Integrais Duplas e Teorema de Fubini - Aplicações e Exercícios Resolvidos

Gráfico f xyz R3 xy R ab x cd e z fxy S Sólido compreendido entre o retângulo R e o gráfico de f Volume de S Rij x0 xi x yj yj ab x cd m subintervalos Δxc xi xi1 bam yj yj1 c y0 Volume de S limmn Σi1m Σj1n fxi yj Δx Δy R fxy dA integral de f Exemplo R 11 x 22 Calcule R 1 xc2 dA fxy 1 xc2 z fxy z 1 xc2 0 z² 1 xc² xc² z² 1 gráfico xc² z² 1 cilindro Integral Iterada f ab x cd R x y Px cd fxcy dy integral iterada Agora ab Px dx número real ab cd fxy dy dx Obs Começar pela integral de dentro Livro James Stewart Cap 15 0104 f ab R f contínua fx 0 x A área de A Curva de A Soma de Riemann incompleto Σi1n Δx xi1 xi i n Δx xi xi1 ban Área de A limn Σi1n fxi Δx ab fx dx R ab x cd R xy fxy R fxy 0 xy f ab x cd R Integral iterada com a dupla ₁² x² y dy x² y ₂² y2 y1 x² 2 x² 1 3 x² 2 Logo ₀³ 3 x² 2 dx x³ 2 ₀³ 27 2 2 ₁² ₀³ x² y dx dy ₀³ x² y dx x³ 3 y x3 x0 9 y ₁² 9 y dy 9 y² 2 ₁² 18 9 2 27 2 Teorema de Fubini f abₓ x cdᵧ ℝ contínua Então ᵣ fxy dA ₐᵇ 𝚌ᵈ fxy dy dx 𝚌ᵈ ₐᵇ fxy dx dy Exemplo 1 0304 Calcule x 3 y² dA em ℛ 02ₓ x 12ᵧ ℛ x3 y² dA ₀² ₁² x3 y² dy dx ₀² xy y³ y2 y1 dx ₀² 2x 8 x 1 dx ₀² x7 dx x²2 7x ₀² 12 Exemplo 2 ℛ12ₓ x 0πᵧ ᵣ y senxy dA ₁² ₀π y senxy dy dx ou ₀π ₁² y senxy dx dy ₀π cosxy x2 x1 dy ₀π cos2y cos y sen2y2 sen y ₀π 0 Integral dupla em Regiões mais gerais D ℝ² y x D f D ℝ fxy dA Suponha fxy 0 gràf de f x₀y₀fx₀y₀ D x₀y₀0 x₀y₀ S sólido compreendido entre a região D e o gráfico de f ᴅ fxy dA Volume de S Regiões ao tipo 1 y x D g₂x g₁x a z b x mudar o x de lugar y g₁x y g₂x x ab D xy ℝ² x ab e g₁x y g₂x outras situações y a b x y a b x g₂x g₁x D fxy dA ab g1xg2x fxy dy dx Exemplo 3 Calcule D x 2y dA onde D é a região D limitada pelas parábolas y 2x2 e y 1 x2 y y y x2 1 y 2x2 RASCUNHO 2xc2 1 xc2 D xy R2 x 11 e 2xc2 y xc2 1 xc2 1 11 2xc2xc21 dy dx 11 xy y2 yxc21y2x2 dx 11 xcx2 1 x2 12 2x3 4x4 dx 11 3x4 x3 2x2 x 1 dx 3x55 x44 2x33 x22 x 11 3215 Região do tipo 2 y d c D x xc h1y xc h2y y cd xc h1y e xc h2y D xy R2 y cd e h1y xc h2y D fxy dA cd h1yh2y fxy dx dy Exemplo 4 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z xc2 y2 e acima da região D do plano xy limitada pela reta y 2x e a parábola y x2 RASCUNHO 2x x2 xcx 2 0 xc2 2x 0 xc 0 ou xc 2 y 2x xc y2 y x2 x sqrty D do tipo 1 D xy R2 x 02 e x2 y 2x D do tipo 2 D xy R2 y 04 e y2 x sqrty z x2 y2 fxy x2 y2 Olhando D como do tipo 1 02 x22 x2 y2 dy dx R 21635 do tipo 2 04 y2y x2 y2 dx dy Revisão 1509 fxy 0 xy D R2 z xyfxy y xy xy0 x S sólido entre a região D e o gráfico de f Volume de S D fxy dA Considere o caso particular em que fxy 1 xy D z xy1 D D sobre o plano z 1 y xy0 D x Área de D x 1 Volume de S D 1 dA área de D D 1 dA Coordenadas Polares xy rθ coordenadas polares r distância de xy até a origem θ ângulo do segmento com o eixo x no sentido antihorário cosθ xr senθ yr r2 y2 r2 r 0 R2 θ 0 2π r r cosθ y r senθ Exemplo 1 y D rθ 0 r p e θ 0 2π x r2 y2 p2 Exemplo 2 D rθ p1 r p2 e θ 0 2π D p12 x2 y2 p22 Exemplo 3 D rθ 0 r p e α θ β x2 y2 p2 fxy contínua em D D fxy dA αβ p1p2 r cosθ r senθ r dr dθ D rθ p1 r p2 e α θ β Exemplo Calcule D 3x 4y2 dA D região do plano superior limitado pelos círculos x2 y2 1 e x2 y2 4 y D D rθ 1 r 2 e 0 θ π D 3x 4y2 dA 0π 12 3r cosθ 4r2 sen2θ r dr dθ sen2θ 12 12 cos 2θ cos2θ 12 12 cos 2θ ₀π ₁² 3x² cosθ 4 r³ sen²θ dr dθ ₀π r³ cosθ r⁴ sen²θ r2 r1 dθ ₀π 7 cosθ 15 sen²θ dθ ₀π 7 cosθ 152 152 cos 2θ dθ 7 senθ 152 θ 154 sen 2θ ₀π 15π2 Exemplo Determine o volume do sólido limitado pelo plano z 0 e pelo paraboloide z 1 x² y² z x² y² z x² y² Volume de S D 1 x² y² dA que D x² y² 1 ₀2π ₀¹ 1 r² cos²θ r² sen²θ r dr dθ ₀2π ₀¹ r r³ dr dθ π2 TAREFA Terminar r depende de θ D x θ r₁θ r r₂θ e α θ β D fx y dA αβ r₁θr₂θ fr cosθ r senθ r dr dθ exc Determine a área contida em um laço da rosacea de quatro pétalas r cos 2θ D r θ 0 r cos 2θ e π4 θ π4 área D D 1 dA π4π4 ₀cos 2θ 1 r dr dθ π8 TAREFA Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z x² y² acima do plano xy e dentro do cilindro x² y² 2x x 1² y² 1 circunferência de centro 10 e raio 1 Volume de S D x² y² dA em que D x 1² y² 1 π2 θ π2 r 2 cos θ x r cos θ y r sen θ x 1² y² 1 r cos θ 12 r2 sen2 θ 1 r2 cos2 θ 2r cos θ 1 r2 sen2 θ 1 r2 2r cos θ 0 r2 2r cos θ r 2 cos θ from π2 to π2 from 0 to 2 cos θ r2 r dr dθ from π2 to π2 r44 from r0 to r2cosθ dθ from π2 to π2 4 cos4 θ dθ cos2 θ 12 12 cos 2θ cos4 θ 14 12 cos 2θ 14 cos2 2 θ 14 12 cos 2 θ 14 12 12 cos 4 θ 38 12 cos 2θ 18 cos 4θ conti from π2 to π2 38 2 cos 2 θ cos 4 θ2 dθ 32θ sen 2θ8 sen 4θ8 from π2 to π2 3π4 3π4 3π2 Obs for ra ya2 x2 x2 y2 a2 a a D a y a2 x2 x x r cos θ y r sen θ Área de D 1 dA from a to a from a2 x2 to a2 x2 1 dy dx from a to a 2 a2 x2 dx coordenada polar from 0 to 2π from 0 to a r dr dθ from 0 to 2π a22 dθ π a2 Exemplo Determine a área da região D x2 y22 4 e x2 y2 4 y x2 y22 4 ou r 4 sen θ D x2 y2 4 ou r 2 área de D 1 dA D x r cos θ y r sen θ x2 y2 4 r 2 x2 y22 4 r2 cos2 θ r sen θ 22 4 r2 cos2 θ r2 sen2 θ 4 r sen θ 4 4 r2 4 r sen θ r 4 sen θ Pontos de interseção 2 4 sen θ sen θ 12 θ π6 ou 5π6 from π6 to 5π6 from 2 to 4 sen θ r dr dθ TAREFA Tarefa para casa Considere a região D x2 y2 4 e x2 y2 2x a Desenhe D b Calcule a área de D c Calcule x dA Redução x2 y2 4 x2 y2 2x x2 2x y2 0 1 1 x12 y2 1 r2 cos2 θ r2 sen2 θ 2r cos θ r 2 cos θ área D1 D1 1 dA 0π2 02 cosθ r dr dθ Área de Superfície J superfíce que é o gráfico de f f D R D R2 Área de J D 1 fx2 fy2 dA Área de J Tij pedaco do plano tangente a J em Pij Pij xi yj fxi yj D dom f f xi yj xi yj J Tij D 2204 área de Tij área de Tij Δx e Δy são quantidades bem pequenas área Tij Δx u Δy v Recordando u abc v mnθ u v Δx Δy 1 fx2 xi yj fy2 xi yj área de J i1 to n j1 to m área Tij i1 to n j1 to m Δx Δy 1 fx2 xi yj fy2 xi yj Logo área de J lim mn i1 to n j1 to m Δx Δy 1 fx2 xi yj fy2 xi yj D 1 fx2 fy2 dA Exemplo 1 Determine a área do paraboloide z x² y² que está abaixo do plano z 9 fxy x² y² fx 2x fy 2y área D 1 4x² 4y² dA 18 02π 03 1 4r² 8r dr dθ u 1 4r² du 8r dr 18 02π 137 u du dθ 18 02π 2u323 u37 u1 dθ 112 02π 3732 1 dθ π6 3732 1 Exemplo 2 Determine a área da superfície z x² 2y 2 que fica acima da região triangular de vértices 00 10 e 11 Curvas de nível z k k x² 2y 2 y x²2 k22 fxy x² 2y 2 fx 2x fy 2 D 1 4x² 4 dA 01 0x 5 4x² dy dx u 5 4x² du 8x dx 18 01 8x 5 4x² dx u 8x dx du 18 59 u du 1823 u32 59 112 932 532 0 x 1 0 y x Aula Exercício lista 2 8 Volume do sólido delimitado pelo paraboloide cilíndrico y x² e pelos planos z 3y e z 2 y vem da eq do plano ax by cz d 0 1 x 1 x² y 1 Obs dica subtraia Vol S1 D f1 dA Vol S2 D f2 dA Vol S Vol S1 Vol S2 D f1 f2 dA Volume D 2y 2 dA 11 x2 2y 2 dy dx 10 Inverte a ordem de integração 04 x2 fxy dy dx D 0 x 4 x y 2 y x y x x y2 0 y 2 e 0 x y2 02 0y2 fxy dx dy Lista 3 2b Calcule o volume do sólido delimitado pelo cone y2 x2 y2 e o cilindro x2 y2 x x2 y2 x x2 x y2 0 x 122 y2 14 y x Volume metade D x2 y2 dA Analisando a região D ou r cosθ x r cosθ y r senθ x2 cos2θ r sen2θ x cosθ r2 r cosθ r cosθ π2 θ π2 Voltando Volume metade π2π2 0cosθ r2 dr dθ π2π2 r33 rcosθ r0 dθ 13 π2π2 cos3θ dθ 13 π2π2 cos2θ cosθ dθ 13 π2π2 cosθ cosθ sen2θ dθ cosθ sen2θ dθ u senθ du cosθ dθ u2 du u33 C cos3θ3 C Lista 3 1c D x2 y2 dA yx Matéria P2 01072024 Integral Tripla fxyz f contínua em B B ab x cd x rs x y z B B fxyz dV rs cd ab fxyz dx dy dz medida de volume Teorema de Fubini Exemplo 1 E 01 x 12 x 03 Calcule E xyz2 dV 03 12 01 x y z2 dx dy dz 03 12 x22 y z2 dy dz x1x0 03 12 y z22 dy dz 03 y24 z2y2 y1 dz 03 3 z24 dz 3 z3403 2 74 Região do tipo I E xyz xy D e u1xy z u2xy z zu2xy E zu1xy E região entre o gráfico de u1xy e u2xy E fxyz dV D u1xyu2xy fxyz dz dA Exemplo 2 Calcule E x dV em que E xyzxy D e 0 z x2 y2 u1xy 0 u2xy z x2 y2 D x2 y2 1 E x dV D 0x2 y2 x dz dA D x y zx2 y2 z0 dA D x x2 y2 dA x r cosθ 0 r 1 y r senθ 0 θ 2π 02π 01 r cosθ r2 r dr dθ 02π 01 r4 cosθ dr dθ 02π r55 cosθ r0 r1 dθ 02π cosθ5 dθ senθ5 02π 0 Região do tipo II E xyz xz D e u1xz y u2xz o plano xz D y u2xy y u2xz u u1xz y u2xz Coordenadas Cilíndricas x r cos θ y r sen θ z z P x y z rc θ 0 coordenadas cilíndricas coordenadas cartesianas projeção de P no plano xy algumas relações x2 y2 r2 tg θ yx Exemplo 1 Marque o ponto 2 2π3 1 em coordenadas cilíndricas e obtenha o mesmo ponto em coordenadas cartesianas r 2 θ 2π3 z 1 x 2 cos 2π3 212 1 y 2 sen 2π3 2 32 3 em coordenadas cartesianas 1 3 1 Exemplo 2 Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto 3 3 7 que está em coordenadas cartesianas x 3 y 3 32 32 r2 r 32 θ 7π4 tg θ 1 32 7π4 7 coordenadas cilíndricas ex r a a 0 fixado r 0 r2 a2 cilindro x2 y2 a2 ex θ a a 0 2π Semiplano Vertical ex z a fixado plano horizontal ex z r x2 y2 cone x2 y2 r2 r x2 y2 x2 y2 z2 Região do tipo I do semi ry E x y z x y D e u1x y z u2x y E fx y z dV D u1x yu2x y fx y z dz dA D u1r cos θ r sen θu2r cos θ r sen θ fr cos θ r sen θ z dz dA em coordenadas polares r dr dθ r dθ dr x r cos θ y r sen θ z z exc E sólido compreendido entre o plano xy e o paraboloide z 4 x2 y2 z x2 y2 z x2 y2 Calcule E x2 dV E x y z xy D e 0 z 4 x2 y2 4 x2 y2 02π 02 04 r2 r2 cos2 θ dz r dr dθ 02π 02 04 r2 r3 cos2 θ dz dr dθ ₀²π ₀² r³ cos² θ 4 r² dr dθ ₀²π r⁴ cos² θ r⁶6 cos² θ r2 r0 dθ ₀²π 16 cos²θ 646 cos² θ dθ cos² θ 12 12 cos 2θ Revisão z fxy dom f D z fxy Volume de S D fxy dA em particular se fxy 1 Volume S D 1 dA área da base altura área de D x 1 área de D D 1 dA f₁xy f₂xy dom f₁ f₂ D z f₂xy z f₁xy Volume S₁ D f₁xy dA Volume S₂ D f₂xy dA Volume S Vol S₂ Vol S₁ D f₂xy dA D f₁xy dA D f₂xy f₁xy dA z fxy J Superfície gerada pelo gráfico área de J D 1 fx² fy² dA xy rθ coordenadas polares x r cos θ y r sen θ exemplo x² y² 4 r θ 0 r 2 0 θ 2π x 2² y² 4 r borda π2 θ π4 x 2² y² 4 r cos θ 2² r² sen θ 4 r² cos² θ 4r cos θ 4 r² sen² θ 4 r² 4r cos θ 0 r 4 cos θ 0 r 4 cos θ exemplo 02 D xy 0 x 3 e 0 y 23 x 2 y 23 x 2 Região do tipo 1 D xy a x b e fx y gx coordenadas esféricas 1707 Pxyz ρ comprimento do segmento OP θ é o mesmo das coordenadas cilíndricas vai de 0 θ 2π φ ângulo entre o semieixo z positivo e o segmento OP vai de 0 φ π ρ θ φ coordenadas esféricas distância entre pontos ρ dPO x² y² z² ρ² x² y² z² das coordenadas cilíndricas xc r cos θ yc r sen θ Por outro lado cos φ zp e sen φ rp logo xc p sen φ cos θ yc p sen φ sen θ zc p cos φ ex ρ a a 0 fixado a² ρ² xc² yc² z² ex θ c a c 2π c fixo semiplano ex φ c 0 c π2 cone π2 c π cone ex escreva o ponto 0 23 2 que está em coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas 0² 23² 2² ρ² ρ² 16 ρ 0 ρ 4 i 0 4 sen φ cos θ ii 23 4 sen φ sen θ iii 2 4 cos φ iii cos φ 12 φ 2π3 ou φ 4π3 pois 0 φ π i 0 4 sen 3π4 cos θ 0 y 23 cos θ 0 θ π2 ou θ 3π2 Conclusão ρ θ φ 4 π2 2π3 E ρ θ φ a ρ b α θ β c φ d E fxyz dV cd αβ ab fρ sen φ cos θ ρ sen φ sen θ ρ cos φ ρ² sen φ dρ dθ dφ exemplo Calcule o volume do sólido delimitado por z x² y² e x² y² z² z z x² y² x² y² z² z xc² yc² xc² yc² xc² yc² 2xc² yc² xc² yc² xc² yc² 12 xc² yc² 14 z 12 Volume de E E 1 dV Região E 0 ρ cos φ 0 θ 2π 0 φ π4 xc² yc² z² ρ² ρ ρ cos φ são equivalentes só muda as coordenadas Volume de E 0π4 02π 0cos φ ρ² sen φ dρ dθ dφ π8 tarefa Integral de linha 2207 fxy c curva plana f definida em c A integral de linha de f ao longo de c é c fxy ds Qual sentido deve notação Soma dos valores de fxy ao longo de c Recordando t xt yt R² t ab c xtyt t ab l ab xt² yt² dt Δsi comprimento do arco xt1 yt1 a xtn ytn fP1 ΔS1 fP2 ΔS2 fPn ΔSn n ab fxt yt xt² yt² dt ds c fxy ds medida do comprimento da curva fio de cobre não homogêneo fxtyt densidade da massa no fio na posição Densidade de massa total c fxy ds vetor tangente xt yt Obs tudo que foi feito onde o início vale onde que C seja uma curva lisa ou seja xt yt é contínuo em ab e xt yt 0 t ab Exemplo Calcule c 2 x²y ds em que C é a metade superior do círculo unitário x² y² 1 xt cos t yt sen t t 0 π c 2 x²y ds 0π 2 xt² yt xt² yt² dt 0π 2 cos² t sen t 1sen t² cost² dt 0π 2 cos² t sen t dt 2t cos³ t3 0π 2π 13 13 2π 23 u cos t du sen t dt Obs vetor diretor C2 xt t yt fb t ab x0y0 t x1 x0 y1 y0 x0 t x1 x0 y0 t y1 y0 curvas que não gráficas de função xt t yt fb t ab 3 c c1 U c2 U c3 c1c2c3 são curvas lisas c f ds c1 f ds c2 f ds c3 f ds Exemplo Calcule c 2x ds em que C é a parábola y x² de 00 a 11 seguido pelo segmento de reta 11 a 12 c c1 U c2 c1 xt t yt t² t 01 c1 2x ds 01 2 t 1 4 t² dt 5 5 1 6 2xt xt² yt² c2 xt 1 yt t t 1 2 c2 2x ds 1² 2 0² 1² dt 2 c 2x ds 5 5 1 6 2 c fxy ds ab fxt yt xt² yt² dt medida do comprimento do arco parametrização Integral de linha ut xt yt t ab 2407 Integral de linha com respeito a x c fxy dx ab fxt yt xt dt Integral de linha com respeito a y c fxy dy ab fxt yt yt dt c fxy dx c fxy dx c fxy dy c fxy dy no entanto c fxy ds c fxy ds Obs 1 troca de sinal rt xt yt rt xt yt parametrização 2 Pxy e Qxy seguindo em c c Pxy dx c Qxy dy c Pxy dx Qxy dy exemplo Calcule c y2 dx x dy em que a P1 02 rt P0 t P0P1 t 01 P0 53 5 3 t 55 5 5 t 3 5 t xt yt c y2 dx x dy 01 3 5 t2 5 5 5 t 5 dt 56 yt2 xt xt yt b C é o arco da parábola x 4 y2 de 53 a 02 xt 4 t2 yt t t 32 c y2 dx x dy 32 t2 2t 4 t2 1 dt 1003 Campo de Vetores integral de campo vetorial mede trabalho F D R2 R2 P Q D R xy Fxy i 10 j 01 base canônica u R2 Ponto Vetor Fxy Pxy Qxy Pxy i Qxy j Fxy Pxy Qxy rt xt yt t ab rt xt yt vetor deslocamento vetor tangente à C em xt yt Tt xtxt ti ΔSi Wi FPi Ti ΔSi Trabalho movimento da partícula de Pi1 até Pi com ação da força FPi Trabalho realizado pelo mov da partícula em C sob a açaç de F Σi1n Wi Σi1n FPi Ti ΔSi medida de comp de arco n c Fxy Txy ds W c Pxy Qxy Txy ds ab Pxt yt Qxt yt xt ytxt2 yt2 xt2 yt2 dt ab Pxt yt xt Qxt yt yt dt c Pxy dx Qxy dy fxy Pxy Qxy 29107 f DE R2 R2 P Q De R2 R2 rt xt yt t ab Trabalho do campo F ao longo de c c fdr ab frtrt dt ab Pxt yt Qxt yt xt yt dt ab Pxt ytxt Qxt ytyt dt c P dx Q dy fxyz Pxyz Qxyz Rxyz rt xt yt zt t ab w fdr ab frtrt dt c P dx Q dy R dz ab Pxtxt Qxtyt Rxtzt dt exemplo 1 Calcule o trabalho feito pelo campo fxy x2 xy ao longo de um quarto de círculo rt cos t sen t t 0 π2 w 0π2 cos2 t cos t sen t sen t cos t dt 0π2 cos2 t sen t cos2 t sen t dt 2 0π2 cos2 t sen t dt 23 cos3 t π20 23 exemplo 2 fxyz P Q R xy yz zx rt t t2 t3 t 01 w 01 t3 t5 t7 1 2t 3t2 dt 01 t3 2t6 3t6 dt 2728 Campo gradiente f DE R2 R f é chamada de função potencial Suponha que f possui derivadas parciais em todas os pontos de D Definimos o campo vetorial F DE R2 R2 Fxy fxy Fxy fxy fx xy fy xy chamado de campo gradiente ou campo conservativo Ex Lei da gravitação universal de Newton x x2 y2 z2 intensidade da força gravitacional entre os corpos de massa m e M x x y z m Fxyz x x2 mMG x y z x2 y2 z232 mMG xmMG x2 y2 z232 ymMG x2 y2 z232 zmMG x2 y2 z232 P Q R fxyz m MG x2 y2 z2 Tarefa Verifique que f F campo em R2 ou R3 Teorema 1 C é uma curva lisa rt t ab uma parametrização de C Seja f uma L2 diferenciável de duas ou três variáveis cujo f é contínuo Então c fdr frb fra Regra da cadeia Teorema Fundamental do Cálculo Dem c fdr ab frtrt dt ab ddt frt dt frb fra Exemplo fxyz m MG x2 y2 z2 Fxyz fxyz Calcule c Fdr sabendo que C tem como ponto inicial 3412 e final 220 c Fdr c fdr f220 f3412 mMG 122 113 algo que não conseguimos separar 3107 Teorema 2 DE R2 simplesmente conexo conexo e toda curva simples e fechada em D contém apenas pontos de D em seu interior Seja F P Q um campo em R2 tal que P e Q possuem derivadas parciais contínuas em D F é conservativo Py Qx em D Exemplo Fxy 3 2xy x2 3y2 em R2 simplesmente conexo Pxy Qxy Py 2x Qx em R2 F é conservativo existe fxy tal que f F objetivo Encontrar fxy fx2 fy2 parciais Px Py 3 2xy x2 3y2 i fx 3 2xy ii fy x2 3y2 Integrando i com respeito a x fxy 3x x2y Cy usando ii e iii fy xc2 Cy iii x2 3y2 Cy 3y2 integração com separação de y Cy y3 k constante Portanto fxy 3x x2 y y3 k exemplo Fxyz y2 2xy e3z 3ye3z Assuma que F é conservativo e encontre fxyz tal que f F ou seja fx fy fz PQR i fx y2 ii 2xy e3z iii fz 3ye3z Integrando i com respeito a x fxyz xy2 Cyz iv Por ii e iv fy 2xy Cyyz ii 2xy e3z Cyyz e3z Cyz ye3z kz até agora fxyz xy2 ye3z kz Por iii e iv fz 3ye3z kz 3ye3z kz 0 k constante fxyz xy2 ye3z k constanta Conservação de Energia Suponha Fxy um campo conservativo posição da partícula no tempo t rt parametrização tab de C tempo rt vetor velocidade rt vetor aceleração massa aceleração Suponha Frt m rt 2º lei de Newton massa da partícula Temos c F du ab Frt rt dt m ab rt rt dt m2 ab ddt rt dt m2 rtab m2 ra2 k energia cinética Por outro lado como F é conservativo existe f tal que f F Da física a energia potencial P é P f Agora c F dx c f dx fB fA função potencial PB PA Como k k segue que kB kA PA PB PA kA PB kB não houve variação de energia no deslocamento de ApB por isso o nome campo conservativo Fxy Pxy Qxy Teorema de green 0508 Seja C uma curva plana fechada simples contínua e orientada positivamente no sentido antihorário Seja D a região delimitada por C ou seja D é constituída pelos pontos de C e todos os pontos do interior de C D é chamada de região simples Suponha que as derivadas parciais de P e Q existam e são contínuas em D Então c P dx Q dy D Qx Py dA Exemplo 1 Calcule c x4 dx xy dy em que C é Parametrização C1 xt t yt 0 t01 C2 A t AB t01 10 t 11 1t t t01 C3 xt 0 yt t t10 muitas contas Para simplificar vamos usar green c x4 dx xy dy D y dA 01 0 1x y dy dx 0 1 1x22 dx 1x3601 16 modelo 1 D1 e D2 são simples e D1 D2 curva c3 F PQ Seja D D1 D2 D Qx Py dA D1 Qx Py dA D2 Qx Py dA C1 U Cs P dx Q dy C2 U Cs P dx Q dy C1 U C2 P dx Q dy Modelo 2 D D1 c1 orientação positiva D2 c2 orientação negativa D D1 U D2 D Qx Py dA D1 Qx Py dA D2 Qx Py dA front D1 P dx Q dy front D2 P dx Q dy C1 U C2 P dx Q dy Problema Fxy yx²y² xx²y² Mostre que C F dr 2π para qualquer curva fechada e simples C que contém a origem no seu interior Note que Qx Py não entretanto não podemos concluir que o campo é conservativo c circunferência centrada na origem e raio a bem pequeno no sentido negativo O D Qx Py dA C U c P dx Q dy c U c P dx Q dy 0 C P dx Q dy c P dx Q dy C P dx Q dy c P dx Q dy C F dr c F dr c yx²y² dx xx²y² dy conta 2π c xt a cos t yt a sen t t 0 2π a raio de c