Coordenadas Cilindricas e Esfericas - Formulas, Exemplos e Conversões

Coordenadas cilindricas 0307 x r cos θ y r sen θ z z coordenadas cartesianas projeção de P no plano xy coordenadas cilíndricas alguns relações Exemplo 1 Marque o ponto 2 2π3 1 em coordenadas cilíndricas e obtenha o mesmo ponto em coordenadas cartesianas r 2 θ 2π3 z 1 em coordenadas cartesianas 1 3 1 Exemplo 2 Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto 337 que está em coordenadas cartesianas x 3 y 3 r 32 θ 7π4 tg θ 1 coordenadas cilíndricas 32 7π4 7 ex r a a 0 fixado r 0 r² a² cilindro x² y² a² ex θ a a 0 2π Semiplano Vertical ex z a fixado plano horizontal ex z r x² y² cone x² y² r² r x² y² x² y² z² Regiões do tipo I E xyz xy D e u1xy z u2xy em coordenadas polares r r cos θ y r sen θ z z E sólido compreendido entre o plano xy e o paraboloide z 4 x² y² calcule E xyz xy D e 0 z 4 x² y² 02π 02 04r² r² cos² θ dz r dr dθ 02π 02 04r² r3 cos² θ dz dr dθ ₀²π ₀²r r³ cos²θ 4r² dr dθ ₀²π r⁴ cos²θ r⁶6 cos²θ ₀² dθ ₀²π 16 cos²θ 646 cos²θ dθ cos²θ 12 12 cos 2θ coordenadas esféricas 1707 P x y z ρ ρ 0 ρ comprimento do segmento OP θ é o mesmo das coordenada cilíndricas 0 θ 2π vai de φ ângulo entre o semieixo z positivo e o segmento OP 0 φ π vai de ρ θ φ coordenadas esféricas distância entre pontos ρ d P O x² y² z² ρ² x² y² z² das coordenadas cilíndricas x r cos θ y r sen θ Por outro lado cos φ zp e sen φ rp logo x ρ sen φ cos θ y ρ sen φ sen θ z ρ cos φ ρc ρ a a 0 fixado a² ρ² x² y² z² ρc θ c a c 2π c fixo Semi plano ρc φ c cone 0 c π2 ρc φ c π2 c π cone ρc Escreva o ponto 0 23 2 que está em coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas 0² 23² 2² ρ² ρ² 16 ρ 4 i 0 4 sen φ cos θ ii 23 4 sen φ sen θ iii 2 4 cos φ iii cos φ 12 φ 2π3 ou φ 4π3 para 0 φ π i 0 4 sen 3π4 cos θ para cos θ 0 θ π2 ou θ 3π2 Conclusão ρ θ φ 4 π2 2π3 E ρ θ φ a ρ b α θ β e c φ d E fx y z dV cd αβ ab f ρ sen φ cos θ ρ sen φ sen θ ρ cos φ ρ2 sen φ dρ dθ dφ exemplo Calcule o volume do sólido delimitado por z x2 y2 e x2 y2 z2 ρ2 122 z x2 y2 z x2 y2 x2 y2 z2 ρ x2 y2 x2 y2 x2 y2 2x2 y2 x2 y2 x2 y2 12 x2 y2 14 z 12 z x2 y2 Volume de E E 1 dV Região E 0 ρ cos φ 0 θ 2π 0 φ π4 x2 y2 z2 ρ2 ρ ρ cos φ ρ cos φ são equivalentes só muda as coordenadas Volume de E 0π4 02π 0cos φ 1 ρ2 sen φ dρ dθ dφ π8 Tarefa