Slide Método das Forças Pt4-2021 2

TC036 - Mecânica das Estruturas II Prof. Marcos Arndt 2. Método das Forças – Parte 4 Exemplo 8: Utilizando o Método das Forças encontre o diagrama de momentos fletores do pórtico hiperestático abaixo. Despreze a contribuição da energia de deformação para o efeito de cisalhamento e para o efeito do esforço normal. 𝑔𝑒𝑥𝑡 = 1 𝑔𝑖𝑛𝑡 = 1 𝑔 = 2 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0 𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0 - Termos de carga: - Coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝑖0 = න 𝑀𝑖𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M0 2 kN/m 6 kN 6 kN 6 kN 36 36 72 72 12 kN 9 kN Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP M1 X1 = 1 1 1/6 1/6 1/4 1/4 1/6 x X1 Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP M2 X2 = 1 1 1/4 1/4 x X2 𝛿10 = න 𝑀1𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 1 3 1 9 6 + 1 3 1 (−36) 6 𝛿10 = − 54 𝐸𝐼 𝑟𝑎𝑑 𝛿20 = න 𝑀2𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 1 6 (−1) (−36) 4 + 1 3 (−1) (−72) 4 + 1 2 1 72 6 𝛿20 = 336 𝐸𝐼 𝑟𝑎𝑑 𝛿11 = න 𝑀1𝑀1 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 1 3 −1 −1 4 + 1 3 1 1 6 + 1 3 −1 −1 4 + 1 3 1 1 6 𝛿11 = 20 3𝐸𝐼 𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚 𝛿12 = න 𝑀1𝑀2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 0 𝛿12 = 𝛿21 = 0 𝛿22 = න 𝑀2𝑀2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 1 3 −1 −1 4 + 1 1 6 𝛿22 = 22 3𝐸𝐼 𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0 𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0 − 54 𝐸𝐼 + 20 3𝐸𝐼 𝑋1 + 0𝑋2 = 0 336 𝐸𝐼 + 0𝑋1 + 22 3𝐸𝐼 𝑋2 = 0 x 3𝐸𝐼 20𝑋1 = 162 22𝑋2 = −1008 𝑋1 = 8,1 𝑘𝑁𝑚 𝑋2 = −45,8 𝑘𝑁𝑚 - Diagrama de momentos fletores: 𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1𝑋1 + 𝑀2𝑋2 𝑋1 = 8,1 𝑘𝑁𝑚 𝑋2 = −45,8 𝑘𝑁𝑚 M (kN.m) Exemplo 9: Utilizando o Método das Forças determine os esforços normais nas barras da treliça hiperestática abaixo, com rigidez EA constante. 𝑔𝑒𝑥𝑡 = 𝑅 − 3 = 1 𝑔𝑖𝑛𝑡 = 𝑏 − 2𝑛 + 3 = 0 𝑔 = 1 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 - Termos de carga: - Coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖0 = න 𝑁𝑖𝑁0 𝐸𝐴 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐴 ෍ 𝑘=1 𝑛 𝑁𝑖 𝑘𝑁0 𝑘𝐿𝑘 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑁𝑖𝑁𝑗 𝐸𝐴 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐴 ෍ 𝑘=1 𝑛 𝑁𝑖 𝑘𝑁𝑗 𝑘𝐿𝑘 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 7 kN 2 m 2 m 2 m 2 m 8 kN 8 kN 10 kN 10 kN 3 m 13 N0 [kN] -8.41 12.67 -10.67 -3.61 3.61 8.67 -15.62 Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 3 m 0.5 2 m 2 m 2 m 2 m X1 = 1 0.67 0.60 -0.60 0.60 -0.33 -0.33 N1 x X1 𝛿10 = 1 𝐸𝐴 ෍ 𝑘=1 𝑛 𝑁1 𝑘𝑁0 𝑘𝐿𝑘 = 1 𝐸𝐴 −0,33 12,67 4 + −0,33 8,67 4 + + 1 𝐸𝐴 0,60 −8,41 3,61 + −0,60 −3,61 3,61 + −0,60 3,61 3,61 + + 1 𝐸𝐴 0,60 −15,62 3,61 + 0,67 −10,67 4 𝛿10 = −108,81 𝑚 𝛿11 = 1 𝐸𝐴 ෍ 𝑘=1 𝑛 𝑁1 𝑘𝑁1 𝑘𝐿𝑘 = 1 𝐸𝐴 −0,33 −0,33 4 + −0,33 −0,33 4 + + 1 𝐸𝐴 0,60 0,60 3,61 + −0,60 −0,60 3,61 + −0,60 −0,60 3,61 + + 1 𝐸𝐴 0,60 0,60 3,61 + 0,67 0,67 4 𝛿11 = 7,86 𝑚/𝑘𝑁 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 −108,81 + 7,86 𝑋1 = 0 𝑋1 = 13,84 𝑘𝑁 7,86 𝑋1 = 108,81 - Esforços Normais: 𝑁 = 𝑁0 + 𝑁1𝑋1 𝑋1 = 13,84 𝑘𝑁𝑚 Exemplo 10: Para a grelha mostrada abaixo, pedem-se os diagramas de momentos fletores e de momentos torçores utilizando o Método das Forças. Despreze a contribuição da energia de deformação para o efeito de cisalhamento. 𝑔𝑒𝑥𝑡 = 2 𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0 𝑔 = 2 - Termos de carga: - Coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑇𝑖𝑇𝑗 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 𝛿𝑖0 = න 𝑀𝑖𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑇𝑖𝑇0 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0 𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M0 [kNm] 80 20 kN T0 [kNm] 20 kN Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP M2 X2 = 1 0 2 2 4 T2 +4 +2 0 0 0 x X2 Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP M1 X1 = 1 4 2 0 T1 -2 0 0 0 x X1 𝛿10 = න 𝑀1𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑇1𝑇0 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 𝛿10 = 1 𝐸𝐼 1 3 4 (−80) 4 + 1 𝐺𝐽𝑡 0 𝛿10 = − 1280 3𝐸𝐼 𝑚 𝛿20 = න 𝑀2𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑇2𝑇0 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 𝛿20 = 1 𝐸𝐼 1 3 2 −80 4 + 1 6 (−2) −80 4 + 1 𝐺𝐽𝑡 0 𝛿20 = − 320 3𝐸𝐼 𝑚 𝛿11 = න 𝑀1𝑀1 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑇1𝑇1 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 𝛿11 = 1 𝐸𝐼 1 3 2 2 2 + 1 3 4 4 4 + 1 𝐺𝐽𝑡 −2 −2 4 = 24 𝐸𝐼 + 3 2𝐸𝐼 16 = 48 𝐸𝐼 𝑚/𝑘𝑁 𝛿12 = න 𝑀1𝑀2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑇1𝑇2 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 𝛿12 = 1 𝐸𝐼 1 6 4(−2)4 + 1 3 4 2 4 + 1 𝐺𝐽𝑡 −2 4 4 = 16 3𝐸𝐼 − 96 2𝐸𝐼 = − 128 3𝐸𝐼 𝑚/𝑘𝑁 𝛿21 = 𝛿12 = − 128 3𝐸𝐼 𝑚/𝑘𝑁 𝛿22 = න 𝑀2𝑀2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑇2𝑇2 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 𝛿22 = 1 𝐸𝐼 1 3 2 2 4 + 1 6 2 −2 4 + 1 6 −2 2 4 + 1 3 −2 −2 4 + 1 3 4 4 4 + 1 3 2 2 2 + 1 𝐺𝐽𝑡 4 4 4 + 2 2 4 𝛿22 = 88 3𝐸𝐼 + 3 2𝐸𝐼 80 = 448 3𝐸𝐼 𝑚/𝑘𝑁 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0 𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0 − 1280 3𝐸𝐼 + 48 𝐸𝐼 𝑋1 − 128 3𝐸𝐼 𝑋2 = 0 − 320 3𝐸𝐼 − 128 3𝐸𝐼 𝑋1 + 448 3𝐸𝐼 𝑋2 = 0 x 3𝐸𝐼 144𝑋1 − 128𝑋2 = 1280 −128𝑋1 + 448𝑋2 = 320 𝑋1 = 12,77 𝑘𝑁 𝑋2 = 4,36 𝑘𝑁 - Diagramas M eT : 𝐸 = 𝐸0 + 𝐸1𝑋1 + 𝐸2𝑋2 𝑋1 = 12,77 𝑘𝑁 𝑋2 = 4,36 𝑘𝑁