·m Resposta F4.17. uAB = rAB /rAB = {−4i + 3j } m √(−4 m)² + (3 m)² = −0,8i + 0,6j MAB = uAB·(rAC × F) i j k −0,8 0,6 0 0 0,2 0 50 −40 20 = −4 kN·m MAB = MABuAB = {3,20i − 2,40j } kN·m Resposta F4.18. Análise escalar As intensidades das componentes de força são Fx = ({3/8}(3/4) (500) ) = 240 N Fy = ({3/4}(500) ) = 320 N Fz = {3/5} (500) = 300 N Mx = −320 (3) + 300 (2) = −360 N·m Resposta My = −240 (3) − 300 (−2) = −120 N·m Resposta Mz = 240 (2) − 320 (2) = −160 N·m Resposta 545 Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais F = {−240i + 320j + 300k } N rOA = {−2i + 2j + 3k } m Mx = i · (rOA × F) = −360 N·m My = j · (rOA × F) = −120 N·m Mz = k · (rOA × F) = −160 N·m F4.19. + Mc = ΣMA = 400(3) − 400(5) + 300(5) + 200(0,2) = 740 N·m Resposta Além disso, + Mc = 300(5) − 400(2) + 200(0,2) = 740 N·m Resposta F4.20. + Mc = 300(0,4) + 200(0,4) + 150(0,4) = 260 N·m Resposta F4.21. + (Mb)B = ΣMb = 1,5 kN·m = (2 kN)(0,3 m) − F(0,9 m) F = 2,33 kN Resposta F4.22. + MC = 10({3/8})(2) − 10({3/4})(4) = −20 kN·m = 20 kN·m Resposta F4.23. u1= r1 r1 = {−2i + 2j + 3,5k } m √(−2 m)² + (2 m)² + (3,5 m)² = −2i + 2j + 3,5k u3 = {5/12}i − {5/12}j (MΩ)1 = (MΩ)1 u1 = (450 N·m)(−2i + 2j + 3,5k ) = {−200i + 200j + 350k } N·m (MΩ)2 = (MΩ)2u2 = (250 N·m)(−k) = {−250k } N·m (MΩ)3 = (MΩ)3u3 = (300 N·m)({5/12}i − {5/12}j ) = {180i − 240j } N·m (MΩ)R = ΣMi (Mω)R = {−120i − 40j + 100k} N·m Resposta F4.24. FB = ({3/8}(450 Ni) − ({3/5}(450 Nj)k = {360i − 270k } N Mc = rA × FB = i j k 0,4 0 0 0 −360 −270 = {108j + 144k } N·m Resposta Além disso, Mc = (rA × F) + (rB × FB) = i j k i j k 0 0,3 0,4 0 0,3 0,4 0 360 −270 = {108j + 144k} N·m Resposta F4.25. + FR = ΣFi; FRx = 200 − {3/5} (100) = 140 N + FRy = ΣFi; FRy = 150 − {3/5} (100) = 70 N FR = √140² + 70² = 157 N θ = tg^-1(70/140) = 26,6° Resposta + Mke = ΣMki Mke = {3}(100)(0,4) − {3}(100)(0,6) + 150(0,3) MRA = 210 N·m Resposta F4.26. + FRA = ΣFi; FRA = {3/5} (50) = 40 N + FRy = ΣFi; FRy = 40 + 30 + {3/5} (50) = 100 N FR = √(40)² + (100)² = 108 N θ = tg^-1(100/40) = 68,2° Resposta + Mke = ΣMki Mke = 30(3) + {3}(50)(6) + 200 = 470 N·m Resposta F4.27. + (FR)x = ΣFi; (FR)x = 900 sen 30° = 450 N → + (FR)x = ΣFi; (FR)x = −900 cos 30° = 300 FRA = √50² + 180² = 189,74 N = 190 N Resposta FR = √450² + 1079,42² = 1169,47 N = 1,17 kN θ = tg^-1(1079,42/450) = 67,4° Resposta + (Mk)A = ΣMki (Mk)A = 300 − 900 cos30° (0,75) − 300(2,25) = −959,57 N·m = 960 N·m Resposta F4.28. + (FR)x = ΣFi; (FR)x = 150{3/5} + 50 − 100({3/5}) = 60 N → + (FR)y = ΣFi; (FR)y = −150({3/5}) = 180 N = 180 N → Resposta FR = √60² + 180² = 189,74 N = 190 N Resposta θ = tg^-1(180/60) = 71,6° Resposta + (Mk)A = ΣMki (Mk)A = 100({3/8}) (1) − 100({3/5}(6) − 150({3/5}(3) = −640 = 640 N·m Resposta 546 ESTÁTICA (Mko)0 = ΣM; (Mko)0 = rOB× F1 + rOA× F2 = i j k i j k −1,5 2 1 i 0 2 0 150 200 0 0 2 0 −450 = {−650i + 375k } N·m Resposta F4.30. F1 = {−100j } N F2 = (200 N) [ {−0,4i − 0,3k } m √(−0,4 m)² + (−0,3 m)² = {−160i – 120k } N Mr = {−75i} N·m FR = {−160i − 100j − 120k } N (Mo)0 = (0,3k) × {−100j} = {−105i − 48j + 80k } N·m Resposta F4.31. + FR = ΣFi; FR = 500 + 250 + 500 = 1250 N Resposta (+)fRA = ΣMi; 1250(x) = 500(1) + 250(2) + 500(3) x = 2 m Resposta F4.32. → (FR)x = ΣFi; (FR)x = 100({3/8}) + 50 sen 30° = 85 N → + (FR)y = ΣFi; (FR)y = 200 + 50 cos 30° − 100({3/5}) = 163,30 N FR = √85² + 163,30² = 184 N θ = tg^-1(163,30/85) = 62,5° Resposta + (Mk)A = ΣMki 163,30d = 200(1) − 100({3/5})(2) + 50 cos 30°(3) d = 1,04 m Resposta F4.33. (FR)x = ΣFi; (FR)x = 15({3/8}) = 12 kN → + (FR)y = ΣFi; (FR)y = −20 + 15({3/8}) = −11 kN = 11 kN FR = √12² + 11² = 16,3 kN θ = tg^-1(11/12) = 42,5° Resposta + (Mk)A = ΣMki −11(d) = −20(2) − 15({3/8})(2) + 15({3/8})(6) d = 0,909 m F4.34. + (Fek)x = ΣFi; (Fra)x = {3/5} kN − 8 kN − 5 kN = 5 kN ← Resposta + (FR)y = ΣFi; (FR)y = −6kN − 5({3/5}) kN − 10 kN = 10 kN→ FR = √5² + 10² = 11,2 kN θ = tg^-1(10/5) = 63,4° Resposta + (Mk)A = ΣMi 5 kN(d) = 8 kN(3 m) − 6 kN(0,5 m) − [{3/5} kN](2 m) − [{3/5} kN](4 m) d = 0,2 m Resposta F4.35. +|FR = ΣFi; FR = 400 + 500 − 100 = 800 N Resposta MRe = ΣMi; −800y = −400(4) − 500(4) y = 4,50 m Resposta MR)Φ = ΣMi; 800x = 500(4) − 100(3) x = 2,125 m Resposta F4.36. +|FR = ΣFi; FR = 200 + 200 + 100 + 100 = 600 N Resposta + (Mk)y = ΣMi; −600y = 200(1) + 200(1) + 100(3) − 100(3) − y = 0,667m Resposta +(Mk)y = ΣMi; 600x = 100(3) + 100(3) + 200(2) − 200(3) x = 0,667 m Resposta F4.37. +|FR = ΣFi; +F̅R = ΣFi; FR = 40,5 kN↑ Resposta⁻FR = −6(1,5) − 9(3) − 3(1,5) 40,5d = 8(6)(1,5)(0,75) − 9(3)(1,5) − 3(1,5)(3,75) d = 1,25 m F4.38. +|FR = ΣFi; FR= {3/5} (3)(15) + 4(15) = 82,5 kN + (ΣMk)A = ΣMiA d = 4,18 m F4.39. +|FR = ΣFi; −FR = ↑−{3/8}(3) − {3/6}(6) FR = 27 kN Bow = ΣMki; −27(d) = {3/8}(3)1 − {3/6}(6)(2) d = 1 m Como BC é um membro de duas forças, Cy = By = 3 kN e Cx = 0 ( MB = 0). Como DC é um membro de duas forças ( MC = 0), então 552 ESTÁTICA F7.10. +Σ↑Fy = 0; − V − 2x = 0 V = −2 kN C + ΣMO = 0; M + 2x = 0 M = (−2x) kN·m FIGURA F7.10 F7.13. V (kN) 1 2 3 x (m) M (kN·m) 1 2 3 x (m) −4 −10 −18 −4 −14 −32 FIGURA F7.13 F7.11. Região 3 ≤ x < 3 m +Σ↑Fy = 0; − V − 5 = 0 V = −5 kN C + ΣMO = 0; M + 5x = 0 M = (−5x) kN·m Região 0 < x ≤ 6 m +Σ↑Fy = 0; V + 5 = 0 V = −5 kN C + ΣMO = 0; 5(6 − x) − M = 0 M = (5(6 − x)) kN·m FIGURA F7.11 F7.14. V (kN) 1,5 3 x (m) M (kN·m) 1,5 3 x (m) −27 −9 18 6 FIGURA F7.14 F7.12. Região 0 ≤ x < 3 m +Σ↑Fy = 0; V = 0 C + ΣMO = 0; M − 12 = 0 M = 12 kN·m Região 3 m < x ≤ 6 m +Σ↑Fy = 0; V + 4 = 0 V = −4 kN C + ΣMO = 0; 4(6 − x) − M = 0 M = (4(6 − x)) kN·m FIGURA F7.12 F7.15. V (kN) 2 4 6 x (m) M (kN·m) 2 4 6 x (m) 8 −10 16 20 10 FIGURA F7.15 F7.16. V (kN) 1,5 4,5 6 x (m) M (kN·m) 1,5 4,5 6 x (m) −9 −6,75 9 FIGURA F7.16 F7.17. V (kN) 3 6 x (m) M (kN·m) 3 6 x (m) −4 −9 3 6 9 FIGURA F7.17 Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 553 F7.18. Capítulo 8 F8.1.a) +Σ↑Fy = 0; N − 50(9,81)−200( 3 5 ) = 0 N = 610,5 N +Σ→Fx = 0; F − 200( 4 5 ) = 0 F = 160 N F < Fmáx = μsN = 0,3(610,5) = 183,15 N, portanto F = 160 N Resposta b) +Σ↑Fy = 0; N − 50(9,81)−400( 3 5 ) = 0 N = 730,5 N +Σ→Fx = 0; F − 400( 4 5 ) = 0 F = 320 N F > Fmáx = μsN = 0,3(730,5) = 219,15 N O bloco desliza F = μkN = 0,2(730,5) = 146 N Resposta F8.2. C + ΣMB = 0; NA(3) + 0,2NA(4) − 30(9,81)(2) = 0 NA = 154,89 N +Σ→Fx = 0; P − 154,89 = 0 P = 154,89 N = 155 N Resposta F8.3. Engradado A +Σ↑Fy = 0; NA − 50(9,81) = 0 NA = 490,5 N +Σ→Fx = 0; T − 0,25(490,5) = 0 T = 122,62 N Engradado B +Σ↑Fy = 0; NB + Psen30° − 50(9,81) = 0 NB = 490,5 − 0,5P +Σ→Fx = 0; P cos 30° − 0,25(490,5 − 0,5 P) − 122,62 = 0 P = 247 N Resposta F8.4. +Σ→Fx = 0; NA − 0,3NB = 0 +Σ↑Fy = 0; NB + 0,3NA + P − 100(9,81) = 0 C + ΣM0 = 0; P(0,6) − 0,3NA(0,9) − 0,3NA(0,9) = 0 NA = 175,70 N NB = 585,67 N P = 343 N Resposta F8.5. Se houver deslizamento: +ΣFy = 0; NC − 100(9,81) = 0; Nc = 981 N +Σ→Fx = 0; P − 0,4(981) = 0; P = 392,4 N Se houver tombamento: C + ΣMA = 0; −P(1,5) + 981(0,5) = 0 P = 327 N Resposta F8.6. C + ΣMA = 0; 490,5(0,6) − T cos 60°(0,3 cos 60° + 0,6) −T sen 60°(0,3 sen60°) = 0 T = 490,5 N +Σ→Fx = 0; 490,5 sen 60° − NA = 0; NA = 424,8 N +Σ↑Fy = 0; μk(424,8) + 490,5 cos 60° − 490,5 = 0 μs = 0,577 Resposta F8.7. A não se moverá. Suponha que B esteja prestes a deslizar em C e A, e C esteja estacionário. +Σ→Fx = 0; P − 0,3(50) − 0,4(75); P = 45 N Suponha que C esteja prestes a deslizar e B não desli- ze sobre C, mas esteja prestes a deslizar sob A. +Σ→Fx = 0; P − 0,3(50) − 0,35(90) = 0 P = 46,5 N > 45 N P = 45 N Resposta F8.8. A está prestes a se mover piso abaixo e B move-se para cima. Bloco A +Σ↑Fy = 0; N = W cos θ +Σ→Fx = 0; T + μs[(Wcosθ) − W senθ = 0 T = Wsen θ − μs Wcos θ (1) Bloco B +Σ↑Fy = 0; N' = 2 Wcos θ +Σ→Fx = 0; 2T − μsWcos θ − μs (2W cos θ) − W senθ = 0 Usando a Equação 1, θ = tg−1 5 μs Resposta F8.9. Suponha que B esteja prestes a deslizar sobre A, FB = 0,3 NB. +Σ→Fx = 0; P − 0,3(10) (9,81) = 0 P = 29,4 N 554 ESTÁTICA Suponha que B esteja prestes a tombar sobre A, x = 0. C + ΣM0 = 0; 10 (9,81) (0,15) − P(0,4) = 0 P = 36,8 N Suponha que A esteja prestes a deslizar, FA = 0,1 NA. +Σ→Fx = 0 P − 0,1 [7(9,81) + 10(9,81)] = 0 P = 16,7 N Escolha o menor resultado. P = 16,7 N Resposta Capítulo 9 F9.1. x̄ = ∫ x̃ dA / ∫ dA = 1/ A ∫ 1/m 0 y3 / 3 dy = 0,4 m Resposta ȳ = ∫ y dA /A∫ 0 1/m y3 dy = 0,571 m Resposta F9.2. x̄ = ∫ x̃ dA / ∫ dA = ∫ 0 m 1 0 s3 / 3 dx = 0,8 m Resposta ȳ = ∫ y dA / ∫ dA = ∫ 1 m 0 x3 dx = 0,286 m Resposta F9.3. ȳ = ∫ ỹ dA / ∫ dA = ∫ 0 2/m ( y1/2 / √ 2 ) dy = 1,2 m ∫ 0 ỹ dA / ∫ 0 2/m y1/2 / √ 2 dy Resposta F9.4. x̄ = ∫ x̃ dm / ∫ dm = ∫ 0 L x( m0 + x2 / 1 ) dx = 9/16 L Resposta F9.5. ȳ = ∫ y dV / ∫ dV = ∫ 0 1/m (π/4 ) y dy = 0,667 m Resposta F9.6. z̄ = ∫ z dV / ∫ dV = ∫ 0 2/m 9π / 64 (4 − Z 2) dZ = 0,786 m Resposta F9.7. \bar{x} = Σ x̄ L/ Σ L = 150(300)+ 300(600)+ 300(400) / 300 + 600 + 400 = 265 mm Resposta \bar{y} = Σ ȳ L / Σ L = 0(300)+ 300(600)+ 600(400) / 300 + 600 + 400 = 323 mm Resposta \bar{z} = Σ z̄ L / Σ L = 0(300) + 0(600) + (−200)(400) / 300 + 600 + 400 = −61,5 mm Resposta F9.8. \bar{y} = Σ ȳ A/ Σ A = 150(300(50)) + 325(50(300)) / 300(50) + 50(300) = 237,5 mm Resposta F9.9. \bar{y} = Σ ȳ A/ Σ A = 100(2(200)(50)) + 225(50(400)) / 2(200)(50) + 50(400) = 162,5 mm Resposta F9.10. x̄ = Σ x̃ A / Σ A = 0,25(4(0,5)) + 1,75(0,5(2,5)) / 4(0,5) + (0,5)(2,5) = 0,827 m \bar{y} = Σ ȳ A / Σ A = 2[4(0,5) + 0,25(0,5)(2,5)] / 4(0,5) + (0,5)(2,5) = 1,33 m Resposta F9.11. x̄ = Σ x̃ V/ Σ V = 1[2(7)(6)] + 4[4(2)(3)] / 2(7)(6) + 4(2)(3) = 1,67 m \bar{y} = Σ ȳ V/ Σ V = 3,5[2(7)(6)] + 1[4(2)(3)] / 2(7)(6) + 4(2)(3) = 2,94 m Resposta \bar{z} = Σ z̄ V/ Σ V = 3[2(7)(6)] + 1,5[4(2)(3)] / 2(7)(6) + 4(2)(3) = 2,67 m F9.12. x̄ = Σ x̃ V/Σ V = 0,25(0,5(2,5)(1,8)) + 0,25[1 + 1/2 (1,5)(1,8)(0,5)] / 0,5(2,5)(1,8) + 1,8 (1,5)(1,8)(0,5) = 0,391 m \bar{y} = Σ ȳ V/Σ V = 5,00625 / 3,6 = 1,39 m \bar{z} = Σ z̄ V/ Σ V = 2,835 / 3,6 = 0,7875 m Resposta Problemas preliminares — Soluções de estática 561 5.2. Capítulo 6 6.1. a) Ay = 200 N, Dx = 0, Dy = 200 N FAB 45° FAE A FAB FBE 200 N FAB FBE 400 N FCE FCD 45° FBC C b) Ay = 300 N, Cx = 0, Cy = 300 N FAB FAD A 300 N FBE FBE FBD 30° FAB 600 N FBC FED 30° FCC 300 N 5.3. a) ΣMc = 0; -(400 N)(2 m) - (600 N)(5 m) + Bx (5 m) = 0 ΣMy = 0; - A4(4 m) - B4(4 m) = 0 ΣMz = 0; Bx(4 m) - Bx (5 m) + (300 N)(5 m) = 0 b) ΣMc = 0; A4(4 m) + C4(6 m) = 0 ΣMy = 0; By(1 m) - C4(1 m) = 0 ΣMz = 0; -By(1 m) + (300 N)(2 m) - A4(4 m) + C4(1 m) = 0 c) ΣMc = 0; Bx(2 m) + C4(3 m) - 800 N•m = 0 ΣMy = 0; -C4(1,5 m) = 0 ΣMz = 0; -Bx(2 m) + C4(1,5 m) = 0 6.2. a) FHG = 0 FDE = 0 FEF = 0 FDC = 0 H FIA = 0 D FED = 0 E FEC = 0 b) FBC FBO = 0 B FEC FBA FEC FED FcF FcD FF FE FDC 562 ESTÁTICA 6.3. a) 60 N⋅m Ax By Ay 1,5 m 200 N 1,5 m By Bx Cx Cy 4 m b) CB é um membro de duas forças. 600 N Ax 2 m 1 m Ay 45° FCD FCD 4 5 3 5 5 4 3 4 d) By CD é um membro de duas forças. FCD 500 N 1 m 1 m FCB FCD FCD FCD BC é um membro de duas forças. Ay 3 m CB é um membro de duas forças. Bx BC é um membro de duas forças. FBC f) 5 4 5 4 50° 400 N 400 N 400 N 400 N 400 N 400 N 500 N 5.3 Ax 2 m 2 m 6.1 6.3 7.1 Capítulo 7 b) 7.1. 101 N NB (b) FiC 100 N NB 600 N MB VD 4 5 3 5 4 5 600 N 100 N 600 N MB Vc Vc 2,400 N MA B NB 7.1. MB 2 m 1 m (a) 2 m c) 563 Problemas preliminares — Soluções de estática 400 N 400 N FDC Ax M B N B VE 1600 N • m 400 N 2 m (a) 1 m 2 m 1 m MC NB 1600 N • m 100 N 200 N VC VC d) Ve Ce Ce 2 m 800 N MB c) e) 200 N 200 N 1 m 800 N 2 mm NB VC Capítulo 8 8.1. a) 5 Fヂ 200 N 200 N N 5 700 N 1 m MB 800 N F7 Nag 500 N 4 3 4 3 5 g 400 N NB NB F FA Fミキ v 3 5 पन्या 卧 +40° 8.2. Ce requires N = 100 M necessary FA = 0,1N 7 0Mg, =sapm, Ν = 100 Η my YR 564 ESTÁTICA b) Suponha que B desliza sobre C e C não desliza. 20 N F_B N_{B} = 200 N F_B = 0,2(200 N) = 40 N ∑F_x = 0; P - 20 N - 40 N = 0 P = 60 N c) Suponha que C desliza e B não desliza sobre C. 20 N F_c F_C = 0,1(400 N) = 40 N ∑F_x = 0; P - 20 N - 40 N = 0 P = 60 N O bloco tomba, x = 0,5 (200 N)(0,5 m) - P(2 m) = 0 P = 50 N b) N = 100 N Suponha o deslizamento, F = 40(100 N) = 40 N ∑F_x = 0; P - 40 N = 0; P = 40 N (100 N)(x) - (40 N)(1 m) = 0 x = 0,4 m < 0,5 m Capítulo 9 8.4. a) P = 40 N 200 N O N = 200 N Suponha o deslizamento, F = 0,3(200 N) = 60 N ∑F_x = 0; P - 60 N = 0; P = 60 N 200 N(x) - (60 N)(2 m) = 0 x = 0,6 m > 0,5 m 9.1. a) y δ y X = x y = \frac{y}{2} = \sqrt{x} A = ydy = \sqrt{x}dx b) 1 + x = y A = (1 - x)dy = (1 - y^2)dy Resposta Não há tombamento 565 Problemas preliminares — Soluções de estática c) T x x = \frac{x}{2} \sqrt{y} = y A = xdy = \sqrt{y} dy d) (x) 1 m \overline{y} = y + \left( \frac{1 - y}{2} \right) = \frac{1 + y}{2} \overline{x} = x + \frac{x^2}{2} A = (1 - y)dx = (1 - x^2)dx