Exercícios Resolvidos: Aplicações de Equações Diferenciais - Crescimento, Decaimento e Resfriamento

Aplicacoes 1 Numa certa cultura de bacterias a taxa de crescimento do numero de bacterias e proporcional ao numero presente Determine o numero de bacterias em qualquer instante Calculo III CM043 Aplicacoes 2 Sabese que a populacao de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao numero de pessoas presentes no instante t Se a populacao inicial dobrou em cinco anos quanto levara para triplicar E para quadruplicar Calculo III CM043 Guidorizzi exer1047 3 Decaimento radioativo Um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional a m em que m mt e a quantidade de materia no instante t Supondo que a quantidade inicial em t 0 de materia seja m0 e que 10 anos apos ja tenha se desintegrado 1 3 da quantidade inicial pedese o tempo necessario para que a metade da quantidade inicial se desintegre Calculo III CM043 Guidorizzi exer1044 4 Um objeto aquecido a 100C e colocado em um quarto a uma temperatura ambiente de 20C um minuto apos a temperatura do objeto passa a 90C Admitindo a lei de resfriamento de Newton que a temperatura T Tt do objeto esteja variando a uma taxa proporcional a diferenca entre a temperatura do objeto e a do quarto isto e dT dt αT 20 α constante determine a temperatura do objeto no instante t Suponha t em minutos Calculo III CM043 5 Um termˆometro e removido de uma sala onde a temperatura ambiente e de 70F e levado para fora onde a temperatura e de 10F Apos meio minuto o termˆometro indica 50F Qual sera a leitura no termˆometro em t 1 min Quanto tempo levara para o termˆometro atingir 15F Calculo III CM043 Aplicacao Zill ex31 15 6 Uma pequena barra de metal cuja temperatura inicial e de 20C e colocada em um grande recipiente com agua fervendo Quanto tempo levara para a barra atingir 90C se sabemos que sua temperatura aumenta 2 em 1 segundo Quanto tempo levara para a barra atingir 98C Calculo III CM043 Guidorizzi exer1049 7 Determine a funcao y f x x 0 cujo grafico passa pelo ponto 1 2 e que goza da propriedade a area do triˆangulo de vertices 0 0 x y e 0 m m 0 e igual a 1 para todo x y no grafico de f em que 0 m e a intersecao da reta tangente em x y com o eixo y Calculo III CM043 Figura L didt Ri 1Cq Et 1 Lei de Ohm A queda de voltagem ER através de um resistor com uma resistência de R ohms ER Ri 2 lei de Faraday A queda de voltagem EL através de um indutor com uma indutância de L henries EL L didt 3 Lei da Capacitância A queda de voltagem EC através de um capacitor com capacitância de C farads EC 1Cq q é a carga no capacitor Aplicacao Zill ex31 29 8 Uma forca eletromotriz de 30 volts a aplicada a um circuito em serie LR no qual a indutˆancia e de 0 1 henry e a resistˆencia e de 50 ohms Ache a corrente it se i0 0 Determine a corrente quando t L di dt Ri 1 C q Et EL L di dt ER Ri EC 1 C q i dq dt Calculo III CM043 Aplicacao Zill ex31 31 9 Uma forca eletromotriz de 100 volts e aplicada a um circuito em serie RC no qual a resistˆencia e de 200 ohms e a capacitˆancia e 106 farads Ache a carga qt no capacitor se q0 0 Ache a corrente it Calculo III CM043 Resolva o problema de valor inicial y 2y gt y0 0 em que gt 1 0 t 1 0 t 1 Resolva o problema de valor inicial y pty 0 y0 1 em que pt 2 0 t 1 1 t 1 Uma força eletromotriz Et 120 0 t 20 0 t 20 é aplicada em um circuito em série LR no qual a indutância é de 20 henrys e a resistência é de 2 ohms Ache a corrente it se i0 0 Guidorizzi exer 103 13 Um ponto material de massa 1g se move em linha reta devido a acao de uma forca que e diretamente proporcional ao tempo calculado desde o instante t 0 e inversamente proporcional a velocidade do ponto No instante t 10s a velocidade era igual a 50cms e a forca igual a 4 dinas Qual a velocidade do ponto apos 1 minuto de inıcio do deslocamento Calculo III CM043 Guidorizzi exer 103 5 14 Um corpo de massa 10 kg e abandonado a uma certa altura Sabese que as unicas forcas atuando sobre ele sao o seu peso e uma forca de resistˆencia proporcional a velocidade Admitindose que 1 segundo apos ter sido abandonado a sua velocidade e de 8ms determine a velocidade no instante t Suponha que a aceleracao gravitacional seja de 10ms2 Lembrese de que o peso do corpo e o produto de sua massa pela aceleracao gravitacional Calculo III CM043 Guidorizzi exer 103 8 15 Um corpo de massa 2 5 kg cai do repouso e as unicas forcas atuando sobre ele sao o seu peso e uma forca de resistˆencia igual ao quadrado da velocidade Qual a velocidade no instante t Suponha que a aceleracao gravitacional seja de 10ms2 Calculo III CM043 Guidorizzi exer103 9 16 Para todo a 0 o grafico de y f x intercepta ortogonalmente a curva x2 2y2 a Determine f sabendo que f 1 2 Calculo III CM043 Boyce 234 17 Suponha que um tanque contendo determinado lıquido tem uma saıda proxima do fundo Seja ht a altura da superfıcie do lıquido acima da saıda no instante t O princıpio de Torricelli diz que a velocidade v do fluxo na saıda e igual a velocidade de uma partıcula em queda livre sem atrito caindo da altura h a Mostre que v 2gt em que g e a aceleracao da gravidade Calculo III CM043 b Igualando a taxa de saída à taxa de variação de líquido no tanque mostre que ht satisfaz a equação Ah dhdt αa2gh em que Ah é a área da seção reta do tanque na altura h e a é a área da saída A constante α é um coeficiente de contração responsável pelo fato observado de que a seção reta do fluxo suave de saída é menor do que a O valor de α para a água é aproximadamente 06 Continuacao c Considere um tanque de agua em forma de um cilindro circular reto trˆes metros acima da saıda O raio do tanque e um metro e o raio da saıda circular e 0 1 m Se o tanque estiver inicialmente cheio de agua determine quanto tempo vai levar para esvaziar o tanque ate o nıvel da saıda Calculo III CM043 Problemas de misturas 18 Suponha que um reservatorio de agua comporte 100 milhoes de litros e abasteca uma cidade com 1 milhao de litros por dia O reservatorio e parcialmente abastecido por uma fonte que fornece 0 9 milhao de litros por dia e o resto da agua 0 1 milhao de litros por dia vem de afluxos do terreno da regiao A fonte e de agua limpa mas os afluxos contˆem sal em uma concentracao de 0 0001 kg por litro Suponha que inicialmente nao haja sal no reservatorio e que este seja bem misturadoisto e que a agua utilizada pelos habitantes da cidade contem a concentracao de sal no reservatorio naquele instante Determinaremos a concentracao de sal no reservatorio em funcao do tempo supondo que este permanece cheio Neste problema e muito importante diferenciar entre quantidade de sal e sua concentracao onde Concentracao Quantidade de sal Volume de agua Calculo III CM043 Se C é a concentração de sal em kgl e Q é a sua quantidade em quilogramas então como volume do reservatório é de 100 milhões de litros C Q100 milhões kglitro A equação diferencial que usaremos está baseada na relação Lei de Conservação Taxa de variação da quantidade de sal no reservatório Taxa na qual o sal entra Taxa na qual o sal sai que descreve como a quantidade de sal está variando como tempo Determinaremos Q em primeiro lugar e depois C Em termos matemáticos Qt quantidade de salkg lb no tanque no instante t minutos Vt volume de água L gal no tanque no instante t cit concentração de sal entrando kgL lbgal no instante t Continuacao Em termos matematicos Qt quantidade de salkg lb no tanque no instante t minutos V t volume de agua L galno tanque no instante t cit concentracao de sal entrando kgLlbgal no instante t c0t concentracao de sal saindokgLlb gal no instante t rit taxa de entrada Lmingalmin no instante t r0t taxa de saıda Lmingalmin no instante t Taxa na qual o sal entra no tanque ritcit galminlbgal lbmin Concentracao Quantidade de sal Volume de agua Concentracao de sal saindo c0t Qt V t Taxa de saıda do sal r0tc0t r0tQt V t Calculo III CM043 Taxa de variação do volume Vt rit r0t V0 volume inicial Modelo matemático para o cálculo da quantidade de sal Qt Qt rit cit r0t QtVt Q0 Q0 quantidade inicial de sal no recipiente Para determinar a taxa na qual o sal entra observe que todo o sal entra com afluxo O afluxo é de 01 milhão de litros por dia cada litro contendo 00001 kg de sal Portanto Taxa na qual o sal entra Concentração Volume por dia 00001 kglitro 01 milhões de litrosdia 000001 milhões de kgdia 10 kgdia Continuacao Assim Taxa na qual o sal entra 10kgdia O sal sai na agua utilizada pela cidade A cidade consome um milhao de litro s de agua por dia a uma concentracao de Q100milhoeskglitro Daı Taxa na qual o sal sai Concentracao Volume por dia Q100milhoeskglitro 1milhao de litrosdia Portanto Taxa na qual o sal sai do reservatorio Q100kgdia Logo Q deve satisfazer dQ dt 10 Q 100 Resolvendo esta equacao temos Q 1000 ke001t Calculo III CM043 Continuacao Logo Q deve satisfazer dQ dt 10 Q 100 Resolvendo esta equacao temos Q 1000 ke001t Como nao ha sal inicialmente fazemos Q 0 quando t 0 0 1000 k k 1000 Assim Qt 10001 e001tkg Portanto Concentracao C Q 100milhoes 1051 e001tkglitro Calculo III CM043 Problema de Misturas 19 Um tanque cilındrico de volume 240L esta inicialmente cheio com substˆancia que contem S0 kg de sal dissolvida em agua A partir do instante t 0 2Lmin de sal moura com concentracao de 010kgL flui para dentro do tanque Sabese tambem que 2Lmin de sal moura bem agitada mexida flui para fora do tanque Determine a quantidade de sal St em kg Taxa de entrada 2Lmin 010kgL 1 5kg salmin Taxa de saıda 2 240Stkg salmin Taxa de variacao dS dt 1 5 1 120St Solucao St Sht Spt Sht Ce 1 120 t Spt 24 Como S0 C 24 S0 St 24 S0 24e 1 120 t Calculo III CM043 20 No instante t 0 um tanque contem Q0 lb de sal disolvida em 100 gal de agua Suponha que agua contendo 14 lb de sal por galao esta entrando no tanque a uma taxa velocidade de r galoes por minuto e sai na mesma taxa a Modelar o problema de valor inicial que descreve o processo do fluxo da solucao salina b Determinar a quantidade de sal Qt no tanque em funcao do tempo c Achar a quantidade limite de sal QL no tanque apos um tempo suficientemente grande d Se r 3 e Q0 2QL encontre o tempo T apos o qual a quantidade de sal e 2 de QL e Encontre a taxa de fluxo r necessaria para que T nao exceda 45 min Calculo III CM043 Solução O tanque sempre comtém 100gal de água porque a água entra e sai a mesma taxa r galmin O pricípio básico que governa este problema é a conservação de massa o sal não é criado e nem destruído Então a taxa de variação do sal é a diferença da taxa de entrada menos a taxa de saída Seja Qt a quantidade de sal no instante t Portanto a conservação da massa diz dQdt taxa de entrada taxa de saída Hipótese A distribuição do sal no tanque é uniforme mexida Taxa de entrada 14 lb de salgalr galmin r4 lbmin concentração de sal velocidade Continuação Há Qt lbs de sal dissolvida em 100 gal de água no instante t daí segue que a concentração de sal no tanque no instante t é Qt100 lbgal Então Taxa de saída Qt100 lbgalr galmin rQt100 lbmin concentração velocidade Assim dQdt r4 rQ100 Portanto nosso problema de valor inicial é dQdt rQ100 r4 Q0 Q0 A solução do PVI é Qt 25 Q0 25er100 t