Lista de Exercícios - Equações Diferenciais - Soluções e Aplicações

Lista 03 da CM043 1 Verifique que a solução do problema de valor inicial y 2xy 1 y0 1 é yx ex² 1 π 2 erfx onde a função erro erf é dada por erfx 2 π ₀ˣ et² dt 2 Descreva o comportamento da solução de y 1 x y cos x x quando x 0 3 Determine a equação diferencial associada à família de curvas x² y² cx 4 Achar a equação da família de curvas que são ortogonais à família y cx² 5 Mostre que as famílias de círculos Cₐ x² y² ax e Cb x² y² by são mutuamente ortogonais 6 Mostre que o problema de valor inicial y x² y² y0 0 possui solução única definida no intervalo x 1 2 7 Válidas as hipóteses do teorema de Picard sobre o retângulo ℜ xy x x₀ a y y₀ b a solução exata yx do poblema de valor inicialPVI y f x y yx₀ y₀ pode ser aproximada mediante a sequência yₙx n 0 1 2 onde yₙx y₀ ₓ₀ˣ ft yₙ₁t dt n 1 2 Mostrase que a sequência yₙx converge para a solução exata yx x₀ α x x α onde M maxxyℜ f x y h min a b M Verificase que yx yₙx MNn1 n hⁿ onde N maxxyℜ f y a Pelo método da aproximações sucessivas de Picard determine as aproximações y₁ y₂ e y₃ do PVI y x y y0 0 no retângulo ℜ x y x 1 y 1 Além disso estime o erro de aproximação yx y₃x b Proceda como de igual forma com o PVI y x² y² y0 0