Sequencias Numericas CM043 - Definição, Tipos e Aplicações

Aulas da CM043 Sequˆencias Numericas 6 de setembro de 2024 Aulas da CM043 Outline 1 Sequˆencias 2 Tipos de Sequˆencias 3 Testes de convergˆencia 4 Teoremas sobre Limite de Sequˆencias 5 Aplicacoes Aulas da CM043 Definicao Sequˆencia Sequˆencia numerica x N R n xn Notacao xnnN xn x1 x2 x3 xn x1 x2 x3 xn xn n 1 2 3 termos da sequˆencia xn nesimo termo termo geral da sequˆencia Exemplos a 1 nnN 1 1 2 1 3 1 n b xnnN 1 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 c 1 1 2 1 22 1 23 d 1nnN 1 1 1 1 e 1nN 1 1 1 Aulas da CM043 Formas de definir uma sequˆencia xn a Forma analıtica xn f n onde f N R e uma funcao dada x1 f 1 x2 f 2 x3 f 3 xn f n Exemplo f n 1 1 nn xn 1 1 nn b Formas recursivas Sequˆencia recursiva de primeira ordem Para xn1 f xn dado x1 a x1 a x2 f a x3 f x2 1 Progressao Aritmetica Dados r e x1 a seja xn1 xn r x1 a x2 a r x3 a 2r xn1 a nr xn1 a nr n N Aulas da CM043 2 Progressao Geometrica Para xn1 rxn dados r e x1 a a 0 x1 a x2 ra x3 ra2 xn1 ran xn1 ran 3 Metodo de Newton Dado x0 a xn1 xn f xn f xn n 1 2 3 4 Ponto fixoPara xn1 f xn n 1 2 3 onde x0 a e dado Aulas da CM043 Sequˆencia recursiva de segunda ordem Dados x1 a e x2 b seja xn2 f xn xn1 Sequˆencia de Fibonacci Para x1 1 x2 1 seja xn2 xn xn1 Os dez primeiros termos da sequˆencia de Fibonacci sao xn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 Aulas da CM043 Exemplos praticos de sequˆencias Como exemplos praticos podemos citar 1 Sequˆencia associada ao numero e xn xn 1 1 1 1 2 1 3 1 n Exemplo O coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f x x2 no ponto de abscissa x 1 pode ser estimado por meio da sequˆencia tn 1 1 n2 1 1 n 1 n2 1 n 1 n tn 2 1 n f 1 tn 2 Aulas da CM043 Exemplos praticos Continuacao Aplicacao Calculo de areas f x x2 x 0 L An L3 3 1 1 n1 1 2n Aplicacao Metodo de Newton Dado x0 a xn1 xn f xn f xn n 1 2 3 Aplicacao Ponto fixo Para xn1 f xn n 1 2 3 onde x0 c e dado Aulas da CM043 Aproximacoes para ka a 0 Sequˆencia de aproximacoes para a raiz de ındice k do numero positivo a xn1 1 k k 1xn a xk1 n Exemplo Aproximacoes sucessivas de 2 raiz positiva da equacao x2 2 0 xn1 1 2xn 2 xn Considerando x1 1 temos x2 15 x3 14166667 x4 14142157 Aulas da CM043 Lema Desigualdade de Bernoulli Se x 1 então 1 xn 1 nx n N Demonstração Basta mostrar que fx 1 xn 1 nx x 1 tem um mínimo global em x 0 De fato i fx n1 xn1 n n1 xn1 1 0 x 0 ii fx n1 xn1 1 0 1 x 0 0 x 0 Portanto i e ii implicam que 0 f0 fx x 1 1 nx 1 xn Limite de uma sequˆencia Definicao Diremos que a sequˆencia xnnN tem valor limite a sequˆencia convergentee escrevemos lim n xn a se para cada ϵ 0 existe um inteiro positivo n0 tal que n n0 xn a ϵ Observacao Em outro caso diremos que a sequˆencia xn nao tem valor limite sequˆencia divergente Exemplo xn xn 1n Aulas da CM043 Exemplos de limite de sequências Exemplos 1 A sequência xn 1n converge para 0 2 A sequência 1 3 12 3 13 3 14 3 não converge é divergente 3 A sequência 2 2 2 2 converge para 2 4 A sequência 1 0 1 0 1 é divergente Podemos reescrever esta sequência como xn onde xn 1 se n é ímpar 0 se n é par Outra forma xn 1 1n12 Definicao Uma sequˆencia xnnN tal que a xn xn1 n N x1 x2 x3 xn e chamada crescente b xn xn1 n N x1 x2 x3 xn e chamada decrescente Observacao Forma alternativa a xn xn1 xn1 xn 0 b Se xn 0 n N xn xn1 xn1 xn 1 Aulas da CM043 Exemplo A sequˆencia xn 1 1 1 1 2 1 3 1 n e crescente De fato xn1 xn 1 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n 1 xn1 xn 1 n 1 0 n N Aulas da CM043 Sequˆencias Limitadas Definicao Sequˆencia limitada Uma sequˆencia xnnN e dita limitada quando existe um M 0 tal que xn M n N Exemplos 1nN e limitada pois xn 1 1 para cada n N 1 nnN e limitada uma vez que 1 n 1 n 1 n N 1nnN e limitada por M 1 nnN nao e limitada Aulas da CM043 Exemplo Sequˆencia Limitada xn 1 n1 1 n2 1 n3 1 nn e limitada De fato xn 1 n 1 1 n 2 1 n 3 1 2n 1 n 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 n 1 xn 1 Como cada xn 0 temse 1 xn 1 xn 1 Aulas da CM043 Exemplo Sequência limitada inferiormente e superiormente a xn 1 11 12 13 1n é limitada inferiormente 2 xn n N xn 1 11 12 13 1n 2 n N b xn é limitada superiormente xn 3 n N xn 1 11 12 13 1n n N 1 1 12 1123 1123n 1 1 12 122 12n1 1 1 12n1 12 3 xn 3 n N Exemplo Afirmação A sequência xn1 1kk 1xn axnk1 xn é limitada inferiormente por ka De fato xn1k 1kk 1xn axnk1k xnk1 1kaxnk 1k Des Bernoulli 1 xnk1 axnk 1 a xn1k a Teorema Toda sequência convergente é limitada Demonstração Suponha que limn xn L Então dado ε 0 existe n0 n0ε N tal que xn L ε n n0 Daí xn xn L L xn L L ε L M n n0 Portanto a sequência xn é limitada Teorema Cada sequˆencia crescente e limitada superiormente e convergente Demonstracao Leitura opcional Suponha A xn n N limitado superiormente Assim pela completeza de R A possui supremo β sup A Iremos mostrar que limn xn β De fato dado ϵ 0 da definicao de supremo existe N N tal que β ϵ xN Mas como xn e crescente xN xN1 segue que β ϵ xN xn n N 1 Por outro lado sabese que xn β n N xn β ϵ 2 Logo de 1 e 2 temos β ϵ xn β ϵ n N Isto e dado ϵ 0 existe N N tal que xn β ϵ n N Aulas da CM043 Exemplos Seguem exemplos ilustrativos 1 A sequˆencia xn 1 1 nn e 271828 e crescente e limitada superiormente pelo numero 3 lim n1 1 nn e 2 A sequˆencia xn dada atraves da equacao de recorrˆencia xn1 1 k k 1xn a xk1 n e decrescente e limitada inferiormente por ka lim n xn ka Aulas da CM043 Teoremas para o calculo de limites Teorema Confronto Se limn xn limn zn L e se xn yn zn para cada n entao lim n yn L Exemplo Como sinn2 n 1 para a sequˆencia sinn2 n n temos que 1 n sinn2 n n 1 n Sabese que limn 1 n 0 entao de acordo com o Teorema do Confronto resulta limn sinn2n n 0 Aulas da CM043 Aplicacao Considernado polıgonos regulares inscritos e circunscritos em um cırculo de raio 1 determine sequˆencias que aproximam a area desse cırculo por falta e por excesso Solucao A cada lado de um polıgono regular de n lados lhe corresponde um ˆangulo central θn 2πnEntao as areas dos polıgonos inscritos e circunscritos respectivamente sao an n 2 sinθn An n 2 tanθn θn 2π n Daı se A representa a area do cırculo unitario temos n 2 sin2πn A n 2 tan2πn tn 2πn πsintn tn A πtantn tn n 2 π tn Aulas da CM043 Teorema Regra do quociente Suponha para sequˆencia xn limn xn1 xn r Se 0 r 1 entao lim n xn 0 Demonstracao lim n xn1 xn r n0 N xn1 xn r n n0 Exemplo Seja xn n 2n xn1 xn n 1 2n1 2n n 1 21 1 n Aulas da CM043 Teoremas para o calculo de limites Teorema Se limn an a e limn bn b entao i limnan bn a b ii limn anbn ab iii limn kan ka k R iii lim n an bn a b sempre que b 0 iv lim n xn a caso xn 0 Demonstracao limn xn a xn a xn a xn a xn a a xn 0 Aulas da CM043