CM043 - Sequências de Funções - Aulas e Convergências

Aulas da CM043 Sequˆencias de Funcoes 16 de setembro de 2024 Aulas da CM043 Outline 1 Sequˆencias de funcoes 2 Convergˆencias pontual de funcoes 3 Convergˆencias uniforme de funcoes 4 Aplicacoes Aulas da CM043 Sabese que y fxy yx0 y0 y y0 x0x fty dt Aproximações de Picard y0x y0 yn1 y0 x0x ftyn dt yx limn ynx é uma solução limn ynx y0 limn x0x ftynt dt y0 x0x limn ftynt dt y0 x0x ft limn ynt y0 x0x ftyt dt Definição Uma sequência de funções definidas em Aℝ fnnℕ x A é uma correspondência que a cada número natural ou às vezes a partir de um certo número natural associa uma função fn A ℝ 1 Fixado x0 A fnx0nℕ representa uma sequência numérica 2 Cada fn da sequência é denominada termo da sequência nésimo termo 3 Outras notações fnnℕ fn fn Exemplo fnx xn x A 01 Exemplos Seja fnxnN x A R Seguem exemplos de sequˆencia de funcoes 1 fnx x n x A 0 1 2 fnx xn x A 0 1 3 fnx xn 1 xn x A 0 4 fnx sin nx n x A 0 π 5 fnx sinnx x A 0 π 6 fnx 1 x nn x A R Aulas da CM043 Convergˆencia Pontual Definicao Seja uma sequˆencia de funcoes fnnN definidas em A R i Dizemos que a sequˆencia de funcoes fnnN converge em x0 A se a sequˆencia numerica fnx0nN for convergente ii Dizemos que a sequˆencia de funcoes fnnN converge em A se a sequˆencia numerica fnxnN for convergente para cada x A fnnN converge pontualmente ou ponto a ponto para a funcao f em A se fn f f A R f x lim n fnx x A Aulas da CM043 Definicao Uma sequˆencia de funcoes fnnN converge pontualmente para a funcao f A R se para cada x A e para todo ϵ 0 existe n0 N tal que fnx f x ϵ n n0 Exemplo fn fnx xn x 0 1 converge para f x 0 x 0 1 De fato dado ϵ 0 fnx f x xn 0 ϵ xn ϵ n lnϵ lnx Nϵ x Observacao limn fnx f x f x e denominado funcao limite pontual da sequˆencia fn Aulas da CM043 Exemplos Seguem alguns exemplos 1 Seja A 01 e xnnℕ x x2 x3 limn fnx fx 0 x 01 1 x 1 2 Seja A 0 e fnx xn1xnnℕ x1x x21x2 limn fnx fx 0 x 01 12 x 1 1 x 1 Exemplos Continuacao Exemplos 3 Seja A 0 π e sin nx n nN sin x 1 sin 2x 2 lim n fnx 0 x A 4 Seja A 0 π e sinnxnN sinx sin2x lim n fnx 0 5 Seja A R e a sequˆencia fnnN dada por fnx 1 x nn lim n fnx ex Aulas da CM043 Definicao de Convergˆencia Uniforme Definicao Dizemos que a sequˆencia de funcoes fnnN fn A R R converge uniformemente para a funcao f A R R se para cada ϵ 0 existe n0 N tal que fnx f x ϵ para cada n n0 seja qual for x A Exemplo A sequˆencia fnx sinnx n n N converge uniformemente para a funcao f x 0 Observacao i O numero n0 n0ϵ depende unicamente de ϵ ii Em termos geometricos a convergˆencia uniforme significa que a partir de um certo ındice n0 cada um dos termos da sequˆencia fnnn0 se encontram dentro de um ϵ tubo em torno da funcao limite f x Aulas da CM043 Conv Pontual Conv Uniforme Exemplo ilustrativo A sequˆencia fnx sinnxnN x 0 π converge pontualmente para f x 0 x 0 π2 1 x π2 0 x π2 π Observacao Se consideramos um tubo de raio ϵ 1 em torno do eixo horizontal no intervalo 0 π o valor de f em x π2 f π2 1 fica fora do tubo Assim a convergˆencia nesse caso nao e uniforme Aulas da CM043 Condição Suficiente Teorema Seja fnx nℕ uma sequência de funções que converge pontualmente para a função f sobre A ℝ Se existe uma sequência numérica annℕ que converge para zero e fnx fx an para cada x A então fnnℕ converge uniformemente para f Exemplo A sequência sinnxn nℕ converge uniformemente para a função fx 0 sobre A 0 π Para tal basta notar que sinnxn 0 1n Exemplo Seja fnx 11 nx2 x 11 Então 1 Cada fn é contínua em 11 2 fn converge pontualmente para f dada por fx 0 x 11 0 1 x 0 3 f não é contínua sobre 11 4 0 lim x0 lim n fnx lim n lim x0 fnx 1 Condicao Suficiente Teorema Suponha que fnxnN converge uniformemente para f em A R Se as fn sao contınuas em A entao f e contınua em A Isto e para cada x0 A temos lim xx0 f x f x0 lim xx0 lim n fnx lim n lim xx0 fnx Corolario Se fn fn a b R e uma sequˆencia de funcoes contınuas que converge uniformemente para f a b R entao f e contınua Aulas da CM043 Demonstracao Dado ϵ 0 uma vez que fnxnN converge uniformemente para f existe n0 n0ϵ N tal que fnx f x ϵ 3 n n0 x A Logo em particular temos fn0x f x ϵ 3 x A Agora como fn0 e contınua em qualquer x0 A por definicao de continuidade para ϵ3 dado existe δ 0 tal que x x0 δ fn0x fn0x0 ϵ 3 Assim para ϵ 0 dado se x x0 δ temos que f x f x0 f x fn0x fn0x fn0x0 fn0x0 f x0 f x fn0x fn0x fn0x0 fn0x0 f x0 ϵ 3 ϵ 3 ϵ 3 ϵ Portanto f e contınua em x0 Aulas da CM043 Seja a sequência fn fnx 2nxenx2 x 01 1 lim n fnx 0 2 01 lim n fnx dx 01 0 dx 0 3 01 fnx dx 1 en 4 lim n 01 fnx dx 1 01 lim n fnx dx 0 Teorema Se fnxnℕ é uma sequência de funções integráveis Riemann integráveis sobre o intervalo ab que converge uniformemente para f ab ℝ então f é integrável e além disso lim n ab fnx dx ab fx dx Demonstração Como fnn in mathbbN é uma sequência de funções contínuas que converge uniformemente para f em A do item i f resulta ser contínua em A e portanto integrável em A Por outro lado da continuidade uniforme de fnn in mathbbN dado epsilon 0 existe n0 n0epsilon in mathbbN tal que fnx fx fracepsilonba forall n ge n0 forall x in ab subset A Então para cada n ge n0 temos que intab fnx dx intab fx dx intab fnx fx dx le intab fnx fx dx le intab fracepsilonba dx epsilon Portanto limn o infty intab fnx dx intab fx dx