Lista 4 Solução de Edos em Séries de Potencias Sistemas Massa-mola-2022 1

Universidade Federal do Parana 1° semestre 2022. Professora: Gisele Teixeira Paula CAlculo 3, CM043 Quarta lista de exercicios SOLUGAO DE EDOS EM SERIES DE POTENCIAS; SISTEMAS MASSA-MOLA. Solucao em série de poténcias Exercicio 1. Resolva cada EDO ou PVI em série de poténcias de x (em torno de x9 = 0). Escreva uma formula fechada para o termo geral de cada série que comp6e a solucdo. Dé um intervalo onde a solugao é valida. a) y+ ay! + 2y = 0,y(0) = 4,y'(0) = —1. b) (1+ 2?)y” — 4xy’ + 6y = 0. c) (L—a)y" + ay! —y = 0,4(0) = —3,y/(0) = 2. d) 2y” + xy’ + 3y =0. Exercicio 2. Resolva a EDO ou o PVI dado em série de poténcias de x (em torno de x9 = 0). Escreva os trés primeiros termos no nulos (se existirem) de cada série que compoe a solucdo. Dé um intervalo onde a solucao é valida. a) y" + k?x72y =0,em quek € R. b) (2+a7)y" — xy! + dy = 0, y(0) = —3, y'(0) = 2. Exercicio 3. Considere a equacéo de Legendre (1—2?)y” —2ry’ +a(a+ ly =0. a) Mostre que a solugdo geral da equaciio de Legendre é y(x) = anyi(x) + ai yo(x), em que _ (2k —2—a)...(—a)(2k-1+a)...(l1 +a) » y(t) = 1+ yop , k=1 _ (2k -1—a)...(l—a)(2k-2+a)...(24+0) 9444 inl) = 0+ D (2k +1)! an b) Mostre que se a = 2N, para N = 0,1,2,..., entéo y;(a) é um polinédmio de grau 2N contendo apenas poténcias pares de x. Mostre também que se a = 2N +1, para N = 0,1, 2,..., ent&o yo(x) é um polindmio de grau 2N + 1 contendo apenas poténcias impares de x. c) O Polinémio de Legendre py (x) é definido como a solugdo polinomial da equacio de Legendre, para a = N, que satisfaz Py (1) = 1. Determine os polinémios de Legendre para N = 0,1,2,3e 4. Exercicio 4. Fazendo a mudanga de varidvel x — 1 = t e supondo que y tem uma série de Taylor em poténcias em t, encontre duas solugdes da equagdo em séries de poténcias de x — 1: y" +(x —1)?y' + (a? —1)y =0. Verifique que vocé obtém o mesmo resultado diretamente supondo que y é dado por uma série de Taylor em poténcias de 2 — 1 e também expressando 0 coeficiente x? — 1 em poténcias de x — 1. 1 Exerc´ıcio 5. (Boyce- pontos regulares singulares) - Considere a equac¸˜ao x2y′ + xy′ + (x − 2)y = 0. a) Mostre que a equac¸˜ao diferencial dada tem um ponto singular regular em x = 0. b) Determine a equac¸˜ao indicial, a relac¸˜ao de recorrˆencia e as ra´ızes da equac¸˜ao indicial. c) Encontre a soluc¸˜ao em s´erie (x > 0) correspondente `a maior raiz. d) Se as ra´ızes forem diferentes e n˜ao diferirem por um inteiro, encontre tamb´em a soluc¸˜ao em s´erie correspondente `a menor raiz. Sistemas massa-mola Exerc´ıcio 6. Se um sistema massa-mola com uma massa de 2 kg e uma mola com constante de elas- ticidade igual 0,5 N/m ´e colocado em movimento, no instante t = 0, num meio em que a constante de amortecimento ´e igual a 1 N.s/m, determine a posic¸˜ao da massa em qualquer instante t, considerando a posic¸˜ao inicial igual u0 e a velocidade inicial u′ 0. Exerc´ıcio 7. Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 cent´ımetros. Suponha que n˜ao haja amortecimento e que a acelerac¸˜ao da gravidade seja de 103 cent´ımetros por segundo ao quadrado. Encontre a frequˆencia, o per´ıodo e a amplitude do movimento. Determine a posic¸˜ao u em func¸˜ao do tempo t e fac¸a um esboc¸o do seu gr´afico, em cada caso: a) Se o sistema ´e colocado em movimento a partir da sua posic¸˜ao de equil´ıbrio com uma velocidade apontada para cima de 4 cent´ımetros por segundo. b) Se o sistema ´e puxado para baixo esticando a mola 1 cent´ımetro e colocado em movimento com uma velocidade para baixo de 10 cent´ımetros por segundo. c) Se o sistema ´e puxado para baixo esticando a mola 2 cent´ımetros e depois ´e solto. 2