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Mecânica Geral 2
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MECÂNICA GERAL II CANAL DE COMUNICAÇÃO Módulo: Semestral Código: TC023 CURSO DE ENGENHARIA CIVIL UFPR Lista de Exercícios - Semana 02 ESTÁTICA MECÂNICA PARA ENGENHARIA 14ª edição EMPRESA CIDADÃ Pearson Education 260 ESTÁTICA Problemas fundamentais Todas as soluções dos problemas precisam incluir um diagrama de corpo livre. F6.7. Determine a força nos membros BC, CF e FE. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. F6.8. Determine a força nos membros LK, KC e CD da treliça Pratt. Indique se os membros estão sob tra- ção ou compressão. F6.9. Determine a força nos membros KJ, KD e CD da treliça Pratt. Indique se os membros estão sob tra- ção ou compressão. F6.10. Determine a força nos membros EF, CF e BC da treliça. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. F6.11. Determine a força nos membros GF, GD e CD da treliça. Indique se os membros estão sob tra- ção ou compressão. F6.12. Determine a força nos membros DC, HI e JI da treliça. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. Sugestão: use as seções mostradas. Capítulo 6 – Análise estrutural 261 Todas as soluções dos problemas precisam incluir um diagrama de corpo livre. 6.27. Determine a força nos membros FE, EB e BC da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 11 kN B A D C F E 22 kN 2 m 1,5 m 2 m 2 m Problema 6.27 *6.28. Determine a força nos membros EF, BE, BC e BF da treliça e indique se os membros estão sob tra- ção ou compressão. Considere P1 = 9 kN, P2 = 12 kN e P3 = 6 kN. 6.29. Determine a força nos membros BC, BE e EF da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. Considere P1 = 6 kN, P2 = 9 kN e P3 = 12 kN. F E B A D C 3 m 3 m 3 m 3 m P1 P2 P3 Problemas 6.28 e 6.29 6.30. Determine a força nos membros BC, HC e HG. Depois que a treliça for seccionada, use uma única equação do equilíbrio para o cálculo de cada força. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6.31. Determine a força nos membros CD, CF e CG da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. A C D H G F 4 kN 3 m 2 m 5 m 5 m 5 m 5 m B E 4 kN 5 kN 3 kN 2 kN Problemas 6.30 e 6.31 *6.32. Determine a força nos membros EF, CF e BC da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6.33. Determine a força nos membros AF, BF e BC da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 2 m 1,5 m 2 m F A 8 kN 4 kN E D C B Problemas 6.32 e 6.33 6.34. Determine a força nos membros CD e CM da treliça de ponte Baltimore e indique se os membros estão sob tração ou compressão. Além disso, indique todos os membros de força zero. 6.35. Determine a força nos membros EF, EP e LK da treliça de ponte Baltimore e indique se os membros estão sob tração ou compressão. Além disso, indique todos os membros de força zero. A B C D E F G H J K L M N O P 2 m 2 m 2 kN 5 kN 2 kN 3 kN I 16 m, 8 * 2 m Problemas 6.34 e 6.35 Problemas 262 ESTÁTICA *6.36. A treliça Howe está sujeita ao carregamento mostrado. Determine as forças nos membros GF, CD e GC e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6.37. A treliça Howe está sujeita ao carregamento mostrado. Determine as forças nos membros GH, BC e BG e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 3 m 2 kN 5 kN 5 kN 2 m 2 m 2 m 2 m A B C D F G H E 2 kN 5 kN Problemas 6.36 e 6.37 6.38. Determine a força nos membros KJ, NJ, ND e CD da treliça K. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. Dica: use as seções aa e bb. 6.39. Determine a força nos membros JI e DE da tre- liça K. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. 1800 N 1,5 m 1,5 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m A B C D J E I H 2 m L K M N O P G F 1500 N 1200 N a b a b Problemas 6.38 e 6.39 *6.40. Determine a força nos membros DC, HC e HI da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6.41. Determine a força nos membros ED, EH e GH da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. A C G E D H F I B 2 m 2 m 2 m 1,5 m 50 kN 40 kN 40 kN 30 kN 1,5 m 1,5 m Problemas 6.40 e 6.41 6.42. Determine a força nos membros JK, CJ e CD da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6.43. Determine a força nos membros HI, FI e EF da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. A B C D F E G H I J L K 6 kN 8 kN 5 kN 4 kN 3 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m Problemas 6.42 e 6.43 *6.44. Determine a força nos membros BC, CH, GH e CG da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. A C D H G F 8 kN 3 m 2 m 4 m 4 m 4 m 4 m B E 4 kN 5 kN Problema 6.44 6.45. Determine a força nos membros CD, CJ e KJ e in- dique se os membros estão sob tração ou compressão. 6 kN A B C D E G I H F J K L 6 kN 6 kN 6 kN 6 kN 3 m 12 m, 6 * 2 m Problema 6.45 Capítulo 6– Análise estrutural 263 6.46. Determine a força nos membros BE, EF e CB e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6.47. Determine a força nos membros BF, BG e A B e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 4 m 4 m 4 m 4 m B A C F G E D 10 kN 10 kN 5 kN 5 kN Problemas 6.46 e 6.47 *6.48. Determine a força nos membros BC, HC e HG. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6.49. Determine a força nos membros CD, CJ, GJ e CG. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6 kN 12 kN 9 kN 4 kN 6 kN 1,5 m 1,5 m 2 m 1 m 1 m 1,5 m 1,5 m A E B H G J C D Problemas 6.48 e 6.49 *6.5 Treliças espaciais Uma treliça espacial consiste em membros conectados em suas ex- tremidades para formar uma estrutura tridimensional estável. A forma mais simples de uma treliça espacial é um tetraedro, formado conectan- do seis membros, como mostra a Figura 6.19. Quaisquer membros adicio- nais acrescentados a esse elemento básico seriam redundantes em susten- tar a força P. Uma treliça espacial simples pode ser construída a partir des- se elemento tetraédrico básico acrescentando três membros adicionais e um nó, e continuando dessa maneira para formar um sistema de tetrae- dros multiconectados. Hipóteses para projeto Os membros de uma treliça espacial podem ser tratados como mem- bros de duas forças, desde que o carregamento externo seja aplicado nos nós e estes consistam em conexões esféricas. Essas hipóteses são justif - cadas se as conexões soldadas ou parafusadas dos membros conectados se interceptarem em um ponto comum e o peso dos membros puder ser desprezado. Nos casos em que o peso de um membro precisa ser incluí- do na análise, normalmente é satisfatório aplicá-lo como uma força ver- tical, com metade de sua intensidade aplicada em cada extremidade do membro. P Figura 6.19 Treliça espacial típica para apoio de telhado. Observe o uso de jun- tas esféricas para as conexões. Apêndices A – Revisão e expressões matemáticas Revisão de geometria e trigonometria Os ângulos θ na Figura A.1 são iguais entre a transversal e as duas li- nhas paralelas. FIGURA A.1 Para uma linha e sua normal, os ângulos θ na Figura A.2 são iguais. FIGURA A.2 Para o círculo na Figura A.3, s = θr, de modo que, quando θ = 360° = 2π rad, então a circunferência é s = 2πr. Além disso, como 180° = π rad, então θ (rad) = (π/180°)θ°. A área do círculo é A = πr². FIGURA A.3 Os lados de um triângulo semelhante podem ser obtidos por proporção, como na Figura A.4, onde a/A = b/B = c/C. FIGURA A.4 534 ESTÁTICA Para o triângulo retângulo da Figura A.5, o teorema de Pitágoras é: h = 2(o)2 + (a)2 a (adjacente) o (oposto) h (hipotenusa) u Figura a.5 As funções trigonométricas são: sen u = o h cos u = a h tg u = o a Isso é facilmente lembrado como “soh, cah, toa”, ou seja, o seno é o ca- teto oposto sobre a hipotenusa etc. As outras funções trigonométricas deri- vam destas relações. cossec u = 1 sen u = h o sec u = 1 cos u = h a cotg u = 1 tg u = a o apêndices 535 Identidades trigonométricas sen2 u + cos2 u = 1 sen (u { f) = sen u cos f { cos u sen f sen 2u = 2 sen u cos u cos (u { f) = cos u cos f | sen u sen f cos 2u = cos2 u - sen2 u cos u = { A 1 + cos 2u 2 , sen u = { A 1 - cos 2u 2 tg u = sen u cos u 1 + tg2 u = sec2 u 1 + cotg2 u = cossec2 u Fórmula quadrática Se ax2 + bx + c = 0, então x = -b { 2b2 - 4ac 2a Funções hiperbólicas senh x = ex - e-x 2 , cosh x = ex + e-x 2 , tanh x = senh x cosh x Expansões de séries de potências sen x = x - x3 3! + g , cos x = 1 - x2 2! + g senh x = x + x3 3! + g , cosh x = 1 + x2 2! + g Derivadas d dx (un) = nun-1 du dx d dx (sen u) = cos u du dx d dx (uv) = u dv dx + v du dx d dx (cos u) = -sen u du dx d dx a u vb = v du dx - u dv dx v2 d dx (tg u) = sec2 u du dx d dx (cotg u) = -cossec 2 u du dx d dx (senh u) = cosh u du dx d dx (sec u) = tg u sec u du dx d dx (cosh u) = senh u du dx d dx (cossec u) = -cossec u cotg udu dx Integrais L xn dx = xn+1 n + 1 + C, n -1 L dx a + bx = 1 b ln(a + bx) + C L dx a + bx2 = 1 22-ab lnc a + x2-ab a - x2-ab d + C, ab 6 0 L x dx a + bx2 = 1 2b ln(bx2 + a) + C L x2 dx a + bx2 = x b - a b2ab tg -1 x2ab a + C, ab 7 0 L 2a + bx dx = 2 3b 2(a + bx)3 + C L x2a + bx dx = -2(2a - 3bx)2(a + bx)3 15b2 + C L x22a + bx dx = 2(8a2 - 12abx + 15b2x2)2(a + bx)3 105b3 + C L 2a2 - x2 dx = 1 2 cx2a2 - x2 + a2 sen-1 x a d + C, a 7 0 L x2 2 a2 - x2 dx = -1 3 2(a2 - x2)3 + C L x2 a2 - x2 dx = - x 4 2(a2 - x2)3 + a2 8 ax2a2 - x2 + a2 sen-1 x ab + C, a 7 0 536 ESTÁTICA L 2x2 { a2 dx = 1 2 c x2x2 { a2 { a2 ln1x + 2x2 { a22 d + C L x2x2 { a2 dx = 3 1 2(x2 { a2)3 + C L x22x2 { a2 dx = x 4 2(x 2 { a2)3 | a 2 8 x2x2 { a2 - a4 8 ln1x + 2x2 { a22 + C L dx 2a + bx = 22a + bx b + C L x dx 2x2 { a2 = 2x2 { a2 + C L dx 2a + bx + cx2 = 1 1c lnc 2a + bx + cx2 + x1c + b 21c d + C, c 7 0 = 1 1-c sen-1a -2cx - b 2b2 - 4ac b + C, c 6 0 L sen x dx = -cos x + C L cos x dx = sen x + C L x cos(ax) dx = 1 a2 cos(ax) + x a sen(ax) + C L x2 cos(ax) dx = 2x a2 cos(ax) + a2x2 - 2 a3 sen(ax) + C L eax dx = 1 a eax + C xeax dx = eax a2 (ax - 1) + C L L senh x dx = cosh x + C L cosh x dx = senh x + C B – Equações fundamentais da Estática Vetor cartesiano A = Axi + Ayj + Ayk Intensidade A = √(Ax² + Ay² + Az²) Direções uA = A/A = Axi/A + Ayj/A + Azk/A = cosαi + cosβj + cosγk cos²α + cos²β + cos²γ = 1 Produto escalar A • B = ABcos θ = AxBx + AyBy + AzBz Produto vetorial C = A + B = | i j k | | Ax Ay Az | | Bx By Bz | Vetor posição cartesiano r = (x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k Vetor força cartesiano F = Fu = F(r^) Momento de uma força Mo = Fd Mo = r x F = | i j k | | rx ry rz | | Fx Fy Fz | Momento de uma força em torno de um eixo especificado Ma = u • r x F = | ux uy uz | | rx ry rz | | Fx Fy Fz | Simplificação de um sistema de forças e de binários FR = ΣF (MR)o = ΣM + ΣMo Equilíbrio Partícula ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣFz = 0 Corpo rígido — duas dimensões ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣMo = 0 Corpo rígido — três dimensões ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣFz = 0 Atrito Estático (máximo) Fs = μsN Cinético Fk = μkN Centro de gravidade Partes Discretas r̄ = Σir̄iWi/ΣiWi Corpo r̄ = ∫ r̄ dW/∫ dW Momentos de inércia de área e de massa I = ∫ r² dA I = ∫ r² dm Teorema dos eixos paralelos I = I + Ad² I = I + md² Raio de giração k = √(I/A) k = √(I/m) Trabalho virtual δU = 0 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE ELEMENTOS DE LINHA E DE ÁREA Posição do centroide Posição do centroide Momento de inércia de área Segmento de arco de circunferência L = 2θr Área de setor circular L = πr Área de quarto de círculo Área trazoidal Área semicircular Área semiparabólica Área circular Área sob curva parabólica Área retangular Área parabólica Área triangular Iₓ = 1/4 r⁴ (θ - 1/2 sen 2θ) Iᵧ = 1/4 r⁴ (θ + 1/2 sen 2θ) Iₓ = 1/16 πr⁴ Iᵧ = 1/16 πr⁴ Iₓ = 1/8 πr⁴ Iᵧ = 1/4 πr⁴ Iₓ = 1/4 πr⁴ I = 1/2(3a+b) Iₓ = 1/12 bh³ Iᵧ = 1/12 bh³ Iₓ = 1/36 bh³ CENTRO DE GRAVIDADE E MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA DE SÓLIDOS HOMOGÊNEOS Esfera V = 4/3πr³ Iₓₓ = Iᵧᵧ = Izz = 2/5 mr² Cilindro V = πr²h Iₓₓ = Iᵧᵧ = 1/12 m(3r² + h²) Izz = 1/2 mr² Hemisfério V = 2/3πr³ Iₓₓ = Iᵧᵧ = 0.259 mr² Izz = 2/5 mr² Cone V = 1/3πr²h Iₓₓ = Iᵧᵧ = 3/80 m(4r² + h²) Izz = 3/10 mr² Disco circular fino Iₓₓ = Iᵧᵧ = 1/4 mr² Izz = 1/2 mr² I'sz' = 3/2 mr² Placa fina Iₓₓ = 1/12 mb² Iᵧᵧ = 1/12 ma² Izz = 1/12 m(a² + b²) Anel fino Iₓₓ = Iᵧᵧ = 1/2 mr² Izz = mr² Haste delgada Iₓₓ = Iᵧᵧ = 1/12 ml² Ixy = Iyz = 1/3 ml² Izz = 0 Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 551 Membro BA ζ +ΣMB = 0; 6(2) – A(4) = 0 A1 = 3 kN Resposta +ΣYF = 0; –4 kN + A1 = 0; A1 = 4 kN Resposta Estrutura inteira ζ +ΣMA = 0; –6(2) – D1(3)(8)(1)(2) + D1(3) = 0 D1 = 12 kN Resposta Como DC é um membro de duas forças (ΣMC = 0), então D2,x = 0 Resposta Capítulo 7 F7.1. ζ +ΣMA = 0; B2(6) – 10(1,5) – 15(4,5) = 0 B2 = 13,75 kN Resposta ±ΣXF = 0; NC = 0 +ΣYF = 0; VC + 13,75 – 15 = 0 VC = 1,25 kN Resposta ζ +ΣMC = 0; 13,75(3) – 15(1,5) – MC = 0 MC = 18,75 kN·m Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais Capítulo 2 F2.1. FR = 2(2 kN)2 + (6 kN)2 - 2(2 kN)(6 kN) cos 105 = 6,798 kN = 6,80 kN sen f 6 kN = sen 105 6,798 kN , f = 58,49 u = 45 + f = 45 + 58,49 = 103 Resposta Resposta F2.2. FR = 22002 + 5002 - 2(200)(500) cos 140 = 666 N Resposta F2.3. FR = 26002 + 8002 - 2(600)(800) cos 60 = 721,11 N = 721 N sen a 800 = sen 60 721,11 ; = 73,90 f = a a - 30 = 73,90 - 30 = 43,9 Resposta Resposta F2.4. Fu sen 45 = 30 N sen 105 ; Fu = 22,0 N Fv sen 30 = 30 N sen 105 ; Fv = 15,5 N Resposta Resposta F2.5. FAB sen 105 = 450 N sen 30 FAB = 869 N FAC sen 45 = 450 N sen 30 FAC = 636 N Resposta Resposta F2.6. F sen 30 = 6 sen 105 F = 3,11 kN Fv sen 45 = 6 sen 105 Fv = 4,39 kN Resposta Resposta F2.7. (F1)x = 0 (F1)y = 300 N (F2)x = -(450 N) cos 45 = -318 N (F2)y = (450 N) sen 45 = 318 N (F3)x = 13 52600 N = 360 N (F3)y = 14 52600 N = 480 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta F2.8. FRx = 300 + 400 cos 30 - 25014 52 = 446,4 N FRy = 400 sen 30 + 25013 52 = 350 N FR = 2(446,4)2 + 3502 = 567 N u = tg -1 350 446,4 = 38,1 Resposta Resposta F2.9. +S(FR)x = Fx; (FR)x = - (700 N) cos 30 + 0 + 13 52 (600 N) = -246,22 N + c(FR)y = Fy; (FR)y = -(700 N) sen 30 - 400 N - 14 52 (600 N) = -1230 N FR = 2(246,22 N)2 + (1230 N)2 = 1254 N f = tg-11 1230 N 246,22 N2 = 78,68 u = 180 + f = 180 + 78,68 = 259 Resposta Resposta F2.10. +S(FR)x = Fx; 750 N = F cos u + 1 5 132(325 N) + (600 N)cos 45 + c(FR)y = Fy; 0 = F sen u + 112 132(325 N) - (600 N)sen 45 tg u = 0,6190 u = 31,76 = 31,8 F = 236 N Resposta Resposta F2.11. S + (FR)x = Fx; (80 N) cos 45 = F cos u + 50 N - 13 5290 N + c(FR)y = Fy; -(80 N) sen 45 = F sen u - 14 52(90 N) tg u = 0,2547 u = 14,29 = 14,3 F = 62,5 N Resposta Resposta F2.12. (FR)x = 1514 52 + 0 + 1514 52 = 24 kN S (FR)y = 1513 52 + 20 - 1513 52 = 20 kN c FR = 31,2 kN u = 39,8 Resposta Resposta F2.13. Fx = 75 cos 30 sen 45 = 45,93 N Fy = 75 cos 30 cos 45 = 45,93 N Fz = -75 sen 30 = -37,5 N a = cos-1145,93 75 2 = 52,2 b = cos-1145,93 75 2 = 52,2 g = cos-11 -37,5 75 2 = 120 Resposta Resposta Resposta F2.14. cos b = 21 - cos2 120 - cos2 60 = {0,7071 Requer b = 135 . F = FuF = (500 N)(-0,5i - 0,7071j + 0,5k) = 5-250i - 354j + 250k6 N Resposta F2.15. cos2a + cos2135 + cos2 120 = 1 a = 60 F = FuF = (500 N)(0,5i - 0,7071j - 0,5k) = 5250i - 354j - 250k6 N Resposta F2.16. Fz = (50 N) sen 45 = 35,36 N F = (50 N) cos 45 = 35,36 N Fx = 13 52(35,36 N) = 21,21 N 542 ESTÁTICA Fy = 14 52(35,36 N) = 28,28 N F = 5-21,2i + 28,3j + 35,4k6 N Resposta F2.17. Fz = (750 N) sen 45 = 530,33 N F = (750 N) cos 45 = 530,33 N Fx = (530,33 N) cos 60 = 265,2 N Fy = (530,33 N) sen 60 = 459,3 N F2 = 5265i - 459j + 530k6 N Resposta F2.18. F1 = 14 52(500 N) j + 13 52(500 N)k = 5400j + 300k6 N F2 = [(800 N) cos 45 ] cos 30 i + [(800 N) cos 45 ] sen 30 j + (800 N) sen 45 (-k) = 5489,90i + 282,84j - 565,69k6 N FR = F1 + F2 = 5490i + 683j - 266k6 N Resposta F2.19. rAB = 5-6i + 6j + 3k6 m Resposta rAB = 2(-6 m)2 + (6 m)2 + (3 m)2 = 9 m a = 132 , b = 48,2 , g = 70,5 Resposta Resposta F2.20. rAB = 5-4i + 2j + 4k6 m Resposta rAB = 2(-4 m)2 + (2 m)2 + (4 m)2 = 6 m a = cos-11 -4 m 6 m 2 = 131,8 u = 180 - 131,8 = 48,2 Resposta Resposta Resposta F2.21. rAB = 52i + 3j - 6k6 m FAB = FABuAB = (630 N)12 7i + 3 7j - 6 7k2 = 5180i + 270j - 540k6 N Resposta F2.22. F = FuAB = 900N1 -4 9i + 7 9j - 4 9k2 = 5-400i + 700j - 400k6 N Resposta F2.23. FB = FBuB = (840 N)13 7i - 2 7j - 6 7k2 = 5360i - 240j - 720k6 N FC = FCuC = (420 N)12 7i + 3 7j - 6 7k2 = 5120i + 180j - 360k6 N FR = 2(480 N)2 + (-60 N)2 + (-1080 N)2 = 1,18 kN Resposta F2.24. FB = FBuB = (600 N)1 -1 3i + 2 3j - 2 3k2 = 5-200i + 400j - 400k6 N FC = FCuC = (490 N)1 -6 7i + 3 7j - 2 7k2 = 5-420i + 210j - 140k6 N FR = FB + FC = 5-620i + 610j - 540k6 N Resposta F2.25. uAO = -1 3i + 2 3j - 2 3k uF = -0,5345i + 0,8018j + 0,2673k u = cos-1 (uAO # uF) = 57,7 Resposta F2.26. uAB = -3 5j + 4 5k uF = 4 5i - 3 5j u = cos-1 (uAB # uF) = 68,9 Resposta F2.27. uOA = 12 13i + 5 13j uOA# j = uOA(1) cos u cos u = 5 13; u = 67,4 Resposta F2.28. uOA = 12 13i + 5 13j F = FuF = [650j] N FOA = F # uOA = 250 N FOA = FOA uOA = 5231i + 96,2j6 N Resposta F2.29. F = (400 N) 54 i + 1 j - 6 k6m 2(4 m)2 + (1 m)2 + (-6 m)2 = 5219,78i + 54,94j - 329,67k6 N uAO = 5-4 j - 6 k6 m 2(-4 m)2 + (-6 m)2 = -0,5547j - 0,8321k (FAO)proj = F # uAO = 244 N Resposta F2.30. F = [(-600 N) cos 60 ] sen 30 i + [(600 N) cos 60 ] cos 30 j + [(600 N) sen 60 ] k = 5-150i + 259,81j + 519,62k6 N uA = -2 3i + 2 3j + 1 3k (FA)par = F # uA = 446,41 N = 446 N (FA)per = 2(600 N)2 - (446,41 N)2 = 401 N Resposta Resposta F2.31. F = 56 N13 7i - 6 7j + 2 7k2 = 524i - 48j + 16k6 N 1FAO2} = F# uAO = 124i - 48j + 16k2 # 13 7 i - 6 7 j - 2 7k2 = 46,86 N = 46,9 N 1FAO2 # = 2F2 - 1FAO2} = 215622 - 146,8622 = 30,7 N Resposta Resposta Capítulo 3 F3.1. +S Fx = 0; 4 5FAC - FAB cos 30 = 0 + c Fy = 0; 3 5FAC + FAB sen 30 - 550 = 0 FAB = 478 N FAC = 518 N Resposta Resposta F3.2. + c Fy = 0; -2(7,5) sen u + 3,5 = 0 u = 13,49 LABC = 21 1,5 m cos 13,49 2 = 3,09 m Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 543 F3.3. S + Fx = 0; T cos u - T cos f = 0 f = u + c Fy = 0; 2T sen u - 49,05 N = 0 u = tg -110,15 m 0,2 m 2 = 36,87 T = 40,9 N Resposta F3.4. +Q Fx = 0; 4 5(Fsp) - 5(9,81) sen 45 = 0 Fsp = 43,35 N Fsp = k(l - l0); 43,35 = 200(0,5 - l0) l0 = 0,283 m Resposta F3.5. + c Fy = 0; (392,4 N)sen 30 - mA(9,81) = 0 mA = 20 kg Resposta F3.6. + c Fy = 0; TAB sen 15 - 10(9,81) N = 0 TAB = 379,03 N = 379 N +S Fx = 0; TBC - 379,03 N cos 15 = 0 TBC = 366,11 N = 366 N +S Fx = 0; TCD cos u - 366,11 N = 0 + c Fy = 0; TCD sen u - 15(9,81) N = 0 TCD = 395 N u = 21,9 Resposta Resposta Resposta Resposta F3.7. Fx = 0; 313 52F3413 52 + 600 N - F2 = 0 Fy = 0; 14 52F1 - 313 52F3414 52 = 0 Fz = 0; 14 52F3 + 13 52F1 - 900 N = 0 F3 = 776 N F1 = 466 N F2 = 879 N (1) (2) (3) Resposta Resposta Resposta F3.8. Fz = 0; FAD14 52 - 900 = 0 FAD = 1125 N = 1,125 kN Fy = 0; FAC14 52 - 112513 52 = 0 FAC = 843,75 N = 844 N Fx = 0; FAB - 843,7513 52 = 0 FAB = 506,25 N = 506 N Resposta Resposta Resposta F3.9. FAD = FADarAD rAD b = 1 3FADi - 2 3FAD j + 2 3FAD k Fz = 0; 2 3FAD - 600 = 0 FAD = 900 N Fy = 0; FAB cos 30 - 2 3 (900) = 0 FAB = 692,82 N = 693 N Fx = 0; 1 3 (900) + 692,82 sen 30 - FAC = 0 FAC = 646,41 N = 646 N Resposta Resposta Resposta F3.10. FAC = FAC 5-cos 60 sen 30 i + cos 60 cos 30 j + sen 60 k6 = -0,25FAC i + 0,4330FAC j + 0,8660FAC k FAD = FAD5cos 120 i + cos 120 j + cos 45 k6 = -0,5FAD i - 0,5FAD j + 0,7071FAD k Fy = 0; 0,4330FAC - 0,5FAD = 0 Fz = 0; 0,8660FAC + 0,7071FAD - 300 = 0 FAD = 175,74 N = 176 N Resposta FAC = 202,92 N = 203 N Resposta Fx = 0; FAB - 0,25(202,92) - 0,5(175,74) = 0 FAB = 138,60 N = 139 N Resposta F3.11. FB = FBarAB rAB b = FBJ 5-3i + 1,5j + 1k6 m 2(-3 m)2 + (1,5 m)2 + (1 m)2 R = -6 7FBi + 3 7 FB j + 2 7 FB k FC = FCarAC rAC b = FCJ 5-3i - 1j + 1,5k6 m 2(-3 m)2 + (-1 m)2 + (1,5 m)2 R = -6 7 FC i - 2 7 FC j + 3 7 FC k FD = FDi W = 5-150k6 N Fx = 0; -6 7 FB - 6 7 FC + FD = 0 Fy = 0; 3 7 FB - 2 7 FC = 0 Fz = 0; 2 7 FB + 3 7 FC - 150 = 0 FB = 162 N FC = 1,5(162 N) = 242 N FD = 346,15 N = 346 N (1) (2) (3) Resposta Resposta Resposta Capítulo 4 F4.1. +MO = -14 52(100 N)(2 m) - 13 52(100 N)(5 m) = -460 N# m = 460 N# m Resposta F4.2. +MO = [(300 N) sen 30 ][0,4 m + (0,3 m) cos 45 ] - [(300 N) cos 30 ][(0,3 m) sen 45 ] = 36,7 N# m Resposta F4.3. +MO = (60 kN)[4 m + (3 m)cos 45 - 1 m] = 307 kN # m Resposta F4.4. +MO = 50 sen 60 (0,1 + 0,2 cos 45 + 0,1) - 50 cos 60 (0,2 sen 45 ) = 11,2 N# m Resposta F4.5. +MO = 60 sen 50 (2,5) + 60 cos 50 (0,25) = 125 kN # m Resposta F4.6. +MO = 500 sen 45 (3 + 3 cos 45 ) - 500 cos 45 (3 sen 45 ) = 1,06 kN# m Resposta F4.7. +(MR)O = Fd; (MR)O = -(600 N)(1 m) + (500 N)[3 m + (2,5 m) cos 45 ] - (300 N)[(2,5 m) sen 45 ] = 1254 N# m = 1,25 kN# m Resposta 544 ESTÁTICA F4.8. +(MR)O = Fd; (MR)O = 313 52500 N4(0,425 m) - 314 52500 N4(0,25 m) - [(600 N) cos 60 ](0,25 m) - [(600 N) sen 60 ](0,425 m) = -268 N# m = 268 N# m Resposta F4.9. +(MR)O = Fd; (MR)O = (30 cos 30 kN)(3 m + 3 sen 30 m) - (30 sen 30 kN)(3 cos 30 m) + (20 kN)(3 cos 30 m) = 129,9 kN # m Resposta F4.10. F = FuAB = 500 N14 5i - 3 5j2 = 5400i - 300j6 N MO = rOA * F = 53j6 m * 5400i - 300j6 N = 5-1200k6 N# m ou MO = rOB * F = 54i6 m * 5400i - 300j6 N = 5-1200k6 N# m Resposta Resposta F4.11. F = FuBC = 120 NJ 54 i - 4 j - 2 k6 m 2(4 m)2 + (-4 m)2 + (-2 m)2 R = 580i - 80j - 40k6 N MO = rC * F = 3 i j k 5 0 0 80 -80 -40 3 = 5200j - 400k6 N # m Resposta ou MO = rB * F = 3 i j k 1 4 2 80 -80 -40 3 = 5200j - 400k6 N # m Resposta F4.12. FR = F1 + F2 = 5(100 - 200)i + (-120 + 250)j + (75 + 100)k6 N = 5-100i + 130j + 175k6 N (MR)O = rA * FR = 3 i j k 4 5 3 -100 130 175 3 = 5485i - 1000j + 1020k6 N # m Resposta F4.13. Mx = i # (rOB * F) = 4 i j k 1 0 0 0,3 0,4 -0,2 300 -200 150 4 = 20 N# m Resposta F4.14. uOA = rA rA = 50,3i + 0,4j6 m 2(0,3 m)2 + (0,4 m)2 = 0,6 i + 0,8 j MOA = uOA # (rAB * F) = 4 i j k 0,6 0,8 0 0 0 -0,2 300 -200 150 4 = -72 N# m ` MOA` = 72 N# m Resposta F4.15. Análise escalar As intensidades das componentes de força são Fx = 200 cos 120 = 100 N Fy = 200 cos 60 = 100 N Fz = 200 cos 45 = 141,42 N Mx = -Fy1z2 + Fz1y2 = - 1100 N210,25 m2 + 1141,42 N210,3 m2 = 17,4 N# m Resposta Análise vetorial Mx = 4 i j k 1 0 0 0 0,3 0,25 -100 100 141,42 4 = 17,4 N # m Resposta F4.16. My = j # (rA * F) = 4 i j k 0 1 0 -3 -4 2 30 -20 50 4 = 210 N# m Resposta F4.17. uAB = rAB rAB = 5 -4i + 3j6m 2(-4 m)2 + (3 m)2 = -0,8i + 0,6j MAB = uAB# (rAC * F) = i j k 4 -0,8 0,6 0 0 0 2 50 -40 20 4 = -4 kN # m MAB = MABuAB = 53,20i - 2,40j6 kN # m Resposta F4.18. Análise escalar As intensidades das componentes de força são Fx = 13 5234 5150024 = 240 N Fy = 4 534 5150024 = 320 N Fz = 3 515002 = 300 N Mx = -320132 + 300122 = -360 N# m My = -240132 - 300 (-2) = -120 N# m Mz = 240122 - 320 (2) = -160 N# m Resposta Resposta Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 545 Análise vetorial F = 5-240i + 320j + 300k6N rOA = 5-2i + 2j + 3k6 m Mx = i # 1rOA * F2 = -360 N # m My = j # 1rOA * F2 = -120 N # m Mz = k # 1rOA * F2 = -160 N # m F4.19. +MCR = MA = 400(3) - 400(5) ) + 300(5 + 200(0,2) = 740 N# m Além disso, +MCR = 300(5) - 400(2) + 200(0,2) = 740 N# m Resposta Resposta F4.20. +MCR = 300(0,4) + 200(0,4) + 150(0,4) = 260 N # m Resposta F4.21. +(MB)R = MB -1,5 kN# m = (2 kN)(0,3 m) - F(0,9 m) F = 2,33 kN Resposta F4.22. +MC = 1013 52(2) - 1014 52(4) = -20 kN# m = 20 kN# m Resposta F4.23. u1 = r1 r1 = {-2i + 2j + 3,5k} m 2(-2 m)2 + (2 m)2 + (3,.5 m)2 = - 2 4,.5i + 2 4,5j + 3,5 4,5k u2 = -k u3 = 1,5 2,5i - 2 2,5j (Mc)1 = (Mc)1u1 = (450 N # m)1- 2 4,5i + 2 4,5j + 3,5 4,5k2 = 5-200i + 200j + 350k6 N # m (Mc)2 = (Mc)2u2 = (250 N # m)(-k) = 5-250k6 N # m (Mc)3 = (Mc)3 u3 = (300 N # m)11,5 2,5i - 2 2,5j2 = 5180i - 240j6 N # m (Mc)R = Mc; (Mc)R = {-20i - 40j + 100k} N # m Resposta F4.24. FB = 14 52(450 N)j - 13 52(450 N)k = 5360j - 270k6 N Mc = rAB * FB = 3 i j k 0,4 0 0 0 360 -270 3 = { 108j + 144k} N# m Resposta Além disso, Mc = (rA * FA) + (rB * FB) = 3 i j k 0 0 0,3 0 -360 270 3 + 3 i j k 0,4 0 0,3 0 360 -270 3 = { 108j + 144k} N# m Resposta F4.25. +d FRx = Fx; FRx = 200 - 3 5 (100) = 140 N + TFRy = Fy; FRy = 150 - 4 5 (100) = 70 N FR = 21402 + 702 = 157 N u = tg -11 70 1402 = 26,6 +MAR = MA; MAR = 3 5(100)(0,4) - 4 5 (100)(0,6) + 150(0,3) MRA = 210 N # m Resposta Resposta Resposta F4.26. +S FRx = Fx; FRx = 4 5 (50) = 40 N + TFRy = Fy; FRy = 40 + 30 + 3 5 (50) = 100 N FR = 2(40)2 + (100)2 = 108 N u = tg -11100 40 2 = 68,2 +MAR = MA; MAR = 30(3) + 3 5 (50)(6) + 200 = 470 N# m Resposta Resposta Resposta F4.27. S + (FR)x = Fx; (FR)x = 900 sen 30 = 450 N S + c(FR)y = Fy; (FR)y = -900 cos 30 - 300 = -1079,42 N = 1079,42 N T FR = 24502 + 1079,422 = 1169,47 N = 1,17 kN u = tg-111079,42 450 2 = 67,4 +(MR)A = MA; (MR)A = 300 - 900 cos30 (0,75) - 300(2,25) = -959,57 N# m = 960 N# m Resposta Resposta Resposta F4.28. +S (FR)x = Fx; (FR)x = 15013 52 + 50 - 10014 52 = 60 N S + c(FR)y = Fy; (FR)y = -15014 52 - 10013 52 = -180 N = 180 N T FR = 2602 + 1802 = 189,74 N = 190 N u = tg-11180 60 2 = 71,6 +(MR)A = MA; (MR)A = 10014 52(1) - 10013 52(6) - 15014 52(3) = -640 = 640 N # m Resposta Resposta Resposta F4.29. FR = F; FR = F1 + F2 = (-300i + 150j + 200k) + (-450k) = 5-300i + 150j - 250k6 N rOA = (2 - 0)j = 52j6 m rOB = (-1,5- 0)i + (2 - 0)j + (1 - 0)k = 5-1,5i + 2j + 1k6 m Resposta 546 ESTÁTICA (MR)O = M; (MR)O = rOB * F1 + rOA * F2 = 3 i j k -1,5 2 1 -300 150 200 3 + 3 i j k 0 2 0 0 0 -450 3 = 5-650i + 375k6N# m Resposta F4.30. F1 = 5-100j6 N F2 = (200 N)J 5-0,4i - 0,3k6 m 2(-0,4 m)2 + (-0,3 m)2 R = 5-160i - 120k6 N Mc = 5-75i6 N# m FR = { -160i - 100j - 120k} N (MR)O = (0,3k) * (-100j) + 3 i j k 0 0,5 0,3 -160 0 -120 3 + (-75i) = { -105i - 48j + 80k} N# m Resposta Resposta F4.31. + TFR = Fy; FR = 500 + 250 + 500 = 1250 N +FRx = MO; 1250(x) = 500(1) + 250(2) + 500(3) x = 2 m Resposta Resposta F4.32. S + (FR)x = Fx; (FR)x = 10013 52+ 50 sen 30 = 85 N S + c(FR)y = Fy; (FR)y = 200 + 50 cos 30 - 10014 52 = 163,30 Nc FR = 2852 + 163,302 = 184 N u = tg-11163,30 85 2 = 62,5 +(MR)A = MA; 163,30(d) = 200(1) - 10014 52(2) + 50 cos 30 (3) d = 1,04 m Resposta Resposta F4.33. S + (FR)x = Fx; (FR)x = 1514 52 = 12 kN S + c(FR)y = Fy; (FR)y = -20 + 1513 52 = -11 kN = 11 kNT FR = 2122 + 112 = 16,3 kN u = tg-1111 122 = 42,5 +(MR)A = MA; -11(d) = -20(2) - 1514 52(2) + 1513 52(6) d = 0,909 m Resposta Resposta Resposta F4.34. +S(FR)x = Fx; (FR)x = 13 52 5 kN - 8 kN = -5 kN = 5 kN d + c(FR)y = Fy; (FR)y = -6 kN - 14 52 5 kN = -10 kN = 10 kNT FR = 252 + 102 = 11,2 kN u = tg-1110 kN 5 kN 2 = 63,4 +(MR)A = MA; 5 kN(d) = 8 kN(3 m) - 6 kN(0,5 m) - 314 525 kN4(2 m) - 313 525 kN4(4 m) d = 0,2 m Resposta Resposta Resposta F4.35. + TFR = Fz; FR = 400 + 500 - 100 = 800 N MRx = Mx; -800y = -400(4) - 500(4) y = 4,50 m MRy = My; 800x = 500(4) - 100(3) x = 2,125 m Resposta Resposta Resposta F4.36. + TFR = Fz; FR = 200 + 200 + 100 + 100 = 600 N +MRx = Mx; -600y = 200(1) + 200(1) + 100(3) - 100(3) y = -0,667 m +MRy = My; 600x = 100(3) + 100(3) + 200(2) - 200(3) x = 0,667 m Resposta Resposta Resposta F4.37. + cFR = Fy; -FR = -6(1,5) - 9(3) - 3(1,5) FR = 40,5 kNT +(MR)A = MA; -40,5(d) = 6(1,5)(0,75) - 9(3)(1,5) - 3(1,5)(3,75) d = 1,25 m Resposta Resposta F4.38. + TFR = Fy; FR = 1 2 (3)(15) + 4(15) = 82,5 kN +MAR = MA; 82,5d = 31 2 (3)(15)4(2) + [4(15)](5) d = 4,18 m Resposta Resposta F4.39. + cFR = Fy; -FR = - 1 2 (6)(3) - 1 2 (6)(6) FR = 27 kNT +(MR)A = MA; -27(d) = 1 2(6)(3)(1) - 1 2(6)(6)(2) d = 1 m Resposta Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 547 F4.40. + TFR = Fy; FR = 1 2(50)(3) + 150(3) + 500 = 1025 N = 1,025 kN +MAR = MA; 1025d = 31 2(50)(3)4(2) + [150(3)](1,5) + 500(4,5) d = 3,00 m Resposta Resposta F4.41. + cFR = Fy; -FR = - 1 2(3)(4,5) - 3(6) FR = 24,75 kNT +(MR)A = MA; -24,75(d) = - 1 2(3)(4,5)(1,5) - 3(6)(3) d = 2,59 m Resposta Resposta F4.42. FR = L w(x) dx = L 4 0 2,5x3 dx = 160 N +MAR = MA; x = L xw(x) dx L w(x) dx = L 4 0 2,5x4 dx 160 = 3,20 m Resposta Capítulo 5 F5.1. +S Fx = 0; -Ax + 513 52 = 0 Ax = 3,00 kN + MA = 0; By(4) - 514 52(2) - 6 = 0 By = 3,50 kN + c Fy = 0; Ay + 3,50 - 514 52 = 0 Ay = 0,500 kN Resposta Resposta Resposta F5.2. + MA = 0; FCD sen 45 (1,5 m) - 4 kN(3 m) = 0 FCD = 11,31 kN = 11,3 kN +S Fx = 0; Ax + (11,31 kN) cos 45 = 0 Ax = -8 kN = 8 kN d + c Fy = 0; Ay + (11,31 kN) sen 45 - 4 kN = 0 Ay = -4 kN = 4 kN T Resposta Resposta Resposta F5.3. + MA = 0; NB[6 m + (6 m) cos 45 ] - 10 kN[2 m + (6 m) cos 45 ] - 5 kN(4 m) = 0 NB = 8,047 kN = 8,05 kN +S Fx = 0; (5 kN) cos 45 - Ax = 0 Ax = 3,54 kN + c Fy = 0; Ay + 8,047 kN - (5 kN) sen 45 - 10 kN = 0 Ay = 5,49 kN Resposta Resposta Resposta F5.4. +S Fx = 0; -Ax + 400 cos 30 = 0 Ax = 346 N + c Fy = 0; Ay - 200 - 200 - 200 - 400 sen 30 = 0 Ay = 800 N + MA = 0; MA - 200(2,5) - 200(3,5) - 200(4,5) - 400 sen 30 (4,5) - 400 cos 30 (3 sen 60 ) = 0 MA = 3,90 kN# m Resposta Resposta Resposta F5.5. + MA = 0; NC(0,7 m) - [25(9,81) N] (0,5 m) cos 30 = 0 NC = 151,71 N = 152 N +S Fx = 0; TAB cos 15 - (151,71 N) cos 60 = 0 TAB = 78,53 N = 78,5 N + c Fy = 0; FA + (78,53 N) sen 15 + (151,71 N) sen 60 - 25(9,81) N = 0 FA = 93,5 N Resposta Resposta Resposta F5.6. +S Fx = 0; NC sen 30 - (250 N) sen 60 = 0 NC = 433,0 N = 433 N + MB = 0; -NA sen 30 (0,15 m) - 433,0 N(0,2 m) + [(250 N) cos 30 ](0,6 m) = 0 NA = 577,4 N = 577 N + c Fy = 0; NB - 577,4 N + (433,0 N)cos 30 - (250 N) cos 60 = 0 NB = 327 N Resposta Resposta Resposta F5.7. Fz = 0; TA + TB + TC - 20 - 50 = 0 Mx = 0; TA(3) + TC(3) - 50(1,5) - 20(3) = 0 My = 0; -TB(4) - TC(4) + 50(2) + 20(2) = 0 TA = 35 kN, TB = 250 kN, TC = 10 kN Resposta F5.8. My = 0; 600 N(0,2 m) + 900 N(0,6 m) - FA(1 m) = 0 FA = 660 N Mx = 0; Dz(0,8 m) - 600 N(0,5 m) - 900 N(0,1 m) = 0 Dz = 487,5 N Fx = 0; Dx = 0 Fy = 0; Dy = 0 Fz = 0; TBC + 660 N + 487,5 N - 900 N - 600 N = 0 TBC = 352, 5 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta 548 ESTÁTICA F5.9. Fy = 0; 400 N + Cy = 0; Cy = -400 N My = 0; -Cx (0,4 m) - 600 N (0,6 m) = 0 Cx = -900 N Mx = 0; Bz (0,6 m) + 600 N (1,2 m) + (-400 N)(0,4 m) = 0 Bz = -933,3 N Mz = 0; -Bx (0,6 m) - (-900 N)(1,2 m) + (-400 N)(0,6 m) = 0 Bx = 1400 N Fx = 0; 1400 N + (-900 N) + Ax = 0 Ax = -500 N Fz = 0; Az - 933,3 N + 600 N = 0 Az = 333,3 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta F5.10. Fx = 0; Bx = 0 Mz = 0; Cy(0,4 m + 0,6 m) = 0 Cy = 0 Fy = 0; Ay + 0 = 0 Ay = 0 Mx = 0; Cz(0,6 m + 0,6 m) + Bz(0,6 m) - 450 N(0,6 m + 0,6 m) = 0 1,2Cz + 0,6Bz - 540 = 0 My = 0; -Cz(0,6 m + 0,4 m) - Bz(0,6 m) + 450 N(0,6 m) = 0 -Cz - 0,6Bz + 270 = 0 Cz = 1350 N Bz = -1800 N Fz = 0; Az + 1350 N + (-1800 N) - 450 N = 0 Az = 900 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta F5.11. Fy = 0; Ay = 0 Mx = 0; -9(3) + FCE(3) = 0 FCE = 9 kN Mz = 0; FCF(3) - 6(3) = 0 FCF = 6 kN My = 0; 9(4) - Az (4) - 6(1,5) = 0 Az = 6,75 kN Fx = 0; Ax + 6 - 6 = 0 Ax = 0 Fz = 0; FDB + 9 - 9 + 6,75 = 0 FDB = -6,75 kN Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta F5.12. Fx = 0; Ax = 0 Fy = 0; Ay = 0 Fz = 0; Az + FBC - 80 = 0 Mx = 0; (MA)x + 6FBC - 80(6) = 0 My = 0; 3FBC - 80(1,5) = 0 FBC = 40 N Mz = 0; (MA)z = 0 Az = 40 N (MA)x = 24 N # m Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta Capítulo 6 F6.1. Nó A. + c Fy = 0; 22,5 kN - FAD sen 45 = 0 FAD = 31,82 kN = 31,8 kN (C) +S Fx = 0; FAB - (31,82 kN) cos 45 = 0 FAB = 22,5 kN (T) Resposta Resposta Nó B. +S Fx = 0; FBC - 22,5 kN = 0 FBC = 22,5 kN (T) + c Fy = 0; FBD = 0 Resposta Resposta Nó D. +S Fx = 0; FCD cos 45 + (31,82 kN) cos 45 - 4,5 kN = 0 FCD = 31,82 kN = 31,8 kN (T) Resposta F6.2. Nó D. + c Fy = 0; 3 5 FCD - 30 = 0; FCD = 50,0 kN (T) S + Fx = 0; -FAD + 4 5 (50,0) = 0 FAD = 40,0 kN (C) FBC = 50,0 kN (T), FAC = FAB = 0 Resposta Resposta Resposta F6.3. Ax = 0, Ay = Cy = 40 kN; FAF = 0 Nó A. + c Fy = 0; -3 5 FAE + 40 = 0 FAE = 66,7 kN(C) Resposta Nó C. + c Fy = 0; -FDC + 40 = 0 FDC = 40 kN(C) Resposta F6.4. Nó C. + c Fy = 0; 2F cos 30 - P = 0 FAC = FBC = F = P 2 cos 30 = 0,5774P (C) Nó B. +S Fx = 0; 0,5774P cos 60 - FAB = 0 FAB = 0,2887P (T) FAB = 0,2887P = 2 kN P = 6,928 kN FAC = FBC = 0,5774P = 1,5 kN P = 2,598 kN O menor valor de P é escolhido, P = 2,598 kN = 2,60 kN Resposta F6.5. FCB = 0 FCD = 0 FAE = 0 FDE = 0 Resposta Resposta Resposta Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 549 F6.6. Nó C. + c Fy = 0; 25,98 kN - FCD sen 30 = 0 FCD = 51,96 kN = 52,0 kN (C) +S Fx = 0; (51,96 kN) cos 30 - FBC = 0 FBC = 45,0 kN (T) Resposta Resposta Nó D. +Q Fy = 0; FBD cos 30 = 0 FBD = 0 +R Fx = 0; FDE - 51,96 kN = 0 FDE = 51,96 kN = 52,0 kN (C) Resposta Resposta Nó B. c Fy = 0; FBE sen f = 0 FBE = 0 +S Fx = 0; 45,0 kN - FAB = 0 FAB = 45,0 kN (T) Resposta Resposta Nó A. + c Fy = 0; 34,02 kN - FAE = 0 FAE = 34,0 kN (C) Resposta F6.7. + c Fy = 0; FCF sen 45 - 600 - 800 = 0 FCF = 1980 N (T) + MC = 0; FFE(1) - 800(1) = 0 FFE = 800 N (T) + MF = 0; FBC(1) - 600(1) - 800(2) = 0 FBC = 2200 N (C) Resposta Resposta Resposta F6.8. + MA = 0; Gy(12 m) - 20 kN(2 m) - 30 kN(4 m) - 40 kN(6 m) = 0 Gy = 33,33 kN + c Fy = 0; FKC + 33,33 kN - 40 kN = 0 FKC = 6,67 kN (C) + MK = 0; 33,33 kN(8 m) - 40 kN(2 m) - FCD(3 m) = 0 FCD = 62,22 kN = 62,2 kN (T) +S Fx = 0; FLK - 62,22 kN = 0 FLK = 62,2 kN (C) Resposta Resposta Resposta F6.9. Pela geometria da treliça, f = tg -1(3 m>2 m) = 56,31 . + MK = 0; 33,33 kN(8 m) - 40 kN(2 m) - FCD(3 m) = 0 FCD = 62,2 kN (T) + MD = 0; 33,33 kN(6 m) - FKJ(3 m) = 0 FKJ = 66,7 kN (C) + c Fy = 0; 33,33 kN - 40 kN + FKD sen 56,31 = 0 FKD = 8,01 kN (T) Resposta Resposta Resposta F6.10. Pela geometria da treliça, tg f = (3 m) tg 30 1 m = 1,732 f = 60 + MC = 0; FEF sen 30 (2 m) + 300 N(2 m) = 0 FEF = -600 N = 600 N (C) Resposta + MD = 0; 300 N(2 m) - FCF sen 60 (2 m) = 0 FCF = 346,41 N = 346 N (T) + MF = 0; 300 N(3 m) - 300 N(1 m) - FBC(3 m)tg 30 = 0 FBC = 346,41 N = 346 N (T) Resposta Resposta F6.11. Pela geometria da treliça, u = tg-1 (1 m>2 m) = 26,57 f = tg-1 (3 m>2 m) = 56,31 . A posição de G pode ser achada usando-se triângu- los semelhantes 1 m 2 m = 2 m 2 m + x 4 m = 2 m + x x = 2 m + MG = 0; 26,25 kN(4 m) - 15 kN(2 m) - FCD(3 m) = 0 FCD = 25 kN (T) + MD = 0; 26,25 kN(2 m) - FGF cos 26,57 (2 m) = 0 FGF = 29,3 kN (C) + MO = 0; 15 kN(4 m) - 26,25 kN(2 m) - FGD sen 56,31 (4 m) = 0 FGD = 2,253 kN = 2,25 kN (T) Resposta Resposta Resposta F6.12. + MH = 0; FDC(4 m) + 12 kN(3 m) - 16 kN(7 m) = 0 FDC = 19 kN (C) + MD = 0; 12 kN(7 m) - 16 kN(3 m) - FHI (4 m) = 0 FHI = 9 kN (C) + MC = 0; FJI cos 45 (4 m) + 12 kN(7 m) - 9 kN(4 m) - 16 kN(3 m) = 0 FJI = 0 Resposta Resposta Resposta F6.13. + c Fy = 0; 3P - 60 = 0 P = 20 N Resposta F6.14. + MC = 0; -14 52(FAB)(3) + 400(2) + 500(1) = 0 FAB = 541,67 N S + Fx = 0; -Cx + 3 5 (541,67) = 0 Cx = 325 N + c Fy = 0; Cy + 4 5 (541,67) - 400 - 500 = 0 Cy = 467 N Resposta Resposta F6.15. + MA = 0; 100 N(250 mm) - NB(50 mm) = 0 NB = 500 N Resposta 550 ESTÁTICA S + Fx = 0; (500 N) sen 45 - Ax = 0 Ax = 353,55 N + c Fy = 0; Ay - 100 N - (500 N) cos 45 = 0 Ay = 453,55 N FA = 2(353,55 N)2 + (453,55 N)2 = 575 N Resposta F6.16. + MC = 0; 400(2) + 800 - FBA 1 3 1102(1) - FBA 1 1 1102(3) = 0 FBA = 843,27 N S + Fx = 0; Cx - 843,27 1 3 1102 = 0 Cx = 800 N + c Fy = 0; Cy + 843,271 1 1102- 400 = 0 Cy = 133 N Resposta Resposta F6.17. Chapa A: + c Fy = 0; 2T + NAB - 100 = 0 Chapa B: + c Fy = 0; 2T - NAB - 30 = 0 T = 32,5 N, NAB = 35 N Resposta F6.18. Polia C: + c Fy = 0; T - 2P = 0; T = 2P Viga: + c Fy = 0; 2P + P - 6 = 0 P = 2 kN + MA = 0; 2(1) - 6(x) = 0 x = 0,333 m Resposta F6.19. Membro CD + MD = 0; 60011,52 - NC132 = 0 NC = 300 N Membro ABC + MA = 0; -800 + By122 - 1300 sen 45 2 4 = 0 By = 824,26 = 824 N +S Fx = 0; Ax - 300 cos 45 = 0; Ax = 212 N + c Fy = 0; -Ay + 824,26 - 300 sen 45 = 0; Ay = 612 N Resposta Resposta Resposta F6.20. AB é um membro de duas forças. Membro BC + Mc = 0; 15132 + 10162 - FBC14 52192 = 0 FBC = 14,58 kN +S Fx = 0; 114,58213 52 - Cx = 0; Cx = 8,75 kN + c Fy = 0; 114,58214 52 - 10 - 15 + Cy = 0; Cy = 13,3 kN Membro CD +S Fx = 0; 8,75 - Dx = 0; Dx = 8,75 kN + c Fy = 0; -13,3 + Dy = 0; Dy = 13,3 kN + MD= 0; -8,75142 + MD = 0; MD= 35 kN# m Resposta Resposta Resposta F6.21. Estrutura inteira + MA = 0; -600132 - 3400132 4 11,52 + Cy132 = 0 Cy = 1200 N + c Fy = 0; Ay - 400132 + 1200 = 0 Ay = 0 +S Fx = 0; 600 - Ax - Cx = 0 Resposta Resposta Membro AB + MB = 0; 40011,5210,752 - Ax132 = 0 Ax = 150 N Cx = 450 N Resposta Resposta Os mesmos resultados podem ser obtidos conside- rando os membros AB e BC. F6.22. Estrutura inteira + ME = 0; 250162 - Ay162 = 0 Ay = 250 N +S Fx = 0; Ex = 0 + c Fy = 0; 250 - 250 + Ey = 0; Ey = 0 Membro BD + MD = 0; 25014,52 - By132 = 0; By = 375 N Membro ABC + MC = 0; -250132 + 37511,52 + Bx122 = 0 Bx = 93,75 N +S Fx = 0; Cx - Bx = 0; Cx = 93,75 N + c Fy = 0; 250 - 375 + Cy = 0; Cy = 125 N Resposta Resposta F6.23. AD, CB são membros de duas forças. Membro AB + MA = 0; - 31 2132142411,52 + By132 = 0 By = 3 kN Como BC é um membro de duas forças, Cy = By = 3 kN e Cx = 0 (MB = 0). Membro EDC + ME = 0; FDA14 5211,52 - 5132 - 3132 = 0 FDA = 20 kN +S Fx = 0; Ex - 2013 52 = 0; Ex = 12 kN + c Fy = 0; -Ey + 2014 52 - 5 - 3 = 0; Ey = 8 kN Resposta Resposta F6.24. AC e DC são membros de duas forças. Membro BC + MC = 0; 3 1 2 (3)(8)4 112 - By132 = 0 By = 4 kN F7.2. ζ +ΣMB = 0; 30 – 10(1,5) – A(3) = 0 A3 = 5 kN Resposta ±ΣXF = 0; NC = 0 +ΣYF = 0; 5 – VC = 0 VC = 5 kN Resposta ζ +ΣMC = 0; MC + 30 – 5(1,5) = 0 MC = –22,5 kN·m Resposta F7.3. ±ΣXF = 0; B2 = 0 ζ +ΣMA = 0; 30(3)(1,5) – B2(6) = 0 B2 = 22,5 kN Resposta ±ΣXF = 0; NC = 0 +ΣYF = 0; VC – 22,5 = 0 VC = 22,5 kN Resposta ζ +ΣMC = 0; MC – 22,5(3) = 0 MC = –67,5 kN·m Resposta F7.4. ζ +ΣMA = 0; B2(6) – 12(1,5) – 9(3)(4,5) = 0 B2 = 23,25 kN Resposta ±ΣXF = 0; NC = 0 +ΣYF = 0; VC + 23,25 – 9(1,5) = 0 VC = –9,75 kN Resposta ζ +ΣMC = 0; 23,25(1,5) – 9(1,5)(0,75) – MC = 0 MC = 24,75 kN·m Resposta F7.5. ζ +ΣMA = 0; B2(6) – ½(9)(6)(3) = 0 B2 = 13,5 kN Resposta ±ΣXF = 0; NC = 0 +ΣYF = 0; VC + 13,5 – ½(9)(3) = 0 VC = 0 Resposta ζ +ΣMC = 0; 13,5(3) – ½(9)(3)(1) – MC = 0 MC = 27 kN·m Resposta F7.6. ζ +ΣMA = 0; B2(6) – ½(6)(2)(6) – 6(3)(4,5) = 0 B2 = 16,5 kN Resposta ±ΣXF = 0; NC = 0 +ΣYF = 0; VC + 16,5 – 6(3) = 0 VC = 1,5 kN Resposta ζ +ΣMC = 0; 16,5(3) – 6(3)(1,5) – MC = 0 MC = 22,5 kN·m Resposta F7.7. +ΣYF = 0; 6 – V = 0 V = 6 kN ζ +ΣMO = 0; M + 18 – 6x = 0 M = (6x – 18) kN·m FIGURA F7.7 F7.8. +ΣYF = 0; – V – 2x = 0 V = (–2x) kN ζ +ΣMO = 0; M + 2x(½) – 15 = 0 M = (15 – ½x) kN·m FIGURA F7.8 F7.9. +ΣYF = 0; – V – ½(2x)(x) = 0 V = (–½x) kN ζ +ΣMO = 0; M + ½(2x)(½x) = 0 M = (– ¼x²) kN·m FIGURA F7.9 552 ESTÁTICA F7.10. +ΣYF = 0; – V – 2x = 0 V = –2x kN ζ +ΣMO = 0; M + 2x = 0 M = (–2x) kN·m V (kN) M (kN·m) 6 x (m) 6 x (m) –2 –12 FIGURA F7.10 F7.11. Região 3 ≤ x < 3 m +ΣYF = 0; – V – 5 = 0 V = –5 kN ζ +ΣMO = 0; M + 5x = 0 M = (–5x) kN·m Região 0 < x ≤ 6 m +ΣYF = 0; V + 5 = 0 V = –5 kN ζ +ΣMO = 0; 5(6 – x) – M = 0 M = (5(6 – x)) kN·m V (kN) M (kN·m) 6 x (m) 6 x (m) 3 6 –5 –15 FIGURA F7.11 F7.12. Região 0 ≤ x < 3 m +ΣYF = 0; V = 0 ζ +ΣMO = 0; M – 12 = 0 M = 12 kN·m Região 3 m < x ≤ 6 m +ΣYF = 0; V + 4 = 0 V = –4 kN ζ +ΣMO = 0; 4(6 – x) – M = 0 M = (4(6 – x)) kN·m V (kN) M (kN·m) 6 x (m) 6 x (m) –4 FIGURA F7.12 F7.13. V (kN) M (kN·m) 3 –4 x (m) –10 –18 x (m) 1 2 3 1 2 3 –14 –32 FIGURA F7.13 F7.14. V (kN) M (kN·m) 1,5 x (m) 3 x (m) 6 18 –9 –27 FIGURA F7.14 F7.15. V (kN) M (kN·m) 1 –8 x (m) 2 3 4 6 x (m) 2 4 8 16 20 –10 FIGURA F7.15 F7.16. V (kN) M (kN·m) 1,5 x (m) 9 x (m) 4,5 6 –9 –6,75 FIGURA F7.16 F7.17. V (kN) M (kN·m) 9 x (m) 3 6 x (m) 3 6 –9 9 FIGURA F7.17 554 ESTÁTICA Suponha que B esteja prestes a tombar sobre A, x = 0. + MO = 0; 1019,81210,152 - P10,42 = 0 P = 36,8 N Suponha que A esteja prestes a deslizar, FA = 0,1 NA. +S Fx = 0 P - 0,13719,812 + 1019,812 4 = 0 P = 16,7 N Escolha o menor resultado. P = 16,7 N Resposta Capítulo 9 F9.1. x = LA x dA LA dA = 1 2 L 1 m 0 y2/3 dy L 1 m 0 y1/3dy = 0,4 m y = LA y dA LA dA = L 1 m 0 y4/3 dy L 1 m 0 y1/3dy = 0,571 m Resposta Resposta F9.2. x = LA x dA LA dA = L 1 m 0 x(x3 dx) L 1 m 0 x3 dx = 0,8 m y = LA y dA LA dA = L 1 m 0 1 2 x31x3 dx2 L 1 m 0 x3 dx = 0,286 m Resposta Resposta F9.3. y = LA y dA LA dA = L 2 m 0 ya2a y1/2 22 b bdy L 2 m 0 2a y1/2 22 bdy = 1,2 m Resposta F9.4. x = Lm x dm Lm dm = L L 0 xJm0¢1 + x2 L2≤dxR L L 0 m0¢1 + x2 L2≤dx = 9 16 L Resposta F9.5. y = LV y dV LV dV = L 1 m 0 y p 4 ydy L 1 m 0 p 4 y dy = 0,667 m ¢ ≤ Resposta F9.6. z = LV z dV LV dV = L 2 m 0 zc 9p 64 (4 - z)2 dzd L 2 m 0 9p 64 (4 - z)2 dz = 0,786 m Resposta F9.7. x = x L L = 150(300) + 300(600) + 300(400) 300 + 600 + 400 = 265 mm y = y L L = 0(300) + 300(600) + 600(400) 300 + 600 + 400 = 323 mm z = z L L = 0(300) + 0(600) + (-200)(400) 300 + 600 + 400 = -61,5 mm Resposta Resposta Resposta F9.8. y = y A A = 150[300(50)] + 325[50(300)] 300(50) + 50(300) = 237,5 mm Resposta F9.9. y = y A A = 100[2(200)(50)] + 225[50(400)] 2(200)(50) + 50(400) = 162,5 mm Resposta F9.10. x = x A A = 0,25[4(0,5)] + 1,75[0,5(2,5)] 4(0,5) + 0,5(2,5) = 0,827 m y = y A A = 2[4(0,5)] + 0,25[(0,5)(2,5)] 4(0,5) + (0,5)(2,5) = 1,33 m Resposta Resposta F9.11. x = x V V = 1[2(7)(6)] + 4[4(2)(3)] 2(7)(6) + 4(2)(3) = 1,67 m y = y V V = 3,5[2(7)(6)] + 1[4(2)(3)] 2(7)(6) + 4(2)(3) = 2,94 m z = z V V = 3[2(7)(6)] + 1,5[4(2)(3)] 2(7)(6) + 4(2)(3) = 2,67 m Resposta Resposta Resposta F9.12. x = x V V = 0,25[0,5(2,5)(1,8)] + 0,25J 1 2(1,5)(1,8)(0,5)R + (1,0)J 1 2(1,5)(1,8)(0,5)R 0,5(2,5)(1,8) + 1 2 (1,5)(1,8)(0,5) + 1 2(1,5)(1,8)(0,5) = 0,391 m y = y V V = 5,00625 3,6 = 1,39 m z = z V V = 2,835 3,6 = 0,7875 m Resposta Resposta Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 555 F9.13. A = 2p rL = 2p30,75(1,5) + 1,5(2) + 0,752(1,5)2 + (2)24 = 37,7 m2 V = 2p rA = 2p30,75(1,5)(2) + 0,511 22(1,5)(2)4 = 18,8 m3 Resposta Resposta F9.14. A = 2p rL = 2p31,952(0,9)2 + (1,2)2 + 2,4(1,5) + 1,95(0,9) + 1,5(2,7)4 = 77,5 m2 V = 2p rA = 2p31,811 22(0,9)(1,2) + 1,95(0,9)(1,5)4 = 22,6 m3 Resposta Resposta F9.15. A = 2p rL = 2p37,5(15) + 15(18) + 22,52152 + 202 + 15(30)4 = 8765 mm2 V = 2p rA = 2p37,5(15)(38) + 2011 22(15)(20)4 = 45 710 mm3 Resposta Resposta F9.16. A = 2p rL = 2p3 2(1,5) p 1 p(1,5) 2 2 + 1,5(2) + 0,75(1,5)4 = 40,1 m2 V = 2p rA = 2p3 4(1,5) 3p 1 p11,522 4 2 + 0,75(1,5)(2)4 = 21,2 m3 Resposta Resposta F9.17. wb = rwghb = 1000(9,81)(6)(1) = 58,86 kN>m FR = 1 2 (58,76)(6) = 176,58 kN = 177 kN Resposta F9.18. wb = gw hb = 9,81 (2)(1) = 19,62 kN>m FR = 19,62(1,5) = 29,43 kN Resposta F9.19. wb = rwghBb = 1000(9,81)(2)(1,5) = 29,43 kN>m FR = 1 2 (29,43)1 2(1,5)2 + (2)22 = 36,8 kN Resposta F9.20. wA = rwghAb = 1000(9,81)(3)(2) = 58,86 kN>m wB = rwghBb = 1000(9,81)(5)(2) = 98,1 kN>m FR = 1 2 (58,86 + 98,1)(2) = 157 kN Resposta F9.21. wA = gwhA b = 9,81(1,8)(0,6) = 10,59 kN>m wB = gwhB b = 9,81(3,0)(0,6) = 17,66 kN>m FR = 1 2 (10,59 + 17,66)1 2(0,9)2 + (1,2)22 = 21,2 kN Resposta Capítulo 10 F10.1. Ix = LA y2 dA = L 1 m 0 y2311 - y3/22dy4 = 0,111 m4 Resposta F10.2. Ix = LA y2 dA = L 1 m 0 y21y3/2 dy2 = 0,222 m4 Resposta F10.3. Iy = LA x2 dA = L 1 m 0 x21x2/32dx = 0,273 m4 Resposta F10.4. Iy = LA x2dA = L 1 m 0 x23(1 - x2/3) dx4 = 0,0606 m4 Resposta F10.5. Ix = 3 1 12 (50)145032 + 04 + 3 1 12(300)15032 + 04 = 38311062 mm4 Iy = 3 1 12 (450)15032 + 04 + 23 1 12(50)115032 + (150)(50)(100)24 = 18311062 mm4 Resposta Resposta F10.6. Ix = 1 12 (360)120032 - 1 12 (300)114032 = 17111062 mm4 Iy = 1 12 (200)136032 - 1 12(140)130032 = 46311062 mm4 Resposta Resposta F10.7. Iy = 23 1 12(50)120032 + 04 + 3 1 12(300)15032 + 04 = 69,8 (106) mm4 Resposta F10.8. y = y A A = 15(150)(30) + 105(30)(150) 150(30) + 30(150) = 60 mm Ix = (I + Ad2) = 3 1 12 (150)(30)3 + (150)(30)(60 - 15)24 + 3 1 12(30)(150)3 + 30(150)(105 - 60)24 = 27,0 (106) mm4 Resposta Capítulo 11 F11.1. yG = 0,75 sen u dyG = 0,75 cos u du xC = 2(1,5) cos u dxC = -3 sen u du dU = 0; 2WdyG + PdxC = 0 (294,3 cos u - 3P sen u)du = 0 P = 98,1 cotgu u= 60 = 56,6 N Resposta 556 ESTÁTICA F11.2. xA = 5 cos u dxA = -5 sen u du yG = 2,5 sen u dyG = 2,5 cos u du dU = 0; -PdxA + (-WdyG) = 0 (5P sen u - 1226,25 cos u)du = 0 P = 245,25 cotg u u= 60 = 142 N Resposta F11.3. xB = 0,6 sen u dxB = 0,6 cos u du yC = 0,6 cos u dyC = -0,6 sen u du dU = 0; -FspdxB + (-PdyC) = 0 -911032 sen u (0,6 cos u du) - 2000(-0,6 sen u du) = 0 sen u = 0 u = 0 -5400 cos u + 1200 = 0 u = 77,16 = 77,2 Resposta Resposta F11.4. xB = 0,9 cos u dxB = -0,9 sen u du xC = 2(0,9 cos u) dxC = -1,8 sen u du dU = 0; PdxB + 1 -Fsp dxC2 = 0 611032(-0,9 sen u du) - 3611032(cos u - 0,5)(-1,8 sen u du) = 0 sen u (64800 cos u - 37800)du = 0 sen u = 0 u = 0 64800 cos u - 37800 = 0 u = 54,31 = 54,3 Resposta Resposta F11.5. yG = 2,5 sen u dyG = 2,5 cos u du xA = 5 cos u dxC = -5 sen u du dU = 0; 1 -FspdxA2-WdyG = 0 (15000 sen u cos u - 7500 sen u - 1226,25 cos u)du = 0 u = 56,33 = 56,3 ou u = 9,545 = 9,55 Resposta Resposta F11.6. Fsp = 15000(0,6 - 0,6 cos u) xC = 3[0,3 sen u] dxC = 0,9 cos u du yB = 2[0,3 cos u] dyB = -0,6 sen u du dU = 0; PdxC + FspdyB = 0 (135 cos u - 5400 sen u + 5400 sen u cos u)du = 0 u = 20,9 Resposta Problemas preliminares — Soluções de estática 559 Capítulo 4 4.1. a) MO = 100 N(2 m) = 200 N# m b) MO = -100 N(1 m) = 100 N# m c) MO = - a3 5b(500 N)(2 m) = 600 N# m d) MO = a4 5b(500 N)(3 m) = 1200 N# m e) MO = - a3 5b(100 N)(5 m) = 300 N# m f) MO = 100 N(0) = 0 g) MO = - a3 5b(500 N)(2 m) + a4 5b(500 N)(1 m) = 200 N# m h) MO = - a3 5b(500 N)(3 m - 1 m) + a4 5b(500 N)(1 m) = 200 N# m i) MO = a3 5b(500 N)(1 m) - a4 5b(500 N)(3 m) = 900 N# m 4.2. MP = 3 i j k 2 -3 0 -3 2 5 3 MP = 3 i j k 2 5 -1 2 -4 -3 3 MP = 3 i j k 5 -4 -1 -2 3 4 3 4.3. a) Mx = -(100 N)(3 m) = -300 N# m My = -(200 N)(2 m) = -400 N# m Mz = -(300 N)(2 m) = -600 N# m b) Mx = (50 N)(0,5 m) = 25 N# m My = (400 N)(0,5 m) - (300 N)(3 m) = -700 N# m Mz = (100 N)(3 m) = 300 N# m c) Mx = (300 N)(2 m) - (100 N)(2 m) = 400 N# m My = -(300 N)(1 m) + (50 N)(1 m) + (400 N)(0,5 m) = 250 N# m Mz = -(200 N)(1 m) = -200 N# m 4.4. a) Ma = 4 - 4 5 - 3 5 0 -5 2 0 6 2 3 4 = 4 -4 5 - 3 5 0 -1 5 0 6 2 3 4 b) Ma = 4 - 1 22 1 22 0 3 4 -2 2 -4 3 4 = 4 - 1 22 1 22 0 5 2 -2 2 -4 3 4 c) Ma = 4 2 3 - 1 3 2 3 -5 -4 0 2 -4 3 4 = 4 2 3 - 1 3 2 3 -3 -5 2 2 -4 3 4 4.5. a) +S (FR)x = Fx ; (FR)x = - a4 5b500 N + 200 N = -200 N + c(FR)y = Fy ; (FR)y = - 3 5 (500 N) - 400 N = -700 N + (MR)O = MO; (MR)O = - a3 5b(500 N)(2 m) - 400 N(4 m) = -2200 N# m b) +S (FR)x = Fx; (FR)x = a4 5b(500 N) = 400 N + c(FR)y = Fy; (FR)y = -(300 N) - a3 5b(500 N) = -600 N + (MR)O = MO; (MR)O = -(300 N)(2 m) - a3 5b(500 N)(4 m) - 200 N# m = -2000 N# m c) +S (FR)x = Fx; (FR)x = a3 5b(500 N) + 100 N = 400 + c(FR)y = Fy; (FR)y = -(500 N) - a4 5b(500 N) = -900 N + (MR)O = MO; (MR)O = -(500 N)(2 m) - a4 5b(500 N)(4 m) + a3 5b(500 N)(2 m) = -2000 N# m d) +S (FR)x = Fx; (FR)x = - a4 5b(500 N) + a3 5b(500 N) = -100 N + c(FR)y = Fy; (FR)y = - a3 5b(500 N) - a4 5b(500 N) = -700 N + (MR)O = MO; (MR)O = a4 5b(500 N)(4 m) + a3 5b(500 N)(2 m) - a3 5b(500 N)(4 m) + 200 N# m = 1200 N# m 4.6. a) +S(FR)x = Fx; (FR)x = 0 + c(FR)y = Fy; (FR)y = -200 N - 260 N = -460 N + (FR)yd = MO; -(460 N)d = -(200 N)(2 m) - (260 N)(4 m) d = 3,13 m Nota: embora 460 N atue de cima para baixo, não é por isso que –(460 N)d é negativo. É porque o mo- mento de 460 N em relação a O é negativo. 560 ESTÁTICA b) +∫F_{x, k} = ∑F_{x, i}; (F_R)_k = ( \frac{3}{5} ) (500 N) = −300 N +∫F_{x, k} = ∑F_{y, i}; (F_R)_k = −400 N − ( \frac{4}{5} ) (500 N) = −800 N ζ + (F_{R, k})d = ∑M_{0_i}; −(800 N)d = −(400 N)(2 m) − ( \frac{4}{5} )(500 N)(4 m) d = 3 m c) +∫F_{x, k} = ∑F_{x, i}; (F_R)_k = ( \frac{4}{5} )(500 N) − ( \frac{4}{5} )(500 N) = 0 +∫F_{y, k} = ∑F_{y, i}; (F_R)_k = −( \frac{3}{5} )(500 N) − ( \frac{3}{5} )(500 N) = −600 N ζ + (F_{y, k})d = ∑M_{0_i}; −(600 N)d = −( \frac{3}{5} )(500 N)(2 m) − ( \frac{3}{5} )(500 N)(4 m) − 600 N · m d = 4 m 4.7. a) +∫F_R = ∑F_i; F_R = 200 N + 100 N + 200 N = 500 N (M_R)_k = ∑M_{0_i}; −(500 N)y = −(100 N)(2 m) − (200 N)(2 m) y = 1,20 m (M_R)_y = ∑M_{y_i}; (500 N)x = (100 N)(2 m) + (200 N)(1 m) x = 0,80 m b) +∫F_R = ∑F_i; F_R = 100 N − 100 N + 200 N = 200 N (M_{R_k) = ∑M_{0_i}; −(200 N)y = (100 N)(1 m) + (100 N)(2 m) = (200 N)(2 m) y = 0,5 m (M_R)_y = ∑M_{y_i}; (200 N)x = −(100 N)(2 m) + (100 N)(2 m) x = 0 c) +∫F_R = ∑F_i; F_R = 400 N + 300 N + 200 N + 100 N = 1000 N (M_R)_k = ∑M_{0_i}; −(1000 N)y = −(300 N)(4 m) − (100 N)(4 m) y = 1,6 m (M_R)_i = ∑M_{i_i}; (1000 N)x = (400 N)(2 m) + (300 N)(2 m) = (200 N)(2 m) −(100 N)(2 m) x = 0,8 m Capítulo 5 5.1 A_x T_B C_x 5/3 4 3 m 2 m (a) 2 m B_x 3 m 600 N · m (b) 1200 N A_x C_x 1 m + m + 2 m 500 N 1 m B_y (c) N_a 3 λ 4 5 5/3 (d) C_x 30° A_x M_A A_y 500 N 400 N 1 3 m 2 m 2 m B_x B_y Α_C (e) F_A 2 m 30° C_y (f) 1 m 2 m 561 Problemas preliminares — Soluções de estática Capítulo 6 6.1. a) A_y = 200 N, D_x = 0, D_y = 200 N F_AE 45° A F_AB 200 N A B F_BE F_BC F_AB 400 N b) A_y = 300 N, C_x = 0, C_y = 300 N A 30° F_AF F_AB 300 N F_BE F_BD F_F 30° F_AB 600 N F_CE F_CE F_CB F_CD A 30° 300 N 300 N 5.2. A_z 300 N B_y 2 m 1 m C_z 0,5 m B_x A_y C_y (a) A_x 3 m 1 m 1 m B_x 2 m 2 m 500 N C_y C_x B_X (b) B_x C_y 400 N B_y M_y 2 m B_y 2 m (c) 5.3. a) ∑M_{t_0} = 0; −(400 N)(2 m) − (600 N)(5 m) + B_t(5 m) = 0 ∑M_y = 0; −A_t (4 m) − B_t(4 m) = 0 ∑M_z = 0; B_t(4 m) − B_t(5 m) + (300 N)(5 m) = 0 b) ∑M_{t_0} = 0; A_t(4 m) + C_t(6 m) = 0 ∑M_y = 0; B_t(1 m) − C_t(1 m) = 0 ∑M_z = 0; −B_t(1 m) + (300 N)(2 m) − A_t(4 m) + C_t(1 m) = 0 c) ∑M_{t_0} = 0; B_t(2 m) + C_t(3 m) − 800 N · m = 0 ∑M_y = 0; −C_t(1,5 m) = 0 ∑M_z = 0; −B_t(2 m) + C_t(1,5 m) = 0 6.2. a) F_HG = 0 F_ED = 0 H F_HA 0 D F_DE = 0 E F_EC = 0 F_ED = 0 F_BG = 0 F_AB B F_C TA F_CE = 0 C b) F_GA F_GF F_F GA F_FF F_GC c) F_FE F_FCD F_FCB F_FFD F_FG (b) 562 ESTÁTICA 6.3. a) 60 N · m A_x C_x 4 m B_x C_y A_y B_y 1,5 m 200 N 1,5 m b) CB é um membro de duas forças. 600 N A_x 2 m 1 m B_x A_y F_CB F_CN 45° F_CN c) CD é um membro de duas forças. F_CD C_x F_CD 5/13 M_A A_x C_y 1,5 m B_y B_x B_z B_x A_y C_x B_X 1 m 1 m 5/13 C_z F_CD 500 N d) 3 m M_A A_x A_y 600 N B_x 3 m B_y C_y 800 N 2 m 2 m B_z e) C_y A_x 200 N 200 N BC é um membro de duas forças C_Y B_x 200 N 200 N 2 m A_y 2 m F_BC 200 N 200 N 3 F_BC f) 400 N 400 N 400 N Cy 400 N 400 N A_x C_y 2 m 2 m 5/4 3 5/13 C_Y A_y F_BC Capítulo 7 7.1. M_B A_x N_B F_B 100 N A_y 1 m V_C (a) F_CB 600 N 3/4 5 M_B 600 N A_x 2 m MB 1+ m 1-* m N_B V_B 150 N A_y 1-* m (b) (C) Problemas preliminares — Soluções de estática 563 8.1. a) +∑Fx=0; (4/5)(500 N)−F′=0,F′=400N +∑Fy=0; N−200N−(3/5)(500N)=0,N=500N Fmk=0,3(500N)=150N<400N Deslizamento F′=μkN=0,2(500N)=100N Resposta b) 100N (4/5)(100N)−F′=0;F′=80N +∑Fy=0; N−40N−(3/5)(100N)=0;N=100N Fmk=0,1(100N)=90N>80N F=F′=80N Resposta 8.2. Requer +∑Fy=0; FA=0,1NA NA−100N=0 NA=100N FA=0,1(100N)=10N ζ+∑MO=0; −M+(10N)(1m)=0 M=10 N·m 8.3. a) O deslizamento tem de ocorrer entre A e B. FA=0,2(100N)=20N Capítulo 8 564 ESTÁTICA b) Suponha que B desliza sobre C e C não desliza. FB=0,2(200N)=40N →∑Fx=0; P−20N−40N=0 P=60N Suponha o deslizamento, +∑Fx=0; F=0,4(100N)=40N P−40N=0;P=40N ζ+∑MO=0; (100N)(x)−(40N)(1m)=0 x=0,4m<0,5m Não há tombamento P=40N Resposta c) Suponha que C desliza e B não desliza sobre C. FC=0,1(400N)=40N →∑Fx=0; P−20N−40N=0 P=60N Portanto, P=60N Resposta 8.4. a) Suponha o deslizamento, +∑Fx=0; F=0,3(200N)=60N P−60N=0;P=60N ζ+∑MO=0; 200N(x)−(60N)(2m)=0 x=0,6m>0,5m Capítulo 9 9.1. a) ˉxˉ=x ˉyˉ=y/2=√x/2 dA=ydx=√xdx b) ˉxˉ=x+(1−x2)=1+x2 ˉyˉ=y dA=(1−x2)dy Problemas preliminares — Soluções de estática 565 c) x y y dy x x = x 2 = 1y 2 y = y dA = xdy = 1y dy d) x y y dx x 1 m x = x y = y + a1 - y 2 b = 1 + y 2 = 1 + x2 2 dA = (1 - y)dx = (1 - x2)dx Soluções de problemas de revisão Capítulo 2 R2.1. FR = 2(300)2 + (500)2 - 2(300)(500) cos 95 = 605,1 = 605 N 605,1 sen 95 = 500 sen u u = 55,40 f = 55,40 + 30 = 85,4 Resposta Resposta R2.2. F1v sen 30 = 250 sen 105 F1v = 129 N F1u sen 45 = 250 sen 105 F1u = 183 N Resposta Resposta R2.3. FRx = Fx; FRx = 4a4 5b + 3a3 5b - 3 - 2 = 0 FRy = Fy; FRy = 3a4 5b - 4a3 5b = 0 Assim, FR = 0 Resposta R2.4. cos2 30 + cos2 70 + cos2 g = 1 cos g = {0,3647 g = 68,61 ou 111,39 Por observação, g = 111,39º. F = 2505cos 30 i + cos 70 j + cos 111,39 6N = 5217i + 85,5j - 91,2k6N Resposta R2.5. r = {15 sen 20 i + 15 cos 20 j - 10k} m = {5,1303i + 14,0954j - 10k} m r = 25,13032 + 14,09542 + (-10)2 = 18,028 m u = r r = 0,2846i + 0,7819j - 0,5547k F = Fu = 50,569i + 1,56j - 1,11k6 kN Resposta R2.6. F1 = 600a4 5bcos 30 (+i) + 600a4 5bsen 30 (-j) + 600a3 5b(+k) = 5415,69i - 240j + 360k6 N F2 = 0i + 450 cos 45 (+j) + 450 sen 45 (+k) = 5318,20j + 318,20k6N Resposta Resposta R2.7. r1 = 5400i + 250k6mm; r1 = 471,70 mm r2 = 550i + 300j6 mm; r2 = 304,14 mm r1 # r2 = (400)(50) + 0(300) + 250(0) = 20000 u = cos-1ar1 # r2 r1r2 b = cos-1a 20000 (471,70)(304,14)b = 82,0 Resposta R2.8. FProj = F# uv = (2i + 4j + 10k)# a2 3 i + 2 3 j - 1 3 kb FProj = 0,667 kN Capítulo 3 R3.1. S + Fx = 0; FB - FA sen 30 - 300a4 5b = 0 + c Fy = 0; -FA cos 30 + 300a3 5b = 0 FA = 208 N FB = 344 N Resposta R3.2. S + Fx = 0; FAC cos 30 - FAB = 0 + c Fy = 0; FAC sen 30 - m(9,81) = 0 (1) (2) Supondo que o cabo AB alcance a tração máxima, FAB = 2 kN. Pela Equação 1, FAC cos 30º – 2 = 0 FAC = 2,309 kN > 2,2 kN (Não é bom) Supondo que o cabo AC alcance a tração máxima, FAC = 2,2 kN Pela Equação 1, 2,2 cos 30º – FAB = 0 FAB = 1,905 kN < 2 kN (OK) Pela Equação 2, 2,2(103) sen 30º – m(9,81) = 0 m = 112 kg Resposta R3.3. S + Fx = 0; FAC sen 30 - FABa3 5b = 0 FAC = 1,20FAB + c Fy = 0; FAC cos 30 + FABa4 5b - m(981) = 0 (1) (2) 0,8660FAC + 0,8FAB = 9,81m Como FAC > FAB, a falha ocorrerá primeiro no cabo AC, com FAC = 250 N. Depois, resolvendo as equa- ções 1 e 2, obtemos FAB = 208,33 N W = 39,1 kg Resposta R3.4. s1 = 300 600 = 0,5 m + c Fy = 0; F - 2a1 2 Tb = 0 ; F = T 568 ESTÁTICA S + Fx = 0; -Fs + 2a 23 2 bF = 0 Fs = 1,732F O esticamento final é 0,5 m + (0,6 – 0,6 cos 30º) m = 0,5804 m 600(0,5804) = 1,732F F = 201 N Resposta R3.5. Fx = 0; -F1 sen 45 = 0 F1 = 0 Fz = 0; F2 sen 40 - 200 = 0 F2 = 311,14 N = 311 N Resposta Usando os resultados, F1 = 0 e F2 = 311,14 N e de- pois, somando as forças ao longo do eixo y, temos Fy = 0; F3 - 311,14 cos 40 = 0 F3 = 238 N Resposta R3.6. F1 = F15cos 60 i + sen 60 k6 = 50,5F1i + 0,8660F1k6 N F2 = F2 b 3 5 i - 4 5 jr = 50,6 F2i - 0,8 F2 j6 N F3 = F35-cos 30 i - sen 30 j6 = 5-0,8660F3 i - 0,5F3 j6 N Fx = 0; 0,5F1 + 0,6F2 - 0,8660F3 = 0 Fy = 0; -0,8F2 - 0,5F3 + 800 sen 30 = 0 Fz = 0; 0,8660F1 - 800 cos 30 = 0 F1 = 800 N F2 = 147 N F3 = 564 N Resposta R3.7. Fx = 0; FCAa 1 210 b - FCBa 1 210 b = 0 Fy = 0; -FCAa 3 210 b - FCBa 3 210 b Fz = 0; -250(9,81) + FCDa4 5b = 0 + FCDa3 5b = 0 Resolvendo: FCD = 3065,63 N = 3,07 kN FCA = FCB = 969,44 N = 969 N R3.8. FAB = 700a 2i + 3j - 6k 222 + 32 + (-6)2b = 5200i + 300j - 600k6 N FAC = FACa -1,5i + 2j - 6k 2(-1,5)2 + 22 + (-6)2b = -0,2308FACi + 0,3077FACj - 0,9231FACk FAD = FAD a -3i - 6j - 6k 2(-3)2 + (-6)2 + (-6)2b = -0,3333FADi - 0,6667FADj - 0,6667FADk F = Fk F = 0; FAB + FAC + FAD + F = 0 (200 - 0,2308FAC - 0,3333FAD)i + (300 + 0,3077FAC - 0,6667FAD)j + (-600 - 0,9231FAC - 0,6667FAD + F)k = 0 200 - 0,2308FAC - 0,3333FAD = 0 300 + 0,3077FAC - 0,6667FAD = 0 -600 - 0,9231FAC - 0,6667FAD + F = 0 FAC - 130 N FAD = 510 N F = 1060 N = 1,06 kN Resposta Capítulo 4 R4.1. 30(103) = [400(9,81)](4,8 cos 30 ) + W(9 cos 30 + 0,6) W = 1630,67 N = 1,63 kN Resposta R4.2. FR = 500 N £ (5i + 7,5j - 15k) 2(5)2 + (7,5)2 + (-15)2 § FR = 5143i + 214j - 429k6 N Resposta (MR)C = rCB * F = 3 i j k 5 22,5 0 142,86 214,29 -428,57 3 = 5-9,64i + 2,14j - 2,14k6 kN # m Resposta R4.3. r = 51,2i6 m F = 120 N a -0,6i + 0,6j + 1,2k 2(-0,6)2 + (0,6)2 + (1,2)2b = 5-48,99i + 48,99j + 97,98k6N My = 4 i j k 0 1 0 1,2 0 0 -48,99 48,99 97,98 4 = -117,58 N # m My = 5-118j6 N # m (Mc)R = Mz; 0 = 100 - 0,75F F = 133 N Resposta R4.4. Resposta R4.5. S + FRx = Fx; FRx = 6a 5 13b - 4 cos 60 = 0,30769 kN +c FRy = Fy; FRy = 6a12 13b - 4 sen 60 = 2,0744 kN FR = 2(0,30769)2 + (2,0744)2 = 2,10 kN u = tg -1c 2,0744 0,30769 d = 81,6 + MP = MP; MP = 8 - 6a12 13b(7) + 6a 5 13b - 4 cos 60 (4) + 4 sen 60 MP = -16,8 kN# m = 16,8 kN# m Resposta Resposta (5) (3) Resposta Soluções de problemas de revisão 569 R4.6. S + (FR)x = Fx; (FR)x = 2 cos 45 - 2,5 a4 5 b - 3 = -3,5858 kN = 3,5858 kN d + c(FR)y = Fy; (FR)y = -2 sen 45 - 2,5a3 5b = -2,9142 kN = 2,9142 kNT FR = 2(FR)x 2 + (FR)y 2 = 23,58582 + 2,91422 = 4,6207 kN = 4,62 kN u = tg -1c (FR)y (FR)x d = tg -1c 2,9142 3,5858 d = 39,1 Resposta +(MR)A = MA; 3,5858d = 2,5a3 5b(0,8) + 2,5a4 5b(1,2) + 3(1,2) - 2 cos 45 (1,8) - 2 sen 45 (1) d = 0,904 m Resposta R4.7. + cFR = Fz; FR = -20 - 50 - 30 - 40 = -140 kN = 140 kNT (MR)x = Mx; -140y = -50(3) - 30(11) - 40(13) y = 7,14 m (MR)y = My; 140x = 50(4) + 20(10) + 40(10) x = 5,71 m Resposta Resposta Resposta R4.8. + TFR = F; FR = 10(3) + 1 2 (10)(3) = 45 kN T +MRC = MC; 45x = 10(3)(1,5) + 1 2 (10)(3)(4) x = 2,33 m Resposta Resposta Capítulo 5 R5.1. F = 0,3536 kN = 354 N + MA = 0: F(6) + F(4) + F(2) - 3 cos 45 (2) = 0 Resposta R5.2. + MA = 0; NB(7) - 1400(3,5) - 300(6) = 0 NB = 957,14 N = 957 N + c gFy = 0; Ay- 1400 - 300 + 957 = 0 Ay = 743 N S + Fx = 0; Ax = 0 Resposta Resposta R5.3. + MA = 0; 10(0,6 + 1,2 cos 60 ) + 6(0,4) - NA(1,2 + 1,2 cos 60 ) = 0 NA = 8,00 kN Resposta +S Fx = 0; Bx - 6 cos 30 = 0; Bx = 5,20 kN Resposta + c Fy = 0; By + 8,00 - 6 sen 30 - 10 = 0 By = 5,00 kN Resposta R5.4. + MA = 0; 250 cos 30 (0,5) + 250 sen 30 (0,35) - FB(0,45) = 0 FB = 337,78 N = 338 N +S Fx = 0; Ax - 250 sen 30 = 0 Ax = 125 N + c Fy = 0; Ay - 250 cos 30 - 337,78 = 0 Ay = 554,29 N = 554 N Resposta Resposta Resposta R5.5. Fx = 0; Ax = 0 Fy = 0; Ay + 200 = 0 Ay = -200 N Fz = 0; Az - 150 = 0 Az = 150 N Resposta Resposta Resposta Mx = 0; -150(2) + 200(2) - (MA)x = 0 (MA)x = 100 N # m My = 0; (MA)y = 0 Mz = 0; 200(2,5) - (MA)z = 0 (MA)z = 500 N# m Resposta Resposta Resposta R5.6. My = 0; P(0,2) - 400(0,25) = 0 P = 500 N Mx = 0; Bz(0,7) - 400(0,35) = 0 Bz = 200 N Mz = 0; Bx(0,7) - 500(0,25) = 0 Bx = 178,57 N = 179 N Fx = 0; Ax - 178,57 - 500 = 0 Ax = 678,57 N = 679 N Fy = 0; By = 0 Fz = 0; Az + 200 - 400 = 0 Az = 200 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta R5.7. W = (4 m)(2 m)(200 N>m2) = 1600 N Fx = 0; Ax = 0 Fy = 0; Ay = 0 Fz = 0; Az + Bz + Cz - 1600 = 0 Mx = 0; Bz(2) - 1600(1) + Cz(1) = 0 My = 0; -Bz(2) + 1600(2) - Cz(4) = 0 Az = Bz = Cz = 533,33 N = 533 N Resposta Resposta Resposta R5.8. Fx = 0; Ax = 0 Resposta Fy = 0; 350 - 0,6FBC + 0,6FBD = 0 Fz = 0; Az - 800 + 0,8FBC + 0,8FBD = 0 Mx = 0; (MA)x + 0,8FBD(6) + 0,8FBC(6) - 800(6) = 0 My = 0; 800(2) - 0,8FBC(2) - 0,8FBD(2) = 0 Mz = 0; (MA)z - 0,6FBC(2) + 0,6FBD(2) = 0 FBD = 208 N FBC = 792 N Az = 0 (MA)x = 0 (MA)z = 700 N# m Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta 570 ESTÁTICA Capítulo 6 R6.1. Nó B: +S Fx = 0; FBC = 3 kN (C) + c Fy = 0; FBA = 8 kN (C) Resposta Resposta Nó A: + c Fy = 0; 8,875 - 8 - 3 5 FAC = 0 FAC = 1,458 = 1,46 kN (C) +S Fx = 0; FAF - 3 - 4 5 (1,458) = 0 FAF = 4,17 kN (T) Resposta Resposta Nó C: +S Fx = 0; 3 + 4 5 (1,458) - FCD = 0 FCD = 4,167 = 4,17 kN (C) + c Fy = 0; FCF - 4 + 3 5 (1,458) = 0 FCF = 3,125 = 3,12 kN (C) Resposta Resposta Nó E: +S Fx = 0; FEF = 0 + c Fy = 0; FED = 13,125 = 13,1 kN (C) Resposta Resposta Nó D: + c Fy = 0; 13,125 - 10 - 3 5 FDF = 0 FDF = 5,21 kN (T) Resposta Resposta R6.2. Nó A: +S Fx = 0; FAB - FAG cos 45 = 0 + c Fy = 0; 4 - FAG sen 45 = 0 FAG = 5,66 kN (C) FAB = 4,00 kN (T) Resposta Resposta Nó B: +S Fx = 0; FBC = 4,00 kN (T) + c Fy = 0; FGB = 0 Resposta Resposta Nó D: +S Fx = 0; -FDC + FDE cos 45 = 0 + c Fy = 0; 8 - FDE sen 45 = 0 FDE = 11,31 kN = 11,3 kN (C) FDC = 8,00 kN (T) Resposta Resposta Resposta Nó E: +S Fx = 0; -11,31 sen 45 + FEG = 0 + c Fy = 0; -FEC + 11,31 cos 45 = 0 FEC = 8,00 kN (T) FEG = 8,00 kN (C) Resposta Resposta Nó C: + c Fy = 0; FGC cos 45 + 8,00 - 12 = 0 FGC = 5,66 kN (T) Resposta R6.3. +S Fx = 0; Ex = 0 + MA = 0; Ey(12) - 10(3) - 10(6) - 10(9) = 0 Ey = 15,0 kN + MC = 0; 15(6) - 10(3) - FGJ sen 30 (6) = 0 FGJ = 20,0 kN (C) Resposta Nó G: +S Fx = 0; FGH cos 30 - 20 cos 30 = 0 FGH = 20,0 kN (C) + c Fy = 0; 2(20,0 sen 30 ) - 10 - FGC = 0 FGC = 10,00 kN (T) Resposta R6.4. S + Fx = 0; Ax = 0 Devido à simetria de carregamento e à geometria, + c Fy = 0; 2Ay - 8 - 6 - 8 = 0 Ay = 11,0 kN + MB = 0; FGF sen 30 (3) + 8(3 - 3 cos2 30 ) - 11,0(3) = 0 FGF = 18,0 kN (C) + MA = 0; FFB sen 60 (3) - 8(3 cos2 30 ) = 0 FFB = 6,928 kN (T) = 6,93 kN (T) + MF = 0; FBC(4,5 tg 30 ) + 8(4,5 - 3 cos2 30 ) - 11,0(4,5) = 0 FBC = 12,12 kN (T) = 12,1 kN (T) Resposta Resposta Resposta R6.5. Nó A: Fz = 0; FADa 1 217 b - 600 = 0 FAD = 2473,86 N (T) = 2,47 kN (T) Fx = 0; FACa 0,75 216,5625 b - FABa 0,75 216,5625 b = 0 FAC = FAB Fy = 0; FACa 4 216,5625 b + FABa 4 216,5625 b - 2473,86a 4 217 b = 0 0,9829 FAC + 0,9829 FAB = 2400 FAC = FAB = 1220,91 N (C) = 1,22 kN (C) Resposta Resposta R6.6. CB é um membro de duas forças. Membro AC: + MA = 0; -600(0,75) + 1,5(FCB sen 75 ) = 0 FCB = 310,6 Bx = By = 310,6a 1 22 b = 220 N +S Fx = 0; -Ax + 600 sen 60 - 310,6 cos 45 = 0 Ax = 300 N + c Fy = 0; Ay - 600 cos 60 + 310,6 sen 45 = 0 Ay = 80,4 N Resposta Resposta Resposta R6.7. Membro AB: ζ Σ𝑀𝐴 = 0; −750(2) + 𝐵𝑦(3) = 0 𝐵𝑦 = 500 𝑁 Membro BC: ζ Σ𝑀𝐶 = 0; −1200(1,5) − 900(1) + 𝐵𝑥(3) − 500(3) = 0 𝐵𝑥 = 1400 𝑁 ζ + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝐴𝑦 − 750 + 500 = 0 𝐴𝑦 = 250 𝑁 Resposta Membro AB: ζ Σ𝐹𝑥 = 0; −𝐴𝑥 + 1400 = 0 𝐴𝑥 = 1400 𝑁 = 1,40 𝑘𝑁 Resposta Membro BC: ζ Σ𝐹𝑥 = 0; 𝐶𝑥 + 900 − 1400 = 0 𝐶𝑥 = 500 𝑁 Resposta + Σ𝐹𝑦 = 0; −500 − 1200 + 𝐶𝑦 = 0 𝐶𝑦 = 1700 𝑁 = 1,70 𝑘𝑁 Resposta R6.8. ζ + Σ𝑀𝐸 = 0; 𝐹𝐶𝐷(3,5) − 4 5𝐹𝐵𝐸(1) = 0 ζ + Σ𝑀𝐴 = 0; 𝐹𝐵𝐸( 4 5)(2,5) − 𝐹𝐶𝐷(3,5) − 4(3,5)(1,75) = 0 𝐹𝐵𝐸 = 20,417 𝑘𝑁 = 20,4 𝑘𝑁 Resposta 𝐹𝐶𝐷 = 4,667 𝑘𝑁 = 4,67 𝑘𝑁 Resposta Capítulo 7 R7.1. ζ + Σ𝑀𝐴 = 0; 𝐹𝐶𝐹(4) − 600(4 tg 30°) = 0 𝐹𝐶𝐹 = 346,41 𝑁 Como o membro 𝐶𝐹 é um membro de duas forças, 𝑉𝐷 = 𝑀𝐷 = 0 𝑁𝐷 = 𝐹𝐶𝐹 = 346 𝑁 Resposta Resposta ζ + Σ𝑀𝐴 = 0; 𝐵𝑞(6) − 600(4 tg 30°) = 0 𝐵𝑞 = 230,94 𝑁 Resposta ζ Σ𝐹𝑥 = 0; 𝑁𝐸 = 0 Resposta ζ Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑉𝐸 + 230,94 − 346,41 = 0 𝑉𝐸 = 115,47 𝑁 = 115 𝑁 Resposta ζ + Σ𝑀𝐸 = 0; 230,944,5 − 346,4(2,5) = 𝑀𝐸 = 0 𝑀𝐸 = 173,21 𝑁 m = 173 𝑁 m Resposta R7.2. Segmento DC ζ Σ𝐹𝑥 = 0; 𝑁𝐶 = 0 Resposta + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑉𝐶 − 3,00 − 6 = 0 𝑉𝐶 = 9,00 𝑘𝑁 Resposta ζ + Σ𝑀𝐶 = 0; −𝑀𝐶 − 3,00(1,5) − 6(3) − 40 = 0 𝑀𝐶 = −62,5 𝑘𝑁 m Resposta Segmento DB ζ Σ𝐹𝑥 = 0; 𝑁𝐵 = 0 Resposta + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑉𝐵 − 10,0 − 7,5 − 4,00 − 6 = 0 𝑉𝐵 = 27,5 kN Resposta ζ + Σ𝑀𝐵 = 0; −𝑀𝐵 − 10,0(2,5) − 7,5(5) −4,0(0,7 − 6(9) − 40 = 0 𝑀𝐵 = −184,5 kN m Resposta R7.3. V (kN) 120 120 0 0 −120 −120 M (kN m) 0 M (kN m) 0 (m) −120 −120 (m) R7.4. V (kN) −10 0 x M (kN m) 0 x −5 −30 R7.5. V (kN) M (kN m) 2,5 1,25 m −7,5 1,56 −12,5 −50 m R7.6. Em x = 30 m; y = 3 m; 𝐹𝐻 = 𝑠𝑒𝑛 ℎ [ 8(9,81) 𝐹𝐻 (30) ] 𝐹𝐻 = 11811,03 N tg 𝜃𝑚𝑎𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 30 m 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝐻 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑚𝑎𝑥 = 11.08,1 tg 30 = 3 8(9,81) 1℗11103 𝜃𝑚𝑎𝑥 = 11,346° 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 11811,03 N vc 𝜃m𝑎𝑥 = 12046,47 N = 12,0 kN Resposta Capítulo 8 R8.1. Suponha que a escada deslize em 𝐴: 𝐹𝐴 = 0,4 𝑁𝐴 + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝐴 − 10(9,81) = 0 𝑁𝐴 = 98,1 𝑁 𝐹𝐴 = 0,4(98,1 𝑁) = 39,24 𝑁 ζ + Σ𝑀𝐵 = 0; 𝑃(2) − 10(9,81)(1,5) + 98,1(3) − 39,24(4) = 0 𝑃 = 4,905 𝑁 Resposta + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝐵 + 4,905 − 39,24 = 0 𝑁𝐵 = 34,34 𝑁 > 0 OK A escada permanecerá em contato com a parede. R8.2. Caixa + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝐴 − 588,6 = 0 𝑁𝐷 = 588,6 𝑁 Bloqueio A: ζ Σ𝐹𝑥 = 0; 𝑃 − 𝐹𝐴 = 0 𝑁𝐴 = 589,8 ; ζ + Σ𝑀𝐴 = 0; 588,6(7) − 70(8) = 0 (1) (2) Caixa e plataforma ζ + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝐵 + 𝑁𝐴 − 588,6 − 98,1 = 0 (3) ζΣ𝐹𝑥 = 0; 𝑃 − 𝐹𝐴.0 ζ + Σ𝑀𝐵 = 0; 𝑁𝐴(1,5) − (1,05) − 588,6(0,95) − 98,1(0,75) = 0 (5) Aríto: Supondo que a caixa deslize na plataforma, então 𝐹𝐴 = 𝜇𝑑𝑎𝑑 𝑁𝐴 = 0,5(588,6) = 294,3 𝑁. Resolvendo as equações 1 e 2 𝑃 = 294,3 𝑁 𝑥 = 0,400 𝑚 Como 𝑥 > 0,3 𝑚, a caixa tomba na plataforma. Se isso acontecer, 𝑥 = 0,3 𝑚. Resolvendo as equações 1 e 2 com 𝑥 = 0,3 m obtemos 𝑃 = 220,725 𝑁 𝐹𝑑 = 220,725 R Supondo que a plataforma deslize em 𝐴, então 𝐹𝐴 = 𝜇𝑁𝐴 = 0,35 𝑁𝐴. Substituindo esse valor nas equações 3, 4 e 5 e resolvendo, temos 𝑁𝐴 = 559 𝑁 𝑁𝐵 = 128 𝑁 𝑃 = 195,6 𝑁 = 196 𝑁 (Controle) Resposta R8.3. Viga ζ + Σ𝑀𝐵 = 0; 𝑁(600) − 𝐴𝑦 (900) = 0 𝐴𝑦 0,6667𝑃 Disco + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝐶𝑠𝑒𝑛 60° − 𝐹𝐶 𝑠𝑒𝑛 30° 0,6667𝑃 343,35 = 0 (1) ζ + Σ𝑀𝑂 = 0; 𝐹𝐶(200) − 0,6667𝑃(200) = 0 (2) Arítico: Se o disco está prestes a se mover, o deslizinento teria que ocorrer no ponto C. Logo, 𝐹𝐶 = 𝜇𝑠 N𝐶 = 0,2 𝑁𝐶. Substituindo isso nas equações 1 e 2 e resolvendo, temos 𝑃 = 182 𝑁 𝑁𝐶 = 606,60 𝑁 Resposta R8.4. Came: ζ + Σ𝑀0 = 0; ₅ − ₀, ₄ 𝑁𝑞(0,06) − 0,01(𝑁𝐵) = 0 𝑁𝐵 = 147,06 𝑁 Seguídor: + Σ𝐹𝑦 = 0; 147,06 − 𝑃 = 0 𝑃 = 147 𝑁 Resposta R8.5. Suponha que todos os blocos deslizem ao mesmo tempo Σ𝐹𝑥 = 0; 𝑃 − 0,3[300(9,81) + 75(9,81) + 250(9,81)] = 0 𝑃 = 3065,63 𝑁 Suponha que o bloco 𝐵 desliza para cima e o bloco 𝐴 não se mova. Bloco A: (1) ζ 𝐹𝑥 = 0; 𝐹𝐴 − 𝑁𝐶 = 0 + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝐴 + 0,3𝑁𝐵𝐸 = 300(9,81) = 0 Bloco B: (3) ζ Σ𝐹𝑥 = 0; 𝑁𝑖 𝑁𝑞 𝑠𝑒𝑛 45° − 0,3 𝑁𝑞 𝑐𝑜𝑠 45° = 0 + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝑖 𝑣𝑐𝑠𝑒𝑛 45° − 0,3 𝑁𝑞 v𝑛45° − 𝑖𝐸 𝑁𝐵 = 𝑁𝐶 Bloco C: + Σ𝐹𝑥 = 0; 𝑁𝑖 45° + 0,3 𝑁𝑖 45° + 0,5 𝑁𝑪 − 𝑃 = 0 + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝑪 + 0,3𝑁𝑖 45° − 𝑁𝐶 45° = 0 Resolvendo, 𝑁𝑖 = 3356,48 𝑁 𝑁𝑖 3085,40 𝑁 𝐹𝐷 = 3085,40 𝑁 𝑁𝐴 = 2017,38 𝑁 𝑁𝐶 = 4113,87 𝑃 = 5142,34 𝑁 Como 𝐹𝐷 > 𝜇 𝑠 N 4 = 0,5 (2017,38) = 1008,69 N, o bloco A desliza (Não é bom) Escolha o 𝑃 menor. Então, 𝑃 = 3065,63 𝑁 = 3,07 𝑘𝑁 Resposta Soluções de problemas de revisão 573 R8.6. a = tg -1a250 625 b = 21,80 + MA = 0; (FBD cos 21,80 )(0,25) + (FBD sen 21,80 ) (0,5) - [3(103)](9,81)(0,875) = 0 FBD = 61,63(103) N fs = tg -1 (0,4) = 21,80 u = tg -1 a 5 2p(6,25)b = 7,256 M = Wr tg (u + f) M = 61,63(103)[6,25(10-3)] tg (7,256 + 21,80 ) M = 214,03 N # m = 214 N # m Resposta R8.7. Bloco: + c Fy = 0; N - 50(9,81) = 0 N = 490,5 N S + Fx = 0; T1 - 0,4(490,5) = 0 T1 = 196,2 N T2 = T1emb; T2 = 196,2e0.4 (p 2) = 367,77 N Sistema: + MA = 0; -50(9,81)(d) - 196,2(0,3) - 25(9,81)(1,5) + 367,77(3) = 0 d = 1,379 m = 1,38 m Resposta R8.8. P Wa r = 500(9,81)a 2 40b P = 245 N Resposta Capítulo 9 R9.1. Usando um elemento de espessura dx, x = LA xdA LA dA = L b a xac2 x dxb c2 ln b a = L b a c2 dx c2 ln b a = c2 x ` b a c2 ln b a = b - a ln b a Resposta R9.2. Usando um elemento de espessura dx, y = LA y dA LA dA = L b a a c2 2xb ac2 x dxb c2 ln b a = L b a c4 2x2 dx c2 ln b a = - c4 2x ` b a c2 ln b a = c2(b - a) 2ab ln b a Resposta R9.3. z = Lv z dV Lv dV = L a 0 z3p(a2 - z2)dz4 L a 0 p(a2 - z2)dz = paa2z2 2 - z4 4 b 2 a 0 paa2z - z3 3 b 2 a 0 = 3 8 a Resposta R9.4. xL = 0(4) + 2(p)(2) = 4p m2 yL = 0(4) + 2(2) p (p)(2) = 8 m2 zL = 2(4) + 0(p)(2) = 8 m2 L = 4 + p(2) = 10,2832 m x = xL L = 4p 10,2832 = 1,22 m y = yL L = 8 10,2832 = 0,778 m z = zL L = 8 10,2832 = 0,778 m Resposta Resposta Resposta R9.5. Segmento A(mm2) y (mm) yA(mm3) 1 300(25) 112,5 843750 2 100(50) 50 250000 12500 1093750 Assim, y = yA A = 1093750 12500 = 87,5 mm Resposta R9.6. A = urL = 2p3 0,6 (0,05) + 2(0,6375)2 (0,025)2 + (0,075)2 + 0,675 (0,1)4 = 1,25 m2 Resposta R9.7. V = urA = 2p c 2 (0,65) a1 2 (0,025)(0,075)b + 0,6375(0,05)(0,075)d = 0,0227 m3 Resposta R9.8. dF = dV = pbdz = (200z 1 3)(1,5) dz = 300z 1 3 dz F = L 4 m 0 300z 1 3 dz = 300 a3 4z 4 3b 2 4 m 0 = 1428,66 N = 1,43 kN Resposta 574 ESTÁTICA LA z dF = L 4 m 0 z (300z 1 3 dz) = L 4 m 0 300z 4 3 dz = 300 a3 7z 7 3b 2 4 m 0 = 3265,51 N # m z = 1A zdF F = 3265,51 1428,66 = 2,2857 m = 2,29 m Resposta R9.9. pa = 1,0(103)(9,81)(9) = 88290 N>m2 = 88,29 kN>m2 pb = 1,0(103)(9,81)(5) = 49050 N>m2 = 49,05 kN>m2 Assim, wA = 88,29(8) = 706,32 kN>m wB = 49,05(8) = 392,40 kN>m FR1 = 392,4(5) = 1962,0 kN FR2 = 1 2 (706,32 - 392,4) (5) = 784,8 kN + MB = 0; 1962,0(2,5) + 784,8(3,333) - Ay(3) = 0 Ay = 2507 kN = 2,51 MN +S Fx = 0; 784,8a4 5b + 1962a4 5b - Bx = 0 Bx = 2197 kN = 2,20 MN + c Fy = 0; 2507 - 784,8a3 5b - 1962a3 5b - By = 0 By = 859 kN Resposta Resposta Resposta R9.10. A = LA dA = L ydx = L 0 -1 m -4x2dx = -4 3 x3 ` 0 -1 m = -4 3 m2 Fy = rWgV = 1000(9,81)c 4 3 (1) d = 13080 N = 13,08 kN w = rwghb = 1000(9,81)(4)(1) = 39,24(103) N/m = 39,24 kN/m Fx = 1 2 (39,24)(4) = 78,48 kN FN = 2Fx 2 + Fy 2 = 278,482 + 13,082 = 79,56 kN = 79,6 kN Resposta Capítulo 10 R10.1. Ix = LA y2dA = L 2 m 0 y2(4 - x)dy = L 2 m 0 y214 - (32) 1 3y 1 32dy = 1,07 m4 Resposta R10.2. Ix = LA y2dA = L 1 m 0 y2(2x dy) = L 1 m 0 y214(1 - y) 1 2 2 dy = 0,610 m4 Resposta R10.3. Iy = LA x2dA = 2 L 2 m 0 x2(y dx) = 2 L 2 m 0 x2(1 - 0,25 x2)dx = 2,13 m4 Resposta R10.4. dIxy = d Ix2y2 + dAx y = 0 + 1y 1 3 dy2 a1 2 y 1 3b (y) = 1 2 y 5 3 d y Ixy = L d Ixy = L 1 m 0 1 2 y 5 3 dy = 3 16 y 8 3 2 1 m 0 = 0,1875 m4 Resposta R10.5. s h - y = b h, s = b h(h - y) (a) dA = s dy = c b h (h - y)d dy Ix = L y2dA = L h 0 y2c b h(h - y)d dy = bh3 12 (b) Ix = Ix + A d2 bh3 12 = Ix + 1 2 bh ah 3b 2 Ix = bh3 36 Resposta Resposta R10.6. dIxy = dIx2y2 + dA x y = 0 + (y 1 3dy) a1 2 y 1 3b(y) = 1 2 y 5 3 dy Ixy = L dIxy = L 1 m 0 1 2y 5 3d y = 3 16 y 8 3 2 1 m 0 = 0,1875 m4 Resposta R10.7. Iy = c 1 12(d)(d3) + 0d + 4 c 1 36 (0,2887d) ad 2b 3 + 1 2 (0,2887d) ad 2b ad 6b 2 d = 0,0954d 4 Resposta R10.8. d Ix = 1 2 rp y4 dx = 1 2 rpab4 a4 x4 + 4b4 a3 x3 + 6b4 a2 x2 + 4b4 a x + b4bdx Ix = L dIx = 1 2rp L a 0 ab4 a4x4 + 4b4 a3 x3 + 6b4 a2 x2 + 4b4 a x + b4bdx Soluções de problemas de revisão 575 = 31 10 rpab4 m = Lm dm = L a 0 rp y2 dx = rp L a 0 ab2 a2 x2 + 2b2 a x + b2bdx = 7 3 rpab2 Ix = 93 70 mb2 Resposta Capítulo 11 R11.1. x = 2Lcos u dx = -2Lsen u du y = Lsen u dy = Lcos u du dU = 0; -Pdy - Fdx = 0 -PL cos udu - F(-2Lsen u)du = 0 -Pcos u + 2F sen u = 0 F = P 2 tg u Resposta R11.2. yB = 0,25 sen u dyB = 0,25 cos udu yD = 0,125 sen u dyD = 0,125 cos udu xC = 2(0,25 cos u) dxC = -0,5 sen udu dU = 0; -FspdxC - 2WldyD - WbdyB + PdxC = 0 (0,5Fsp sen u - 26,9775 cos u - 0,5P sen u)du = 0 Pela fórmula da mola, Fsp = kx = 350[2(0,25 cos u) - 0,15] = 175 cos u - 52,5 Substituindo, (87,5 sen u cos u - 26,25 sen u - 26,9775 cos u - 0,5P sen u) du = 0 Como du Z 0, então 87,5 sen u cos u - 26,25 sen u - 26,9775 cos u - 0,5P sen u = 0 P = 175 cos u - 53,955 cotg u - 52,5 Na posição de equilíbrio, u = 45º, P = 175 cos 45 - 53,95 cotg 45 - 52,5 = 17,29 N = 17,3 N Resposta R11.3. Usando a lei dos cossenos, 0,42 = x2 A + 0,12 - 2(xA)(0,1)cos u Derivando, 0 = 2xAdxA - 0,2dxA cos u + 0,2xA sen udu dxA = 0,2 xA sen u 0,2 cos u - 2xA du dU = 0; -FdxA - 50du = 0 a 0,2 xA sen u 0,2 cos u - 2xA F - 50bdu = 0 Como du Z 0, então 0,2xA sen u 0,2 cos u - 2xA F - 50 = 0 F = 50(0,2 cos u - 2xA) 0,2xA sen u Na posição de equilíbrio, u = 60º, 0,42 = x2 A + 0,12 - 2(xA)(0,1) cos 60 xA = 0,4405 m F = - 5030,2 cos 60 - 2(0,4405)4 0,2(0,4405) sen 60 = 512 N Resposta R11.4. y = 1,2 sen u dy = 1,2 cos u du Fs = 80(1,2 - 1,2 sen u) = 96(1 - sen u) dU = 0; -Wdy + Fsdy = 0 3-5(9,81) + 96(1 - sen u)4(1,2 cos u du) = 0 cos u = 0 e 46,95 - 96 sen u = 0 u = 90 u = 29,28 = 29,3 Resposta R11.5. xB = 0,1 sen u dxB = 0,1 cos udu xD = 2(0,7 sen u) - 0,1 sen u = 1,3 sen u dxD = 1,3 cos udu yG = 0,35 cos u dyG = -0,35 sen udu dU = 0; 2(-49,05dyG) + Fsp(dxB - dxD) = 0 (34,335 sen u - 1,2Fsp cos u)du = 0 Porém, pela fórmula da mola, Fsp = kx = 40032(0,6 sen u) - 0,34 = 480 sen u - 120. Substituindo, (34,335 sen u - 576 sen u cos u + 144 cos u)du = 0 Como du Z 0, então 34,335 sen u - 576 sen u cos u + 144 cos u = 0 u = 15,5 e u = 85,4 Resposta 576 ESTÁTICA R11.6. Vg = mgy = 40(9,81)(0,45 sen u + b) = 176,58 sen u + 392,4 b Ve = 1 2 (1500)(0,45 cos u)2 = 151,875 cos2 u V = Vg + Ve = 176,58 sen u + 151,875 cos2 u + 392,4 b dV du = 176,58 cos u - 303,75 cos u sen u = 0 cos u(176,58 - 303,75 sen u) = 0 cos u = 0 u = 90 u = 35,54 = 35,5 d2V d2u = -176,58 sen u - 303,75 cos 2u Em u = 90 , d2V d2u ` u-a = -176,58 sen 90 - 303,75 cos 180 = 127,17 7 0 = 127,17 7 0 Estável Em u = 35,54 ,d2V d2u ` u= 35,54 = -176,58 sen 35,54 - 303,75 cos 71,09 = -201,10 6 0 Instável Resposta Resposta Resposta Resposta R11.7. V = Ve + Vg = 1 2 (350) (cos u)2 + 1 2 (700) (3 cos u)2 + 50(9,81)(1,5 sen u) = 3325 cos2 u + 735,75 sen u dV du = -6650 sen u cos u + 735,75 cos u = 735,75 cos u - 3325 sen 2u Considere dV du = 0. Então, cos u (-6650 sen u + 735,75) = 0 cos u = 0 -6650 sen u + 735,75 = 0 u = 90 u = 6,352 = 6,35 d2V du2 = -735,75 sen u - 6650 cos 2u d2V du2 ` u= 90 = -73,75 sen 90 - 6650 cos 180 = 5914,25 7 0 d2V du2 ` u= 6,352 = -735,75 sen 6,352 - 6650 cos 12,704 = -6568,60 6 0 Resposta Resposta Resposta A configuração de equilíbrio em U = 90º é estável, mas em U = 6,35º é instável. Resposta R11.8. V = Ve + Vg = 1 2 (250)[0,8 - 2(0,4) sen u]2 - 10(9,81)[2(0,4) cos u] = 80 sen2 u - 160 sen u - 78,48 cos u + 80 dV du = 160 sen u cos u - 160 cos u + 78,48 sen u = 80 sen 2u - 160 cos u - 78,48 sen u Considere dV du = 0. Então, 80 sen 2u - 160 cos u - 78,48 sen u = 0 Resolvendo por tentativa e erro, u = 38,0406 = 38,0 Resposta d2V du2 = 160 cos 2u + 160 sen u + 78,48 cos u d2V du2 ` u= 38,04 = 198,89 7 0 Assim, a configuração de equilíbrio em U = 38,0º é estável. Resposta Respostas de problemas selecionados Capítulo 1 1.1. a. 0,185 Mg2 b. 4 mg2 c. 0,0122 km3 a. Gg>s b. kN>m c. kN>(kg# s) a. 78,5 N b. 0,392 mN c. 7,46 MN a. 0,431 g b. 35,3 kN c. 5,32 m a. km>s b. mm c. Gs>kg d. mm# N a. 45,3 MN b. 56,8 km c. 5,63 mg a. Gg/m b. kN/s c. mm# kg a. 8,653 s b. 8,368 kN c. 893 g 7,41 mN a. 3,53 Gg b. 34,6 MN c. 5,68 MN d. mm = me = 3,53 Gg a. 0,447 kg# m>N b. 0,911 kg# s c. 18,8 GN>m a. 44,9(10)-3 N2 b. 2,79(103) s2 c. 23,4 s 4,63 kN a. 2,04 g b. 15,3 Mg c. 6,12 Gg a. 70,3 kg b. 113 N c. 70,3 kg F = 10,0 nN, W1 = 78,5 N, W2 = 118 N 1.2. 1.3. 1.5. 1.6. 1.7. 1.9. 1.10. 1.11. 1.13. 1.14. 1.15. 1.17. 1.18. 1.19. 1.21. Capítulo 2 2.1. f = 1,22 (F1)v = 2,93 kN, (F1)u = 2,07 kN (F2)u = 6,00 kN (F2)v = 3,11 kN 2.2. 2.3. 2.5. F = 960 N, u = 45,2 78,6° FR = 3,92 kN 2,83 kN u = 62,0 F1v = 129 N F1u = 183 N F2v = 77,6 N F2u = 150 N Fx = -125 N Fy = 317 N u = 60 FA = 774 N FB = 346 N FR = 10,8 kN, f = 3,16 u = 75,5 f = u 2 FR = 2F cosa u 2b FR = 257 N, f = 163 FA = 3,66 kN FH = 7,07 kN FB = 5,00 kN FA = 8,66 kN u = 60,0 FR = 19,2 N, u = 2,37 FB = 1,61 kN, u = 38,3 FR = 4,01 kN, f = 16,2 u = 90 , FB = 1 kN, FR = 1,73 kN u = 54,3 , FA = 686 N FR = 1,23 kN, u = 6,08 u = 36,9 u = 920 N FR = 1,96 kN, u = 4,12 F1 = 5200i + 346j6 N, F2 = 5177i - 177j6 N FR = 413 N, u = 24,2 FR = 983 N, u = 21,8 FR = 97,8 N u = 46,5 2.6. 2.7. 2.9. 2.10. 2.11. 2.13. 2.14. 2.15. 2.17. 2.18. 2.19. 2.21. 2.22. 2.23. 2.25. 2.26. 2.27. 2.29. 2.30. 2.31. 2.33. 2.34. 2.35. 2.37. 2.38. 2.39. F1 = { 680i - 510j} N, F2 = { -312i - 541j} N, F3 = { -530i + 530j} N FR = 2F1 2 + F2 2 + 2F1F2 cos f, u = tg -1a F1 sen f F2 + F1 cos f b FR = 12,5 kN, u = 64,1 F1x = 141 N, F1y = 141 N, F2x = -130 N, F2y = 75 N F1 = { 30i + 40j} N, F2 = { -20,7i - 77,3j} N, F3 = { 30i} , FR = 54,2 N, u = 43,5 1F12x = 6,40 kN S 1F12y = 4,80 kN T 2.41. 2.42. 2.43. 2.45. 2.46. 578 ESTÁTICA 2.47. 1F22x = 3,60 kN S 1F22y = 4,80 kN c 1F32x = 4 kN d 1F32y = 0 1F42x = 6 kN d 1F42y = 0 F1 = { 9,64i + 11,5j} kN F2 = { 24i + 10j} kN, F3 = { 31,2i - - 18j} kN FR = 389 N, f = 42,7 u = 21,3 F1 = 869 N u = 68,6 , FB = 960 N u = 86,0 , F = 1,97 kN FR = 11,1 kN, u = 47,7 f = 10,9 F1 = 474 N F = 2,03 kN, FR = 7,87 kN F1 = { -15,0i - 26,0j} kN, F2 = { -10,0i + 24,0j} kN FR = 25,1 kN, u = 185 F1 = { -159,10i + 275,57j + 318,20k} N F2 = { 424i + 300j - 300k} N FR = 634 N a = 65,3 b = 24,8 g = 88,4 a = 48,4 , b = 124 , g = 60 , F = 8,08 kN Fx = 40 N, Fy = 40 N, Fz = 56,6 N F3 = 9,6 kN a3 = 15,5 b3 = 98,4 g3 = 77,0 FR = 430 N, a = 28,9 , b = 67,3 , g = 107 FR = 384 N, cos a = 14,8 , cos b = 88,9 , cos g = 105 F3 = 250 N a = 87,0 b = 142,9 g = 53,1 2.49. 2.50. 2.51. 2.53. 2.54. 2.55. 2.57. 2.58. 2.59. 2.61. 2.62. 2.63. 2.65. 2.66. 2.67. 2.69. 2.70. F1 = { -106i + 106j + 260k} N, F2 = { 250i + 354j - 250k} N, FR = { 144i + 460j + 9,81k} N, FR = 482 N, a = 72,6 , b = 17,4 , g = 88,8 a1 = 111 , b1 = 69,3 , g1 = 30,0 a = 46,1 b = 114 g = 53,1 FR = 799 N a = 58,7 b = 84,4 g = 32,0 F1 = { 72,0i + 54,0k} N, F2 = { 53,0i + 53,0j + 130k} N, F3 = { 200k} F1 = { 225j + 268k} N F2 = { 70,7i + 50,0j - 50,0k} N F3 = { 125i - 177j + 125k} N FR = 407 N a = 61,3 b = 76,0 g = 32,5 a1 = 45,6 2.71. 2.73. 2.74. 2.75. 2.77. 2.78. 2.79. b1 = 53,1 g1 = 66,4 a1 = 90 b1 = 53,1 g1 = 66,4 FR = 733 N ux = 53,5 uy = 65,3 uz = 133 F3 = 166 N a = 97,5 b = 63,7 g = 27,5 aF1 = 36,9 bF1 = 90,0 gF1 = 53,1 aR = 69,3 bR = 52,2 gR = 45,0 F = 2,02 kN, Fy = 0,523 kN rAD = 1,50 m rBD = 1,50 m rCD = 1,73 m rAB = 397 mm a = 129 b = 90 g = 38,7 FA = { 285j - 93,0k} N FC = { 159i + 183j - 59,7k} N FR = 1,17 kN, a = 66,9 , b = 92,0 , g = 157 2.81. 2.82. 2.83. 2.85. 2.86. 2.87. 2.89. 2.90. 2.91. 2.93. FAB = { 97,3i - 129j - 191k} N FAC = { 221i - 27,7j - 332k} N FR = 620 N cos a = 59,1 cos b = 80,6 cos g = 147 z = 6,63 m x = y = 4,42 m FA = { -1,46i + 5,82k} kN FC = { 0,857i + 0,857j + 4,85k} kN FB = { 0,970i - 1,68j + 7,76k} kN FR = 18,5 kN a = 88,8 b = 92,6 g = 2,81 x = 3,82 m, y = 2,12 m, z = 1,88 m FC = { -324i - 130j + 195k} N FB = { -324i - 130j + 195k} N FE = { -194i + 291k} N FR = 1,50 kN a = 77,6 b = 90,6 g = 168 FA = { -43,5i + 174j - 174k} N FB = { 53,2i - 79,8j - 146k} N FR = 316 N a = 60,1 b = 74,6 g = 146 Z = 2,20 m X = 1,25 m FR = 3,59 kN 2.94. 2.95. 2.97. 2.98. 2.99. 2.101. 2.102. 2.103. 2.105. Respostas de problemas selecionados 579 2.107. u = 53,5 FAB = 621 N u = 74,2 rBC = 5,39 m ƒr1 # u2ƒ = 2,99 m, ƒr2 # u1ƒ = 1,99 m (FED) = 334 N, (FED)# = 498 N u = 36,4 (F1)AC = 56,3 N u = 19,2 FBA = 187 N FCA = 162 N 1FAC2z = 2,846 kN F} = 99,1 N F# = 592 N F} = 82,4 N F# = 592 N u = 31,0 u = 74,4 , f = 55,4 u = 142 2.109. 2.110. 2.111. 2.113. 2.114. 2.115. 2.117. 2.118. 2.119. 2.121. 2.122. 2.123. 2.125. 2.126. 2.127. 2.129. u = 52,4 f = 68,2 F1AO = 18,5 N F2AO = 21,3 N Fu = 246 N 1F12F2 = 50,6 N u = 97,3 u = 23,4 FOA = 242 N u = 70,5 f = 65,8 2.130. 2.131. 2.133. 2.134. 2.135. 2.137. 2.138. 2.139. Capítulo 3 3.1. u = 82,2 , F = 3,96 kN F2 = 9,60 kN, F1 = 1,83 kN u = 4,69 , F1 = 4,31 kN T = 7,66 kN, u = 70,1 NC = 163 N NB = 105 N FCA = 80,0 N FCB = 90,4 N TBC = 39,24 kN TBA = 67,97 N TCD = 39,24 N F = 39,24 N TBC = 22,3 kN TBD = 32,6 kN TA = 52,92 mN, TB = 34,64 mN, u = 19,11 , M = 4,08 gm m = 8,56 kg m = 2,37 kg u = 15,0 FAB = 98,1 N F = 158 N d = 1,56 m FBD = 440 N, FAB = 622 N, FBC = 228 N k = 176 N>m l0 = 2,03 m 1 kT = 1 k1 + 1 k2 3.2. 3.3. 3.5. 3.6. 3.7. 3.9. 3.10. 3.11. 3.13. 3.14. 3.15. 3.17. 3.18. 3.19. 3.21. 3.22. 3.23. 3.25. x = 1,38 m T = 687 N FBC = 2,99 kN, FAB = 3,78 kN FBA = 3,92 kN FBC = 3,40 kN s = 3,38 m, F = 76,0 N s = 3,97 m x = 2,10 m FDE = 392 N, FCD = 340 N, FCB = 275 N, FCA = 243 N mD = 11,9 kg 3.26. 3.27. 3.29. 3.30. 3.31. 3.33. 3.34. THA = 294 N, TAB = 340 N, TAE = 170 N, TBD = 490 N, TBC = 562 N m = 26,7 kg y = 2 m, F1 = 833 N FAB = 239 N, FAC = 243 N y = 6,59 m d = 2,42 m F = { 73,6 sec u} N FAD = 763 N, FAC = 392 N, FAB = 523 N FAD = 2,94 kN FAB = 1,96 kN m = 102 kg FAB = 219 N, FAC = FAD = 54,8 N W = 138 N FAC = 203 N FAB = 251 N FAD = 427 N F = 843 N sOB = 327 mm, sOA = 218 mm FAB = FAC = FAD = 426 N z = 173 mm FAD = FAC = 104 N FAB = 220 N W = 55,8 N FAB = 1,21 kN, FAC = 606 N, FAD = 750 N FAB = 441 N, FAC = 515 N, FAD = 221 N FAB = 348 N, FAC = 413 N, FAD = 174 N FAD = 1,56 kN, FBD = 521 N, FCD = 1,28 kN FAB = 7,337, FAC = 4,568 kN, FAD = 7,098 kN m = 2,62 Mg x = 0,190 m, y = 0,0123 m 3.35. 3.37. 3.38. 3.39. 3.41. 3.42. 3.43. 3.45. 3.46. 3.47. 3.49. 3.50. 3.51. 3.53. 3.54. 3.55. 3.57. 3.58. 3.59. 3.61. 3.62. 3.63. 3.65. 3.66. 3.67. Capítulo 4 4.5. + MP = 3,15 kN# m (Sentido anti-horário) + MA = {1,18 cos u(7,5 + x)} kN# m (Sentido horário) 4.6. O momento máximo em A ocorre quando u = 0º e x = 5m. 4.7. +(MA)máx = 14,7 kN# m (Sentido horário) (MO)máx = 48,0 kN# m , x = 9,81 m MB = { -3,36k} N# m, a = 90 , b = 90 , g = 180 MO = { 0,5i + 0,866j - 3,36k} N# m, a = 81,8 , b = 75,7 , g = 163 + 1MF12A = -433 N# m = 433 N# m (Sentido horário) + 1MF22A = -1299 N# m = 1,30 kN# m (Sentido horário) + 1MF32A = -800 N# m = 800 kN# m (Sentido horário) d = 402 mm F = 239 N # 4.9. 4.10. 4.11. 4.13. 4.14. 580 ESTÁTICA 4.15. 239 N 1MR2A = 2,08 kN # m (Sentido anti-horário) m = a l d + lb M 4.17. 4.18. a. + MA = 73,9 N# m b. FC = 82,2 N umáx = 37,9 , MAmáx = 79,812 N# m umín = 128 , MAmín = 0 N# m MP = { -60i - 26j - 32k} kN# m F = 77,6 N u = 28,6 F = 618 N r = 13,3 mm (MR)A = (MR)B = 76,0 kN# m Mo = { -720i + 120j - 660k} N# m MP = { -24i + 24j + 8k} kN# m Mo = { -128i + 128j - 257k} N# m MO = 4,27 N# m, a = 95,2 , b = 110 , g = 20,6 a = 55,6 b = 45 g = 11,5 Ou a = 124 b = 135 g = 64,9 MO = { 163i - 346j - 360k} N# m MO = rOA * FC = { 1080i + 720j} N# m Ou MO = rOC * FC = { 1080i + 720j} N# m MO = { -720i + 720j} N# m MA = { -110i + 70j - 20k} N# m MA = { 574i + 350j + 1385k} N# m F = 585 N MA = {-5,39i + 13,1j + 11,4k} N# m y = 2 m, z = 1 m y = 1 m, z = 3 m, d = 1,15 m MA = { -16,0i - 32,1k} N# m MB = { 1,00i + 0,750j - 1,56k} kN# m MO = { 373i - 99,9j + 173k} N# m umáx = 90 , umín = 0, 180 MBC = 165 N# m MCA = 226 N# m MAC = { 11,5i + 8,64j} kN# m F = 20,2 N Mx = 21,7 # m F = 139 Sim, sim Mx = 73,0 N# m F = 771 N FB = 192 N FA = 236 N Ma = 4,37 N# m, a = 33,7 , b = 90 , g = 56,3 , M = 5,41 N# m R = 28,9 N F = 75 N, P = 100 N 4.19. 4.21. 4.22. 4.23. 4.25. 4.26. 4.27. 4.29. 4.30. 4.31. 4.33. 4.34. 4.35. 4.37. 4.38. 4.39. 4.41. 4.42. 4.43. 4.45. 4.46. 4.47. 4.49. 4.50. 4.51. 4.53. 4.54. 4.55. 4.57. 4.58. 4.59. 4.61. 4.62. 4.63. 4.65. 4.66. 4.67. 4.69. 4.70. a. 1MC2R = 5,20 kN# m (Sentido horário) b. 1Mc2R = 5,20 kN# m (Sentido horário) F = 14,2 kN u = 56,1 P = 49,5 N P = 830 N MC = 22,5 N# m 4.71. 4.73. 4.75. 4.77. 4.78. 4.79. F = 83,3 N MC = 40,8 N# m F = 98,1 N MR = { -12,1i - 10,0j - 17,3k} N# m MC = 45,1 N# m F = 832 N MC = 40,8 N# m a = 11,3 b = 101 g = 90 MR = 59,9 N# m a = 99,0 b = 106 g = 18,3 M2 = 424 N# m, M3 = 300 N# m M = 18,3 N# m a = 155 b = 115 g = 90 F = 15,4 N MC = { -2i + 20j + 17k} kN# m, MC = 26,3 kN# m (MC)R = 71,9 # m, a = 44,2 , b = 131 , g = 103 FR = 365 N, u = 70,8 , (MR)O = 2364 N# m (Sentido anti-horário) FR = 365 N, u = 70,8 , (MR)P = 2799 N# m (Sentido anti-horário) FR = 1,30 kN, u = 86,7 , (MR)A = 1,02 kN# m (Sentido anti-horário) FR = 8,27 kN u = 69,9 1MR2A = 9,77 kN# m (Sentido horário) FR = 938 N, u = 35,9 , (MR)A = 680 N# m (Sentido anti-horário) FR = 5,93 kN, u = 77,8 , MRA = 34,8 kN# m (Sentido horário) FR = 294 N, u = 40,1 , MRO = 39,6 N# m MRO = { 0,650i + 19,75j - 9,05k} kN# m FR = 5270k6 N, MRO = 5-2,22i6 N# m FR = {-6i + 5j - 5k} kN (MR)O = {2,5i - 7j} kN # m FR = {44,5i + 53,1j + 40k} N MRA = {-5,39i + 13,1j + 11,4k} N # m 4.81. 4.82. 4.83. 4.85. 4.86. 4.87. 4.89. 4.90. 4.91. 4.93. 4.94. 4.95. 4.97. 4.98. 4.99. 4.101. 4.102. 4.103. 4.105. 4.106. 4.107. 4.109. 4.110. 4.111. FR = {-40j - 40k} N MRA = {-12j + 12k} N # m F = 1302 N u = 84,5 x = 8,51 m F = 1302 N u = 84,5 x = 2,52 m (para a direita) F = 4,427 kN, u = 71,565 , d = 3,524 m FR = 542 N, u = 10,6 , d = 0,827 m FR = 542 N, u = 10,6 , d = 2,17 m FR = 356 N, u = 51,8 , d = b = 3,32 m F = 1302 N, u = 84,5 , x = 7,36 m F = 1302 N, u = 84,5 , x = 1,36 m (para a direita) FR = 1000 N, u = 53,1 , d = 2,17 m FR = 991 N y = 1,78 m 4.113. 4.114. 4.115. 4.117. 4.118. 4.119. 4.121. 4.122. 4.123. 4.125. Respostas de problemas selecionados 581 4.126. FR = 991 N u = 63,0 x = 2,64 m FR = 5141i + 100j + 159k6 N, MRO = 5122i - 183k6 N# m FC = 600 N, FD = 500 N FR = 26 kN, y = 82,7 mm, x = 3,85 mm FA = 18,0 kN FB = 16,7 kN FR = 48,7 kN FA = 30 kN, FB = 20 kN, FR = 190 kN FR = 35 kN, y = 11,3 m, x = 11,5 m F1 = 27,6 kN, F2 = 24,0 kN FR = 539 N, MR = 1,45 kN# m, x = 1,21 m, y = 3,59 m FR = 12,5 kN, d = 1,54 m FR = 15,4 kN, (MR)O = 18,5 kN# m (Sentido horário) FR = 21,0 kN d = 3,43 m FR = 6,75 kN, x = 2,5 m FR = 0,525 kN c d = 0,171 m FR = 27,0 kN, (MR)A = 81,0 kN# m (Sentido horário) FR = 3,460 kN MRA = 3,96 kN# m FR = 15,0 kN, d = 3,40 m FR = 12,0 kN, u = 48,4 , d = 3,28 m FR = 12,0 kN, u = 48,4 , d = 3,69 m w2 = 17,2 kN>m, w1 = 30,3 kN>m FR = 1,80 kN 1MR2A = 4,20 kN# m (Sentido horário) FR = 1,80 kN, d = 2,33 m 4.127. 4.129. 4.130. 4.131. 4.133. 4.134. 4.135. 4.137. 4.138. 4.139. 4.141. 4.142. 4.143. 4.145. 4.146. 4.147. 4.149. 4.150. 4.151. 4.153. 4.154. 4.155. FR = 51,0 kN T, MRO = 914 kN# m (Sentido horário) FR = 6,75 kN, (MR)O = 4,05 kN# m (Sentido anti-horário) FR = 14,9 kN x = 2,27 m FR = 2Lw0 p , (MR)O = a2p - 4 p2 bw0L2 (Sentido horário) FR = 2w0L p T x = 2L p FR = 107 kN, h = 1,60 m 4.157. 4.158. 4.159. 4.161. 4.162. Capítulo 5 5.10. Ay = 5,00 kN, NB = 9,00 kN, Ax = 5,00 kN NB = 3,46 kN, Ax = 1,73 kN, Ay = 1,00 kN Ax = 3,46 kN, Ay = 8 kN, MA = 20,2 kN# m NA = 2,175 kN, By = 1,875 kN, Bx = 0 NA = 3,33 kN, Bx = 2,40 kN, By = 133 N TBC = 113 N u = cos-1aL + 2L2 + 12r2 16r b Ax = 0, By = P, MA = PL 2 FBD = 628 N Cx = 432 N Cy = 68,2 N 5.11. 5.13. 5.14. 5.15. 5.17. 5.18. 5.19. 5.21. 5.22. NA = 3,71 kN, Bx = 1,86 kN, By = 8,78 kN w = 2,67 kN>m NA = 39,7 N, NB = 82,5 N, MA = 10,6 N# m u = 70,3 , N= A = (29,4 - 31,3 sen u) kN, N= B = (73,6 + 31,3 sen u) kN NB = 98,1 N, Ax = 85,0 N, Ay = 147 N P = 272 N Pmin = 271 N FB = 86,6 N, Bx = 43,3 N, By = 110 N Ax = 25,4 kN, By = 22,8 kN, Bx = 25,4 kN F = 14,0 kN T = 5 kN TBC = 16,4 kN FA = Fx = 20,6 kN FCB = 782 N, Ax = 625 N, Ay = 681 N F2 = 724 N, F1 = 1,45 kN, FA = 1,75 kN F = 311 kN, Ax = 460 kN, Ay = 7,85 kN k = 116 N/m NC = 213 N Ax = 105 N Ay = 118 N F = 282 N, Ax = 149 N, Ay = 167 N P = 660 N, NA = 442 N, u = 48,0 5.23. 5.25. 5.26. 5.27. 5.29. 5.30. 5.31. 5.33. 5.34. 5.35. 5.37. 5.38. 5.39. 5.41. 5.42. 5.43. 5.45. 5.46. d = 3a 4 FBC = 80 kN, Ax = 54 kN, Ay = 16 kN FC = 10 mN k = 250 N>m FB = 6,38 N Ax = 3,19 N Ay = 2,48 N a = 10,4 WB = 314 N u = tg -1a1 2 cotg c - 1 2 cotg fb h = 0,645 m NA = 346 N, NB = 693 N, a = 0,650 m d = a cos3 u w1 = 2P L , w2 = 4P L TC = 14,8 kN, TB = 16,5 kN, TA = 7,27 kN TBC = 43,9 N, NB = 58,9 N, Ax = 58,9 N, Ay = 39,2 N, Az = 177 N NC = 289 N NA = 213 N NB = 332 N Ax = 8,00 kN Ay = 0 Az = 24,4 kN My = 20,0 kN# m Mx = 572 kN# m Mz = 64,0 kN# m Ax = 400 N Ay = 500 N Az = 600 N 1MA2x = 1,225 kN# m 1MA2y = 750 kN# m 1MA2z = 0 T = 1,84 kN F = 6,18 kN 5.47. 5.49. 5.50. 5.51. 5.53. 5.54. 5.55. 5.57. 5.58. 5.59. 5.61. 5.62. 5.63. 5.65. 5.66. 5.67. 5.69. 582 ESTÁTICA 5.70. Ax = 300 N, Ay = 500 N, NB = 400 N, (MA)x = 1,00 kN# m, (MA)y = 200 N# m, (MA)z = 1,50 kN# m TBC = 1,40 kN, Ay = 800 N, Ax = 1,20 kN, (MA)x = 600 N# m, (MA)y = 1,20 kN# m, (MA)z = 2,40 kN# m TBA = 2,00 kN, TBC = 1,35 kN, Dx = 0,327 kN, Dy = 1,31 kN, Dz = 4,58 kN Cy = 800 N, Bz = 107 N, By = 600 N, Cx = 53,6 N, Ax = 400 N, Az = 800 N FDC = FDB = 4,31 kN Ax = 3,20 kN Ay = 0 Az = -4 kN 5.71. 5.73. 5.74. 5.75. 5.77. FCB = 1,37 kN 1MA2x = 785 N# m 1MA2z = 589 N# m Ax = 1,18 kN Ay = 589 N Az = 0 FAC = 6,13 kN, FBC = 6,13 kN, FDE = 19,62 kN FBC = 4,09 kN Cy = 450 N, Cz = 250 N, Bz = 1,125 kN, Az = 125 N, Bx = 25 N, Ax = 475 N T = 58,0 N Cz = 77,6 N Cy = 24,9 N Dy = 68,5 N Dz = 32,1 N TBD = 116,7 N, TCD = 116,7 N, Ax = 66,7 N, Ay = 0, Az = 100 FBD = 294 N, FBC = 589 N, Ax = 0, Ay = 589 N Az = 490,5 N 5.78. 5.79. 5.81. 5.82. 5.83. 5.85. Capítulo 6 6.1. Nó D, FDC = 400 N (C) FDA = 300 N (C) Nó B, FBA = 250 N (T) FBC = 200 N (T) Nó C, FCA = 283 N (C) FCB = 0, FCD = 20,0 kN (C), FDB = 33,3 kN (T), FDA = 36,7 kN (C) FCB = 0, FCD = 45,0 kN (C), FDB = 75,0 kN (T), FDA = 90,0 kN (C) FCD = 5,21 kN (C), FCB = 2,36 kN (T), FAD = 1,46 kN (C), FAB = 2,36 kN (T), FBD = 4 kN (T) Nó A, FAD = 84,9 kN FAB = 60 kN (T) Nó B, FBD = 40 kN (C) FBC = 60 kN (T) Nó D, FDC = 141 kN (T) FDE = 160 kN (C) 6.2. 6.3. 6.5. 6.6. 6.7. FDE = 16,3 kN (C), FDC = 8,40 kN (T), FEA = 8,85 kN (C), FEC = 6,20 kN (C), FCF = 8,77 kN (T), FCB = 2,20 kN (T), FBA = 3,11 kN (T), FBF = 6,20 kN (C), FFA = 6,20 kN (T) 6.9. P = 5,20 kN Nó D: FCD = 0,577 P (C) FDB = 0,289 P (T) Nó C: FCE = 0,577 P (T) FBC = 0,577 P (C) Devido à simetria: FBE = FCE = 0,577 P (T) FAB = FCD = 0,577 P (C) FAE = FDE = 0,577 P (T) Nó D: FCD = 2,89 W (C) FDE = 1,44 W (T) Nó C: FCE = 1,15 W (T) FBC = 2,02 W (C) Devido à simetria: FBE = FCE = 1,15 W (T) FAB = FCD = 2,89 W (C) FAE = FDE = 1,44 W (T) FAE = 9,90 kN (C), FAB = 7,00 kN (T), FDE = 11,3 kN (C), FDC = 8,00 kN (T), FBE = 6 32 kN (T), FBC = 5,00 kN (T), FCE = 9 49 kN (T) FDE = 1,00 kN (C) FDC = 800 N (T) FCE = 900 N (C) FCB = 800 N (T) FEB = 750 N (T) FEA = 1,75 kN (C) FCB = FCD = 0 Nó A, FAB = 2,40P (C) FAF = 2,00P (T) Nó B, FBF = 1,86P (T) FBD = 0,373P (C) Nó F, FFE = 1,86P (T) FFD = 0,333P (T) Nó D, FDE = 0,373P (C) FJD = 33,3 kN (T), FAL = FGH = FLK = FHI = 28,3 kN (C), FAB = FGF = FBC = FFE = FCD = FED = 20 kN (T), FBL = FFH = FLC = FHE = 0, FCK = FEI = 10 kN (T), FKJ = FIJ = 23,6 kN (C), FKD = FID = 7,45 kN (C) 6.10. 6.11. 6.13. 6.14. 6.15. 6.17. 6.18. FCE = 16,9 kN (C) FCB = 10,1 kN (T) FBA = 10,1 kN (T) FBE = 15,0 kN (T) FAE = 1,875 kN (C) FFE = 9,00 kN (C) Respostas de problemas selecionados 583 6.19. FDE = FDC = FFA = 0, FCE = 34,4 kN (C), FCB = 20,6 kN (T), FBA = 20,6 kN (T), FBE = 15,0 kN (T), FFE = 30,0 kN (C), FEA = 15,6 kN (T) FDE = 13,4 kN (T), FDC = 6,00 kN (C), FCB = 6,00 kN (C), FCE = 0, FEB = 17,0 kN (C), FEF = 18,0 kN (T), FBA = 18,0 kN (C), FBF = 20,0 kN (T), FFA = 22,4 kN (C), FFG = 28,0 kN (T) FFE = 0,667P (T), FFD = 1,67P (T), FAB = 0,471P (C), FAE = 1,67P (T), FAC = 1,49P (C), FBF = 1,41P (T), FBD = 1,49P (C), FEC = 1,41P (T), FCD = 0,471P (C) FEC = 1,20P (T), FED = 0, FAB = FAD = 0,373P (C), FDC = 0,373P (C), FDB = 0,333P (T), FBC = 0,373P (C) FCB = 2,31 kN (C), FCD = 1,15 kN (C), FDB = 4,00 kN (T), FDA = 4,62 kN (C), FAB = 2,31 kN (C) Pmáx = 1,30 kN FBC = 18,0 kN (T), FFE = 15,0 kN (C), FEB = 5,00 kN (C) FEF = 15,0 kN (C), FBC = 12,0 kN (T), FBE = 4,24 kN (T) FBC = 10,4 kN (C), FHG = 9,16 kN (T), FHC = 2,24 kN (T) FCD = 11,2 kN (C) FCF = 3,21 kN (T) FCG = 6,80 kN (C) FAF = 21,3 kN (T) FBC = 5,33 kN (C) FBF = 20,0 kN (C) FCD = 5,625 kN (T) FCM = 2,00 kN (T) FEF = 7,88 kN (T) FLK = 9,25 kN (C) FED = 1,94 kN (T) FGH = 12,5 kN (C), FBG = 6,01 kN (T), FBC = 6,67 kN (T) FKJ = 3,07 kN (T) FCD = 3,07 kN (T) FND = 0,167 kN (T), FNJ = 0,167 kN (C) FJI = 2,13 kN (C) FDE = 2,13 kN (T) 6.21. 6.22. 6.23. 6.25. 6.26. 6.27. 6.29. 6.30. 6.31. 6.33. 6.34. 6.35. 6.37. 6.38. 6.39. 6.41. FGH = 76,7 kN (T) FED = 100 kN (C) FEH = 29,2 kN (T) FJK = 11,1 kN (C) FCD = 12 kN (T) FCJ = 1,60 kN (T) FEF = 12,9 kN (T), FFI = 7,21 kN (T), FHI = 21,1 kN (C) FCD = 18,0 kN (T), FCJ = 10,8 kN (T), FKJ = 26,8 kN (T) FBE = 21,2 kN (T) FCB = 5 kN (T) FEF = 25 kN (C) FBF = 0, FBG = 35,4 kN (C), FAB = 45 kN (T) FGJ = 17,6 kN (C), FCJ = 8,11 kN (C), FCD = 21,4 kN (T), FCG = 7,50 kN (T) 6.42. 6.43. 6.45. 6.46. 6.47. 6.49. 6.50. FAE = FAC = 220 N(T) FAB = 583 N (C) FBD = 707 N (C) FBE = FBC = 141,4 N (T) FGC = 4,47 kN (T) FGD = 4,47 kN(C) FGE = 6,00 kN (C) FED = 9,00 kN (T) FEA = 6,71 kN (C) FEB = 0 FDB = 474N (C), FDC = 146 N (T) FDA = 1,08 kN (T), FAB = 385 N (C) FAC = 231 N (C), Az = 925 N, FCB = 281 N(T) FAB = 6,46 kN (T), FAC = FAD = 1,50 kN (C), FBC = FBD = 3,70 kN (C), FBE = 4,80 kN (T) FCE = 721 N (T), FBC = 400 N (C) FBE = 0, FBF = 2,10 kN (T) FDF = 5,31 kN (C), FEF = 2,00 kN (T), FAF = 0,691 kN (T) FDB = 25,0 kN (C) FDC = 15,0 kN (T) FDE = 12,0 kN (C) FCE = 33,5 kN (C) FCF = 30,0 kN (T) FBE = 39,1 kN (T) FBF = 0 FBA = 30,0 kN (C) FAE = 0 FAF = 0 FFE = 0 FAD = 686 N (T), FBD = 0, FCD = 615 N (C), FBC = 229 N (T), FAC = 343 N (T), FEC = 457 N (C) 2P + 2R + 2T - 50(9,81) = 0, P = 18,9 N P = 40,0 N x = 240 mm 6.51. 6.53. 6.54. 6.55. 6.57. 6.58. 6.59. 6.61. 6.62. 6.63. P = 368 N NE = 18,0 kN NC = 4,50 kN Ax = 0 Ay = 7,50 kN MA = 22,5 kN# m NE = 3,60 kN NB = 900 kN Ax = 0 Ay = 2,70 kN MA = 8,10 kN# m FC = 572 N FA = 572 N FB = 478 N P = 743 N Cy = 184 N, Cx = 490,5 N, Bx = 1,23 kN, By = 920 kN P = 2,24 kN Bx = 4,00 kN, By = 5,33 kN, Ax = 4,00 kN, Ay = 5,33 kN Ax = 0 Ay = 2,025 kN Bx = 1,80 kN By = 2,025 kN F = 562,5 N 6.65. 6.66. 6.67. 6.69. 6.70. 6.71. 6.73. 6.74. 6.75. 584 ESTÁTICA 6.77. W1 = b a W FE = 3,64 F FFB = 1,94 kN, FBD = 2,60 kN FFD = 20,1 kN, FBD = 25,5 kN, Cx = 18,0 kN, Cy = 12,0 kN Ax = 294 N Ay = 196 N NC = 147 N NE = 343 N FA = 130 N FC = 19,6 kN M = 2,43 kN# m F = 5,07 kN P(u) = 250 22,252 - cos2 u sen u cos u + 22,252 - cos2 u # cos u FF = 16,8 kN F = 6,93 kN FN = 26,25 N NB = NC = 49,5 N Cx = 650 N, Cy = 0 FEF = 8,18 kN (T), FAD = 158 kN (C) T = 9,60 N a. F = 875 N, NC = 1750 N b. F = 437,5 N, NC = 437,5 N a. F = 1025 N, NC = 1900 N b. F = 512,5 N, NC = 362,5 N 6.78. 6.79. 6.81. 6.82. 6.83. 6.85. 6.86. 6.87. 6.89. 6.90. 6.91. 6.92. 6.93. 6.94. 6.95. 6.97. 6.98. 6.99. 6.101. Ey = 1,00 kN, Ex = 3,00 kN, Bx = 2,50 kN, By = 1,00 kN, Ax = 2,50 kN, Ay = 500 N F = 370 N NA = 284 N mL = 106 kg FAB = 9,23 kN, Cx = 2,17 kN, Cy = 7,01 kN Dx = 0, Dy = 1,96 kN, MD = 2,66 kN# m P = 198 N u = 23,7 m = 26,0 kg m = 366 kg FA = 2,93 kN Cy = 1,52 kN By = 23,5 kN Ay = 3,09 kN Bx = 3,5 kN NA = 11,1 kN (Ambas as rodas) FCD = 6,47 kN FE = 5,88 kN FS = 286 N Az = 0 Ax = 172 N Ay = 115 N Cx = 47,3 N Cy = 61,9 N Cz = 125 N MCy = -429 N# m MCz = 0 P = 283 N, Bx = Dx = 42,5 N, By = Dy = 283 N, Bz = Dz = 283 N 6.102. 6.103. 6.105. 6.106. 6.107. 6.109. 6.110. 6.111. 6.113. 6.114. 6.115. 6.117. 6.118. Capítulo 7 7.1. NC = 0 VC = 3w0L 8 MC = - 5 48 w0L2 NC = -11,908 kN VC = -0,625 kN MC = 21,25 kN# m NC = 0 VC = 0 MC = 1,5 kN# m VA = 0, NA = -39 kN, MA = -2,425 kN# m a = L 3 NC = 0 VC = 2,875 kN MC = 6,56 kN# m ND = 0 VD = 1,75 kN MD = 9,75 kN# m 7.2. 7.3. 7.5. 7.6. 7.7. 7.9. NC = -30 kN, VC = -8 kN, MC = 6 kN# m P = 0,533 kN, NC = -2 kN, VC = -0,533 kN, MC = 0,400 kN# m NE = 470 N, VE = 215 N ME = 660 N# m, NF = 0 VF = -215 N, MF = 660 N# m a = L 3 ND = -1350 N = -1,35 kN VD = -600 N MD = -300 N# m NC = 0, VC = -1,50 kN, MC = 13,5 kN# m VA = 3 kN, NA = 13,2 kN, MA = 3,82 kN# m VB = 3 kN, NB = 16,2 kN, MB = 14,3 kN# m NC = 400 N, VC = -96 N, MC = -144 N# m NE = 720 N, VE = 1,12 kN, ME = -320 N# m, NF = 0, VF = -1,24 kN, MF = -1,41 kN# m NC = -20,0 kN, VC = 70,6 kN, MC = -302 kN# m a b = 1 4 ND = 0, VD = 8 kN, MD = -9,75 kN, NE = 0, VE = 5 kN, ME = 7,5 kN# m VC = 2,49 kN, NC = 2,49 kN, MC = 4,97 kN# m, ND = 0, VD = -2,49 kN, MD = 16,5 kN# m NE = 0, VE = -50 N, ME = -100 N# m ND = 0, VD = 750 N, MD = -1300 N# m NC = 0 VC = 3,25 kN MC = 9,375 kN # m ND = 0 VD = 1 kN MD = 13,5 kN # m ND = -2,25 kN, VD = 1,25 kN, -1,88 kN# m NE = 1,25 kN, VE = 0, MB = 1,69 kN# m VD = -4,50 kN ND = -14,0 kN MD = -13,5 kN# m 7.10. 7.11. 7.13. 7.14. 7.15. 7.17. 7.18. 7.19. 7.21. 7.22. 7.23. 7.25. 7.26. 7.27. 7.29. 7.30. 7.31. Respostas de problemas selecionados 585 7.33. ND = -800 N, VD = 0, MD = 1,20 kN# m w = 100 N/m V = 0,278 w0 r, N = 0,0759 w0 r, M = 0,0759 w0 r2 ND = 1,26 kN, VD = 0, MD = 500 N# m NE = -1,48 kN, VE = 500 N, ME = 1000 N# m d = 0,200 m VDx = 116,00 kN, NDy = -65,60 kN, VDz = 0,00, MDx = 49,20, MDy = 87,00, MDz = 26,20 Cx = -170 N, Cy = -50 N Cz = 500 N Mcx = 1 MN # m Mcy = 900 N # m Mcz = -260 N # m 7.34. 7.35. 7.37. 7.38. 7.39. 7.41. 7.42. 7.43. Nx = -500 N, Vy = 100 N, Vz = 900 N, Mx = 600 N# m, My = -900 N# m, Mz = 400 N# m 0 … x 6 a: V = -wx, M = - w 2 x2 a 6 x … 2a: V = w(2a - x), M = 2wax - 2wa2 - w 2 x2 0 … x 6 L 3: V = 0, M = 0, L 3 6 x 6 2L 3 : V = 0, M = M0, 2L 3 6 x … L: V = 0, M = 0, 0 … x 6 8 3 m: V = 0, M = 0, 8 3 m 6 x 16 3 m: V = 0, M = 500 N# m, 16 3 m 6 x … 8 m: V = 0, M = 0 Mmáx = 2 kN# m V = 0,75 kN M = 0,75 x kN# m V = 3,75 - 1,5 x kN M = -0,75x2 + 3,75x - 3 kN# m x = 1,732 m Mmáx = 0,75(1,732) - 0,08333(1,732)3 = 0,866 a. 0 … x 6 a: V = a1 - a LbP, M = a1 - a LbPx, a 6 x … L: V = - a a LbP, M = P aa - a L xb b. 0 … x 6 2 m: V = 6 kN, M = {6x} kN # m 2 m # 6 x … 6 m: V = -3 kN, M = {18 - 3x} kN # m V = wL 8 M = wL 8 x V = w 8 (5L - 8x) M = w 8 (-L2 + 5Lx - 4x2) 7.45. 7.46. 7.47. 7.50. 7.53. 7.54. 7.55. 7.58. V = w 4 (3L - 4x) M = w 4 (3Lx - 2x2 - L2) V = (4 - 2x) kN M = (-x2 + 4x - 10) kN# m V = 0,4 kN M = { 0,4x} kN# m V = { 5,20 - 2,40x} kN M = { -1,2x2 + 5,2x - 4,8} kN# m V = e3,00 - x2 4 f kN M = e3,00x - x3 12 f kN# m x = L 2, P = 4Mmáx L V = ght 2d x2 M = - ght 6d x3 V = P 2 sen u N = p 2 cos u M = pr 2 (1 - cos u) N = P sen (u + f), V = -P cos (u + f), M = Pr [sen (u + f) - sen f] x = 1-, V = 450 N, M = 450 N# m, x = 3+, V = -950 N, M = 950 N# m x = 1-, V = 600 N, M = 600 N# m x = 2+, V = -375 N, M = 750 N# m x = 2,75, V = 0, M = 1356 N# m x = 2+, V = -14,3, M = -8,6 x = 1,76 m x = 3, V = 3,00 kN, M = -1,50 kN# m x = 3, V = -2,25 kN, M = 20,25 kN# m x = 4,5-, V = -31,5 kN, M = -45,0 kN# m, x = 8,5+, V = 36,0 kN, M = -54,0 kN# m x = 1,5 V = 7,50 kN M = -6,75 kN# m x = 1,5 V = 4,50 kN M = -4,50 kN# m x = 0, V = 13,5 kN, M = -9,5 kN# m x = 3, V = 0, M = 18,0 kN# m V = -27,0 kN, x = 6-, M = -18,0 kN # m 7.59. 7.61. 7.62. 7.63. 7.65. 7.66. 7.67. 7.71. 7.73. 7.74. 7.77. 7.79. 7.82. 7.83. 7.85. 7.87. 7.89. 7.90. 7.91. 7.93. 7.94. Tmáx = 157,2 N, yB = 2,43 m TBD = 390,9 N, TAC = 378,4 kN TCD = 218,4 N, IT = 4,674 m xB = 5,39 m P = 700 N yB = 2,22 m, yD = 1,55 m TAB = 413 N TBC = 282 N yC = 3,08 m TCD = 358 N Mp = 37,47 kg Mp = 37,5 kg yc = 3,03 m 7.95. 7.97. 7.98. 7.99. 7.101. 7.102. 586 ESTÁTICA 7.103. yB = 3,53 m, P = 0,8 kN, Tmáx = TDE = 8,17 kN w0 = 77,8 kN/m y = (38,5x2 + 577x)(10-3) m Tmáx = 5,20 kN Tmáx = 1,30 MN Tmáx = 594 kN Tmín = 552 kN TB = 54,52 kN TA = 46,40 kN h = 7,09 m y = 4,5a1 - cos p 24 xb m Tmáx = 60,2 kN h = 1,47 m FA = 11,1 kN, FC = 11,1 kN, h = 23,5 m h L = 0,141 Peso total = 4,00 MN Tmáx = 2,01 MN L = 10,39 m L = 16,8 m y = 45,512 { cosh[(0,0219722)x]-1} m L = 52,553 m 7.105. 7.106. 7.107. 7.109. 7.110. 7.111. 7.112. 7.113. 7.114. 7.115. 7.117. 7.118. 7.121. 7.122. 7.123. Capítulo 8 8.1. P = 12,8 kN x = 0,5 m NA = 16,5 kN, NB = 42,3 kN, Não se move. f = u, P = W sen(a + u) F = 2,76 kN a. Não b. Sim a. Não b. Sim u = 21,8 8.2. 8.3. 8.6. 8.7. 8.9. 8.10. 8.11. 8.13. P = M0 msra (b + ms C) b = h ms + d 2 u = tg -1 7ms u = 30,00 P = 1,14 kN Se FA = 444 N 6 FAmáx = 515 N 8.14. 8.15. 8.17. 8.18. então nossa suposição de não deslizamento está correta. 8.21. FA = 0,44 kN, NA = 1,47 kN, NB = 1,24 kN u = 35,5 P = 740 N P = 860 N FA = 71,4 N u = 33,4 u = 11,0 n = 12 NC = 280,2 N, P = 140 N, A = 523,5 mm FC = 30,5 N, NC = 152,3 N x1 = 0,79 m m s = 0,376 8.22. 8.23. 8.25. 8.26. 8.27. 8.29. 8.30. 8.31. 8.33. 8.34. Se P = 1 2 W, ms = 1 3 Se P 1 2 W, ms = (P + W) - 2(W + 7P)(W - P) 2(2P - W) para 0 6 P 6 W P = 32,1 N u = 31,0 P = 654 N Oy = 400 N, Ox = 46,4 N 286 N 8.35. 8.37. 8.38. 8.39. 8.41. 8.42. O bloco deixa de estar em equilíbrio. 8.43. m = 0,509 8.45. mC = 0,0734, mB = 0,0964 8.46. Ele consegue mover a caixa. 8.47. m = 66,7 kg P = 355 N 146 N m = 54,9 kg mB = 0,105 mC = 0,138 P = 107 N m = 0,176 h = 2 25 am x = 18,3 mm P = 2,39 kN P = 5,53 kN, sim 8.49. 8.50. 8.51. 8.53. 8.54. 8.55. 8.57. 8.58. 8.59. 8.61. 8.62. 215 N u = 33,4 W = 7,19 kN O parafuso é autotravante. FAB = 1,38 kN (T), FBD = 828 N (C) FBC = 1,10 kN (C), FAC = 828 N (C) FAD = 1,10 kN (C), FCD = 1,38 kN (T) F = 66,7 N FCD = 674,32 N FG = 674 N P = 1,98 kN P = 2,85 kN M = 40,6 N# m P = 880 N M = 352 N# m F = 1,98 kN 8,09 N# m T = 4,02 kN F = 11,6 kN P = 104 N P = 1,54 kN a. F = 1,31 kN b. F = 372 N a. F = 4,60 kN b. F = 16,2 kN Aproximadamente 2 voltas (695°) mA = 2,22 kg u = 99,2 P = 736 N mA = 7,82 kg P = 19,6 N 8.63. 8.65. 8.66. 8.67. 8.69. 8.70. 8.71. 8.73. 8.75. 8.77. 8.78. 8.79. 8.81. 8.82. 8.83. 8.85. 8.86. 8.87. 8.89. 8.90. 8.91. 8.93. 8.94. Respostas de problemas selecionados 587 8.95. M = 458 N# m MC = 136 kg (controla!) M = 134 N# m P = 223 N M = 75,4 N# m, V = 0,171 m3 P = 53,6 N mD = 4,25 kg M = 50,0 N# m, x = 286 mm M = 3,37 N# m Fs = 85,4 N M = 132 N# m M = 16,1 N# m M = 237 N# m M = 1 2 ms P(R2 + R1) M = 2ms PR 3 cos u M = 17,0 N# m P = 118 N P = 68,97 N 8.97. 8.98. 8.99. 8.101. 8.102. 8.103. 8.105. 8.106. 8.107. 8.109. 8.110. 8.111. 8.113. 8.114. 8.115. 8.117. 8.118. P = 145,0 N F = 18,9 N P = 814 N 8,08 N u = 68,2 , M = 0,0455 N# m (rf)A = rAms = 25(0,3) = 7,50 mm (rf)B = rBms = 10(0,3) = 3 mm r = 20,6 mm P = 299 N P = 131 N d = 38,5 mm 8.119. 8.121. 8.122. 8.123. 8.125. 8.126. 8.127. 8.129. 8.131. Capítulo 9 9.1. x = 124 mm, y = 0 x = 0,299a y = 0,537a x = 0,574 m, Bx = 0, Ay = 63,1 N, By = 84,8 N y = 0,857 m y = 2 5 m x = 0,398 m x = 3 8 a y = p 8 a x = 0 x = 3 2 m x = 3 4 b y = 3 10 h x = 6 m y = hn + 1 (2n + 1) A = 19,2 m2, y = 1,43 m x = 3 8 a 9.2. 9.3. 9.5. 9.6. 9.7. 9.9. 9.10. 9.11. 9.13. 9.14. 9.15. 9.17. 9.18. 9.19. 9.21. x = b - a ln b a A = c2ln b a y = c2(b - a) 2ab ln b a x = a(1 + n) 2(2 + n) 9.22. 9.23. 9.25. m = 1 4 r0r4t x = 8 15 r y = 8 15 r A = a2 p, x = ap - 2 2p ba A = a2 p, y = p 8 a y = pa 8 x = 1,26 m, y = 0,143 m, NB = 47,9 kN, Ax = 33,9 kN, Ay = 73,9 kN x = c 2(n + 1) 3(n + 2)d a x = 1 3 (a + b) y = h 3 x = 50,0 mm x = 2 3ar sen a a b x = 0,785 a x = y = 0, z = 4 3 m z = R2 + 3r2 + 2rR 4(R2 + r2 + rR) h z = 5 6 h z = 4 3 m y = 3 8 b, x = z = 0 m = pkr4 4 z = 8 15 r z = c 4 zc = 0,422 m z = 0,675a x = 179 mm x = 0, y = 58,3 mm y = 154 mm d = 3 m x = 231 mm y = 133 mm z = 16,7 mm 9.26. 9.27. 9.29. 9.30. 9.31. 9.33. 9.34. 9.35. 9.37. 9.38. 9.39. 9.41. 9.42. 9.43. 9.45. 9.46. 9.47. 9.49. 9.50. 9.51. 9.53. 9.54. 9.55. 9.57. 588 ESTÁTICA 9.58. x = 112 mm, y = 112 mm, z = 136 mm x = W1 W b y = b(W2 - W1)2b2 - c2 cW y = 272 mm x = 77,2 mm, y = 31,7 mm y = 79,7 mm y = 85,9 mm y = 53,0 mm y = 135 mm x = 2,22 m, y = 1,41 m y = 22(a2 + at - t2) 2(2a - t) n … L d x = 2 3 r sen3 a a - sen 2a 2 y = 291 mm x = 64,1 mm z = 58,1 mm z = 305 mm z = 359 mm z = 128 mm h = 323 mm z = 463 mm h = a3 - a22a2 - pr2 pr2 m = 16,4 kg, x = 153 mm, y = -15 mm, z = 111 mm z = 122 mm x = 22,7 mm y = 29,5 mm z = 22,6 mm A = 47,1 m2 V = 22,1 m3 A = p(2p + 11)a2 V = 25,5 m2 Número de litros = 14,4 litros A = 188 m2 V = 207 m A = 276(103) mm2 V = 0,114 m3 A = 2,25 m2 A = 8pba, V = 2pba2 V = 2 3 pab2 Q = 205 MJ h = 139 mm h = 29,9 mm 9.59. 9.61. 9.62. 9.63. 9.65. 9.66. 9.67. 9.69. 9.70. 9.71. 9.73. 9.74. 9.75. 9.77. 9.78. 9.79. 9.81. 9.82. 9.83. 9.85. 9.86. 9.87. 9.89. 9.90. 9.91. 9.93. 9.94. 9.95. 9.97. 9.98. 9.99. 9.101. 9.102. 9.103. 9.105. 9.106. 9.107. 9.109. 9.110. V = 1,403 (106) mm3 153 litros A = 1365 m2 m = 138 kg x = 0 y = 2,40 m By = Cy = 12,8 kN Ay = 17,1 kN FR = 27,0 kN x = 0,778 m y = 0,833 m 9.111. 9.113. 9.114. 9.115. 9.117. 9.118. FRx = 2rlp0ap 2 b, FR = plrp0 FR = 4ab p2 p0, x = a 2 , y = b 2 d = 2,61 m F.S. = 2,71 FR = 2,77 MN, h = 5,22 m, Ffundo = 3,02 MN Para a água: FRA = 157 kN, FRB = 235 kN Para o óleo: d = 4,22 m FB = 29,4 kN, FA = 235 kN FR = 6,93 kN y = -0,125 m F = 3,85 kN d = 0,625 m FR = 170 kN 9.119. 9.121. 9.122. 9.123. 9.125. 9.126. 9.127. 9.129. 9.130. Capítulo 10 10.1. Ix = 0,133 m4 Iy = 0,286 m4 Ix = 0,267 m4 Ix = 457(106) mm4 Iy = 53,3(106) mm4 Ix = ab3 3(3n + 1) Ix = 4a4 9p Iy = ap2 - 4 p3 ba4 Ix = p 8 m4 Ix = 614 m4 Iy = 85,3 m4 Iy = r0 4 8(sen a + a) Ix = 0,267 m4 Iy = 0,305 m4 Ix = 1 30 bh3 Ix = 3ab3 35 10.2. 10.3. 10.5. 10.6. 10.7. 10.9. 10.10. 10.11. 10.13. 10.14. 10.15. 10.17. 10.18. 10.19. 10.21. 10.22. Iy = 3a3b 35 Ix = 0,8 m4 A = 14,0(103) mm2 Iy = 798(106) mm4 Iy = 10,3(109) mm4 Iy = 90,2(106) mm4 y = 52,5 mm, Ix = 16,6(106) mm4, Iy = 5,725(106) mm4 y = 91,7 mm Ix = 216(106) mm4 Iy = 153(106) mm4 Ix = 1,72(109) mm4 Iy = 2,03(109) mm4 y = 207 mm, Ix = 222 (106) mm4 y = 22,5 mm, Ix = 34,4(106) mm4 Iy = 12211062 mm4 10.23. 10.25. 10.26. 10.27. 10.29. 10.30. 10.31. 10.33. 10.34. 10.35. 10.37. 10.38. 10.39. Respostas de problemas selecionados 589 10.41. x = 71,32 mm, Iy = 3,60(106) mm4 Ix = 154(106) mm4 Iy = 91,3(106) mm4 x = 61,6 mm, Iy= = 41,2(106) mm4 Ix = r4 24 (6u - 3 sen 2u - 4 cos u sen3 u) Iy = r4 4 au + 1 2 sen 2u - 2 sen u cos3 ub Iy = ab sen u 12 (b2 + a2 cos2 u) y = 0,181 m, Ix = 4,23(10-3) m4 Ix= = 520(106) mm4 Ix = 49,5(106) mm4 Ixy = 1 3 tl3sen 2u Ixy = 3 16 b2 h2 Ixy = a2b2 4(n + 1) Ixy = 0 Ixy = 10,7 m4, Ix y = 1,07 m4 Ixy = 1 6 a2b2 Ixy = a4 280 Ixy = 98,4(106) mm4 x = y = 44,1 mm, Ix=y= = -6,26(106) mm4 Iuv = 135(10)6 mm4 Iu = 85,3(106) mm4 Iv = 85,3(106) mm4 Iu = 1,28(106) mm4, Iv = 3,31(106) mm4, Iuv = -1,75(106) mm4 Iu = 1,28(106) mm4, Iuv = -1,75(106) mm4, Iv = 3,31(106) mm4 10.42. 10.43. 10.45. 10.46. 10.47. 10.49. 10.50. 10.51. 10.53. 10.54. 10.55. 10.57. 10.58. 10.59. 10.61. 10.62. 10.63. 10.65. 10.66. 10.67. 10.69. 10.70. 10.71. Iu = 909(106) mm4 Iv = 703(106) mm4 Iu = 909(106) mm4 Iv = 703(106) mm4 Iuv = 179(106) mm4 Imáx = 17,4(106) mm4, Imín = 1,84(106) mm4 (up)1 = 60,0 , (up)2 = -30,0 Imáx = 17,4(106) mm4, Imín = 1,84(106) mm4, (up)2 = 30,0 , (up)1 = 60,0 Imáx = 113(106) mm4 Imín = 5,03(106) mm4 (up)1 = 12,3 (up)2 = -77,0 Imáx = (450 + 276,59)(10-6) = 727(10-6) m4 Imín = (450 - 276,59)(10-6) = 173(10-6) m4 tg 2(up)2 = 60 450 - 180; 2(up)2 = 12,53 (up)2 = 6,26 2(up)1 = 2(up)2 + 180 = 12,53 + 180 = 192,53 (up)1 = 96,26 = 96,3 Imáx = 4,92(106) mm4 Imín = 1,36(106) mm4 Imáx = 4,92(106) mm4 Imín = 1,36(106) mm4 10.72. 10.73. 10.74. 10.75. 10.77. 10.78. 10.79. 10.81. y = 825 mm Iu = 109 (108) mm4 Iv = 238 (108) mm4 Iuv = 111 (108) mm4 y = 82,5 mm Iu = 43,4 (106) mm4 Iv = 47,0 (106) mm4 Iuv = -3,08 (106) mm4 y = 82,5 mm Iu = 43,4 (106) mm4 Iv = 47,0 (106) mm4 Iuv = -3,08 (106) mm4 Iy = m 6 (a2 + h2) Ix = 2 5 mb2 Ix = 2 5 mb2 Ix = 1 3 ma2 Ix = 3 10 mr2 kx = A n + 2 2(n + 4) h Iz = 342 kg # m2 Iy = 1,71(103) kg # m2 10.82. 10.83. 10.85. 10.86. 10.87. 10.89. 10.90. 10.91. 10.93. 10.94. 10.95. IA = 0,0453 kg # m2 Iz = 1,53 kg # m2 y = 1,78 m, IG = 4,45 kg # m2 Iv = 3,25 g # m2 Iy = 0,144 kg # m2 Iz = 0,113 kg # m2 Iz = 34,2 kg # m2 k0 = 3,15 m L = 6,39 m Io = 53,2 kg # m2 IO = 0,276 kg # m2 IO = 1 2 ma2 y = 0,888 m IG = 5,61 kg # m2 10.97. 10.98. 10.99. 10.101. 10.102. 10.103. 10.105. 10.106. 10.107. 10.108. 10.109. Capítulo 11 11.1. F = 245,25 N F = 24,5 N F = 2P cotgu F = 4,62 kN P = ka (a sen u - l0) l k = 1,48 kN/m P = W 2 cotgu M = 13,1 N# m F = M 2a sen u u = 23,8 , u = 72,3 u = 41,2 u = 90 , u = 36,1 k = 166 N>m 11.2. 11.3. 11.5. 11.6. 11.7. 11.10. 11.11. 11.13. 11.14. 11.15. 11.17. 11.18. 590 ESTÁTICA 11.19. u = 17,2 dx = -0,09769 du F = 512 N F = 500 20,04 cos2 u + 0,6 (0,2 cos u + 20,04 cos2 u + 0,6) sen u u = 15,5 e u = 85,4 11.21. 11.22. 11.23. 11.25. y = 0,481 m, y = -925 m u = 38,7 instável, u = 90 estável, u = 141 instável x = 0,167 m d2V dx2 = -4 6 0 Instável d2V dx2 = 4 7 0 Estável Instável em u = 34,6 , estável em u = 145 u = cos-1a W 2kLb W = 2kL Equilíbrio instável em u = 90 Equilíbrio estável em u = 49,0 u = sen-1a4W ka b u = 90 W = 8k 3L u = 12,1 Instável k = 157 N>m Equilíbrio estável em u = 60 Equilíbrio estável em u = 24,6 Equilíbrio estável em u = 51,2 Equilíbrio instável em u = 4,71 u = 76,8 Estável m = 5,29 kg f = 17,4 , u = 9,18 W2 = W1ab ab sen u cos f Equilíbrio instável em u = 23,2 u = 0 u = cos-1a d 4ab 11.26. 11.27. 11.29. 11.30. 11.31. 11.33. 11.34. 11.35. 11.37. 11.38. 11.39. 11.41. 11.42. 11.43. 11.45. 11.46. 11.47. RICARDO PIERALISI RICPIERALISI@UFPR.BR AMANDA JAREK - AMANDA@UFPR.BR JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES JLSM@UFPR.BR LUIZ ALKIMIN DE LACERDA ALKIMIN@UFPR.BR PROFESSORES DA DISCIPLINA
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MECÂNICA GERAL II CANAL DE COMUNICAÇÃO Módulo: Semestral Código: TC023 CURSO DE ENGENHARIA CIVIL UFPR Lista de Exercícios - Semana 02 ESTÁTICA MECÂNICA PARA ENGENHARIA 14ª edição EMPRESA CIDADÃ Pearson Education 260 ESTÁTICA Problemas fundamentais Todas as soluções dos problemas precisam incluir um diagrama de corpo livre. F6.7. Determine a força nos membros BC, CF e FE. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. F6.8. Determine a força nos membros LK, KC e CD da treliça Pratt. Indique se os membros estão sob tra- ção ou compressão. F6.9. Determine a força nos membros KJ, KD e CD da treliça Pratt. Indique se os membros estão sob tra- ção ou compressão. F6.10. Determine a força nos membros EF, CF e BC da treliça. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. F6.11. Determine a força nos membros GF, GD e CD da treliça. Indique se os membros estão sob tra- ção ou compressão. F6.12. Determine a força nos membros DC, HI e JI da treliça. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. Sugestão: use as seções mostradas. Capítulo 6 – Análise estrutural 261 Todas as soluções dos problemas precisam incluir um diagrama de corpo livre. 6.27. Determine a força nos membros FE, EB e BC da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 11 kN B A D C F E 22 kN 2 m 1,5 m 2 m 2 m Problema 6.27 *6.28. Determine a força nos membros EF, BE, BC e BF da treliça e indique se os membros estão sob tra- ção ou compressão. Considere P1 = 9 kN, P2 = 12 kN e P3 = 6 kN. 6.29. Determine a força nos membros BC, BE e EF da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. Considere P1 = 6 kN, P2 = 9 kN e P3 = 12 kN. F E B A D C 3 m 3 m 3 m 3 m P1 P2 P3 Problemas 6.28 e 6.29 6.30. Determine a força nos membros BC, HC e HG. Depois que a treliça for seccionada, use uma única equação do equilíbrio para o cálculo de cada força. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6.31. Determine a força nos membros CD, CF e CG da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. A C D H G F 4 kN 3 m 2 m 5 m 5 m 5 m 5 m B E 4 kN 5 kN 3 kN 2 kN Problemas 6.30 e 6.31 *6.32. Determine a força nos membros EF, CF e BC da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6.33. Determine a força nos membros AF, BF e BC da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 2 m 1,5 m 2 m F A 8 kN 4 kN E D C B Problemas 6.32 e 6.33 6.34. Determine a força nos membros CD e CM da treliça de ponte Baltimore e indique se os membros estão sob tração ou compressão. Além disso, indique todos os membros de força zero. 6.35. Determine a força nos membros EF, EP e LK da treliça de ponte Baltimore e indique se os membros estão sob tração ou compressão. Além disso, indique todos os membros de força zero. A B C D E F G H J K L M N O P 2 m 2 m 2 kN 5 kN 2 kN 3 kN I 16 m, 8 * 2 m Problemas 6.34 e 6.35 Problemas 262 ESTÁTICA *6.36. A treliça Howe está sujeita ao carregamento mostrado. Determine as forças nos membros GF, CD e GC e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6.37. A treliça Howe está sujeita ao carregamento mostrado. Determine as forças nos membros GH, BC e BG e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 3 m 2 kN 5 kN 5 kN 2 m 2 m 2 m 2 m A B C D F G H E 2 kN 5 kN Problemas 6.36 e 6.37 6.38. Determine a força nos membros KJ, NJ, ND e CD da treliça K. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. Dica: use as seções aa e bb. 6.39. Determine a força nos membros JI e DE da tre- liça K. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. 1800 N 1,5 m 1,5 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m A B C D J E I H 2 m L K M N O P G F 1500 N 1200 N a b a b Problemas 6.38 e 6.39 *6.40. Determine a força nos membros DC, HC e HI da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6.41. Determine a força nos membros ED, EH e GH da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. A C G E D H F I B 2 m 2 m 2 m 1,5 m 50 kN 40 kN 40 kN 30 kN 1,5 m 1,5 m Problemas 6.40 e 6.41 6.42. Determine a força nos membros JK, CJ e CD da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6.43. Determine a força nos membros HI, FI e EF da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. A B C D F E G H I J L K 6 kN 8 kN 5 kN 4 kN 3 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m Problemas 6.42 e 6.43 *6.44. Determine a força nos membros BC, CH, GH e CG da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. A C D H G F 8 kN 3 m 2 m 4 m 4 m 4 m 4 m B E 4 kN 5 kN Problema 6.44 6.45. Determine a força nos membros CD, CJ e KJ e in- dique se os membros estão sob tração ou compressão. 6 kN A B C D E G I H F J K L 6 kN 6 kN 6 kN 6 kN 3 m 12 m, 6 * 2 m Problema 6.45 Capítulo 6– Análise estrutural 263 6.46. Determine a força nos membros BE, EF e CB e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6.47. Determine a força nos membros BF, BG e A B e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 4 m 4 m 4 m 4 m B A C F G E D 10 kN 10 kN 5 kN 5 kN Problemas 6.46 e 6.47 *6.48. Determine a força nos membros BC, HC e HG. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6.49. Determine a força nos membros CD, CJ, GJ e CG. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. 6 kN 12 kN 9 kN 4 kN 6 kN 1,5 m 1,5 m 2 m 1 m 1 m 1,5 m 1,5 m A E B H G J C D Problemas 6.48 e 6.49 *6.5 Treliças espaciais Uma treliça espacial consiste em membros conectados em suas ex- tremidades para formar uma estrutura tridimensional estável. A forma mais simples de uma treliça espacial é um tetraedro, formado conectan- do seis membros, como mostra a Figura 6.19. Quaisquer membros adicio- nais acrescentados a esse elemento básico seriam redundantes em susten- tar a força P. Uma treliça espacial simples pode ser construída a partir des- se elemento tetraédrico básico acrescentando três membros adicionais e um nó, e continuando dessa maneira para formar um sistema de tetrae- dros multiconectados. Hipóteses para projeto Os membros de uma treliça espacial podem ser tratados como mem- bros de duas forças, desde que o carregamento externo seja aplicado nos nós e estes consistam em conexões esféricas. Essas hipóteses são justif - cadas se as conexões soldadas ou parafusadas dos membros conectados se interceptarem em um ponto comum e o peso dos membros puder ser desprezado. Nos casos em que o peso de um membro precisa ser incluí- do na análise, normalmente é satisfatório aplicá-lo como uma força ver- tical, com metade de sua intensidade aplicada em cada extremidade do membro. P Figura 6.19 Treliça espacial típica para apoio de telhado. Observe o uso de jun- tas esféricas para as conexões. Apêndices A – Revisão e expressões matemáticas Revisão de geometria e trigonometria Os ângulos θ na Figura A.1 são iguais entre a transversal e as duas li- nhas paralelas. FIGURA A.1 Para uma linha e sua normal, os ângulos θ na Figura A.2 são iguais. FIGURA A.2 Para o círculo na Figura A.3, s = θr, de modo que, quando θ = 360° = 2π rad, então a circunferência é s = 2πr. Além disso, como 180° = π rad, então θ (rad) = (π/180°)θ°. A área do círculo é A = πr². FIGURA A.3 Os lados de um triângulo semelhante podem ser obtidos por proporção, como na Figura A.4, onde a/A = b/B = c/C. FIGURA A.4 534 ESTÁTICA Para o triângulo retângulo da Figura A.5, o teorema de Pitágoras é: h = 2(o)2 + (a)2 a (adjacente) o (oposto) h (hipotenusa) u Figura a.5 As funções trigonométricas são: sen u = o h cos u = a h tg u = o a Isso é facilmente lembrado como “soh, cah, toa”, ou seja, o seno é o ca- teto oposto sobre a hipotenusa etc. As outras funções trigonométricas deri- vam destas relações. cossec u = 1 sen u = h o sec u = 1 cos u = h a cotg u = 1 tg u = a o apêndices 535 Identidades trigonométricas sen2 u + cos2 u = 1 sen (u { f) = sen u cos f { cos u sen f sen 2u = 2 sen u cos u cos (u { f) = cos u cos f | sen u sen f cos 2u = cos2 u - sen2 u cos u = { A 1 + cos 2u 2 , sen u = { A 1 - cos 2u 2 tg u = sen u cos u 1 + tg2 u = sec2 u 1 + cotg2 u = cossec2 u Fórmula quadrática Se ax2 + bx + c = 0, então x = -b { 2b2 - 4ac 2a Funções hiperbólicas senh x = ex - e-x 2 , cosh x = ex + e-x 2 , tanh x = senh x cosh x Expansões de séries de potências sen x = x - x3 3! + g , cos x = 1 - x2 2! + g senh x = x + x3 3! + g , cosh x = 1 + x2 2! + g Derivadas d dx (un) = nun-1 du dx d dx (sen u) = cos u du dx d dx (uv) = u dv dx + v du dx d dx (cos u) = -sen u du dx d dx a u vb = v du dx - u dv dx v2 d dx (tg u) = sec2 u du dx d dx (cotg u) = -cossec 2 u du dx d dx (senh u) = cosh u du dx d dx (sec u) = tg u sec u du dx d dx (cosh u) = senh u du dx d dx (cossec u) = -cossec u cotg udu dx Integrais L xn dx = xn+1 n + 1 + C, n -1 L dx a + bx = 1 b ln(a + bx) + C L dx a + bx2 = 1 22-ab lnc a + x2-ab a - x2-ab d + C, ab 6 0 L x dx a + bx2 = 1 2b ln(bx2 + a) + C L x2 dx a + bx2 = x b - a b2ab tg -1 x2ab a + C, ab 7 0 L 2a + bx dx = 2 3b 2(a + bx)3 + C L x2a + bx dx = -2(2a - 3bx)2(a + bx)3 15b2 + C L x22a + bx dx = 2(8a2 - 12abx + 15b2x2)2(a + bx)3 105b3 + C L 2a2 - x2 dx = 1 2 cx2a2 - x2 + a2 sen-1 x a d + C, a 7 0 L x2 2 a2 - x2 dx = -1 3 2(a2 - x2)3 + C L x2 a2 - x2 dx = - x 4 2(a2 - x2)3 + a2 8 ax2a2 - x2 + a2 sen-1 x ab + C, a 7 0 536 ESTÁTICA L 2x2 { a2 dx = 1 2 c x2x2 { a2 { a2 ln1x + 2x2 { a22 d + C L x2x2 { a2 dx = 3 1 2(x2 { a2)3 + C L x22x2 { a2 dx = x 4 2(x 2 { a2)3 | a 2 8 x2x2 { a2 - a4 8 ln1x + 2x2 { a22 + C L dx 2a + bx = 22a + bx b + C L x dx 2x2 { a2 = 2x2 { a2 + C L dx 2a + bx + cx2 = 1 1c lnc 2a + bx + cx2 + x1c + b 21c d + C, c 7 0 = 1 1-c sen-1a -2cx - b 2b2 - 4ac b + C, c 6 0 L sen x dx = -cos x + C L cos x dx = sen x + C L x cos(ax) dx = 1 a2 cos(ax) + x a sen(ax) + C L x2 cos(ax) dx = 2x a2 cos(ax) + a2x2 - 2 a3 sen(ax) + C L eax dx = 1 a eax + C xeax dx = eax a2 (ax - 1) + C L L senh x dx = cosh x + C L cosh x dx = senh x + C B – Equações fundamentais da Estática Vetor cartesiano A = Axi + Ayj + Ayk Intensidade A = √(Ax² + Ay² + Az²) Direções uA = A/A = Axi/A + Ayj/A + Azk/A = cosαi + cosβj + cosγk cos²α + cos²β + cos²γ = 1 Produto escalar A • B = ABcos θ = AxBx + AyBy + AzBz Produto vetorial C = A + B = | i j k | | Ax Ay Az | | Bx By Bz | Vetor posição cartesiano r = (x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k Vetor força cartesiano F = Fu = F(r^) Momento de uma força Mo = Fd Mo = r x F = | i j k | | rx ry rz | | Fx Fy Fz | Momento de uma força em torno de um eixo especificado Ma = u • r x F = | ux uy uz | | rx ry rz | | Fx Fy Fz | Simplificação de um sistema de forças e de binários FR = ΣF (MR)o = ΣM + ΣMo Equilíbrio Partícula ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣFz = 0 Corpo rígido — duas dimensões ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣMo = 0 Corpo rígido — três dimensões ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣFz = 0 Atrito Estático (máximo) Fs = μsN Cinético Fk = μkN Centro de gravidade Partes Discretas r̄ = Σir̄iWi/ΣiWi Corpo r̄ = ∫ r̄ dW/∫ dW Momentos de inércia de área e de massa I = ∫ r² dA I = ∫ r² dm Teorema dos eixos paralelos I = I + Ad² I = I + md² Raio de giração k = √(I/A) k = √(I/m) Trabalho virtual δU = 0 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE ELEMENTOS DE LINHA E DE ÁREA Posição do centroide Posição do centroide Momento de inércia de área Segmento de arco de circunferência L = 2θr Área de setor circular L = πr Área de quarto de círculo Área trazoidal Área semicircular Área semiparabólica Área circular Área sob curva parabólica Área retangular Área parabólica Área triangular Iₓ = 1/4 r⁴ (θ - 1/2 sen 2θ) Iᵧ = 1/4 r⁴ (θ + 1/2 sen 2θ) Iₓ = 1/16 πr⁴ Iᵧ = 1/16 πr⁴ Iₓ = 1/8 πr⁴ Iᵧ = 1/4 πr⁴ Iₓ = 1/4 πr⁴ I = 1/2(3a+b) Iₓ = 1/12 bh³ Iᵧ = 1/12 bh³ Iₓ = 1/36 bh³ CENTRO DE GRAVIDADE E MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA DE SÓLIDOS HOMOGÊNEOS Esfera V = 4/3πr³ Iₓₓ = Iᵧᵧ = Izz = 2/5 mr² Cilindro V = πr²h Iₓₓ = Iᵧᵧ = 1/12 m(3r² + h²) Izz = 1/2 mr² Hemisfério V = 2/3πr³ Iₓₓ = Iᵧᵧ = 0.259 mr² Izz = 2/5 mr² Cone V = 1/3πr²h Iₓₓ = Iᵧᵧ = 3/80 m(4r² + h²) Izz = 3/10 mr² Disco circular fino Iₓₓ = Iᵧᵧ = 1/4 mr² Izz = 1/2 mr² I'sz' = 3/2 mr² Placa fina Iₓₓ = 1/12 mb² Iᵧᵧ = 1/12 ma² Izz = 1/12 m(a² + b²) Anel fino Iₓₓ = Iᵧᵧ = 1/2 mr² Izz = mr² Haste delgada Iₓₓ = Iᵧᵧ = 1/12 ml² Ixy = Iyz = 1/3 ml² Izz = 0 Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 551 Membro BA ζ +ΣMB = 0; 6(2) – A(4) = 0 A1 = 3 kN Resposta +ΣYF = 0; –4 kN + A1 = 0; A1 = 4 kN Resposta Estrutura inteira ζ +ΣMA = 0; –6(2) – D1(3)(8)(1)(2) + D1(3) = 0 D1 = 12 kN Resposta Como DC é um membro de duas forças (ΣMC = 0), então D2,x = 0 Resposta Capítulo 7 F7.1. ζ +ΣMA = 0; B2(6) – 10(1,5) – 15(4,5) = 0 B2 = 13,75 kN Resposta ±ΣXF = 0; NC = 0 +ΣYF = 0; VC + 13,75 – 15 = 0 VC = 1,25 kN Resposta ζ +ΣMC = 0; 13,75(3) – 15(1,5) – MC = 0 MC = 18,75 kN·m Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais Capítulo 2 F2.1. FR = 2(2 kN)2 + (6 kN)2 - 2(2 kN)(6 kN) cos 105 = 6,798 kN = 6,80 kN sen f 6 kN = sen 105 6,798 kN , f = 58,49 u = 45 + f = 45 + 58,49 = 103 Resposta Resposta F2.2. FR = 22002 + 5002 - 2(200)(500) cos 140 = 666 N Resposta F2.3. FR = 26002 + 8002 - 2(600)(800) cos 60 = 721,11 N = 721 N sen a 800 = sen 60 721,11 ; = 73,90 f = a a - 30 = 73,90 - 30 = 43,9 Resposta Resposta F2.4. Fu sen 45 = 30 N sen 105 ; Fu = 22,0 N Fv sen 30 = 30 N sen 105 ; Fv = 15,5 N Resposta Resposta F2.5. FAB sen 105 = 450 N sen 30 FAB = 869 N FAC sen 45 = 450 N sen 30 FAC = 636 N Resposta Resposta F2.6. F sen 30 = 6 sen 105 F = 3,11 kN Fv sen 45 = 6 sen 105 Fv = 4,39 kN Resposta Resposta F2.7. (F1)x = 0 (F1)y = 300 N (F2)x = -(450 N) cos 45 = -318 N (F2)y = (450 N) sen 45 = 318 N (F3)x = 13 52600 N = 360 N (F3)y = 14 52600 N = 480 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta F2.8. FRx = 300 + 400 cos 30 - 25014 52 = 446,4 N FRy = 400 sen 30 + 25013 52 = 350 N FR = 2(446,4)2 + 3502 = 567 N u = tg -1 350 446,4 = 38,1 Resposta Resposta F2.9. +S(FR)x = Fx; (FR)x = - (700 N) cos 30 + 0 + 13 52 (600 N) = -246,22 N + c(FR)y = Fy; (FR)y = -(700 N) sen 30 - 400 N - 14 52 (600 N) = -1230 N FR = 2(246,22 N)2 + (1230 N)2 = 1254 N f = tg-11 1230 N 246,22 N2 = 78,68 u = 180 + f = 180 + 78,68 = 259 Resposta Resposta F2.10. +S(FR)x = Fx; 750 N = F cos u + 1 5 132(325 N) + (600 N)cos 45 + c(FR)y = Fy; 0 = F sen u + 112 132(325 N) - (600 N)sen 45 tg u = 0,6190 u = 31,76 = 31,8 F = 236 N Resposta Resposta F2.11. S + (FR)x = Fx; (80 N) cos 45 = F cos u + 50 N - 13 5290 N + c(FR)y = Fy; -(80 N) sen 45 = F sen u - 14 52(90 N) tg u = 0,2547 u = 14,29 = 14,3 F = 62,5 N Resposta Resposta F2.12. (FR)x = 1514 52 + 0 + 1514 52 = 24 kN S (FR)y = 1513 52 + 20 - 1513 52 = 20 kN c FR = 31,2 kN u = 39,8 Resposta Resposta F2.13. Fx = 75 cos 30 sen 45 = 45,93 N Fy = 75 cos 30 cos 45 = 45,93 N Fz = -75 sen 30 = -37,5 N a = cos-1145,93 75 2 = 52,2 b = cos-1145,93 75 2 = 52,2 g = cos-11 -37,5 75 2 = 120 Resposta Resposta Resposta F2.14. cos b = 21 - cos2 120 - cos2 60 = {0,7071 Requer b = 135 . F = FuF = (500 N)(-0,5i - 0,7071j + 0,5k) = 5-250i - 354j + 250k6 N Resposta F2.15. cos2a + cos2135 + cos2 120 = 1 a = 60 F = FuF = (500 N)(0,5i - 0,7071j - 0,5k) = 5250i - 354j - 250k6 N Resposta F2.16. Fz = (50 N) sen 45 = 35,36 N F = (50 N) cos 45 = 35,36 N Fx = 13 52(35,36 N) = 21,21 N 542 ESTÁTICA Fy = 14 52(35,36 N) = 28,28 N F = 5-21,2i + 28,3j + 35,4k6 N Resposta F2.17. Fz = (750 N) sen 45 = 530,33 N F = (750 N) cos 45 = 530,33 N Fx = (530,33 N) cos 60 = 265,2 N Fy = (530,33 N) sen 60 = 459,3 N F2 = 5265i - 459j + 530k6 N Resposta F2.18. F1 = 14 52(500 N) j + 13 52(500 N)k = 5400j + 300k6 N F2 = [(800 N) cos 45 ] cos 30 i + [(800 N) cos 45 ] sen 30 j + (800 N) sen 45 (-k) = 5489,90i + 282,84j - 565,69k6 N FR = F1 + F2 = 5490i + 683j - 266k6 N Resposta F2.19. rAB = 5-6i + 6j + 3k6 m Resposta rAB = 2(-6 m)2 + (6 m)2 + (3 m)2 = 9 m a = 132 , b = 48,2 , g = 70,5 Resposta Resposta F2.20. rAB = 5-4i + 2j + 4k6 m Resposta rAB = 2(-4 m)2 + (2 m)2 + (4 m)2 = 6 m a = cos-11 -4 m 6 m 2 = 131,8 u = 180 - 131,8 = 48,2 Resposta Resposta Resposta F2.21. rAB = 52i + 3j - 6k6 m FAB = FABuAB = (630 N)12 7i + 3 7j - 6 7k2 = 5180i + 270j - 540k6 N Resposta F2.22. F = FuAB = 900N1 -4 9i + 7 9j - 4 9k2 = 5-400i + 700j - 400k6 N Resposta F2.23. FB = FBuB = (840 N)13 7i - 2 7j - 6 7k2 = 5360i - 240j - 720k6 N FC = FCuC = (420 N)12 7i + 3 7j - 6 7k2 = 5120i + 180j - 360k6 N FR = 2(480 N)2 + (-60 N)2 + (-1080 N)2 = 1,18 kN Resposta F2.24. FB = FBuB = (600 N)1 -1 3i + 2 3j - 2 3k2 = 5-200i + 400j - 400k6 N FC = FCuC = (490 N)1 -6 7i + 3 7j - 2 7k2 = 5-420i + 210j - 140k6 N FR = FB + FC = 5-620i + 610j - 540k6 N Resposta F2.25. uAO = -1 3i + 2 3j - 2 3k uF = -0,5345i + 0,8018j + 0,2673k u = cos-1 (uAO # uF) = 57,7 Resposta F2.26. uAB = -3 5j + 4 5k uF = 4 5i - 3 5j u = cos-1 (uAB # uF) = 68,9 Resposta F2.27. uOA = 12 13i + 5 13j uOA# j = uOA(1) cos u cos u = 5 13; u = 67,4 Resposta F2.28. uOA = 12 13i + 5 13j F = FuF = [650j] N FOA = F # uOA = 250 N FOA = FOA uOA = 5231i + 96,2j6 N Resposta F2.29. F = (400 N) 54 i + 1 j - 6 k6m 2(4 m)2 + (1 m)2 + (-6 m)2 = 5219,78i + 54,94j - 329,67k6 N uAO = 5-4 j - 6 k6 m 2(-4 m)2 + (-6 m)2 = -0,5547j - 0,8321k (FAO)proj = F # uAO = 244 N Resposta F2.30. F = [(-600 N) cos 60 ] sen 30 i + [(600 N) cos 60 ] cos 30 j + [(600 N) sen 60 ] k = 5-150i + 259,81j + 519,62k6 N uA = -2 3i + 2 3j + 1 3k (FA)par = F # uA = 446,41 N = 446 N (FA)per = 2(600 N)2 - (446,41 N)2 = 401 N Resposta Resposta F2.31. F = 56 N13 7i - 6 7j + 2 7k2 = 524i - 48j + 16k6 N 1FAO2} = F# uAO = 124i - 48j + 16k2 # 13 7 i - 6 7 j - 2 7k2 = 46,86 N = 46,9 N 1FAO2 # = 2F2 - 1FAO2} = 215622 - 146,8622 = 30,7 N Resposta Resposta Capítulo 3 F3.1. +S Fx = 0; 4 5FAC - FAB cos 30 = 0 + c Fy = 0; 3 5FAC + FAB sen 30 - 550 = 0 FAB = 478 N FAC = 518 N Resposta Resposta F3.2. + c Fy = 0; -2(7,5) sen u + 3,5 = 0 u = 13,49 LABC = 21 1,5 m cos 13,49 2 = 3,09 m Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 543 F3.3. S + Fx = 0; T cos u - T cos f = 0 f = u + c Fy = 0; 2T sen u - 49,05 N = 0 u = tg -110,15 m 0,2 m 2 = 36,87 T = 40,9 N Resposta F3.4. +Q Fx = 0; 4 5(Fsp) - 5(9,81) sen 45 = 0 Fsp = 43,35 N Fsp = k(l - l0); 43,35 = 200(0,5 - l0) l0 = 0,283 m Resposta F3.5. + c Fy = 0; (392,4 N)sen 30 - mA(9,81) = 0 mA = 20 kg Resposta F3.6. + c Fy = 0; TAB sen 15 - 10(9,81) N = 0 TAB = 379,03 N = 379 N +S Fx = 0; TBC - 379,03 N cos 15 = 0 TBC = 366,11 N = 366 N +S Fx = 0; TCD cos u - 366,11 N = 0 + c Fy = 0; TCD sen u - 15(9,81) N = 0 TCD = 395 N u = 21,9 Resposta Resposta Resposta Resposta F3.7. Fx = 0; 313 52F3413 52 + 600 N - F2 = 0 Fy = 0; 14 52F1 - 313 52F3414 52 = 0 Fz = 0; 14 52F3 + 13 52F1 - 900 N = 0 F3 = 776 N F1 = 466 N F2 = 879 N (1) (2) (3) Resposta Resposta Resposta F3.8. Fz = 0; FAD14 52 - 900 = 0 FAD = 1125 N = 1,125 kN Fy = 0; FAC14 52 - 112513 52 = 0 FAC = 843,75 N = 844 N Fx = 0; FAB - 843,7513 52 = 0 FAB = 506,25 N = 506 N Resposta Resposta Resposta F3.9. FAD = FADarAD rAD b = 1 3FADi - 2 3FAD j + 2 3FAD k Fz = 0; 2 3FAD - 600 = 0 FAD = 900 N Fy = 0; FAB cos 30 - 2 3 (900) = 0 FAB = 692,82 N = 693 N Fx = 0; 1 3 (900) + 692,82 sen 30 - FAC = 0 FAC = 646,41 N = 646 N Resposta Resposta Resposta F3.10. FAC = FAC 5-cos 60 sen 30 i + cos 60 cos 30 j + sen 60 k6 = -0,25FAC i + 0,4330FAC j + 0,8660FAC k FAD = FAD5cos 120 i + cos 120 j + cos 45 k6 = -0,5FAD i - 0,5FAD j + 0,7071FAD k Fy = 0; 0,4330FAC - 0,5FAD = 0 Fz = 0; 0,8660FAC + 0,7071FAD - 300 = 0 FAD = 175,74 N = 176 N Resposta FAC = 202,92 N = 203 N Resposta Fx = 0; FAB - 0,25(202,92) - 0,5(175,74) = 0 FAB = 138,60 N = 139 N Resposta F3.11. FB = FBarAB rAB b = FBJ 5-3i + 1,5j + 1k6 m 2(-3 m)2 + (1,5 m)2 + (1 m)2 R = -6 7FBi + 3 7 FB j + 2 7 FB k FC = FCarAC rAC b = FCJ 5-3i - 1j + 1,5k6 m 2(-3 m)2 + (-1 m)2 + (1,5 m)2 R = -6 7 FC i - 2 7 FC j + 3 7 FC k FD = FDi W = 5-150k6 N Fx = 0; -6 7 FB - 6 7 FC + FD = 0 Fy = 0; 3 7 FB - 2 7 FC = 0 Fz = 0; 2 7 FB + 3 7 FC - 150 = 0 FB = 162 N FC = 1,5(162 N) = 242 N FD = 346,15 N = 346 N (1) (2) (3) Resposta Resposta Resposta Capítulo 4 F4.1. +MO = -14 52(100 N)(2 m) - 13 52(100 N)(5 m) = -460 N# m = 460 N# m Resposta F4.2. +MO = [(300 N) sen 30 ][0,4 m + (0,3 m) cos 45 ] - [(300 N) cos 30 ][(0,3 m) sen 45 ] = 36,7 N# m Resposta F4.3. +MO = (60 kN)[4 m + (3 m)cos 45 - 1 m] = 307 kN # m Resposta F4.4. +MO = 50 sen 60 (0,1 + 0,2 cos 45 + 0,1) - 50 cos 60 (0,2 sen 45 ) = 11,2 N# m Resposta F4.5. +MO = 60 sen 50 (2,5) + 60 cos 50 (0,25) = 125 kN # m Resposta F4.6. +MO = 500 sen 45 (3 + 3 cos 45 ) - 500 cos 45 (3 sen 45 ) = 1,06 kN# m Resposta F4.7. +(MR)O = Fd; (MR)O = -(600 N)(1 m) + (500 N)[3 m + (2,5 m) cos 45 ] - (300 N)[(2,5 m) sen 45 ] = 1254 N# m = 1,25 kN# m Resposta 544 ESTÁTICA F4.8. +(MR)O = Fd; (MR)O = 313 52500 N4(0,425 m) - 314 52500 N4(0,25 m) - [(600 N) cos 60 ](0,25 m) - [(600 N) sen 60 ](0,425 m) = -268 N# m = 268 N# m Resposta F4.9. +(MR)O = Fd; (MR)O = (30 cos 30 kN)(3 m + 3 sen 30 m) - (30 sen 30 kN)(3 cos 30 m) + (20 kN)(3 cos 30 m) = 129,9 kN # m Resposta F4.10. F = FuAB = 500 N14 5i - 3 5j2 = 5400i - 300j6 N MO = rOA * F = 53j6 m * 5400i - 300j6 N = 5-1200k6 N# m ou MO = rOB * F = 54i6 m * 5400i - 300j6 N = 5-1200k6 N# m Resposta Resposta F4.11. F = FuBC = 120 NJ 54 i - 4 j - 2 k6 m 2(4 m)2 + (-4 m)2 + (-2 m)2 R = 580i - 80j - 40k6 N MO = rC * F = 3 i j k 5 0 0 80 -80 -40 3 = 5200j - 400k6 N # m Resposta ou MO = rB * F = 3 i j k 1 4 2 80 -80 -40 3 = 5200j - 400k6 N # m Resposta F4.12. FR = F1 + F2 = 5(100 - 200)i + (-120 + 250)j + (75 + 100)k6 N = 5-100i + 130j + 175k6 N (MR)O = rA * FR = 3 i j k 4 5 3 -100 130 175 3 = 5485i - 1000j + 1020k6 N # m Resposta F4.13. Mx = i # (rOB * F) = 4 i j k 1 0 0 0,3 0,4 -0,2 300 -200 150 4 = 20 N# m Resposta F4.14. uOA = rA rA = 50,3i + 0,4j6 m 2(0,3 m)2 + (0,4 m)2 = 0,6 i + 0,8 j MOA = uOA # (rAB * F) = 4 i j k 0,6 0,8 0 0 0 -0,2 300 -200 150 4 = -72 N# m ` MOA` = 72 N# m Resposta F4.15. Análise escalar As intensidades das componentes de força são Fx = 200 cos 120 = 100 N Fy = 200 cos 60 = 100 N Fz = 200 cos 45 = 141,42 N Mx = -Fy1z2 + Fz1y2 = - 1100 N210,25 m2 + 1141,42 N210,3 m2 = 17,4 N# m Resposta Análise vetorial Mx = 4 i j k 1 0 0 0 0,3 0,25 -100 100 141,42 4 = 17,4 N # m Resposta F4.16. My = j # (rA * F) = 4 i j k 0 1 0 -3 -4 2 30 -20 50 4 = 210 N# m Resposta F4.17. uAB = rAB rAB = 5 -4i + 3j6m 2(-4 m)2 + (3 m)2 = -0,8i + 0,6j MAB = uAB# (rAC * F) = i j k 4 -0,8 0,6 0 0 0 2 50 -40 20 4 = -4 kN # m MAB = MABuAB = 53,20i - 2,40j6 kN # m Resposta F4.18. Análise escalar As intensidades das componentes de força são Fx = 13 5234 5150024 = 240 N Fy = 4 534 5150024 = 320 N Fz = 3 515002 = 300 N Mx = -320132 + 300122 = -360 N# m My = -240132 - 300 (-2) = -120 N# m Mz = 240122 - 320 (2) = -160 N# m Resposta Resposta Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 545 Análise vetorial F = 5-240i + 320j + 300k6N rOA = 5-2i + 2j + 3k6 m Mx = i # 1rOA * F2 = -360 N # m My = j # 1rOA * F2 = -120 N # m Mz = k # 1rOA * F2 = -160 N # m F4.19. +MCR = MA = 400(3) - 400(5) ) + 300(5 + 200(0,2) = 740 N# m Além disso, +MCR = 300(5) - 400(2) + 200(0,2) = 740 N# m Resposta Resposta F4.20. +MCR = 300(0,4) + 200(0,4) + 150(0,4) = 260 N # m Resposta F4.21. +(MB)R = MB -1,5 kN# m = (2 kN)(0,3 m) - F(0,9 m) F = 2,33 kN Resposta F4.22. +MC = 1013 52(2) - 1014 52(4) = -20 kN# m = 20 kN# m Resposta F4.23. u1 = r1 r1 = {-2i + 2j + 3,5k} m 2(-2 m)2 + (2 m)2 + (3,.5 m)2 = - 2 4,.5i + 2 4,5j + 3,5 4,5k u2 = -k u3 = 1,5 2,5i - 2 2,5j (Mc)1 = (Mc)1u1 = (450 N # m)1- 2 4,5i + 2 4,5j + 3,5 4,5k2 = 5-200i + 200j + 350k6 N # m (Mc)2 = (Mc)2u2 = (250 N # m)(-k) = 5-250k6 N # m (Mc)3 = (Mc)3 u3 = (300 N # m)11,5 2,5i - 2 2,5j2 = 5180i - 240j6 N # m (Mc)R = Mc; (Mc)R = {-20i - 40j + 100k} N # m Resposta F4.24. FB = 14 52(450 N)j - 13 52(450 N)k = 5360j - 270k6 N Mc = rAB * FB = 3 i j k 0,4 0 0 0 360 -270 3 = { 108j + 144k} N# m Resposta Além disso, Mc = (rA * FA) + (rB * FB) = 3 i j k 0 0 0,3 0 -360 270 3 + 3 i j k 0,4 0 0,3 0 360 -270 3 = { 108j + 144k} N# m Resposta F4.25. +d FRx = Fx; FRx = 200 - 3 5 (100) = 140 N + TFRy = Fy; FRy = 150 - 4 5 (100) = 70 N FR = 21402 + 702 = 157 N u = tg -11 70 1402 = 26,6 +MAR = MA; MAR = 3 5(100)(0,4) - 4 5 (100)(0,6) + 150(0,3) MRA = 210 N # m Resposta Resposta Resposta F4.26. +S FRx = Fx; FRx = 4 5 (50) = 40 N + TFRy = Fy; FRy = 40 + 30 + 3 5 (50) = 100 N FR = 2(40)2 + (100)2 = 108 N u = tg -11100 40 2 = 68,2 +MAR = MA; MAR = 30(3) + 3 5 (50)(6) + 200 = 470 N# m Resposta Resposta Resposta F4.27. S + (FR)x = Fx; (FR)x = 900 sen 30 = 450 N S + c(FR)y = Fy; (FR)y = -900 cos 30 - 300 = -1079,42 N = 1079,42 N T FR = 24502 + 1079,422 = 1169,47 N = 1,17 kN u = tg-111079,42 450 2 = 67,4 +(MR)A = MA; (MR)A = 300 - 900 cos30 (0,75) - 300(2,25) = -959,57 N# m = 960 N# m Resposta Resposta Resposta F4.28. +S (FR)x = Fx; (FR)x = 15013 52 + 50 - 10014 52 = 60 N S + c(FR)y = Fy; (FR)y = -15014 52 - 10013 52 = -180 N = 180 N T FR = 2602 + 1802 = 189,74 N = 190 N u = tg-11180 60 2 = 71,6 +(MR)A = MA; (MR)A = 10014 52(1) - 10013 52(6) - 15014 52(3) = -640 = 640 N # m Resposta Resposta Resposta F4.29. FR = F; FR = F1 + F2 = (-300i + 150j + 200k) + (-450k) = 5-300i + 150j - 250k6 N rOA = (2 - 0)j = 52j6 m rOB = (-1,5- 0)i + (2 - 0)j + (1 - 0)k = 5-1,5i + 2j + 1k6 m Resposta 546 ESTÁTICA (MR)O = M; (MR)O = rOB * F1 + rOA * F2 = 3 i j k -1,5 2 1 -300 150 200 3 + 3 i j k 0 2 0 0 0 -450 3 = 5-650i + 375k6N# m Resposta F4.30. F1 = 5-100j6 N F2 = (200 N)J 5-0,4i - 0,3k6 m 2(-0,4 m)2 + (-0,3 m)2 R = 5-160i - 120k6 N Mc = 5-75i6 N# m FR = { -160i - 100j - 120k} N (MR)O = (0,3k) * (-100j) + 3 i j k 0 0,5 0,3 -160 0 -120 3 + (-75i) = { -105i - 48j + 80k} N# m Resposta Resposta F4.31. + TFR = Fy; FR = 500 + 250 + 500 = 1250 N +FRx = MO; 1250(x) = 500(1) + 250(2) + 500(3) x = 2 m Resposta Resposta F4.32. S + (FR)x = Fx; (FR)x = 10013 52+ 50 sen 30 = 85 N S + c(FR)y = Fy; (FR)y = 200 + 50 cos 30 - 10014 52 = 163,30 Nc FR = 2852 + 163,302 = 184 N u = tg-11163,30 85 2 = 62,5 +(MR)A = MA; 163,30(d) = 200(1) - 10014 52(2) + 50 cos 30 (3) d = 1,04 m Resposta Resposta F4.33. S + (FR)x = Fx; (FR)x = 1514 52 = 12 kN S + c(FR)y = Fy; (FR)y = -20 + 1513 52 = -11 kN = 11 kNT FR = 2122 + 112 = 16,3 kN u = tg-1111 122 = 42,5 +(MR)A = MA; -11(d) = -20(2) - 1514 52(2) + 1513 52(6) d = 0,909 m Resposta Resposta Resposta F4.34. +S(FR)x = Fx; (FR)x = 13 52 5 kN - 8 kN = -5 kN = 5 kN d + c(FR)y = Fy; (FR)y = -6 kN - 14 52 5 kN = -10 kN = 10 kNT FR = 252 + 102 = 11,2 kN u = tg-1110 kN 5 kN 2 = 63,4 +(MR)A = MA; 5 kN(d) = 8 kN(3 m) - 6 kN(0,5 m) - 314 525 kN4(2 m) - 313 525 kN4(4 m) d = 0,2 m Resposta Resposta Resposta F4.35. + TFR = Fz; FR = 400 + 500 - 100 = 800 N MRx = Mx; -800y = -400(4) - 500(4) y = 4,50 m MRy = My; 800x = 500(4) - 100(3) x = 2,125 m Resposta Resposta Resposta F4.36. + TFR = Fz; FR = 200 + 200 + 100 + 100 = 600 N +MRx = Mx; -600y = 200(1) + 200(1) + 100(3) - 100(3) y = -0,667 m +MRy = My; 600x = 100(3) + 100(3) + 200(2) - 200(3) x = 0,667 m Resposta Resposta Resposta F4.37. + cFR = Fy; -FR = -6(1,5) - 9(3) - 3(1,5) FR = 40,5 kNT +(MR)A = MA; -40,5(d) = 6(1,5)(0,75) - 9(3)(1,5) - 3(1,5)(3,75) d = 1,25 m Resposta Resposta F4.38. + TFR = Fy; FR = 1 2 (3)(15) + 4(15) = 82,5 kN +MAR = MA; 82,5d = 31 2 (3)(15)4(2) + [4(15)](5) d = 4,18 m Resposta Resposta F4.39. + cFR = Fy; -FR = - 1 2 (6)(3) - 1 2 (6)(6) FR = 27 kNT +(MR)A = MA; -27(d) = 1 2(6)(3)(1) - 1 2(6)(6)(2) d = 1 m Resposta Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 547 F4.40. + TFR = Fy; FR = 1 2(50)(3) + 150(3) + 500 = 1025 N = 1,025 kN +MAR = MA; 1025d = 31 2(50)(3)4(2) + [150(3)](1,5) + 500(4,5) d = 3,00 m Resposta Resposta F4.41. + cFR = Fy; -FR = - 1 2(3)(4,5) - 3(6) FR = 24,75 kNT +(MR)A = MA; -24,75(d) = - 1 2(3)(4,5)(1,5) - 3(6)(3) d = 2,59 m Resposta Resposta F4.42. FR = L w(x) dx = L 4 0 2,5x3 dx = 160 N +MAR = MA; x = L xw(x) dx L w(x) dx = L 4 0 2,5x4 dx 160 = 3,20 m Resposta Capítulo 5 F5.1. +S Fx = 0; -Ax + 513 52 = 0 Ax = 3,00 kN + MA = 0; By(4) - 514 52(2) - 6 = 0 By = 3,50 kN + c Fy = 0; Ay + 3,50 - 514 52 = 0 Ay = 0,500 kN Resposta Resposta Resposta F5.2. + MA = 0; FCD sen 45 (1,5 m) - 4 kN(3 m) = 0 FCD = 11,31 kN = 11,3 kN +S Fx = 0; Ax + (11,31 kN) cos 45 = 0 Ax = -8 kN = 8 kN d + c Fy = 0; Ay + (11,31 kN) sen 45 - 4 kN = 0 Ay = -4 kN = 4 kN T Resposta Resposta Resposta F5.3. + MA = 0; NB[6 m + (6 m) cos 45 ] - 10 kN[2 m + (6 m) cos 45 ] - 5 kN(4 m) = 0 NB = 8,047 kN = 8,05 kN +S Fx = 0; (5 kN) cos 45 - Ax = 0 Ax = 3,54 kN + c Fy = 0; Ay + 8,047 kN - (5 kN) sen 45 - 10 kN = 0 Ay = 5,49 kN Resposta Resposta Resposta F5.4. +S Fx = 0; -Ax + 400 cos 30 = 0 Ax = 346 N + c Fy = 0; Ay - 200 - 200 - 200 - 400 sen 30 = 0 Ay = 800 N + MA = 0; MA - 200(2,5) - 200(3,5) - 200(4,5) - 400 sen 30 (4,5) - 400 cos 30 (3 sen 60 ) = 0 MA = 3,90 kN# m Resposta Resposta Resposta F5.5. + MA = 0; NC(0,7 m) - [25(9,81) N] (0,5 m) cos 30 = 0 NC = 151,71 N = 152 N +S Fx = 0; TAB cos 15 - (151,71 N) cos 60 = 0 TAB = 78,53 N = 78,5 N + c Fy = 0; FA + (78,53 N) sen 15 + (151,71 N) sen 60 - 25(9,81) N = 0 FA = 93,5 N Resposta Resposta Resposta F5.6. +S Fx = 0; NC sen 30 - (250 N) sen 60 = 0 NC = 433,0 N = 433 N + MB = 0; -NA sen 30 (0,15 m) - 433,0 N(0,2 m) + [(250 N) cos 30 ](0,6 m) = 0 NA = 577,4 N = 577 N + c Fy = 0; NB - 577,4 N + (433,0 N)cos 30 - (250 N) cos 60 = 0 NB = 327 N Resposta Resposta Resposta F5.7. Fz = 0; TA + TB + TC - 20 - 50 = 0 Mx = 0; TA(3) + TC(3) - 50(1,5) - 20(3) = 0 My = 0; -TB(4) - TC(4) + 50(2) + 20(2) = 0 TA = 35 kN, TB = 250 kN, TC = 10 kN Resposta F5.8. My = 0; 600 N(0,2 m) + 900 N(0,6 m) - FA(1 m) = 0 FA = 660 N Mx = 0; Dz(0,8 m) - 600 N(0,5 m) - 900 N(0,1 m) = 0 Dz = 487,5 N Fx = 0; Dx = 0 Fy = 0; Dy = 0 Fz = 0; TBC + 660 N + 487,5 N - 900 N - 600 N = 0 TBC = 352, 5 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta 548 ESTÁTICA F5.9. Fy = 0; 400 N + Cy = 0; Cy = -400 N My = 0; -Cx (0,4 m) - 600 N (0,6 m) = 0 Cx = -900 N Mx = 0; Bz (0,6 m) + 600 N (1,2 m) + (-400 N)(0,4 m) = 0 Bz = -933,3 N Mz = 0; -Bx (0,6 m) - (-900 N)(1,2 m) + (-400 N)(0,6 m) = 0 Bx = 1400 N Fx = 0; 1400 N + (-900 N) + Ax = 0 Ax = -500 N Fz = 0; Az - 933,3 N + 600 N = 0 Az = 333,3 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta F5.10. Fx = 0; Bx = 0 Mz = 0; Cy(0,4 m + 0,6 m) = 0 Cy = 0 Fy = 0; Ay + 0 = 0 Ay = 0 Mx = 0; Cz(0,6 m + 0,6 m) + Bz(0,6 m) - 450 N(0,6 m + 0,6 m) = 0 1,2Cz + 0,6Bz - 540 = 0 My = 0; -Cz(0,6 m + 0,4 m) - Bz(0,6 m) + 450 N(0,6 m) = 0 -Cz - 0,6Bz + 270 = 0 Cz = 1350 N Bz = -1800 N Fz = 0; Az + 1350 N + (-1800 N) - 450 N = 0 Az = 900 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta F5.11. Fy = 0; Ay = 0 Mx = 0; -9(3) + FCE(3) = 0 FCE = 9 kN Mz = 0; FCF(3) - 6(3) = 0 FCF = 6 kN My = 0; 9(4) - Az (4) - 6(1,5) = 0 Az = 6,75 kN Fx = 0; Ax + 6 - 6 = 0 Ax = 0 Fz = 0; FDB + 9 - 9 + 6,75 = 0 FDB = -6,75 kN Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta F5.12. Fx = 0; Ax = 0 Fy = 0; Ay = 0 Fz = 0; Az + FBC - 80 = 0 Mx = 0; (MA)x + 6FBC - 80(6) = 0 My = 0; 3FBC - 80(1,5) = 0 FBC = 40 N Mz = 0; (MA)z = 0 Az = 40 N (MA)x = 24 N # m Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta Capítulo 6 F6.1. Nó A. + c Fy = 0; 22,5 kN - FAD sen 45 = 0 FAD = 31,82 kN = 31,8 kN (C) +S Fx = 0; FAB - (31,82 kN) cos 45 = 0 FAB = 22,5 kN (T) Resposta Resposta Nó B. +S Fx = 0; FBC - 22,5 kN = 0 FBC = 22,5 kN (T) + c Fy = 0; FBD = 0 Resposta Resposta Nó D. +S Fx = 0; FCD cos 45 + (31,82 kN) cos 45 - 4,5 kN = 0 FCD = 31,82 kN = 31,8 kN (T) Resposta F6.2. Nó D. + c Fy = 0; 3 5 FCD - 30 = 0; FCD = 50,0 kN (T) S + Fx = 0; -FAD + 4 5 (50,0) = 0 FAD = 40,0 kN (C) FBC = 50,0 kN (T), FAC = FAB = 0 Resposta Resposta Resposta F6.3. Ax = 0, Ay = Cy = 40 kN; FAF = 0 Nó A. + c Fy = 0; -3 5 FAE + 40 = 0 FAE = 66,7 kN(C) Resposta Nó C. + c Fy = 0; -FDC + 40 = 0 FDC = 40 kN(C) Resposta F6.4. Nó C. + c Fy = 0; 2F cos 30 - P = 0 FAC = FBC = F = P 2 cos 30 = 0,5774P (C) Nó B. +S Fx = 0; 0,5774P cos 60 - FAB = 0 FAB = 0,2887P (T) FAB = 0,2887P = 2 kN P = 6,928 kN FAC = FBC = 0,5774P = 1,5 kN P = 2,598 kN O menor valor de P é escolhido, P = 2,598 kN = 2,60 kN Resposta F6.5. FCB = 0 FCD = 0 FAE = 0 FDE = 0 Resposta Resposta Resposta Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 549 F6.6. Nó C. + c Fy = 0; 25,98 kN - FCD sen 30 = 0 FCD = 51,96 kN = 52,0 kN (C) +S Fx = 0; (51,96 kN) cos 30 - FBC = 0 FBC = 45,0 kN (T) Resposta Resposta Nó D. +Q Fy = 0; FBD cos 30 = 0 FBD = 0 +R Fx = 0; FDE - 51,96 kN = 0 FDE = 51,96 kN = 52,0 kN (C) Resposta Resposta Nó B. c Fy = 0; FBE sen f = 0 FBE = 0 +S Fx = 0; 45,0 kN - FAB = 0 FAB = 45,0 kN (T) Resposta Resposta Nó A. + c Fy = 0; 34,02 kN - FAE = 0 FAE = 34,0 kN (C) Resposta F6.7. + c Fy = 0; FCF sen 45 - 600 - 800 = 0 FCF = 1980 N (T) + MC = 0; FFE(1) - 800(1) = 0 FFE = 800 N (T) + MF = 0; FBC(1) - 600(1) - 800(2) = 0 FBC = 2200 N (C) Resposta Resposta Resposta F6.8. + MA = 0; Gy(12 m) - 20 kN(2 m) - 30 kN(4 m) - 40 kN(6 m) = 0 Gy = 33,33 kN + c Fy = 0; FKC + 33,33 kN - 40 kN = 0 FKC = 6,67 kN (C) + MK = 0; 33,33 kN(8 m) - 40 kN(2 m) - FCD(3 m) = 0 FCD = 62,22 kN = 62,2 kN (T) +S Fx = 0; FLK - 62,22 kN = 0 FLK = 62,2 kN (C) Resposta Resposta Resposta F6.9. Pela geometria da treliça, f = tg -1(3 m>2 m) = 56,31 . + MK = 0; 33,33 kN(8 m) - 40 kN(2 m) - FCD(3 m) = 0 FCD = 62,2 kN (T) + MD = 0; 33,33 kN(6 m) - FKJ(3 m) = 0 FKJ = 66,7 kN (C) + c Fy = 0; 33,33 kN - 40 kN + FKD sen 56,31 = 0 FKD = 8,01 kN (T) Resposta Resposta Resposta F6.10. Pela geometria da treliça, tg f = (3 m) tg 30 1 m = 1,732 f = 60 + MC = 0; FEF sen 30 (2 m) + 300 N(2 m) = 0 FEF = -600 N = 600 N (C) Resposta + MD = 0; 300 N(2 m) - FCF sen 60 (2 m) = 0 FCF = 346,41 N = 346 N (T) + MF = 0; 300 N(3 m) - 300 N(1 m) - FBC(3 m)tg 30 = 0 FBC = 346,41 N = 346 N (T) Resposta Resposta F6.11. Pela geometria da treliça, u = tg-1 (1 m>2 m) = 26,57 f = tg-1 (3 m>2 m) = 56,31 . A posição de G pode ser achada usando-se triângu- los semelhantes 1 m 2 m = 2 m 2 m + x 4 m = 2 m + x x = 2 m + MG = 0; 26,25 kN(4 m) - 15 kN(2 m) - FCD(3 m) = 0 FCD = 25 kN (T) + MD = 0; 26,25 kN(2 m) - FGF cos 26,57 (2 m) = 0 FGF = 29,3 kN (C) + MO = 0; 15 kN(4 m) - 26,25 kN(2 m) - FGD sen 56,31 (4 m) = 0 FGD = 2,253 kN = 2,25 kN (T) Resposta Resposta Resposta F6.12. + MH = 0; FDC(4 m) + 12 kN(3 m) - 16 kN(7 m) = 0 FDC = 19 kN (C) + MD = 0; 12 kN(7 m) - 16 kN(3 m) - FHI (4 m) = 0 FHI = 9 kN (C) + MC = 0; FJI cos 45 (4 m) + 12 kN(7 m) - 9 kN(4 m) - 16 kN(3 m) = 0 FJI = 0 Resposta Resposta Resposta F6.13. + c Fy = 0; 3P - 60 = 0 P = 20 N Resposta F6.14. + MC = 0; -14 52(FAB)(3) + 400(2) + 500(1) = 0 FAB = 541,67 N S + Fx = 0; -Cx + 3 5 (541,67) = 0 Cx = 325 N + c Fy = 0; Cy + 4 5 (541,67) - 400 - 500 = 0 Cy = 467 N Resposta Resposta F6.15. + MA = 0; 100 N(250 mm) - NB(50 mm) = 0 NB = 500 N Resposta 550 ESTÁTICA S + Fx = 0; (500 N) sen 45 - Ax = 0 Ax = 353,55 N + c Fy = 0; Ay - 100 N - (500 N) cos 45 = 0 Ay = 453,55 N FA = 2(353,55 N)2 + (453,55 N)2 = 575 N Resposta F6.16. + MC = 0; 400(2) + 800 - FBA 1 3 1102(1) - FBA 1 1 1102(3) = 0 FBA = 843,27 N S + Fx = 0; Cx - 843,27 1 3 1102 = 0 Cx = 800 N + c Fy = 0; Cy + 843,271 1 1102- 400 = 0 Cy = 133 N Resposta Resposta F6.17. Chapa A: + c Fy = 0; 2T + NAB - 100 = 0 Chapa B: + c Fy = 0; 2T - NAB - 30 = 0 T = 32,5 N, NAB = 35 N Resposta F6.18. Polia C: + c Fy = 0; T - 2P = 0; T = 2P Viga: + c Fy = 0; 2P + P - 6 = 0 P = 2 kN + MA = 0; 2(1) - 6(x) = 0 x = 0,333 m Resposta F6.19. Membro CD + MD = 0; 60011,52 - NC132 = 0 NC = 300 N Membro ABC + MA = 0; -800 + By122 - 1300 sen 45 2 4 = 0 By = 824,26 = 824 N +S Fx = 0; Ax - 300 cos 45 = 0; Ax = 212 N + c Fy = 0; -Ay + 824,26 - 300 sen 45 = 0; Ay = 612 N Resposta Resposta Resposta F6.20. AB é um membro de duas forças. Membro BC + Mc = 0; 15132 + 10162 - FBC14 52192 = 0 FBC = 14,58 kN +S Fx = 0; 114,58213 52 - Cx = 0; Cx = 8,75 kN + c Fy = 0; 114,58214 52 - 10 - 15 + Cy = 0; Cy = 13,3 kN Membro CD +S Fx = 0; 8,75 - Dx = 0; Dx = 8,75 kN + c Fy = 0; -13,3 + Dy = 0; Dy = 13,3 kN + MD= 0; -8,75142 + MD = 0; MD= 35 kN# m Resposta Resposta Resposta F6.21. Estrutura inteira + MA = 0; -600132 - 3400132 4 11,52 + Cy132 = 0 Cy = 1200 N + c Fy = 0; Ay - 400132 + 1200 = 0 Ay = 0 +S Fx = 0; 600 - Ax - Cx = 0 Resposta Resposta Membro AB + MB = 0; 40011,5210,752 - Ax132 = 0 Ax = 150 N Cx = 450 N Resposta Resposta Os mesmos resultados podem ser obtidos conside- rando os membros AB e BC. F6.22. Estrutura inteira + ME = 0; 250162 - Ay162 = 0 Ay = 250 N +S Fx = 0; Ex = 0 + c Fy = 0; 250 - 250 + Ey = 0; Ey = 0 Membro BD + MD = 0; 25014,52 - By132 = 0; By = 375 N Membro ABC + MC = 0; -250132 + 37511,52 + Bx122 = 0 Bx = 93,75 N +S Fx = 0; Cx - Bx = 0; Cx = 93,75 N + c Fy = 0; 250 - 375 + Cy = 0; Cy = 125 N Resposta Resposta F6.23. AD, CB são membros de duas forças. Membro AB + MA = 0; - 31 2132142411,52 + By132 = 0 By = 3 kN Como BC é um membro de duas forças, Cy = By = 3 kN e Cx = 0 (MB = 0). Membro EDC + ME = 0; FDA14 5211,52 - 5132 - 3132 = 0 FDA = 20 kN +S Fx = 0; Ex - 2013 52 = 0; Ex = 12 kN + c Fy = 0; -Ey + 2014 52 - 5 - 3 = 0; Ey = 8 kN Resposta Resposta F6.24. AC e DC são membros de duas forças. Membro BC + MC = 0; 3 1 2 (3)(8)4 112 - By132 = 0 By = 4 kN F7.2. ζ +ΣMB = 0; 30 – 10(1,5) – A(3) = 0 A3 = 5 kN Resposta ±ΣXF = 0; NC = 0 +ΣYF = 0; 5 – VC = 0 VC = 5 kN Resposta ζ +ΣMC = 0; MC + 30 – 5(1,5) = 0 MC = –22,5 kN·m Resposta F7.3. ±ΣXF = 0; B2 = 0 ζ +ΣMA = 0; 30(3)(1,5) – B2(6) = 0 B2 = 22,5 kN Resposta ±ΣXF = 0; NC = 0 +ΣYF = 0; VC – 22,5 = 0 VC = 22,5 kN Resposta ζ +ΣMC = 0; MC – 22,5(3) = 0 MC = –67,5 kN·m Resposta F7.4. ζ +ΣMA = 0; B2(6) – 12(1,5) – 9(3)(4,5) = 0 B2 = 23,25 kN Resposta ±ΣXF = 0; NC = 0 +ΣYF = 0; VC + 23,25 – 9(1,5) = 0 VC = –9,75 kN Resposta ζ +ΣMC = 0; 23,25(1,5) – 9(1,5)(0,75) – MC = 0 MC = 24,75 kN·m Resposta F7.5. ζ +ΣMA = 0; B2(6) – ½(9)(6)(3) = 0 B2 = 13,5 kN Resposta ±ΣXF = 0; NC = 0 +ΣYF = 0; VC + 13,5 – ½(9)(3) = 0 VC = 0 Resposta ζ +ΣMC = 0; 13,5(3) – ½(9)(3)(1) – MC = 0 MC = 27 kN·m Resposta F7.6. ζ +ΣMA = 0; B2(6) – ½(6)(2)(6) – 6(3)(4,5) = 0 B2 = 16,5 kN Resposta ±ΣXF = 0; NC = 0 +ΣYF = 0; VC + 16,5 – 6(3) = 0 VC = 1,5 kN Resposta ζ +ΣMC = 0; 16,5(3) – 6(3)(1,5) – MC = 0 MC = 22,5 kN·m Resposta F7.7. +ΣYF = 0; 6 – V = 0 V = 6 kN ζ +ΣMO = 0; M + 18 – 6x = 0 M = (6x – 18) kN·m FIGURA F7.7 F7.8. +ΣYF = 0; – V – 2x = 0 V = (–2x) kN ζ +ΣMO = 0; M + 2x(½) – 15 = 0 M = (15 – ½x) kN·m FIGURA F7.8 F7.9. +ΣYF = 0; – V – ½(2x)(x) = 0 V = (–½x) kN ζ +ΣMO = 0; M + ½(2x)(½x) = 0 M = (– ¼x²) kN·m FIGURA F7.9 552 ESTÁTICA F7.10. +ΣYF = 0; – V – 2x = 0 V = –2x kN ζ +ΣMO = 0; M + 2x = 0 M = (–2x) kN·m V (kN) M (kN·m) 6 x (m) 6 x (m) –2 –12 FIGURA F7.10 F7.11. Região 3 ≤ x < 3 m +ΣYF = 0; – V – 5 = 0 V = –5 kN ζ +ΣMO = 0; M + 5x = 0 M = (–5x) kN·m Região 0 < x ≤ 6 m +ΣYF = 0; V + 5 = 0 V = –5 kN ζ +ΣMO = 0; 5(6 – x) – M = 0 M = (5(6 – x)) kN·m V (kN) M (kN·m) 6 x (m) 6 x (m) 3 6 –5 –15 FIGURA F7.11 F7.12. Região 0 ≤ x < 3 m +ΣYF = 0; V = 0 ζ +ΣMO = 0; M – 12 = 0 M = 12 kN·m Região 3 m < x ≤ 6 m +ΣYF = 0; V + 4 = 0 V = –4 kN ζ +ΣMO = 0; 4(6 – x) – M = 0 M = (4(6 – x)) kN·m V (kN) M (kN·m) 6 x (m) 6 x (m) –4 FIGURA F7.12 F7.13. V (kN) M (kN·m) 3 –4 x (m) –10 –18 x (m) 1 2 3 1 2 3 –14 –32 FIGURA F7.13 F7.14. V (kN) M (kN·m) 1,5 x (m) 3 x (m) 6 18 –9 –27 FIGURA F7.14 F7.15. V (kN) M (kN·m) 1 –8 x (m) 2 3 4 6 x (m) 2 4 8 16 20 –10 FIGURA F7.15 F7.16. V (kN) M (kN·m) 1,5 x (m) 9 x (m) 4,5 6 –9 –6,75 FIGURA F7.16 F7.17. V (kN) M (kN·m) 9 x (m) 3 6 x (m) 3 6 –9 9 FIGURA F7.17 554 ESTÁTICA Suponha que B esteja prestes a tombar sobre A, x = 0. + MO = 0; 1019,81210,152 - P10,42 = 0 P = 36,8 N Suponha que A esteja prestes a deslizar, FA = 0,1 NA. +S Fx = 0 P - 0,13719,812 + 1019,812 4 = 0 P = 16,7 N Escolha o menor resultado. P = 16,7 N Resposta Capítulo 9 F9.1. x = LA x dA LA dA = 1 2 L 1 m 0 y2/3 dy L 1 m 0 y1/3dy = 0,4 m y = LA y dA LA dA = L 1 m 0 y4/3 dy L 1 m 0 y1/3dy = 0,571 m Resposta Resposta F9.2. x = LA x dA LA dA = L 1 m 0 x(x3 dx) L 1 m 0 x3 dx = 0,8 m y = LA y dA LA dA = L 1 m 0 1 2 x31x3 dx2 L 1 m 0 x3 dx = 0,286 m Resposta Resposta F9.3. y = LA y dA LA dA = L 2 m 0 ya2a y1/2 22 b bdy L 2 m 0 2a y1/2 22 bdy = 1,2 m Resposta F9.4. x = Lm x dm Lm dm = L L 0 xJm0¢1 + x2 L2≤dxR L L 0 m0¢1 + x2 L2≤dx = 9 16 L Resposta F9.5. y = LV y dV LV dV = L 1 m 0 y p 4 ydy L 1 m 0 p 4 y dy = 0,667 m ¢ ≤ Resposta F9.6. z = LV z dV LV dV = L 2 m 0 zc 9p 64 (4 - z)2 dzd L 2 m 0 9p 64 (4 - z)2 dz = 0,786 m Resposta F9.7. x = x L L = 150(300) + 300(600) + 300(400) 300 + 600 + 400 = 265 mm y = y L L = 0(300) + 300(600) + 600(400) 300 + 600 + 400 = 323 mm z = z L L = 0(300) + 0(600) + (-200)(400) 300 + 600 + 400 = -61,5 mm Resposta Resposta Resposta F9.8. y = y A A = 150[300(50)] + 325[50(300)] 300(50) + 50(300) = 237,5 mm Resposta F9.9. y = y A A = 100[2(200)(50)] + 225[50(400)] 2(200)(50) + 50(400) = 162,5 mm Resposta F9.10. x = x A A = 0,25[4(0,5)] + 1,75[0,5(2,5)] 4(0,5) + 0,5(2,5) = 0,827 m y = y A A = 2[4(0,5)] + 0,25[(0,5)(2,5)] 4(0,5) + (0,5)(2,5) = 1,33 m Resposta Resposta F9.11. x = x V V = 1[2(7)(6)] + 4[4(2)(3)] 2(7)(6) + 4(2)(3) = 1,67 m y = y V V = 3,5[2(7)(6)] + 1[4(2)(3)] 2(7)(6) + 4(2)(3) = 2,94 m z = z V V = 3[2(7)(6)] + 1,5[4(2)(3)] 2(7)(6) + 4(2)(3) = 2,67 m Resposta Resposta Resposta F9.12. x = x V V = 0,25[0,5(2,5)(1,8)] + 0,25J 1 2(1,5)(1,8)(0,5)R + (1,0)J 1 2(1,5)(1,8)(0,5)R 0,5(2,5)(1,8) + 1 2 (1,5)(1,8)(0,5) + 1 2(1,5)(1,8)(0,5) = 0,391 m y = y V V = 5,00625 3,6 = 1,39 m z = z V V = 2,835 3,6 = 0,7875 m Resposta Resposta Resposta Soluções parciais e respostas dos problemas fundamentais 555 F9.13. A = 2p rL = 2p30,75(1,5) + 1,5(2) + 0,752(1,5)2 + (2)24 = 37,7 m2 V = 2p rA = 2p30,75(1,5)(2) + 0,511 22(1,5)(2)4 = 18,8 m3 Resposta Resposta F9.14. A = 2p rL = 2p31,952(0,9)2 + (1,2)2 + 2,4(1,5) + 1,95(0,9) + 1,5(2,7)4 = 77,5 m2 V = 2p rA = 2p31,811 22(0,9)(1,2) + 1,95(0,9)(1,5)4 = 22,6 m3 Resposta Resposta F9.15. A = 2p rL = 2p37,5(15) + 15(18) + 22,52152 + 202 + 15(30)4 = 8765 mm2 V = 2p rA = 2p37,5(15)(38) + 2011 22(15)(20)4 = 45 710 mm3 Resposta Resposta F9.16. A = 2p rL = 2p3 2(1,5) p 1 p(1,5) 2 2 + 1,5(2) + 0,75(1,5)4 = 40,1 m2 V = 2p rA = 2p3 4(1,5) 3p 1 p11,522 4 2 + 0,75(1,5)(2)4 = 21,2 m3 Resposta Resposta F9.17. wb = rwghb = 1000(9,81)(6)(1) = 58,86 kN>m FR = 1 2 (58,76)(6) = 176,58 kN = 177 kN Resposta F9.18. wb = gw hb = 9,81 (2)(1) = 19,62 kN>m FR = 19,62(1,5) = 29,43 kN Resposta F9.19. wb = rwghBb = 1000(9,81)(2)(1,5) = 29,43 kN>m FR = 1 2 (29,43)1 2(1,5)2 + (2)22 = 36,8 kN Resposta F9.20. wA = rwghAb = 1000(9,81)(3)(2) = 58,86 kN>m wB = rwghBb = 1000(9,81)(5)(2) = 98,1 kN>m FR = 1 2 (58,86 + 98,1)(2) = 157 kN Resposta F9.21. wA = gwhA b = 9,81(1,8)(0,6) = 10,59 kN>m wB = gwhB b = 9,81(3,0)(0,6) = 17,66 kN>m FR = 1 2 (10,59 + 17,66)1 2(0,9)2 + (1,2)22 = 21,2 kN Resposta Capítulo 10 F10.1. Ix = LA y2 dA = L 1 m 0 y2311 - y3/22dy4 = 0,111 m4 Resposta F10.2. Ix = LA y2 dA = L 1 m 0 y21y3/2 dy2 = 0,222 m4 Resposta F10.3. Iy = LA x2 dA = L 1 m 0 x21x2/32dx = 0,273 m4 Resposta F10.4. Iy = LA x2dA = L 1 m 0 x23(1 - x2/3) dx4 = 0,0606 m4 Resposta F10.5. Ix = 3 1 12 (50)145032 + 04 + 3 1 12(300)15032 + 04 = 38311062 mm4 Iy = 3 1 12 (450)15032 + 04 + 23 1 12(50)115032 + (150)(50)(100)24 = 18311062 mm4 Resposta Resposta F10.6. Ix = 1 12 (360)120032 - 1 12 (300)114032 = 17111062 mm4 Iy = 1 12 (200)136032 - 1 12(140)130032 = 46311062 mm4 Resposta Resposta F10.7. Iy = 23 1 12(50)120032 + 04 + 3 1 12(300)15032 + 04 = 69,8 (106) mm4 Resposta F10.8. y = y A A = 15(150)(30) + 105(30)(150) 150(30) + 30(150) = 60 mm Ix = (I + Ad2) = 3 1 12 (150)(30)3 + (150)(30)(60 - 15)24 + 3 1 12(30)(150)3 + 30(150)(105 - 60)24 = 27,0 (106) mm4 Resposta Capítulo 11 F11.1. yG = 0,75 sen u dyG = 0,75 cos u du xC = 2(1,5) cos u dxC = -3 sen u du dU = 0; 2WdyG + PdxC = 0 (294,3 cos u - 3P sen u)du = 0 P = 98,1 cotgu u= 60 = 56,6 N Resposta 556 ESTÁTICA F11.2. xA = 5 cos u dxA = -5 sen u du yG = 2,5 sen u dyG = 2,5 cos u du dU = 0; -PdxA + (-WdyG) = 0 (5P sen u - 1226,25 cos u)du = 0 P = 245,25 cotg u u= 60 = 142 N Resposta F11.3. xB = 0,6 sen u dxB = 0,6 cos u du yC = 0,6 cos u dyC = -0,6 sen u du dU = 0; -FspdxB + (-PdyC) = 0 -911032 sen u (0,6 cos u du) - 2000(-0,6 sen u du) = 0 sen u = 0 u = 0 -5400 cos u + 1200 = 0 u = 77,16 = 77,2 Resposta Resposta F11.4. xB = 0,9 cos u dxB = -0,9 sen u du xC = 2(0,9 cos u) dxC = -1,8 sen u du dU = 0; PdxB + 1 -Fsp dxC2 = 0 611032(-0,9 sen u du) - 3611032(cos u - 0,5)(-1,8 sen u du) = 0 sen u (64800 cos u - 37800)du = 0 sen u = 0 u = 0 64800 cos u - 37800 = 0 u = 54,31 = 54,3 Resposta Resposta F11.5. yG = 2,5 sen u dyG = 2,5 cos u du xA = 5 cos u dxC = -5 sen u du dU = 0; 1 -FspdxA2-WdyG = 0 (15000 sen u cos u - 7500 sen u - 1226,25 cos u)du = 0 u = 56,33 = 56,3 ou u = 9,545 = 9,55 Resposta Resposta F11.6. Fsp = 15000(0,6 - 0,6 cos u) xC = 3[0,3 sen u] dxC = 0,9 cos u du yB = 2[0,3 cos u] dyB = -0,6 sen u du dU = 0; PdxC + FspdyB = 0 (135 cos u - 5400 sen u + 5400 sen u cos u)du = 0 u = 20,9 Resposta Problemas preliminares — Soluções de estática 559 Capítulo 4 4.1. a) MO = 100 N(2 m) = 200 N# m b) MO = -100 N(1 m) = 100 N# m c) MO = - a3 5b(500 N)(2 m) = 600 N# m d) MO = a4 5b(500 N)(3 m) = 1200 N# m e) MO = - a3 5b(100 N)(5 m) = 300 N# m f) MO = 100 N(0) = 0 g) MO = - a3 5b(500 N)(2 m) + a4 5b(500 N)(1 m) = 200 N# m h) MO = - a3 5b(500 N)(3 m - 1 m) + a4 5b(500 N)(1 m) = 200 N# m i) MO = a3 5b(500 N)(1 m) - a4 5b(500 N)(3 m) = 900 N# m 4.2. MP = 3 i j k 2 -3 0 -3 2 5 3 MP = 3 i j k 2 5 -1 2 -4 -3 3 MP = 3 i j k 5 -4 -1 -2 3 4 3 4.3. a) Mx = -(100 N)(3 m) = -300 N# m My = -(200 N)(2 m) = -400 N# m Mz = -(300 N)(2 m) = -600 N# m b) Mx = (50 N)(0,5 m) = 25 N# m My = (400 N)(0,5 m) - (300 N)(3 m) = -700 N# m Mz = (100 N)(3 m) = 300 N# m c) Mx = (300 N)(2 m) - (100 N)(2 m) = 400 N# m My = -(300 N)(1 m) + (50 N)(1 m) + (400 N)(0,5 m) = 250 N# m Mz = -(200 N)(1 m) = -200 N# m 4.4. a) Ma = 4 - 4 5 - 3 5 0 -5 2 0 6 2 3 4 = 4 -4 5 - 3 5 0 -1 5 0 6 2 3 4 b) Ma = 4 - 1 22 1 22 0 3 4 -2 2 -4 3 4 = 4 - 1 22 1 22 0 5 2 -2 2 -4 3 4 c) Ma = 4 2 3 - 1 3 2 3 -5 -4 0 2 -4 3 4 = 4 2 3 - 1 3 2 3 -3 -5 2 2 -4 3 4 4.5. a) +S (FR)x = Fx ; (FR)x = - a4 5b500 N + 200 N = -200 N + c(FR)y = Fy ; (FR)y = - 3 5 (500 N) - 400 N = -700 N + (MR)O = MO; (MR)O = - a3 5b(500 N)(2 m) - 400 N(4 m) = -2200 N# m b) +S (FR)x = Fx; (FR)x = a4 5b(500 N) = 400 N + c(FR)y = Fy; (FR)y = -(300 N) - a3 5b(500 N) = -600 N + (MR)O = MO; (MR)O = -(300 N)(2 m) - a3 5b(500 N)(4 m) - 200 N# m = -2000 N# m c) +S (FR)x = Fx; (FR)x = a3 5b(500 N) + 100 N = 400 + c(FR)y = Fy; (FR)y = -(500 N) - a4 5b(500 N) = -900 N + (MR)O = MO; (MR)O = -(500 N)(2 m) - a4 5b(500 N)(4 m) + a3 5b(500 N)(2 m) = -2000 N# m d) +S (FR)x = Fx; (FR)x = - a4 5b(500 N) + a3 5b(500 N) = -100 N + c(FR)y = Fy; (FR)y = - a3 5b(500 N) - a4 5b(500 N) = -700 N + (MR)O = MO; (MR)O = a4 5b(500 N)(4 m) + a3 5b(500 N)(2 m) - a3 5b(500 N)(4 m) + 200 N# m = 1200 N# m 4.6. a) +S(FR)x = Fx; (FR)x = 0 + c(FR)y = Fy; (FR)y = -200 N - 260 N = -460 N + (FR)yd = MO; -(460 N)d = -(200 N)(2 m) - (260 N)(4 m) d = 3,13 m Nota: embora 460 N atue de cima para baixo, não é por isso que –(460 N)d é negativo. É porque o mo- mento de 460 N em relação a O é negativo. 560 ESTÁTICA b) +∫F_{x, k} = ∑F_{x, i}; (F_R)_k = ( \frac{3}{5} ) (500 N) = −300 N +∫F_{x, k} = ∑F_{y, i}; (F_R)_k = −400 N − ( \frac{4}{5} ) (500 N) = −800 N ζ + (F_{R, k})d = ∑M_{0_i}; −(800 N)d = −(400 N)(2 m) − ( \frac{4}{5} )(500 N)(4 m) d = 3 m c) +∫F_{x, k} = ∑F_{x, i}; (F_R)_k = ( \frac{4}{5} )(500 N) − ( \frac{4}{5} )(500 N) = 0 +∫F_{y, k} = ∑F_{y, i}; (F_R)_k = −( \frac{3}{5} )(500 N) − ( \frac{3}{5} )(500 N) = −600 N ζ + (F_{y, k})d = ∑M_{0_i}; −(600 N)d = −( \frac{3}{5} )(500 N)(2 m) − ( \frac{3}{5} )(500 N)(4 m) − 600 N · m d = 4 m 4.7. a) +∫F_R = ∑F_i; F_R = 200 N + 100 N + 200 N = 500 N (M_R)_k = ∑M_{0_i}; −(500 N)y = −(100 N)(2 m) − (200 N)(2 m) y = 1,20 m (M_R)_y = ∑M_{y_i}; (500 N)x = (100 N)(2 m) + (200 N)(1 m) x = 0,80 m b) +∫F_R = ∑F_i; F_R = 100 N − 100 N + 200 N = 200 N (M_{R_k) = ∑M_{0_i}; −(200 N)y = (100 N)(1 m) + (100 N)(2 m) = (200 N)(2 m) y = 0,5 m (M_R)_y = ∑M_{y_i}; (200 N)x = −(100 N)(2 m) + (100 N)(2 m) x = 0 c) +∫F_R = ∑F_i; F_R = 400 N + 300 N + 200 N + 100 N = 1000 N (M_R)_k = ∑M_{0_i}; −(1000 N)y = −(300 N)(4 m) − (100 N)(4 m) y = 1,6 m (M_R)_i = ∑M_{i_i}; (1000 N)x = (400 N)(2 m) + (300 N)(2 m) = (200 N)(2 m) −(100 N)(2 m) x = 0,8 m Capítulo 5 5.1 A_x T_B C_x 5/3 4 3 m 2 m (a) 2 m B_x 3 m 600 N · m (b) 1200 N A_x C_x 1 m + m + 2 m 500 N 1 m B_y (c) N_a 3 λ 4 5 5/3 (d) C_x 30° A_x M_A A_y 500 N 400 N 1 3 m 2 m 2 m B_x B_y Α_C (e) F_A 2 m 30° C_y (f) 1 m 2 m 561 Problemas preliminares — Soluções de estática Capítulo 6 6.1. a) A_y = 200 N, D_x = 0, D_y = 200 N F_AE 45° A F_AB 200 N A B F_BE F_BC F_AB 400 N b) A_y = 300 N, C_x = 0, C_y = 300 N A 30° F_AF F_AB 300 N F_BE F_BD F_F 30° F_AB 600 N F_CE F_CE F_CB F_CD A 30° 300 N 300 N 5.2. A_z 300 N B_y 2 m 1 m C_z 0,5 m B_x A_y C_y (a) A_x 3 m 1 m 1 m B_x 2 m 2 m 500 N C_y C_x B_X (b) B_x C_y 400 N B_y M_y 2 m B_y 2 m (c) 5.3. a) ∑M_{t_0} = 0; −(400 N)(2 m) − (600 N)(5 m) + B_t(5 m) = 0 ∑M_y = 0; −A_t (4 m) − B_t(4 m) = 0 ∑M_z = 0; B_t(4 m) − B_t(5 m) + (300 N)(5 m) = 0 b) ∑M_{t_0} = 0; A_t(4 m) + C_t(6 m) = 0 ∑M_y = 0; B_t(1 m) − C_t(1 m) = 0 ∑M_z = 0; −B_t(1 m) + (300 N)(2 m) − A_t(4 m) + C_t(1 m) = 0 c) ∑M_{t_0} = 0; B_t(2 m) + C_t(3 m) − 800 N · m = 0 ∑M_y = 0; −C_t(1,5 m) = 0 ∑M_z = 0; −B_t(2 m) + C_t(1,5 m) = 0 6.2. a) F_HG = 0 F_ED = 0 H F_HA 0 D F_DE = 0 E F_EC = 0 F_ED = 0 F_BG = 0 F_AB B F_C TA F_CE = 0 C b) F_GA F_GF F_F GA F_FF F_GC c) F_FE F_FCD F_FCB F_FFD F_FG (b) 562 ESTÁTICA 6.3. a) 60 N · m A_x C_x 4 m B_x C_y A_y B_y 1,5 m 200 N 1,5 m b) CB é um membro de duas forças. 600 N A_x 2 m 1 m B_x A_y F_CB F_CN 45° F_CN c) CD é um membro de duas forças. F_CD C_x F_CD 5/13 M_A A_x C_y 1,5 m B_y B_x B_z B_x A_y C_x B_X 1 m 1 m 5/13 C_z F_CD 500 N d) 3 m M_A A_x A_y 600 N B_x 3 m B_y C_y 800 N 2 m 2 m B_z e) C_y A_x 200 N 200 N BC é um membro de duas forças C_Y B_x 200 N 200 N 2 m A_y 2 m F_BC 200 N 200 N 3 F_BC f) 400 N 400 N 400 N Cy 400 N 400 N A_x C_y 2 m 2 m 5/4 3 5/13 C_Y A_y F_BC Capítulo 7 7.1. M_B A_x N_B F_B 100 N A_y 1 m V_C (a) F_CB 600 N 3/4 5 M_B 600 N A_x 2 m MB 1+ m 1-* m N_B V_B 150 N A_y 1-* m (b) (C) Problemas preliminares — Soluções de estática 563 8.1. a) +∑Fx=0; (4/5)(500 N)−F′=0,F′=400N +∑Fy=0; N−200N−(3/5)(500N)=0,N=500N Fmk=0,3(500N)=150N<400N Deslizamento F′=μkN=0,2(500N)=100N Resposta b) 100N (4/5)(100N)−F′=0;F′=80N +∑Fy=0; N−40N−(3/5)(100N)=0;N=100N Fmk=0,1(100N)=90N>80N F=F′=80N Resposta 8.2. Requer +∑Fy=0; FA=0,1NA NA−100N=0 NA=100N FA=0,1(100N)=10N ζ+∑MO=0; −M+(10N)(1m)=0 M=10 N·m 8.3. a) O deslizamento tem de ocorrer entre A e B. FA=0,2(100N)=20N Capítulo 8 564 ESTÁTICA b) Suponha que B desliza sobre C e C não desliza. FB=0,2(200N)=40N →∑Fx=0; P−20N−40N=0 P=60N Suponha o deslizamento, +∑Fx=0; F=0,4(100N)=40N P−40N=0;P=40N ζ+∑MO=0; (100N)(x)−(40N)(1m)=0 x=0,4m<0,5m Não há tombamento P=40N Resposta c) Suponha que C desliza e B não desliza sobre C. FC=0,1(400N)=40N →∑Fx=0; P−20N−40N=0 P=60N Portanto, P=60N Resposta 8.4. a) Suponha o deslizamento, +∑Fx=0; F=0,3(200N)=60N P−60N=0;P=60N ζ+∑MO=0; 200N(x)−(60N)(2m)=0 x=0,6m>0,5m Capítulo 9 9.1. a) ˉxˉ=x ˉyˉ=y/2=√x/2 dA=ydx=√xdx b) ˉxˉ=x+(1−x2)=1+x2 ˉyˉ=y dA=(1−x2)dy Problemas preliminares — Soluções de estática 565 c) x y y dy x x = x 2 = 1y 2 y = y dA = xdy = 1y dy d) x y y dx x 1 m x = x y = y + a1 - y 2 b = 1 + y 2 = 1 + x2 2 dA = (1 - y)dx = (1 - x2)dx Soluções de problemas de revisão Capítulo 2 R2.1. FR = 2(300)2 + (500)2 - 2(300)(500) cos 95 = 605,1 = 605 N 605,1 sen 95 = 500 sen u u = 55,40 f = 55,40 + 30 = 85,4 Resposta Resposta R2.2. F1v sen 30 = 250 sen 105 F1v = 129 N F1u sen 45 = 250 sen 105 F1u = 183 N Resposta Resposta R2.3. FRx = Fx; FRx = 4a4 5b + 3a3 5b - 3 - 2 = 0 FRy = Fy; FRy = 3a4 5b - 4a3 5b = 0 Assim, FR = 0 Resposta R2.4. cos2 30 + cos2 70 + cos2 g = 1 cos g = {0,3647 g = 68,61 ou 111,39 Por observação, g = 111,39º. F = 2505cos 30 i + cos 70 j + cos 111,39 6N = 5217i + 85,5j - 91,2k6N Resposta R2.5. r = {15 sen 20 i + 15 cos 20 j - 10k} m = {5,1303i + 14,0954j - 10k} m r = 25,13032 + 14,09542 + (-10)2 = 18,028 m u = r r = 0,2846i + 0,7819j - 0,5547k F = Fu = 50,569i + 1,56j - 1,11k6 kN Resposta R2.6. F1 = 600a4 5bcos 30 (+i) + 600a4 5bsen 30 (-j) + 600a3 5b(+k) = 5415,69i - 240j + 360k6 N F2 = 0i + 450 cos 45 (+j) + 450 sen 45 (+k) = 5318,20j + 318,20k6N Resposta Resposta R2.7. r1 = 5400i + 250k6mm; r1 = 471,70 mm r2 = 550i + 300j6 mm; r2 = 304,14 mm r1 # r2 = (400)(50) + 0(300) + 250(0) = 20000 u = cos-1ar1 # r2 r1r2 b = cos-1a 20000 (471,70)(304,14)b = 82,0 Resposta R2.8. FProj = F# uv = (2i + 4j + 10k)# a2 3 i + 2 3 j - 1 3 kb FProj = 0,667 kN Capítulo 3 R3.1. S + Fx = 0; FB - FA sen 30 - 300a4 5b = 0 + c Fy = 0; -FA cos 30 + 300a3 5b = 0 FA = 208 N FB = 344 N Resposta R3.2. S + Fx = 0; FAC cos 30 - FAB = 0 + c Fy = 0; FAC sen 30 - m(9,81) = 0 (1) (2) Supondo que o cabo AB alcance a tração máxima, FAB = 2 kN. Pela Equação 1, FAC cos 30º – 2 = 0 FAC = 2,309 kN > 2,2 kN (Não é bom) Supondo que o cabo AC alcance a tração máxima, FAC = 2,2 kN Pela Equação 1, 2,2 cos 30º – FAB = 0 FAB = 1,905 kN < 2 kN (OK) Pela Equação 2, 2,2(103) sen 30º – m(9,81) = 0 m = 112 kg Resposta R3.3. S + Fx = 0; FAC sen 30 - FABa3 5b = 0 FAC = 1,20FAB + c Fy = 0; FAC cos 30 + FABa4 5b - m(981) = 0 (1) (2) 0,8660FAC + 0,8FAB = 9,81m Como FAC > FAB, a falha ocorrerá primeiro no cabo AC, com FAC = 250 N. Depois, resolvendo as equa- ções 1 e 2, obtemos FAB = 208,33 N W = 39,1 kg Resposta R3.4. s1 = 300 600 = 0,5 m + c Fy = 0; F - 2a1 2 Tb = 0 ; F = T 568 ESTÁTICA S + Fx = 0; -Fs + 2a 23 2 bF = 0 Fs = 1,732F O esticamento final é 0,5 m + (0,6 – 0,6 cos 30º) m = 0,5804 m 600(0,5804) = 1,732F F = 201 N Resposta R3.5. Fx = 0; -F1 sen 45 = 0 F1 = 0 Fz = 0; F2 sen 40 - 200 = 0 F2 = 311,14 N = 311 N Resposta Usando os resultados, F1 = 0 e F2 = 311,14 N e de- pois, somando as forças ao longo do eixo y, temos Fy = 0; F3 - 311,14 cos 40 = 0 F3 = 238 N Resposta R3.6. F1 = F15cos 60 i + sen 60 k6 = 50,5F1i + 0,8660F1k6 N F2 = F2 b 3 5 i - 4 5 jr = 50,6 F2i - 0,8 F2 j6 N F3 = F35-cos 30 i - sen 30 j6 = 5-0,8660F3 i - 0,5F3 j6 N Fx = 0; 0,5F1 + 0,6F2 - 0,8660F3 = 0 Fy = 0; -0,8F2 - 0,5F3 + 800 sen 30 = 0 Fz = 0; 0,8660F1 - 800 cos 30 = 0 F1 = 800 N F2 = 147 N F3 = 564 N Resposta R3.7. Fx = 0; FCAa 1 210 b - FCBa 1 210 b = 0 Fy = 0; -FCAa 3 210 b - FCBa 3 210 b Fz = 0; -250(9,81) + FCDa4 5b = 0 + FCDa3 5b = 0 Resolvendo: FCD = 3065,63 N = 3,07 kN FCA = FCB = 969,44 N = 969 N R3.8. FAB = 700a 2i + 3j - 6k 222 + 32 + (-6)2b = 5200i + 300j - 600k6 N FAC = FACa -1,5i + 2j - 6k 2(-1,5)2 + 22 + (-6)2b = -0,2308FACi + 0,3077FACj - 0,9231FACk FAD = FAD a -3i - 6j - 6k 2(-3)2 + (-6)2 + (-6)2b = -0,3333FADi - 0,6667FADj - 0,6667FADk F = Fk F = 0; FAB + FAC + FAD + F = 0 (200 - 0,2308FAC - 0,3333FAD)i + (300 + 0,3077FAC - 0,6667FAD)j + (-600 - 0,9231FAC - 0,6667FAD + F)k = 0 200 - 0,2308FAC - 0,3333FAD = 0 300 + 0,3077FAC - 0,6667FAD = 0 -600 - 0,9231FAC - 0,6667FAD + F = 0 FAC - 130 N FAD = 510 N F = 1060 N = 1,06 kN Resposta Capítulo 4 R4.1. 30(103) = [400(9,81)](4,8 cos 30 ) + W(9 cos 30 + 0,6) W = 1630,67 N = 1,63 kN Resposta R4.2. FR = 500 N £ (5i + 7,5j - 15k) 2(5)2 + (7,5)2 + (-15)2 § FR = 5143i + 214j - 429k6 N Resposta (MR)C = rCB * F = 3 i j k 5 22,5 0 142,86 214,29 -428,57 3 = 5-9,64i + 2,14j - 2,14k6 kN # m Resposta R4.3. r = 51,2i6 m F = 120 N a -0,6i + 0,6j + 1,2k 2(-0,6)2 + (0,6)2 + (1,2)2b = 5-48,99i + 48,99j + 97,98k6N My = 4 i j k 0 1 0 1,2 0 0 -48,99 48,99 97,98 4 = -117,58 N # m My = 5-118j6 N # m (Mc)R = Mz; 0 = 100 - 0,75F F = 133 N Resposta R4.4. Resposta R4.5. S + FRx = Fx; FRx = 6a 5 13b - 4 cos 60 = 0,30769 kN +c FRy = Fy; FRy = 6a12 13b - 4 sen 60 = 2,0744 kN FR = 2(0,30769)2 + (2,0744)2 = 2,10 kN u = tg -1c 2,0744 0,30769 d = 81,6 + MP = MP; MP = 8 - 6a12 13b(7) + 6a 5 13b - 4 cos 60 (4) + 4 sen 60 MP = -16,8 kN# m = 16,8 kN# m Resposta Resposta (5) (3) Resposta Soluções de problemas de revisão 569 R4.6. S + (FR)x = Fx; (FR)x = 2 cos 45 - 2,5 a4 5 b - 3 = -3,5858 kN = 3,5858 kN d + c(FR)y = Fy; (FR)y = -2 sen 45 - 2,5a3 5b = -2,9142 kN = 2,9142 kNT FR = 2(FR)x 2 + (FR)y 2 = 23,58582 + 2,91422 = 4,6207 kN = 4,62 kN u = tg -1c (FR)y (FR)x d = tg -1c 2,9142 3,5858 d = 39,1 Resposta +(MR)A = MA; 3,5858d = 2,5a3 5b(0,8) + 2,5a4 5b(1,2) + 3(1,2) - 2 cos 45 (1,8) - 2 sen 45 (1) d = 0,904 m Resposta R4.7. + cFR = Fz; FR = -20 - 50 - 30 - 40 = -140 kN = 140 kNT (MR)x = Mx; -140y = -50(3) - 30(11) - 40(13) y = 7,14 m (MR)y = My; 140x = 50(4) + 20(10) + 40(10) x = 5,71 m Resposta Resposta Resposta R4.8. + TFR = F; FR = 10(3) + 1 2 (10)(3) = 45 kN T +MRC = MC; 45x = 10(3)(1,5) + 1 2 (10)(3)(4) x = 2,33 m Resposta Resposta Capítulo 5 R5.1. F = 0,3536 kN = 354 N + MA = 0: F(6) + F(4) + F(2) - 3 cos 45 (2) = 0 Resposta R5.2. + MA = 0; NB(7) - 1400(3,5) - 300(6) = 0 NB = 957,14 N = 957 N + c gFy = 0; Ay- 1400 - 300 + 957 = 0 Ay = 743 N S + Fx = 0; Ax = 0 Resposta Resposta R5.3. + MA = 0; 10(0,6 + 1,2 cos 60 ) + 6(0,4) - NA(1,2 + 1,2 cos 60 ) = 0 NA = 8,00 kN Resposta +S Fx = 0; Bx - 6 cos 30 = 0; Bx = 5,20 kN Resposta + c Fy = 0; By + 8,00 - 6 sen 30 - 10 = 0 By = 5,00 kN Resposta R5.4. + MA = 0; 250 cos 30 (0,5) + 250 sen 30 (0,35) - FB(0,45) = 0 FB = 337,78 N = 338 N +S Fx = 0; Ax - 250 sen 30 = 0 Ax = 125 N + c Fy = 0; Ay - 250 cos 30 - 337,78 = 0 Ay = 554,29 N = 554 N Resposta Resposta Resposta R5.5. Fx = 0; Ax = 0 Fy = 0; Ay + 200 = 0 Ay = -200 N Fz = 0; Az - 150 = 0 Az = 150 N Resposta Resposta Resposta Mx = 0; -150(2) + 200(2) - (MA)x = 0 (MA)x = 100 N # m My = 0; (MA)y = 0 Mz = 0; 200(2,5) - (MA)z = 0 (MA)z = 500 N# m Resposta Resposta Resposta R5.6. My = 0; P(0,2) - 400(0,25) = 0 P = 500 N Mx = 0; Bz(0,7) - 400(0,35) = 0 Bz = 200 N Mz = 0; Bx(0,7) - 500(0,25) = 0 Bx = 178,57 N = 179 N Fx = 0; Ax - 178,57 - 500 = 0 Ax = 678,57 N = 679 N Fy = 0; By = 0 Fz = 0; Az + 200 - 400 = 0 Az = 200 N Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta R5.7. W = (4 m)(2 m)(200 N>m2) = 1600 N Fx = 0; Ax = 0 Fy = 0; Ay = 0 Fz = 0; Az + Bz + Cz - 1600 = 0 Mx = 0; Bz(2) - 1600(1) + Cz(1) = 0 My = 0; -Bz(2) + 1600(2) - Cz(4) = 0 Az = Bz = Cz = 533,33 N = 533 N Resposta Resposta Resposta R5.8. Fx = 0; Ax = 0 Resposta Fy = 0; 350 - 0,6FBC + 0,6FBD = 0 Fz = 0; Az - 800 + 0,8FBC + 0,8FBD = 0 Mx = 0; (MA)x + 0,8FBD(6) + 0,8FBC(6) - 800(6) = 0 My = 0; 800(2) - 0,8FBC(2) - 0,8FBD(2) = 0 Mz = 0; (MA)z - 0,6FBC(2) + 0,6FBD(2) = 0 FBD = 208 N FBC = 792 N Az = 0 (MA)x = 0 (MA)z = 700 N# m Resposta Resposta Resposta Resposta Resposta 570 ESTÁTICA Capítulo 6 R6.1. Nó B: +S Fx = 0; FBC = 3 kN (C) + c Fy = 0; FBA = 8 kN (C) Resposta Resposta Nó A: + c Fy = 0; 8,875 - 8 - 3 5 FAC = 0 FAC = 1,458 = 1,46 kN (C) +S Fx = 0; FAF - 3 - 4 5 (1,458) = 0 FAF = 4,17 kN (T) Resposta Resposta Nó C: +S Fx = 0; 3 + 4 5 (1,458) - FCD = 0 FCD = 4,167 = 4,17 kN (C) + c Fy = 0; FCF - 4 + 3 5 (1,458) = 0 FCF = 3,125 = 3,12 kN (C) Resposta Resposta Nó E: +S Fx = 0; FEF = 0 + c Fy = 0; FED = 13,125 = 13,1 kN (C) Resposta Resposta Nó D: + c Fy = 0; 13,125 - 10 - 3 5 FDF = 0 FDF = 5,21 kN (T) Resposta Resposta R6.2. Nó A: +S Fx = 0; FAB - FAG cos 45 = 0 + c Fy = 0; 4 - FAG sen 45 = 0 FAG = 5,66 kN (C) FAB = 4,00 kN (T) Resposta Resposta Nó B: +S Fx = 0; FBC = 4,00 kN (T) + c Fy = 0; FGB = 0 Resposta Resposta Nó D: +S Fx = 0; -FDC + FDE cos 45 = 0 + c Fy = 0; 8 - FDE sen 45 = 0 FDE = 11,31 kN = 11,3 kN (C) FDC = 8,00 kN (T) Resposta Resposta Resposta Nó E: +S Fx = 0; -11,31 sen 45 + FEG = 0 + c Fy = 0; -FEC + 11,31 cos 45 = 0 FEC = 8,00 kN (T) FEG = 8,00 kN (C) Resposta Resposta Nó C: + c Fy = 0; FGC cos 45 + 8,00 - 12 = 0 FGC = 5,66 kN (T) Resposta R6.3. +S Fx = 0; Ex = 0 + MA = 0; Ey(12) - 10(3) - 10(6) - 10(9) = 0 Ey = 15,0 kN + MC = 0; 15(6) - 10(3) - FGJ sen 30 (6) = 0 FGJ = 20,0 kN (C) Resposta Nó G: +S Fx = 0; FGH cos 30 - 20 cos 30 = 0 FGH = 20,0 kN (C) + c Fy = 0; 2(20,0 sen 30 ) - 10 - FGC = 0 FGC = 10,00 kN (T) Resposta R6.4. S + Fx = 0; Ax = 0 Devido à simetria de carregamento e à geometria, + c Fy = 0; 2Ay - 8 - 6 - 8 = 0 Ay = 11,0 kN + MB = 0; FGF sen 30 (3) + 8(3 - 3 cos2 30 ) - 11,0(3) = 0 FGF = 18,0 kN (C) + MA = 0; FFB sen 60 (3) - 8(3 cos2 30 ) = 0 FFB = 6,928 kN (T) = 6,93 kN (T) + MF = 0; FBC(4,5 tg 30 ) + 8(4,5 - 3 cos2 30 ) - 11,0(4,5) = 0 FBC = 12,12 kN (T) = 12,1 kN (T) Resposta Resposta Resposta R6.5. Nó A: Fz = 0; FADa 1 217 b - 600 = 0 FAD = 2473,86 N (T) = 2,47 kN (T) Fx = 0; FACa 0,75 216,5625 b - FABa 0,75 216,5625 b = 0 FAC = FAB Fy = 0; FACa 4 216,5625 b + FABa 4 216,5625 b - 2473,86a 4 217 b = 0 0,9829 FAC + 0,9829 FAB = 2400 FAC = FAB = 1220,91 N (C) = 1,22 kN (C) Resposta Resposta R6.6. CB é um membro de duas forças. Membro AC: + MA = 0; -600(0,75) + 1,5(FCB sen 75 ) = 0 FCB = 310,6 Bx = By = 310,6a 1 22 b = 220 N +S Fx = 0; -Ax + 600 sen 60 - 310,6 cos 45 = 0 Ax = 300 N + c Fy = 0; Ay - 600 cos 60 + 310,6 sen 45 = 0 Ay = 80,4 N Resposta Resposta Resposta R6.7. Membro AB: ζ Σ𝑀𝐴 = 0; −750(2) + 𝐵𝑦(3) = 0 𝐵𝑦 = 500 𝑁 Membro BC: ζ Σ𝑀𝐶 = 0; −1200(1,5) − 900(1) + 𝐵𝑥(3) − 500(3) = 0 𝐵𝑥 = 1400 𝑁 ζ + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝐴𝑦 − 750 + 500 = 0 𝐴𝑦 = 250 𝑁 Resposta Membro AB: ζ Σ𝐹𝑥 = 0; −𝐴𝑥 + 1400 = 0 𝐴𝑥 = 1400 𝑁 = 1,40 𝑘𝑁 Resposta Membro BC: ζ Σ𝐹𝑥 = 0; 𝐶𝑥 + 900 − 1400 = 0 𝐶𝑥 = 500 𝑁 Resposta + Σ𝐹𝑦 = 0; −500 − 1200 + 𝐶𝑦 = 0 𝐶𝑦 = 1700 𝑁 = 1,70 𝑘𝑁 Resposta R6.8. ζ + Σ𝑀𝐸 = 0; 𝐹𝐶𝐷(3,5) − 4 5𝐹𝐵𝐸(1) = 0 ζ + Σ𝑀𝐴 = 0; 𝐹𝐵𝐸( 4 5)(2,5) − 𝐹𝐶𝐷(3,5) − 4(3,5)(1,75) = 0 𝐹𝐵𝐸 = 20,417 𝑘𝑁 = 20,4 𝑘𝑁 Resposta 𝐹𝐶𝐷 = 4,667 𝑘𝑁 = 4,67 𝑘𝑁 Resposta Capítulo 7 R7.1. ζ + Σ𝑀𝐴 = 0; 𝐹𝐶𝐹(4) − 600(4 tg 30°) = 0 𝐹𝐶𝐹 = 346,41 𝑁 Como o membro 𝐶𝐹 é um membro de duas forças, 𝑉𝐷 = 𝑀𝐷 = 0 𝑁𝐷 = 𝐹𝐶𝐹 = 346 𝑁 Resposta Resposta ζ + Σ𝑀𝐴 = 0; 𝐵𝑞(6) − 600(4 tg 30°) = 0 𝐵𝑞 = 230,94 𝑁 Resposta ζ Σ𝐹𝑥 = 0; 𝑁𝐸 = 0 Resposta ζ Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑉𝐸 + 230,94 − 346,41 = 0 𝑉𝐸 = 115,47 𝑁 = 115 𝑁 Resposta ζ + Σ𝑀𝐸 = 0; 230,944,5 − 346,4(2,5) = 𝑀𝐸 = 0 𝑀𝐸 = 173,21 𝑁 m = 173 𝑁 m Resposta R7.2. Segmento DC ζ Σ𝐹𝑥 = 0; 𝑁𝐶 = 0 Resposta + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑉𝐶 − 3,00 − 6 = 0 𝑉𝐶 = 9,00 𝑘𝑁 Resposta ζ + Σ𝑀𝐶 = 0; −𝑀𝐶 − 3,00(1,5) − 6(3) − 40 = 0 𝑀𝐶 = −62,5 𝑘𝑁 m Resposta Segmento DB ζ Σ𝐹𝑥 = 0; 𝑁𝐵 = 0 Resposta + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑉𝐵 − 10,0 − 7,5 − 4,00 − 6 = 0 𝑉𝐵 = 27,5 kN Resposta ζ + Σ𝑀𝐵 = 0; −𝑀𝐵 − 10,0(2,5) − 7,5(5) −4,0(0,7 − 6(9) − 40 = 0 𝑀𝐵 = −184,5 kN m Resposta R7.3. V (kN) 120 120 0 0 −120 −120 M (kN m) 0 M (kN m) 0 (m) −120 −120 (m) R7.4. V (kN) −10 0 x M (kN m) 0 x −5 −30 R7.5. V (kN) M (kN m) 2,5 1,25 m −7,5 1,56 −12,5 −50 m R7.6. Em x = 30 m; y = 3 m; 𝐹𝐻 = 𝑠𝑒𝑛 ℎ [ 8(9,81) 𝐹𝐻 (30) ] 𝐹𝐻 = 11811,03 N tg 𝜃𝑚𝑎𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 30 m 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝐻 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑚𝑎𝑥 = 11.08,1 tg 30 = 3 8(9,81) 1℗11103 𝜃𝑚𝑎𝑥 = 11,346° 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 11811,03 N vc 𝜃m𝑎𝑥 = 12046,47 N = 12,0 kN Resposta Capítulo 8 R8.1. Suponha que a escada deslize em 𝐴: 𝐹𝐴 = 0,4 𝑁𝐴 + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝐴 − 10(9,81) = 0 𝑁𝐴 = 98,1 𝑁 𝐹𝐴 = 0,4(98,1 𝑁) = 39,24 𝑁 ζ + Σ𝑀𝐵 = 0; 𝑃(2) − 10(9,81)(1,5) + 98,1(3) − 39,24(4) = 0 𝑃 = 4,905 𝑁 Resposta + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝐵 + 4,905 − 39,24 = 0 𝑁𝐵 = 34,34 𝑁 > 0 OK A escada permanecerá em contato com a parede. R8.2. Caixa + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝐴 − 588,6 = 0 𝑁𝐷 = 588,6 𝑁 Bloqueio A: ζ Σ𝐹𝑥 = 0; 𝑃 − 𝐹𝐴 = 0 𝑁𝐴 = 589,8 ; ζ + Σ𝑀𝐴 = 0; 588,6(7) − 70(8) = 0 (1) (2) Caixa e plataforma ζ + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝐵 + 𝑁𝐴 − 588,6 − 98,1 = 0 (3) ζΣ𝐹𝑥 = 0; 𝑃 − 𝐹𝐴.0 ζ + Σ𝑀𝐵 = 0; 𝑁𝐴(1,5) − (1,05) − 588,6(0,95) − 98,1(0,75) = 0 (5) Aríto: Supondo que a caixa deslize na plataforma, então 𝐹𝐴 = 𝜇𝑑𝑎𝑑 𝑁𝐴 = 0,5(588,6) = 294,3 𝑁. Resolvendo as equações 1 e 2 𝑃 = 294,3 𝑁 𝑥 = 0,400 𝑚 Como 𝑥 > 0,3 𝑚, a caixa tomba na plataforma. Se isso acontecer, 𝑥 = 0,3 𝑚. Resolvendo as equações 1 e 2 com 𝑥 = 0,3 m obtemos 𝑃 = 220,725 𝑁 𝐹𝑑 = 220,725 R Supondo que a plataforma deslize em 𝐴, então 𝐹𝐴 = 𝜇𝑁𝐴 = 0,35 𝑁𝐴. Substituindo esse valor nas equações 3, 4 e 5 e resolvendo, temos 𝑁𝐴 = 559 𝑁 𝑁𝐵 = 128 𝑁 𝑃 = 195,6 𝑁 = 196 𝑁 (Controle) Resposta R8.3. Viga ζ + Σ𝑀𝐵 = 0; 𝑁(600) − 𝐴𝑦 (900) = 0 𝐴𝑦 0,6667𝑃 Disco + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝐶𝑠𝑒𝑛 60° − 𝐹𝐶 𝑠𝑒𝑛 30° 0,6667𝑃 343,35 = 0 (1) ζ + Σ𝑀𝑂 = 0; 𝐹𝐶(200) − 0,6667𝑃(200) = 0 (2) Arítico: Se o disco está prestes a se mover, o deslizinento teria que ocorrer no ponto C. Logo, 𝐹𝐶 = 𝜇𝑠 N𝐶 = 0,2 𝑁𝐶. Substituindo isso nas equações 1 e 2 e resolvendo, temos 𝑃 = 182 𝑁 𝑁𝐶 = 606,60 𝑁 Resposta R8.4. Came: ζ + Σ𝑀0 = 0; ₅ − ₀, ₄ 𝑁𝑞(0,06) − 0,01(𝑁𝐵) = 0 𝑁𝐵 = 147,06 𝑁 Seguídor: + Σ𝐹𝑦 = 0; 147,06 − 𝑃 = 0 𝑃 = 147 𝑁 Resposta R8.5. Suponha que todos os blocos deslizem ao mesmo tempo Σ𝐹𝑥 = 0; 𝑃 − 0,3[300(9,81) + 75(9,81) + 250(9,81)] = 0 𝑃 = 3065,63 𝑁 Suponha que o bloco 𝐵 desliza para cima e o bloco 𝐴 não se mova. Bloco A: (1) ζ 𝐹𝑥 = 0; 𝐹𝐴 − 𝑁𝐶 = 0 + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝐴 + 0,3𝑁𝐵𝐸 = 300(9,81) = 0 Bloco B: (3) ζ Σ𝐹𝑥 = 0; 𝑁𝑖 𝑁𝑞 𝑠𝑒𝑛 45° − 0,3 𝑁𝑞 𝑐𝑜𝑠 45° = 0 + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝑖 𝑣𝑐𝑠𝑒𝑛 45° − 0,3 𝑁𝑞 v𝑛45° − 𝑖𝐸 𝑁𝐵 = 𝑁𝐶 Bloco C: + Σ𝐹𝑥 = 0; 𝑁𝑖 45° + 0,3 𝑁𝑖 45° + 0,5 𝑁𝑪 − 𝑃 = 0 + Σ𝐹𝑦 = 0; 𝑁𝑪 + 0,3𝑁𝑖 45° − 𝑁𝐶 45° = 0 Resolvendo, 𝑁𝑖 = 3356,48 𝑁 𝑁𝑖 3085,40 𝑁 𝐹𝐷 = 3085,40 𝑁 𝑁𝐴 = 2017,38 𝑁 𝑁𝐶 = 4113,87 𝑃 = 5142,34 𝑁 Como 𝐹𝐷 > 𝜇 𝑠 N 4 = 0,5 (2017,38) = 1008,69 N, o bloco A desliza (Não é bom) Escolha o 𝑃 menor. Então, 𝑃 = 3065,63 𝑁 = 3,07 𝑘𝑁 Resposta Soluções de problemas de revisão 573 R8.6. a = tg -1a250 625 b = 21,80 + MA = 0; (FBD cos 21,80 )(0,25) + (FBD sen 21,80 ) (0,5) - [3(103)](9,81)(0,875) = 0 FBD = 61,63(103) N fs = tg -1 (0,4) = 21,80 u = tg -1 a 5 2p(6,25)b = 7,256 M = Wr tg (u + f) M = 61,63(103)[6,25(10-3)] tg (7,256 + 21,80 ) M = 214,03 N # m = 214 N # m Resposta R8.7. Bloco: + c Fy = 0; N - 50(9,81) = 0 N = 490,5 N S + Fx = 0; T1 - 0,4(490,5) = 0 T1 = 196,2 N T2 = T1emb; T2 = 196,2e0.4 (p 2) = 367,77 N Sistema: + MA = 0; -50(9,81)(d) - 196,2(0,3) - 25(9,81)(1,5) + 367,77(3) = 0 d = 1,379 m = 1,38 m Resposta R8.8. P Wa r = 500(9,81)a 2 40b P = 245 N Resposta Capítulo 9 R9.1. Usando um elemento de espessura dx, x = LA xdA LA dA = L b a xac2 x dxb c2 ln b a = L b a c2 dx c2 ln b a = c2 x ` b a c2 ln b a = b - a ln b a Resposta R9.2. Usando um elemento de espessura dx, y = LA y dA LA dA = L b a a c2 2xb ac2 x dxb c2 ln b a = L b a c4 2x2 dx c2 ln b a = - c4 2x ` b a c2 ln b a = c2(b - a) 2ab ln b a Resposta R9.3. z = Lv z dV Lv dV = L a 0 z3p(a2 - z2)dz4 L a 0 p(a2 - z2)dz = paa2z2 2 - z4 4 b 2 a 0 paa2z - z3 3 b 2 a 0 = 3 8 a Resposta R9.4. xL = 0(4) + 2(p)(2) = 4p m2 yL = 0(4) + 2(2) p (p)(2) = 8 m2 zL = 2(4) + 0(p)(2) = 8 m2 L = 4 + p(2) = 10,2832 m x = xL L = 4p 10,2832 = 1,22 m y = yL L = 8 10,2832 = 0,778 m z = zL L = 8 10,2832 = 0,778 m Resposta Resposta Resposta R9.5. Segmento A(mm2) y (mm) yA(mm3) 1 300(25) 112,5 843750 2 100(50) 50 250000 12500 1093750 Assim, y = yA A = 1093750 12500 = 87,5 mm Resposta R9.6. A = urL = 2p3 0,6 (0,05) + 2(0,6375)2 (0,025)2 + (0,075)2 + 0,675 (0,1)4 = 1,25 m2 Resposta R9.7. V = urA = 2p c 2 (0,65) a1 2 (0,025)(0,075)b + 0,6375(0,05)(0,075)d = 0,0227 m3 Resposta R9.8. dF = dV = pbdz = (200z 1 3)(1,5) dz = 300z 1 3 dz F = L 4 m 0 300z 1 3 dz = 300 a3 4z 4 3b 2 4 m 0 = 1428,66 N = 1,43 kN Resposta 574 ESTÁTICA LA z dF = L 4 m 0 z (300z 1 3 dz) = L 4 m 0 300z 4 3 dz = 300 a3 7z 7 3b 2 4 m 0 = 3265,51 N # m z = 1A zdF F = 3265,51 1428,66 = 2,2857 m = 2,29 m Resposta R9.9. pa = 1,0(103)(9,81)(9) = 88290 N>m2 = 88,29 kN>m2 pb = 1,0(103)(9,81)(5) = 49050 N>m2 = 49,05 kN>m2 Assim, wA = 88,29(8) = 706,32 kN>m wB = 49,05(8) = 392,40 kN>m FR1 = 392,4(5) = 1962,0 kN FR2 = 1 2 (706,32 - 392,4) (5) = 784,8 kN + MB = 0; 1962,0(2,5) + 784,8(3,333) - Ay(3) = 0 Ay = 2507 kN = 2,51 MN +S Fx = 0; 784,8a4 5b + 1962a4 5b - Bx = 0 Bx = 2197 kN = 2,20 MN + c Fy = 0; 2507 - 784,8a3 5b - 1962a3 5b - By = 0 By = 859 kN Resposta Resposta Resposta R9.10. A = LA dA = L ydx = L 0 -1 m -4x2dx = -4 3 x3 ` 0 -1 m = -4 3 m2 Fy = rWgV = 1000(9,81)c 4 3 (1) d = 13080 N = 13,08 kN w = rwghb = 1000(9,81)(4)(1) = 39,24(103) N/m = 39,24 kN/m Fx = 1 2 (39,24)(4) = 78,48 kN FN = 2Fx 2 + Fy 2 = 278,482 + 13,082 = 79,56 kN = 79,6 kN Resposta Capítulo 10 R10.1. Ix = LA y2dA = L 2 m 0 y2(4 - x)dy = L 2 m 0 y214 - (32) 1 3y 1 32dy = 1,07 m4 Resposta R10.2. Ix = LA y2dA = L 1 m 0 y2(2x dy) = L 1 m 0 y214(1 - y) 1 2 2 dy = 0,610 m4 Resposta R10.3. Iy = LA x2dA = 2 L 2 m 0 x2(y dx) = 2 L 2 m 0 x2(1 - 0,25 x2)dx = 2,13 m4 Resposta R10.4. dIxy = d Ix2y2 + dAx y = 0 + 1y 1 3 dy2 a1 2 y 1 3b (y) = 1 2 y 5 3 d y Ixy = L d Ixy = L 1 m 0 1 2 y 5 3 dy = 3 16 y 8 3 2 1 m 0 = 0,1875 m4 Resposta R10.5. s h - y = b h, s = b h(h - y) (a) dA = s dy = c b h (h - y)d dy Ix = L y2dA = L h 0 y2c b h(h - y)d dy = bh3 12 (b) Ix = Ix + A d2 bh3 12 = Ix + 1 2 bh ah 3b 2 Ix = bh3 36 Resposta Resposta R10.6. dIxy = dIx2y2 + dA x y = 0 + (y 1 3dy) a1 2 y 1 3b(y) = 1 2 y 5 3 dy Ixy = L dIxy = L 1 m 0 1 2y 5 3d y = 3 16 y 8 3 2 1 m 0 = 0,1875 m4 Resposta R10.7. Iy = c 1 12(d)(d3) + 0d + 4 c 1 36 (0,2887d) ad 2b 3 + 1 2 (0,2887d) ad 2b ad 6b 2 d = 0,0954d 4 Resposta R10.8. d Ix = 1 2 rp y4 dx = 1 2 rpab4 a4 x4 + 4b4 a3 x3 + 6b4 a2 x2 + 4b4 a x + b4bdx Ix = L dIx = 1 2rp L a 0 ab4 a4x4 + 4b4 a3 x3 + 6b4 a2 x2 + 4b4 a x + b4bdx Soluções de problemas de revisão 575 = 31 10 rpab4 m = Lm dm = L a 0 rp y2 dx = rp L a 0 ab2 a2 x2 + 2b2 a x + b2bdx = 7 3 rpab2 Ix = 93 70 mb2 Resposta Capítulo 11 R11.1. x = 2Lcos u dx = -2Lsen u du y = Lsen u dy = Lcos u du dU = 0; -Pdy - Fdx = 0 -PL cos udu - F(-2Lsen u)du = 0 -Pcos u + 2F sen u = 0 F = P 2 tg u Resposta R11.2. yB = 0,25 sen u dyB = 0,25 cos udu yD = 0,125 sen u dyD = 0,125 cos udu xC = 2(0,25 cos u) dxC = -0,5 sen udu dU = 0; -FspdxC - 2WldyD - WbdyB + PdxC = 0 (0,5Fsp sen u - 26,9775 cos u - 0,5P sen u)du = 0 Pela fórmula da mola, Fsp = kx = 350[2(0,25 cos u) - 0,15] = 175 cos u - 52,5 Substituindo, (87,5 sen u cos u - 26,25 sen u - 26,9775 cos u - 0,5P sen u) du = 0 Como du Z 0, então 87,5 sen u cos u - 26,25 sen u - 26,9775 cos u - 0,5P sen u = 0 P = 175 cos u - 53,955 cotg u - 52,5 Na posição de equilíbrio, u = 45º, P = 175 cos 45 - 53,95 cotg 45 - 52,5 = 17,29 N = 17,3 N Resposta R11.3. Usando a lei dos cossenos, 0,42 = x2 A + 0,12 - 2(xA)(0,1)cos u Derivando, 0 = 2xAdxA - 0,2dxA cos u + 0,2xA sen udu dxA = 0,2 xA sen u 0,2 cos u - 2xA du dU = 0; -FdxA - 50du = 0 a 0,2 xA sen u 0,2 cos u - 2xA F - 50bdu = 0 Como du Z 0, então 0,2xA sen u 0,2 cos u - 2xA F - 50 = 0 F = 50(0,2 cos u - 2xA) 0,2xA sen u Na posição de equilíbrio, u = 60º, 0,42 = x2 A + 0,12 - 2(xA)(0,1) cos 60 xA = 0,4405 m F = - 5030,2 cos 60 - 2(0,4405)4 0,2(0,4405) sen 60 = 512 N Resposta R11.4. y = 1,2 sen u dy = 1,2 cos u du Fs = 80(1,2 - 1,2 sen u) = 96(1 - sen u) dU = 0; -Wdy + Fsdy = 0 3-5(9,81) + 96(1 - sen u)4(1,2 cos u du) = 0 cos u = 0 e 46,95 - 96 sen u = 0 u = 90 u = 29,28 = 29,3 Resposta R11.5. xB = 0,1 sen u dxB = 0,1 cos udu xD = 2(0,7 sen u) - 0,1 sen u = 1,3 sen u dxD = 1,3 cos udu yG = 0,35 cos u dyG = -0,35 sen udu dU = 0; 2(-49,05dyG) + Fsp(dxB - dxD) = 0 (34,335 sen u - 1,2Fsp cos u)du = 0 Porém, pela fórmula da mola, Fsp = kx = 40032(0,6 sen u) - 0,34 = 480 sen u - 120. Substituindo, (34,335 sen u - 576 sen u cos u + 144 cos u)du = 0 Como du Z 0, então 34,335 sen u - 576 sen u cos u + 144 cos u = 0 u = 15,5 e u = 85,4 Resposta 576 ESTÁTICA R11.6. Vg = mgy = 40(9,81)(0,45 sen u + b) = 176,58 sen u + 392,4 b Ve = 1 2 (1500)(0,45 cos u)2 = 151,875 cos2 u V = Vg + Ve = 176,58 sen u + 151,875 cos2 u + 392,4 b dV du = 176,58 cos u - 303,75 cos u sen u = 0 cos u(176,58 - 303,75 sen u) = 0 cos u = 0 u = 90 u = 35,54 = 35,5 d2V d2u = -176,58 sen u - 303,75 cos 2u Em u = 90 , d2V d2u ` u-a = -176,58 sen 90 - 303,75 cos 180 = 127,17 7 0 = 127,17 7 0 Estável Em u = 35,54 ,d2V d2u ` u= 35,54 = -176,58 sen 35,54 - 303,75 cos 71,09 = -201,10 6 0 Instável Resposta Resposta Resposta Resposta R11.7. V = Ve + Vg = 1 2 (350) (cos u)2 + 1 2 (700) (3 cos u)2 + 50(9,81)(1,5 sen u) = 3325 cos2 u + 735,75 sen u dV du = -6650 sen u cos u + 735,75 cos u = 735,75 cos u - 3325 sen 2u Considere dV du = 0. Então, cos u (-6650 sen u + 735,75) = 0 cos u = 0 -6650 sen u + 735,75 = 0 u = 90 u = 6,352 = 6,35 d2V du2 = -735,75 sen u - 6650 cos 2u d2V du2 ` u= 90 = -73,75 sen 90 - 6650 cos 180 = 5914,25 7 0 d2V du2 ` u= 6,352 = -735,75 sen 6,352 - 6650 cos 12,704 = -6568,60 6 0 Resposta Resposta Resposta A configuração de equilíbrio em U = 90º é estável, mas em U = 6,35º é instável. Resposta R11.8. V = Ve + Vg = 1 2 (250)[0,8 - 2(0,4) sen u]2 - 10(9,81)[2(0,4) cos u] = 80 sen2 u - 160 sen u - 78,48 cos u + 80 dV du = 160 sen u cos u - 160 cos u + 78,48 sen u = 80 sen 2u - 160 cos u - 78,48 sen u Considere dV du = 0. Então, 80 sen 2u - 160 cos u - 78,48 sen u = 0 Resolvendo por tentativa e erro, u = 38,0406 = 38,0 Resposta d2V du2 = 160 cos 2u + 160 sen u + 78,48 cos u d2V du2 ` u= 38,04 = 198,89 7 0 Assim, a configuração de equilíbrio em U = 38,0º é estável. Resposta Respostas de problemas selecionados Capítulo 1 1.1. a. 0,185 Mg2 b. 4 mg2 c. 0,0122 km3 a. Gg>s b. kN>m c. kN>(kg# s) a. 78,5 N b. 0,392 mN c. 7,46 MN a. 0,431 g b. 35,3 kN c. 5,32 m a. km>s b. mm c. Gs>kg d. mm# N a. 45,3 MN b. 56,8 km c. 5,63 mg a. Gg/m b. kN/s c. mm# kg a. 8,653 s b. 8,368 kN c. 893 g 7,41 mN a. 3,53 Gg b. 34,6 MN c. 5,68 MN d. mm = me = 3,53 Gg a. 0,447 kg# m>N b. 0,911 kg# s c. 18,8 GN>m a. 44,9(10)-3 N2 b. 2,79(103) s2 c. 23,4 s 4,63 kN a. 2,04 g b. 15,3 Mg c. 6,12 Gg a. 70,3 kg b. 113 N c. 70,3 kg F = 10,0 nN, W1 = 78,5 N, W2 = 118 N 1.2. 1.3. 1.5. 1.6. 1.7. 1.9. 1.10. 1.11. 1.13. 1.14. 1.15. 1.17. 1.18. 1.19. 1.21. Capítulo 2 2.1. f = 1,22 (F1)v = 2,93 kN, (F1)u = 2,07 kN (F2)u = 6,00 kN (F2)v = 3,11 kN 2.2. 2.3. 2.5. F = 960 N, u = 45,2 78,6° FR = 3,92 kN 2,83 kN u = 62,0 F1v = 129 N F1u = 183 N F2v = 77,6 N F2u = 150 N Fx = -125 N Fy = 317 N u = 60 FA = 774 N FB = 346 N FR = 10,8 kN, f = 3,16 u = 75,5 f = u 2 FR = 2F cosa u 2b FR = 257 N, f = 163 FA = 3,66 kN FH = 7,07 kN FB = 5,00 kN FA = 8,66 kN u = 60,0 FR = 19,2 N, u = 2,37 FB = 1,61 kN, u = 38,3 FR = 4,01 kN, f = 16,2 u = 90 , FB = 1 kN, FR = 1,73 kN u = 54,3 , FA = 686 N FR = 1,23 kN, u = 6,08 u = 36,9 u = 920 N FR = 1,96 kN, u = 4,12 F1 = 5200i + 346j6 N, F2 = 5177i - 177j6 N FR = 413 N, u = 24,2 FR = 983 N, u = 21,8 FR = 97,8 N u = 46,5 2.6. 2.7. 2.9. 2.10. 2.11. 2.13. 2.14. 2.15. 2.17. 2.18. 2.19. 2.21. 2.22. 2.23. 2.25. 2.26. 2.27. 2.29. 2.30. 2.31. 2.33. 2.34. 2.35. 2.37. 2.38. 2.39. F1 = { 680i - 510j} N, F2 = { -312i - 541j} N, F3 = { -530i + 530j} N FR = 2F1 2 + F2 2 + 2F1F2 cos f, u = tg -1a F1 sen f F2 + F1 cos f b FR = 12,5 kN, u = 64,1 F1x = 141 N, F1y = 141 N, F2x = -130 N, F2y = 75 N F1 = { 30i + 40j} N, F2 = { -20,7i - 77,3j} N, F3 = { 30i} , FR = 54,2 N, u = 43,5 1F12x = 6,40 kN S 1F12y = 4,80 kN T 2.41. 2.42. 2.43. 2.45. 2.46. 578 ESTÁTICA 2.47. 1F22x = 3,60 kN S 1F22y = 4,80 kN c 1F32x = 4 kN d 1F32y = 0 1F42x = 6 kN d 1F42y = 0 F1 = { 9,64i + 11,5j} kN F2 = { 24i + 10j} kN, F3 = { 31,2i - - 18j} kN FR = 389 N, f = 42,7 u = 21,3 F1 = 869 N u = 68,6 , FB = 960 N u = 86,0 , F = 1,97 kN FR = 11,1 kN, u = 47,7 f = 10,9 F1 = 474 N F = 2,03 kN, FR = 7,87 kN F1 = { -15,0i - 26,0j} kN, F2 = { -10,0i + 24,0j} kN FR = 25,1 kN, u = 185 F1 = { -159,10i + 275,57j + 318,20k} N F2 = { 424i + 300j - 300k} N FR = 634 N a = 65,3 b = 24,8 g = 88,4 a = 48,4 , b = 124 , g = 60 , F = 8,08 kN Fx = 40 N, Fy = 40 N, Fz = 56,6 N F3 = 9,6 kN a3 = 15,5 b3 = 98,4 g3 = 77,0 FR = 430 N, a = 28,9 , b = 67,3 , g = 107 FR = 384 N, cos a = 14,8 , cos b = 88,9 , cos g = 105 F3 = 250 N a = 87,0 b = 142,9 g = 53,1 2.49. 2.50. 2.51. 2.53. 2.54. 2.55. 2.57. 2.58. 2.59. 2.61. 2.62. 2.63. 2.65. 2.66. 2.67. 2.69. 2.70. F1 = { -106i + 106j + 260k} N, F2 = { 250i + 354j - 250k} N, FR = { 144i + 460j + 9,81k} N, FR = 482 N, a = 72,6 , b = 17,4 , g = 88,8 a1 = 111 , b1 = 69,3 , g1 = 30,0 a = 46,1 b = 114 g = 53,1 FR = 799 N a = 58,7 b = 84,4 g = 32,0 F1 = { 72,0i + 54,0k} N, F2 = { 53,0i + 53,0j + 130k} N, F3 = { 200k} F1 = { 225j + 268k} N F2 = { 70,7i + 50,0j - 50,0k} N F3 = { 125i - 177j + 125k} N FR = 407 N a = 61,3 b = 76,0 g = 32,5 a1 = 45,6 2.71. 2.73. 2.74. 2.75. 2.77. 2.78. 2.79. b1 = 53,1 g1 = 66,4 a1 = 90 b1 = 53,1 g1 = 66,4 FR = 733 N ux = 53,5 uy = 65,3 uz = 133 F3 = 166 N a = 97,5 b = 63,7 g = 27,5 aF1 = 36,9 bF1 = 90,0 gF1 = 53,1 aR = 69,3 bR = 52,2 gR = 45,0 F = 2,02 kN, Fy = 0,523 kN rAD = 1,50 m rBD = 1,50 m rCD = 1,73 m rAB = 397 mm a = 129 b = 90 g = 38,7 FA = { 285j - 93,0k} N FC = { 159i + 183j - 59,7k} N FR = 1,17 kN, a = 66,9 , b = 92,0 , g = 157 2.81. 2.82. 2.83. 2.85. 2.86. 2.87. 2.89. 2.90. 2.91. 2.93. FAB = { 97,3i - 129j - 191k} N FAC = { 221i - 27,7j - 332k} N FR = 620 N cos a = 59,1 cos b = 80,6 cos g = 147 z = 6,63 m x = y = 4,42 m FA = { -1,46i + 5,82k} kN FC = { 0,857i + 0,857j + 4,85k} kN FB = { 0,970i - 1,68j + 7,76k} kN FR = 18,5 kN a = 88,8 b = 92,6 g = 2,81 x = 3,82 m, y = 2,12 m, z = 1,88 m FC = { -324i - 130j + 195k} N FB = { -324i - 130j + 195k} N FE = { -194i + 291k} N FR = 1,50 kN a = 77,6 b = 90,6 g = 168 FA = { -43,5i + 174j - 174k} N FB = { 53,2i - 79,8j - 146k} N FR = 316 N a = 60,1 b = 74,6 g = 146 Z = 2,20 m X = 1,25 m FR = 3,59 kN 2.94. 2.95. 2.97. 2.98. 2.99. 2.101. 2.102. 2.103. 2.105. Respostas de problemas selecionados 579 2.107. u = 53,5 FAB = 621 N u = 74,2 rBC = 5,39 m ƒr1 # u2ƒ = 2,99 m, ƒr2 # u1ƒ = 1,99 m (FED) = 334 N, (FED)# = 498 N u = 36,4 (F1)AC = 56,3 N u = 19,2 FBA = 187 N FCA = 162 N 1FAC2z = 2,846 kN F} = 99,1 N F# = 592 N F} = 82,4 N F# = 592 N u = 31,0 u = 74,4 , f = 55,4 u = 142 2.109. 2.110. 2.111. 2.113. 2.114. 2.115. 2.117. 2.118. 2.119. 2.121. 2.122. 2.123. 2.125. 2.126. 2.127. 2.129. u = 52,4 f = 68,2 F1AO = 18,5 N F2AO = 21,3 N Fu = 246 N 1F12F2 = 50,6 N u = 97,3 u = 23,4 FOA = 242 N u = 70,5 f = 65,8 2.130. 2.131. 2.133. 2.134. 2.135. 2.137. 2.138. 2.139. Capítulo 3 3.1. u = 82,2 , F = 3,96 kN F2 = 9,60 kN, F1 = 1,83 kN u = 4,69 , F1 = 4,31 kN T = 7,66 kN, u = 70,1 NC = 163 N NB = 105 N FCA = 80,0 N FCB = 90,4 N TBC = 39,24 kN TBA = 67,97 N TCD = 39,24 N F = 39,24 N TBC = 22,3 kN TBD = 32,6 kN TA = 52,92 mN, TB = 34,64 mN, u = 19,11 , M = 4,08 gm m = 8,56 kg m = 2,37 kg u = 15,0 FAB = 98,1 N F = 158 N d = 1,56 m FBD = 440 N, FAB = 622 N, FBC = 228 N k = 176 N>m l0 = 2,03 m 1 kT = 1 k1 + 1 k2 3.2. 3.3. 3.5. 3.6. 3.7. 3.9. 3.10. 3.11. 3.13. 3.14. 3.15. 3.17. 3.18. 3.19. 3.21. 3.22. 3.23. 3.25. x = 1,38 m T = 687 N FBC = 2,99 kN, FAB = 3,78 kN FBA = 3,92 kN FBC = 3,40 kN s = 3,38 m, F = 76,0 N s = 3,97 m x = 2,10 m FDE = 392 N, FCD = 340 N, FCB = 275 N, FCA = 243 N mD = 11,9 kg 3.26. 3.27. 3.29. 3.30. 3.31. 3.33. 3.34. THA = 294 N, TAB = 340 N, TAE = 170 N, TBD = 490 N, TBC = 562 N m = 26,7 kg y = 2 m, F1 = 833 N FAB = 239 N, FAC = 243 N y = 6,59 m d = 2,42 m F = { 73,6 sec u} N FAD = 763 N, FAC = 392 N, FAB = 523 N FAD = 2,94 kN FAB = 1,96 kN m = 102 kg FAB = 219 N, FAC = FAD = 54,8 N W = 138 N FAC = 203 N FAB = 251 N FAD = 427 N F = 843 N sOB = 327 mm, sOA = 218 mm FAB = FAC = FAD = 426 N z = 173 mm FAD = FAC = 104 N FAB = 220 N W = 55,8 N FAB = 1,21 kN, FAC = 606 N, FAD = 750 N FAB = 441 N, FAC = 515 N, FAD = 221 N FAB = 348 N, FAC = 413 N, FAD = 174 N FAD = 1,56 kN, FBD = 521 N, FCD = 1,28 kN FAB = 7,337, FAC = 4,568 kN, FAD = 7,098 kN m = 2,62 Mg x = 0,190 m, y = 0,0123 m 3.35. 3.37. 3.38. 3.39. 3.41. 3.42. 3.43. 3.45. 3.46. 3.47. 3.49. 3.50. 3.51. 3.53. 3.54. 3.55. 3.57. 3.58. 3.59. 3.61. 3.62. 3.63. 3.65. 3.66. 3.67. Capítulo 4 4.5. + MP = 3,15 kN# m (Sentido anti-horário) + MA = {1,18 cos u(7,5 + x)} kN# m (Sentido horário) 4.6. O momento máximo em A ocorre quando u = 0º e x = 5m. 4.7. +(MA)máx = 14,7 kN# m (Sentido horário) (MO)máx = 48,0 kN# m , x = 9,81 m MB = { -3,36k} N# m, a = 90 , b = 90 , g = 180 MO = { 0,5i + 0,866j - 3,36k} N# m, a = 81,8 , b = 75,7 , g = 163 + 1MF12A = -433 N# m = 433 N# m (Sentido horário) + 1MF22A = -1299 N# m = 1,30 kN# m (Sentido horário) + 1MF32A = -800 N# m = 800 kN# m (Sentido horário) d = 402 mm F = 239 N # 4.9. 4.10. 4.11. 4.13. 4.14. 580 ESTÁTICA 4.15. 239 N 1MR2A = 2,08 kN # m (Sentido anti-horário) m = a l d + lb M 4.17. 4.18. a. + MA = 73,9 N# m b. FC = 82,2 N umáx = 37,9 , MAmáx = 79,812 N# m umín = 128 , MAmín = 0 N# m MP = { -60i - 26j - 32k} kN# m F = 77,6 N u = 28,6 F = 618 N r = 13,3 mm (MR)A = (MR)B = 76,0 kN# m Mo = { -720i + 120j - 660k} N# m MP = { -24i + 24j + 8k} kN# m Mo = { -128i + 128j - 257k} N# m MO = 4,27 N# m, a = 95,2 , b = 110 , g = 20,6 a = 55,6 b = 45 g = 11,5 Ou a = 124 b = 135 g = 64,9 MO = { 163i - 346j - 360k} N# m MO = rOA * FC = { 1080i + 720j} N# m Ou MO = rOC * FC = { 1080i + 720j} N# m MO = { -720i + 720j} N# m MA = { -110i + 70j - 20k} N# m MA = { 574i + 350j + 1385k} N# m F = 585 N MA = {-5,39i + 13,1j + 11,4k} N# m y = 2 m, z = 1 m y = 1 m, z = 3 m, d = 1,15 m MA = { -16,0i - 32,1k} N# m MB = { 1,00i + 0,750j - 1,56k} kN# m MO = { 373i - 99,9j + 173k} N# m umáx = 90 , umín = 0, 180 MBC = 165 N# m MCA = 226 N# m MAC = { 11,5i + 8,64j} kN# m F = 20,2 N Mx = 21,7 # m F = 139 Sim, sim Mx = 73,0 N# m F = 771 N FB = 192 N FA = 236 N Ma = 4,37 N# m, a = 33,7 , b = 90 , g = 56,3 , M = 5,41 N# m R = 28,9 N F = 75 N, P = 100 N 4.19. 4.21. 4.22. 4.23. 4.25. 4.26. 4.27. 4.29. 4.30. 4.31. 4.33. 4.34. 4.35. 4.37. 4.38. 4.39. 4.41. 4.42. 4.43. 4.45. 4.46. 4.47. 4.49. 4.50. 4.51. 4.53. 4.54. 4.55. 4.57. 4.58. 4.59. 4.61. 4.62. 4.63. 4.65. 4.66. 4.67. 4.69. 4.70. a. 1MC2R = 5,20 kN# m (Sentido horário) b. 1Mc2R = 5,20 kN# m (Sentido horário) F = 14,2 kN u = 56,1 P = 49,5 N P = 830 N MC = 22,5 N# m 4.71. 4.73. 4.75. 4.77. 4.78. 4.79. F = 83,3 N MC = 40,8 N# m F = 98,1 N MR = { -12,1i - 10,0j - 17,3k} N# m MC = 45,1 N# m F = 832 N MC = 40,8 N# m a = 11,3 b = 101 g = 90 MR = 59,9 N# m a = 99,0 b = 106 g = 18,3 M2 = 424 N# m, M3 = 300 N# m M = 18,3 N# m a = 155 b = 115 g = 90 F = 15,4 N MC = { -2i + 20j + 17k} kN# m, MC = 26,3 kN# m (MC)R = 71,9 # m, a = 44,2 , b = 131 , g = 103 FR = 365 N, u = 70,8 , (MR)O = 2364 N# m (Sentido anti-horário) FR = 365 N, u = 70,8 , (MR)P = 2799 N# m (Sentido anti-horário) FR = 1,30 kN, u = 86,7 , (MR)A = 1,02 kN# m (Sentido anti-horário) FR = 8,27 kN u = 69,9 1MR2A = 9,77 kN# m (Sentido horário) FR = 938 N, u = 35,9 , (MR)A = 680 N# m (Sentido anti-horário) FR = 5,93 kN, u = 77,8 , MRA = 34,8 kN# m (Sentido horário) FR = 294 N, u = 40,1 , MRO = 39,6 N# m MRO = { 0,650i + 19,75j - 9,05k} kN# m FR = 5270k6 N, MRO = 5-2,22i6 N# m FR = {-6i + 5j - 5k} kN (MR)O = {2,5i - 7j} kN # m FR = {44,5i + 53,1j + 40k} N MRA = {-5,39i + 13,1j + 11,4k} N # m 4.81. 4.82. 4.83. 4.85. 4.86. 4.87. 4.89. 4.90. 4.91. 4.93. 4.94. 4.95. 4.97. 4.98. 4.99. 4.101. 4.102. 4.103. 4.105. 4.106. 4.107. 4.109. 4.110. 4.111. FR = {-40j - 40k} N MRA = {-12j + 12k} N # m F = 1302 N u = 84,5 x = 8,51 m F = 1302 N u = 84,5 x = 2,52 m (para a direita) F = 4,427 kN, u = 71,565 , d = 3,524 m FR = 542 N, u = 10,6 , d = 0,827 m FR = 542 N, u = 10,6 , d = 2,17 m FR = 356 N, u = 51,8 , d = b = 3,32 m F = 1302 N, u = 84,5 , x = 7,36 m F = 1302 N, u = 84,5 , x = 1,36 m (para a direita) FR = 1000 N, u = 53,1 , d = 2,17 m FR = 991 N y = 1,78 m 4.113. 4.114. 4.115. 4.117. 4.118. 4.119. 4.121. 4.122. 4.123. 4.125. Respostas de problemas selecionados 581 4.126. FR = 991 N u = 63,0 x = 2,64 m FR = 5141i + 100j + 159k6 N, MRO = 5122i - 183k6 N# m FC = 600 N, FD = 500 N FR = 26 kN, y = 82,7 mm, x = 3,85 mm FA = 18,0 kN FB = 16,7 kN FR = 48,7 kN FA = 30 kN, FB = 20 kN, FR = 190 kN FR = 35 kN, y = 11,3 m, x = 11,5 m F1 = 27,6 kN, F2 = 24,0 kN FR = 539 N, MR = 1,45 kN# m, x = 1,21 m, y = 3,59 m FR = 12,5 kN, d = 1,54 m FR = 15,4 kN, (MR)O = 18,5 kN# m (Sentido horário) FR = 21,0 kN d = 3,43 m FR = 6,75 kN, x = 2,5 m FR = 0,525 kN c d = 0,171 m FR = 27,0 kN, (MR)A = 81,0 kN# m (Sentido horário) FR = 3,460 kN MRA = 3,96 kN# m FR = 15,0 kN, d = 3,40 m FR = 12,0 kN, u = 48,4 , d = 3,28 m FR = 12,0 kN, u = 48,4 , d = 3,69 m w2 = 17,2 kN>m, w1 = 30,3 kN>m FR = 1,80 kN 1MR2A = 4,20 kN# m (Sentido horário) FR = 1,80 kN, d = 2,33 m 4.127. 4.129. 4.130. 4.131. 4.133. 4.134. 4.135. 4.137. 4.138. 4.139. 4.141. 4.142. 4.143. 4.145. 4.146. 4.147. 4.149. 4.150. 4.151. 4.153. 4.154. 4.155. FR = 51,0 kN T, MRO = 914 kN# m (Sentido horário) FR = 6,75 kN, (MR)O = 4,05 kN# m (Sentido anti-horário) FR = 14,9 kN x = 2,27 m FR = 2Lw0 p , (MR)O = a2p - 4 p2 bw0L2 (Sentido horário) FR = 2w0L p T x = 2L p FR = 107 kN, h = 1,60 m 4.157. 4.158. 4.159. 4.161. 4.162. Capítulo 5 5.10. Ay = 5,00 kN, NB = 9,00 kN, Ax = 5,00 kN NB = 3,46 kN, Ax = 1,73 kN, Ay = 1,00 kN Ax = 3,46 kN, Ay = 8 kN, MA = 20,2 kN# m NA = 2,175 kN, By = 1,875 kN, Bx = 0 NA = 3,33 kN, Bx = 2,40 kN, By = 133 N TBC = 113 N u = cos-1aL + 2L2 + 12r2 16r b Ax = 0, By = P, MA = PL 2 FBD = 628 N Cx = 432 N Cy = 68,2 N 5.11. 5.13. 5.14. 5.15. 5.17. 5.18. 5.19. 5.21. 5.22. NA = 3,71 kN, Bx = 1,86 kN, By = 8,78 kN w = 2,67 kN>m NA = 39,7 N, NB = 82,5 N, MA = 10,6 N# m u = 70,3 , N= A = (29,4 - 31,3 sen u) kN, N= B = (73,6 + 31,3 sen u) kN NB = 98,1 N, Ax = 85,0 N, Ay = 147 N P = 272 N Pmin = 271 N FB = 86,6 N, Bx = 43,3 N, By = 110 N Ax = 25,4 kN, By = 22,8 kN, Bx = 25,4 kN F = 14,0 kN T = 5 kN TBC = 16,4 kN FA = Fx = 20,6 kN FCB = 782 N, Ax = 625 N, Ay = 681 N F2 = 724 N, F1 = 1,45 kN, FA = 1,75 kN F = 311 kN, Ax = 460 kN, Ay = 7,85 kN k = 116 N/m NC = 213 N Ax = 105 N Ay = 118 N F = 282 N, Ax = 149 N, Ay = 167 N P = 660 N, NA = 442 N, u = 48,0 5.23. 5.25. 5.26. 5.27. 5.29. 5.30. 5.31. 5.33. 5.34. 5.35. 5.37. 5.38. 5.39. 5.41. 5.42. 5.43. 5.45. 5.46. d = 3a 4 FBC = 80 kN, Ax = 54 kN, Ay = 16 kN FC = 10 mN k = 250 N>m FB = 6,38 N Ax = 3,19 N Ay = 2,48 N a = 10,4 WB = 314 N u = tg -1a1 2 cotg c - 1 2 cotg fb h = 0,645 m NA = 346 N, NB = 693 N, a = 0,650 m d = a cos3 u w1 = 2P L , w2 = 4P L TC = 14,8 kN, TB = 16,5 kN, TA = 7,27 kN TBC = 43,9 N, NB = 58,9 N, Ax = 58,9 N, Ay = 39,2 N, Az = 177 N NC = 289 N NA = 213 N NB = 332 N Ax = 8,00 kN Ay = 0 Az = 24,4 kN My = 20,0 kN# m Mx = 572 kN# m Mz = 64,0 kN# m Ax = 400 N Ay = 500 N Az = 600 N 1MA2x = 1,225 kN# m 1MA2y = 750 kN# m 1MA2z = 0 T = 1,84 kN F = 6,18 kN 5.47. 5.49. 5.50. 5.51. 5.53. 5.54. 5.55. 5.57. 5.58. 5.59. 5.61. 5.62. 5.63. 5.65. 5.66. 5.67. 5.69. 582 ESTÁTICA 5.70. Ax = 300 N, Ay = 500 N, NB = 400 N, (MA)x = 1,00 kN# m, (MA)y = 200 N# m, (MA)z = 1,50 kN# m TBC = 1,40 kN, Ay = 800 N, Ax = 1,20 kN, (MA)x = 600 N# m, (MA)y = 1,20 kN# m, (MA)z = 2,40 kN# m TBA = 2,00 kN, TBC = 1,35 kN, Dx = 0,327 kN, Dy = 1,31 kN, Dz = 4,58 kN Cy = 800 N, Bz = 107 N, By = 600 N, Cx = 53,6 N, Ax = 400 N, Az = 800 N FDC = FDB = 4,31 kN Ax = 3,20 kN Ay = 0 Az = -4 kN 5.71. 5.73. 5.74. 5.75. 5.77. FCB = 1,37 kN 1MA2x = 785 N# m 1MA2z = 589 N# m Ax = 1,18 kN Ay = 589 N Az = 0 FAC = 6,13 kN, FBC = 6,13 kN, FDE = 19,62 kN FBC = 4,09 kN Cy = 450 N, Cz = 250 N, Bz = 1,125 kN, Az = 125 N, Bx = 25 N, Ax = 475 N T = 58,0 N Cz = 77,6 N Cy = 24,9 N Dy = 68,5 N Dz = 32,1 N TBD = 116,7 N, TCD = 116,7 N, Ax = 66,7 N, Ay = 0, Az = 100 FBD = 294 N, FBC = 589 N, Ax = 0, Ay = 589 N Az = 490,5 N 5.78. 5.79. 5.81. 5.82. 5.83. 5.85. Capítulo 6 6.1. Nó D, FDC = 400 N (C) FDA = 300 N (C) Nó B, FBA = 250 N (T) FBC = 200 N (T) Nó C, FCA = 283 N (C) FCB = 0, FCD = 20,0 kN (C), FDB = 33,3 kN (T), FDA = 36,7 kN (C) FCB = 0, FCD = 45,0 kN (C), FDB = 75,0 kN (T), FDA = 90,0 kN (C) FCD = 5,21 kN (C), FCB = 2,36 kN (T), FAD = 1,46 kN (C), FAB = 2,36 kN (T), FBD = 4 kN (T) Nó A, FAD = 84,9 kN FAB = 60 kN (T) Nó B, FBD = 40 kN (C) FBC = 60 kN (T) Nó D, FDC = 141 kN (T) FDE = 160 kN (C) 6.2. 6.3. 6.5. 6.6. 6.7. FDE = 16,3 kN (C), FDC = 8,40 kN (T), FEA = 8,85 kN (C), FEC = 6,20 kN (C), FCF = 8,77 kN (T), FCB = 2,20 kN (T), FBA = 3,11 kN (T), FBF = 6,20 kN (C), FFA = 6,20 kN (T) 6.9. P = 5,20 kN Nó D: FCD = 0,577 P (C) FDB = 0,289 P (T) Nó C: FCE = 0,577 P (T) FBC = 0,577 P (C) Devido à simetria: FBE = FCE = 0,577 P (T) FAB = FCD = 0,577 P (C) FAE = FDE = 0,577 P (T) Nó D: FCD = 2,89 W (C) FDE = 1,44 W (T) Nó C: FCE = 1,15 W (T) FBC = 2,02 W (C) Devido à simetria: FBE = FCE = 1,15 W (T) FAB = FCD = 2,89 W (C) FAE = FDE = 1,44 W (T) FAE = 9,90 kN (C), FAB = 7,00 kN (T), FDE = 11,3 kN (C), FDC = 8,00 kN (T), FBE = 6 32 kN (T), FBC = 5,00 kN (T), FCE = 9 49 kN (T) FDE = 1,00 kN (C) FDC = 800 N (T) FCE = 900 N (C) FCB = 800 N (T) FEB = 750 N (T) FEA = 1,75 kN (C) FCB = FCD = 0 Nó A, FAB = 2,40P (C) FAF = 2,00P (T) Nó B, FBF = 1,86P (T) FBD = 0,373P (C) Nó F, FFE = 1,86P (T) FFD = 0,333P (T) Nó D, FDE = 0,373P (C) FJD = 33,3 kN (T), FAL = FGH = FLK = FHI = 28,3 kN (C), FAB = FGF = FBC = FFE = FCD = FED = 20 kN (T), FBL = FFH = FLC = FHE = 0, FCK = FEI = 10 kN (T), FKJ = FIJ = 23,6 kN (C), FKD = FID = 7,45 kN (C) 6.10. 6.11. 6.13. 6.14. 6.15. 6.17. 6.18. FCE = 16,9 kN (C) FCB = 10,1 kN (T) FBA = 10,1 kN (T) FBE = 15,0 kN (T) FAE = 1,875 kN (C) FFE = 9,00 kN (C) Respostas de problemas selecionados 583 6.19. FDE = FDC = FFA = 0, FCE = 34,4 kN (C), FCB = 20,6 kN (T), FBA = 20,6 kN (T), FBE = 15,0 kN (T), FFE = 30,0 kN (C), FEA = 15,6 kN (T) FDE = 13,4 kN (T), FDC = 6,00 kN (C), FCB = 6,00 kN (C), FCE = 0, FEB = 17,0 kN (C), FEF = 18,0 kN (T), FBA = 18,0 kN (C), FBF = 20,0 kN (T), FFA = 22,4 kN (C), FFG = 28,0 kN (T) FFE = 0,667P (T), FFD = 1,67P (T), FAB = 0,471P (C), FAE = 1,67P (T), FAC = 1,49P (C), FBF = 1,41P (T), FBD = 1,49P (C), FEC = 1,41P (T), FCD = 0,471P (C) FEC = 1,20P (T), FED = 0, FAB = FAD = 0,373P (C), FDC = 0,373P (C), FDB = 0,333P (T), FBC = 0,373P (C) FCB = 2,31 kN (C), FCD = 1,15 kN (C), FDB = 4,00 kN (T), FDA = 4,62 kN (C), FAB = 2,31 kN (C) Pmáx = 1,30 kN FBC = 18,0 kN (T), FFE = 15,0 kN (C), FEB = 5,00 kN (C) FEF = 15,0 kN (C), FBC = 12,0 kN (T), FBE = 4,24 kN (T) FBC = 10,4 kN (C), FHG = 9,16 kN (T), FHC = 2,24 kN (T) FCD = 11,2 kN (C) FCF = 3,21 kN (T) FCG = 6,80 kN (C) FAF = 21,3 kN (T) FBC = 5,33 kN (C) FBF = 20,0 kN (C) FCD = 5,625 kN (T) FCM = 2,00 kN (T) FEF = 7,88 kN (T) FLK = 9,25 kN (C) FED = 1,94 kN (T) FGH = 12,5 kN (C), FBG = 6,01 kN (T), FBC = 6,67 kN (T) FKJ = 3,07 kN (T) FCD = 3,07 kN (T) FND = 0,167 kN (T), FNJ = 0,167 kN (C) FJI = 2,13 kN (C) FDE = 2,13 kN (T) 6.21. 6.22. 6.23. 6.25. 6.26. 6.27. 6.29. 6.30. 6.31. 6.33. 6.34. 6.35. 6.37. 6.38. 6.39. 6.41. FGH = 76,7 kN (T) FED = 100 kN (C) FEH = 29,2 kN (T) FJK = 11,1 kN (C) FCD = 12 kN (T) FCJ = 1,60 kN (T) FEF = 12,9 kN (T), FFI = 7,21 kN (T), FHI = 21,1 kN (C) FCD = 18,0 kN (T), FCJ = 10,8 kN (T), FKJ = 26,8 kN (T) FBE = 21,2 kN (T) FCB = 5 kN (T) FEF = 25 kN (C) FBF = 0, FBG = 35,4 kN (C), FAB = 45 kN (T) FGJ = 17,6 kN (C), FCJ = 8,11 kN (C), FCD = 21,4 kN (T), FCG = 7,50 kN (T) 6.42. 6.43. 6.45. 6.46. 6.47. 6.49. 6.50. FAE = FAC = 220 N(T) FAB = 583 N (C) FBD = 707 N (C) FBE = FBC = 141,4 N (T) FGC = 4,47 kN (T) FGD = 4,47 kN(C) FGE = 6,00 kN (C) FED = 9,00 kN (T) FEA = 6,71 kN (C) FEB = 0 FDB = 474N (C), FDC = 146 N (T) FDA = 1,08 kN (T), FAB = 385 N (C) FAC = 231 N (C), Az = 925 N, FCB = 281 N(T) FAB = 6,46 kN (T), FAC = FAD = 1,50 kN (C), FBC = FBD = 3,70 kN (C), FBE = 4,80 kN (T) FCE = 721 N (T), FBC = 400 N (C) FBE = 0, FBF = 2,10 kN (T) FDF = 5,31 kN (C), FEF = 2,00 kN (T), FAF = 0,691 kN (T) FDB = 25,0 kN (C) FDC = 15,0 kN (T) FDE = 12,0 kN (C) FCE = 33,5 kN (C) FCF = 30,0 kN (T) FBE = 39,1 kN (T) FBF = 0 FBA = 30,0 kN (C) FAE = 0 FAF = 0 FFE = 0 FAD = 686 N (T), FBD = 0, FCD = 615 N (C), FBC = 229 N (T), FAC = 343 N (T), FEC = 457 N (C) 2P + 2R + 2T - 50(9,81) = 0, P = 18,9 N P = 40,0 N x = 240 mm 6.51. 6.53. 6.54. 6.55. 6.57. 6.58. 6.59. 6.61. 6.62. 6.63. P = 368 N NE = 18,0 kN NC = 4,50 kN Ax = 0 Ay = 7,50 kN MA = 22,5 kN# m NE = 3,60 kN NB = 900 kN Ax = 0 Ay = 2,70 kN MA = 8,10 kN# m FC = 572 N FA = 572 N FB = 478 N P = 743 N Cy = 184 N, Cx = 490,5 N, Bx = 1,23 kN, By = 920 kN P = 2,24 kN Bx = 4,00 kN, By = 5,33 kN, Ax = 4,00 kN, Ay = 5,33 kN Ax = 0 Ay = 2,025 kN Bx = 1,80 kN By = 2,025 kN F = 562,5 N 6.65. 6.66. 6.67. 6.69. 6.70. 6.71. 6.73. 6.74. 6.75. 584 ESTÁTICA 6.77. W1 = b a W FE = 3,64 F FFB = 1,94 kN, FBD = 2,60 kN FFD = 20,1 kN, FBD = 25,5 kN, Cx = 18,0 kN, Cy = 12,0 kN Ax = 294 N Ay = 196 N NC = 147 N NE = 343 N FA = 130 N FC = 19,6 kN M = 2,43 kN# m F = 5,07 kN P(u) = 250 22,252 - cos2 u sen u cos u + 22,252 - cos2 u # cos u FF = 16,8 kN F = 6,93 kN FN = 26,25 N NB = NC = 49,5 N Cx = 650 N, Cy = 0 FEF = 8,18 kN (T), FAD = 158 kN (C) T = 9,60 N a. F = 875 N, NC = 1750 N b. F = 437,5 N, NC = 437,5 N a. F = 1025 N, NC = 1900 N b. F = 512,5 N, NC = 362,5 N 6.78. 6.79. 6.81. 6.82. 6.83. 6.85. 6.86. 6.87. 6.89. 6.90. 6.91. 6.92. 6.93. 6.94. 6.95. 6.97. 6.98. 6.99. 6.101. Ey = 1,00 kN, Ex = 3,00 kN, Bx = 2,50 kN, By = 1,00 kN, Ax = 2,50 kN, Ay = 500 N F = 370 N NA = 284 N mL = 106 kg FAB = 9,23 kN, Cx = 2,17 kN, Cy = 7,01 kN Dx = 0, Dy = 1,96 kN, MD = 2,66 kN# m P = 198 N u = 23,7 m = 26,0 kg m = 366 kg FA = 2,93 kN Cy = 1,52 kN By = 23,5 kN Ay = 3,09 kN Bx = 3,5 kN NA = 11,1 kN (Ambas as rodas) FCD = 6,47 kN FE = 5,88 kN FS = 286 N Az = 0 Ax = 172 N Ay = 115 N Cx = 47,3 N Cy = 61,9 N Cz = 125 N MCy = -429 N# m MCz = 0 P = 283 N, Bx = Dx = 42,5 N, By = Dy = 283 N, Bz = Dz = 283 N 6.102. 6.103. 6.105. 6.106. 6.107. 6.109. 6.110. 6.111. 6.113. 6.114. 6.115. 6.117. 6.118. Capítulo 7 7.1. NC = 0 VC = 3w0L 8 MC = - 5 48 w0L2 NC = -11,908 kN VC = -0,625 kN MC = 21,25 kN# m NC = 0 VC = 0 MC = 1,5 kN# m VA = 0, NA = -39 kN, MA = -2,425 kN# m a = L 3 NC = 0 VC = 2,875 kN MC = 6,56 kN# m ND = 0 VD = 1,75 kN MD = 9,75 kN# m 7.2. 7.3. 7.5. 7.6. 7.7. 7.9. NC = -30 kN, VC = -8 kN, MC = 6 kN# m P = 0,533 kN, NC = -2 kN, VC = -0,533 kN, MC = 0,400 kN# m NE = 470 N, VE = 215 N ME = 660 N# m, NF = 0 VF = -215 N, MF = 660 N# m a = L 3 ND = -1350 N = -1,35 kN VD = -600 N MD = -300 N# m NC = 0, VC = -1,50 kN, MC = 13,5 kN# m VA = 3 kN, NA = 13,2 kN, MA = 3,82 kN# m VB = 3 kN, NB = 16,2 kN, MB = 14,3 kN# m NC = 400 N, VC = -96 N, MC = -144 N# m NE = 720 N, VE = 1,12 kN, ME = -320 N# m, NF = 0, VF = -1,24 kN, MF = -1,41 kN# m NC = -20,0 kN, VC = 70,6 kN, MC = -302 kN# m a b = 1 4 ND = 0, VD = 8 kN, MD = -9,75 kN, NE = 0, VE = 5 kN, ME = 7,5 kN# m VC = 2,49 kN, NC = 2,49 kN, MC = 4,97 kN# m, ND = 0, VD = -2,49 kN, MD = 16,5 kN# m NE = 0, VE = -50 N, ME = -100 N# m ND = 0, VD = 750 N, MD = -1300 N# m NC = 0 VC = 3,25 kN MC = 9,375 kN # m ND = 0 VD = 1 kN MD = 13,5 kN # m ND = -2,25 kN, VD = 1,25 kN, -1,88 kN# m NE = 1,25 kN, VE = 0, MB = 1,69 kN# m VD = -4,50 kN ND = -14,0 kN MD = -13,5 kN# m 7.10. 7.11. 7.13. 7.14. 7.15. 7.17. 7.18. 7.19. 7.21. 7.22. 7.23. 7.25. 7.26. 7.27. 7.29. 7.30. 7.31. Respostas de problemas selecionados 585 7.33. ND = -800 N, VD = 0, MD = 1,20 kN# m w = 100 N/m V = 0,278 w0 r, N = 0,0759 w0 r, M = 0,0759 w0 r2 ND = 1,26 kN, VD = 0, MD = 500 N# m NE = -1,48 kN, VE = 500 N, ME = 1000 N# m d = 0,200 m VDx = 116,00 kN, NDy = -65,60 kN, VDz = 0,00, MDx = 49,20, MDy = 87,00, MDz = 26,20 Cx = -170 N, Cy = -50 N Cz = 500 N Mcx = 1 MN # m Mcy = 900 N # m Mcz = -260 N # m 7.34. 7.35. 7.37. 7.38. 7.39. 7.41. 7.42. 7.43. Nx = -500 N, Vy = 100 N, Vz = 900 N, Mx = 600 N# m, My = -900 N# m, Mz = 400 N# m 0 … x 6 a: V = -wx, M = - w 2 x2 a 6 x … 2a: V = w(2a - x), M = 2wax - 2wa2 - w 2 x2 0 … x 6 L 3: V = 0, M = 0, L 3 6 x 6 2L 3 : V = 0, M = M0, 2L 3 6 x … L: V = 0, M = 0, 0 … x 6 8 3 m: V = 0, M = 0, 8 3 m 6 x 16 3 m: V = 0, M = 500 N# m, 16 3 m 6 x … 8 m: V = 0, M = 0 Mmáx = 2 kN# m V = 0,75 kN M = 0,75 x kN# m V = 3,75 - 1,5 x kN M = -0,75x2 + 3,75x - 3 kN# m x = 1,732 m Mmáx = 0,75(1,732) - 0,08333(1,732)3 = 0,866 a. 0 … x 6 a: V = a1 - a LbP, M = a1 - a LbPx, a 6 x … L: V = - a a LbP, M = P aa - a L xb b. 0 … x 6 2 m: V = 6 kN, M = {6x} kN # m 2 m # 6 x … 6 m: V = -3 kN, M = {18 - 3x} kN # m V = wL 8 M = wL 8 x V = w 8 (5L - 8x) M = w 8 (-L2 + 5Lx - 4x2) 7.45. 7.46. 7.47. 7.50. 7.53. 7.54. 7.55. 7.58. V = w 4 (3L - 4x) M = w 4 (3Lx - 2x2 - L2) V = (4 - 2x) kN M = (-x2 + 4x - 10) kN# m V = 0,4 kN M = { 0,4x} kN# m V = { 5,20 - 2,40x} kN M = { -1,2x2 + 5,2x - 4,8} kN# m V = e3,00 - x2 4 f kN M = e3,00x - x3 12 f kN# m x = L 2, P = 4Mmáx L V = ght 2d x2 M = - ght 6d x3 V = P 2 sen u N = p 2 cos u M = pr 2 (1 - cos u) N = P sen (u + f), V = -P cos (u + f), M = Pr [sen (u + f) - sen f] x = 1-, V = 450 N, M = 450 N# m, x = 3+, V = -950 N, M = 950 N# m x = 1-, V = 600 N, M = 600 N# m x = 2+, V = -375 N, M = 750 N# m x = 2,75, V = 0, M = 1356 N# m x = 2+, V = -14,3, M = -8,6 x = 1,76 m x = 3, V = 3,00 kN, M = -1,50 kN# m x = 3, V = -2,25 kN, M = 20,25 kN# m x = 4,5-, V = -31,5 kN, M = -45,0 kN# m, x = 8,5+, V = 36,0 kN, M = -54,0 kN# m x = 1,5 V = 7,50 kN M = -6,75 kN# m x = 1,5 V = 4,50 kN M = -4,50 kN# m x = 0, V = 13,5 kN, M = -9,5 kN# m x = 3, V = 0, M = 18,0 kN# m V = -27,0 kN, x = 6-, M = -18,0 kN # m 7.59. 7.61. 7.62. 7.63. 7.65. 7.66. 7.67. 7.71. 7.73. 7.74. 7.77. 7.79. 7.82. 7.83. 7.85. 7.87. 7.89. 7.90. 7.91. 7.93. 7.94. Tmáx = 157,2 N, yB = 2,43 m TBD = 390,9 N, TAC = 378,4 kN TCD = 218,4 N, IT = 4,674 m xB = 5,39 m P = 700 N yB = 2,22 m, yD = 1,55 m TAB = 413 N TBC = 282 N yC = 3,08 m TCD = 358 N Mp = 37,47 kg Mp = 37,5 kg yc = 3,03 m 7.95. 7.97. 7.98. 7.99. 7.101. 7.102. 586 ESTÁTICA 7.103. yB = 3,53 m, P = 0,8 kN, Tmáx = TDE = 8,17 kN w0 = 77,8 kN/m y = (38,5x2 + 577x)(10-3) m Tmáx = 5,20 kN Tmáx = 1,30 MN Tmáx = 594 kN Tmín = 552 kN TB = 54,52 kN TA = 46,40 kN h = 7,09 m y = 4,5a1 - cos p 24 xb m Tmáx = 60,2 kN h = 1,47 m FA = 11,1 kN, FC = 11,1 kN, h = 23,5 m h L = 0,141 Peso total = 4,00 MN Tmáx = 2,01 MN L = 10,39 m L = 16,8 m y = 45,512 { cosh[(0,0219722)x]-1} m L = 52,553 m 7.105. 7.106. 7.107. 7.109. 7.110. 7.111. 7.112. 7.113. 7.114. 7.115. 7.117. 7.118. 7.121. 7.122. 7.123. Capítulo 8 8.1. P = 12,8 kN x = 0,5 m NA = 16,5 kN, NB = 42,3 kN, Não se move. f = u, P = W sen(a + u) F = 2,76 kN a. Não b. Sim a. Não b. Sim u = 21,8 8.2. 8.3. 8.6. 8.7. 8.9. 8.10. 8.11. 8.13. P = M0 msra (b + ms C) b = h ms + d 2 u = tg -1 7ms u = 30,00 P = 1,14 kN Se FA = 444 N 6 FAmáx = 515 N 8.14. 8.15. 8.17. 8.18. então nossa suposição de não deslizamento está correta. 8.21. FA = 0,44 kN, NA = 1,47 kN, NB = 1,24 kN u = 35,5 P = 740 N P = 860 N FA = 71,4 N u = 33,4 u = 11,0 n = 12 NC = 280,2 N, P = 140 N, A = 523,5 mm FC = 30,5 N, NC = 152,3 N x1 = 0,79 m m s = 0,376 8.22. 8.23. 8.25. 8.26. 8.27. 8.29. 8.30. 8.31. 8.33. 8.34. Se P = 1 2 W, ms = 1 3 Se P 1 2 W, ms = (P + W) - 2(W + 7P)(W - P) 2(2P - W) para 0 6 P 6 W P = 32,1 N u = 31,0 P = 654 N Oy = 400 N, Ox = 46,4 N 286 N 8.35. 8.37. 8.38. 8.39. 8.41. 8.42. O bloco deixa de estar em equilíbrio. 8.43. m = 0,509 8.45. mC = 0,0734, mB = 0,0964 8.46. Ele consegue mover a caixa. 8.47. m = 66,7 kg P = 355 N 146 N m = 54,9 kg mB = 0,105 mC = 0,138 P = 107 N m = 0,176 h = 2 25 am x = 18,3 mm P = 2,39 kN P = 5,53 kN, sim 8.49. 8.50. 8.51. 8.53. 8.54. 8.55. 8.57. 8.58. 8.59. 8.61. 8.62. 215 N u = 33,4 W = 7,19 kN O parafuso é autotravante. FAB = 1,38 kN (T), FBD = 828 N (C) FBC = 1,10 kN (C), FAC = 828 N (C) FAD = 1,10 kN (C), FCD = 1,38 kN (T) F = 66,7 N FCD = 674,32 N FG = 674 N P = 1,98 kN P = 2,85 kN M = 40,6 N# m P = 880 N M = 352 N# m F = 1,98 kN 8,09 N# m T = 4,02 kN F = 11,6 kN P = 104 N P = 1,54 kN a. F = 1,31 kN b. F = 372 N a. F = 4,60 kN b. F = 16,2 kN Aproximadamente 2 voltas (695°) mA = 2,22 kg u = 99,2 P = 736 N mA = 7,82 kg P = 19,6 N 8.63. 8.65. 8.66. 8.67. 8.69. 8.70. 8.71. 8.73. 8.75. 8.77. 8.78. 8.79. 8.81. 8.82. 8.83. 8.85. 8.86. 8.87. 8.89. 8.90. 8.91. 8.93. 8.94. Respostas de problemas selecionados 587 8.95. M = 458 N# m MC = 136 kg (controla!) M = 134 N# m P = 223 N M = 75,4 N# m, V = 0,171 m3 P = 53,6 N mD = 4,25 kg M = 50,0 N# m, x = 286 mm M = 3,37 N# m Fs = 85,4 N M = 132 N# m M = 16,1 N# m M = 237 N# m M = 1 2 ms P(R2 + R1) M = 2ms PR 3 cos u M = 17,0 N# m P = 118 N P = 68,97 N 8.97. 8.98. 8.99. 8.101. 8.102. 8.103. 8.105. 8.106. 8.107. 8.109. 8.110. 8.111. 8.113. 8.114. 8.115. 8.117. 8.118. P = 145,0 N F = 18,9 N P = 814 N 8,08 N u = 68,2 , M = 0,0455 N# m (rf)A = rAms = 25(0,3) = 7,50 mm (rf)B = rBms = 10(0,3) = 3 mm r = 20,6 mm P = 299 N P = 131 N d = 38,5 mm 8.119. 8.121. 8.122. 8.123. 8.125. 8.126. 8.127. 8.129. 8.131. Capítulo 9 9.1. x = 124 mm, y = 0 x = 0,299a y = 0,537a x = 0,574 m, Bx = 0, Ay = 63,1 N, By = 84,8 N y = 0,857 m y = 2 5 m x = 0,398 m x = 3 8 a y = p 8 a x = 0 x = 3 2 m x = 3 4 b y = 3 10 h x = 6 m y = hn + 1 (2n + 1) A = 19,2 m2, y = 1,43 m x = 3 8 a 9.2. 9.3. 9.5. 9.6. 9.7. 9.9. 9.10. 9.11. 9.13. 9.14. 9.15. 9.17. 9.18. 9.19. 9.21. x = b - a ln b a A = c2ln b a y = c2(b - a) 2ab ln b a x = a(1 + n) 2(2 + n) 9.22. 9.23. 9.25. m = 1 4 r0r4t x = 8 15 r y = 8 15 r A = a2 p, x = ap - 2 2p ba A = a2 p, y = p 8 a y = pa 8 x = 1,26 m, y = 0,143 m, NB = 47,9 kN, Ax = 33,9 kN, Ay = 73,9 kN x = c 2(n + 1) 3(n + 2)d a x = 1 3 (a + b) y = h 3 x = 50,0 mm x = 2 3ar sen a a b x = 0,785 a x = y = 0, z = 4 3 m z = R2 + 3r2 + 2rR 4(R2 + r2 + rR) h z = 5 6 h z = 4 3 m y = 3 8 b, x = z = 0 m = pkr4 4 z = 8 15 r z = c 4 zc = 0,422 m z = 0,675a x = 179 mm x = 0, y = 58,3 mm y = 154 mm d = 3 m x = 231 mm y = 133 mm z = 16,7 mm 9.26. 9.27. 9.29. 9.30. 9.31. 9.33. 9.34. 9.35. 9.37. 9.38. 9.39. 9.41. 9.42. 9.43. 9.45. 9.46. 9.47. 9.49. 9.50. 9.51. 9.53. 9.54. 9.55. 9.57. 588 ESTÁTICA 9.58. x = 112 mm, y = 112 mm, z = 136 mm x = W1 W b y = b(W2 - W1)2b2 - c2 cW y = 272 mm x = 77,2 mm, y = 31,7 mm y = 79,7 mm y = 85,9 mm y = 53,0 mm y = 135 mm x = 2,22 m, y = 1,41 m y = 22(a2 + at - t2) 2(2a - t) n … L d x = 2 3 r sen3 a a - sen 2a 2 y = 291 mm x = 64,1 mm z = 58,1 mm z = 305 mm z = 359 mm z = 128 mm h = 323 mm z = 463 mm h = a3 - a22a2 - pr2 pr2 m = 16,4 kg, x = 153 mm, y = -15 mm, z = 111 mm z = 122 mm x = 22,7 mm y = 29,5 mm z = 22,6 mm A = 47,1 m2 V = 22,1 m3 A = p(2p + 11)a2 V = 25,5 m2 Número de litros = 14,4 litros A = 188 m2 V = 207 m A = 276(103) mm2 V = 0,114 m3 A = 2,25 m2 A = 8pba, V = 2pba2 V = 2 3 pab2 Q = 205 MJ h = 139 mm h = 29,9 mm 9.59. 9.61. 9.62. 9.63. 9.65. 9.66. 9.67. 9.69. 9.70. 9.71. 9.73. 9.74. 9.75. 9.77. 9.78. 9.79. 9.81. 9.82. 9.83. 9.85. 9.86. 9.87. 9.89. 9.90. 9.91. 9.93. 9.94. 9.95. 9.97. 9.98. 9.99. 9.101. 9.102. 9.103. 9.105. 9.106. 9.107. 9.109. 9.110. V = 1,403 (106) mm3 153 litros A = 1365 m2 m = 138 kg x = 0 y = 2,40 m By = Cy = 12,8 kN Ay = 17,1 kN FR = 27,0 kN x = 0,778 m y = 0,833 m 9.111. 9.113. 9.114. 9.115. 9.117. 9.118. FRx = 2rlp0ap 2 b, FR = plrp0 FR = 4ab p2 p0, x = a 2 , y = b 2 d = 2,61 m F.S. = 2,71 FR = 2,77 MN, h = 5,22 m, Ffundo = 3,02 MN Para a água: FRA = 157 kN, FRB = 235 kN Para o óleo: d = 4,22 m FB = 29,4 kN, FA = 235 kN FR = 6,93 kN y = -0,125 m F = 3,85 kN d = 0,625 m FR = 170 kN 9.119. 9.121. 9.122. 9.123. 9.125. 9.126. 9.127. 9.129. 9.130. Capítulo 10 10.1. Ix = 0,133 m4 Iy = 0,286 m4 Ix = 0,267 m4 Ix = 457(106) mm4 Iy = 53,3(106) mm4 Ix = ab3 3(3n + 1) Ix = 4a4 9p Iy = ap2 - 4 p3 ba4 Ix = p 8 m4 Ix = 614 m4 Iy = 85,3 m4 Iy = r0 4 8(sen a + a) Ix = 0,267 m4 Iy = 0,305 m4 Ix = 1 30 bh3 Ix = 3ab3 35 10.2. 10.3. 10.5. 10.6. 10.7. 10.9. 10.10. 10.11. 10.13. 10.14. 10.15. 10.17. 10.18. 10.19. 10.21. 10.22. Iy = 3a3b 35 Ix = 0,8 m4 A = 14,0(103) mm2 Iy = 798(106) mm4 Iy = 10,3(109) mm4 Iy = 90,2(106) mm4 y = 52,5 mm, Ix = 16,6(106) mm4, Iy = 5,725(106) mm4 y = 91,7 mm Ix = 216(106) mm4 Iy = 153(106) mm4 Ix = 1,72(109) mm4 Iy = 2,03(109) mm4 y = 207 mm, Ix = 222 (106) mm4 y = 22,5 mm, Ix = 34,4(106) mm4 Iy = 12211062 mm4 10.23. 10.25. 10.26. 10.27. 10.29. 10.30. 10.31. 10.33. 10.34. 10.35. 10.37. 10.38. 10.39. Respostas de problemas selecionados 589 10.41. x = 71,32 mm, Iy = 3,60(106) mm4 Ix = 154(106) mm4 Iy = 91,3(106) mm4 x = 61,6 mm, Iy= = 41,2(106) mm4 Ix = r4 24 (6u - 3 sen 2u - 4 cos u sen3 u) Iy = r4 4 au + 1 2 sen 2u - 2 sen u cos3 ub Iy = ab sen u 12 (b2 + a2 cos2 u) y = 0,181 m, Ix = 4,23(10-3) m4 Ix= = 520(106) mm4 Ix = 49,5(106) mm4 Ixy = 1 3 tl3sen 2u Ixy = 3 16 b2 h2 Ixy = a2b2 4(n + 1) Ixy = 0 Ixy = 10,7 m4, Ix y = 1,07 m4 Ixy = 1 6 a2b2 Ixy = a4 280 Ixy = 98,4(106) mm4 x = y = 44,1 mm, Ix=y= = -6,26(106) mm4 Iuv = 135(10)6 mm4 Iu = 85,3(106) mm4 Iv = 85,3(106) mm4 Iu = 1,28(106) mm4, Iv = 3,31(106) mm4, Iuv = -1,75(106) mm4 Iu = 1,28(106) mm4, Iuv = -1,75(106) mm4, Iv = 3,31(106) mm4 10.42. 10.43. 10.45. 10.46. 10.47. 10.49. 10.50. 10.51. 10.53. 10.54. 10.55. 10.57. 10.58. 10.59. 10.61. 10.62. 10.63. 10.65. 10.66. 10.67. 10.69. 10.70. 10.71. Iu = 909(106) mm4 Iv = 703(106) mm4 Iu = 909(106) mm4 Iv = 703(106) mm4 Iuv = 179(106) mm4 Imáx = 17,4(106) mm4, Imín = 1,84(106) mm4 (up)1 = 60,0 , (up)2 = -30,0 Imáx = 17,4(106) mm4, Imín = 1,84(106) mm4, (up)2 = 30,0 , (up)1 = 60,0 Imáx = 113(106) mm4 Imín = 5,03(106) mm4 (up)1 = 12,3 (up)2 = -77,0 Imáx = (450 + 276,59)(10-6) = 727(10-6) m4 Imín = (450 - 276,59)(10-6) = 173(10-6) m4 tg 2(up)2 = 60 450 - 180; 2(up)2 = 12,53 (up)2 = 6,26 2(up)1 = 2(up)2 + 180 = 12,53 + 180 = 192,53 (up)1 = 96,26 = 96,3 Imáx = 4,92(106) mm4 Imín = 1,36(106) mm4 Imáx = 4,92(106) mm4 Imín = 1,36(106) mm4 10.72. 10.73. 10.74. 10.75. 10.77. 10.78. 10.79. 10.81. y = 825 mm Iu = 109 (108) mm4 Iv = 238 (108) mm4 Iuv = 111 (108) mm4 y = 82,5 mm Iu = 43,4 (106) mm4 Iv = 47,0 (106) mm4 Iuv = -3,08 (106) mm4 y = 82,5 mm Iu = 43,4 (106) mm4 Iv = 47,0 (106) mm4 Iuv = -3,08 (106) mm4 Iy = m 6 (a2 + h2) Ix = 2 5 mb2 Ix = 2 5 mb2 Ix = 1 3 ma2 Ix = 3 10 mr2 kx = A n + 2 2(n + 4) h Iz = 342 kg # m2 Iy = 1,71(103) kg # m2 10.82. 10.83. 10.85. 10.86. 10.87. 10.89. 10.90. 10.91. 10.93. 10.94. 10.95. IA = 0,0453 kg # m2 Iz = 1,53 kg # m2 y = 1,78 m, IG = 4,45 kg # m2 Iv = 3,25 g # m2 Iy = 0,144 kg # m2 Iz = 0,113 kg # m2 Iz = 34,2 kg # m2 k0 = 3,15 m L = 6,39 m Io = 53,2 kg # m2 IO = 0,276 kg # m2 IO = 1 2 ma2 y = 0,888 m IG = 5,61 kg # m2 10.97. 10.98. 10.99. 10.101. 10.102. 10.103. 10.105. 10.106. 10.107. 10.108. 10.109. Capítulo 11 11.1. F = 245,25 N F = 24,5 N F = 2P cotgu F = 4,62 kN P = ka (a sen u - l0) l k = 1,48 kN/m P = W 2 cotgu M = 13,1 N# m F = M 2a sen u u = 23,8 , u = 72,3 u = 41,2 u = 90 , u = 36,1 k = 166 N>m 11.2. 11.3. 11.5. 11.6. 11.7. 11.10. 11.11. 11.13. 11.14. 11.15. 11.17. 11.18. 590 ESTÁTICA 11.19. u = 17,2 dx = -0,09769 du F = 512 N F = 500 20,04 cos2 u + 0,6 (0,2 cos u + 20,04 cos2 u + 0,6) sen u u = 15,5 e u = 85,4 11.21. 11.22. 11.23. 11.25. y = 0,481 m, y = -925 m u = 38,7 instável, u = 90 estável, u = 141 instável x = 0,167 m d2V dx2 = -4 6 0 Instável d2V dx2 = 4 7 0 Estável Instável em u = 34,6 , estável em u = 145 u = cos-1a W 2kLb W = 2kL Equilíbrio instável em u = 90 Equilíbrio estável em u = 49,0 u = sen-1a4W ka b u = 90 W = 8k 3L u = 12,1 Instável k = 157 N>m Equilíbrio estável em u = 60 Equilíbrio estável em u = 24,6 Equilíbrio estável em u = 51,2 Equilíbrio instável em u = 4,71 u = 76,8 Estável m = 5,29 kg f = 17,4 , u = 9,18 W2 = W1ab ab sen u cos f Equilíbrio instável em u = 23,2 u = 0 u = cos-1a d 4ab 11.26. 11.27. 11.29. 11.30. 11.31. 11.33. 11.34. 11.35. 11.37. 11.38. 11.39. 11.41. 11.42. 11.43. 11.45. 11.46. 11.47. RICARDO PIERALISI RICPIERALISI@UFPR.BR AMANDA JAREK - AMANDA@UFPR.BR JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES JLSM@UFPR.BR LUIZ ALKIMIN DE LACERDA ALKIMIN@UFPR.BR PROFESSORES DA DISCIPLINA