Sequências Numéricas e Convergência Exercícios Resolvidos e Análise

Sn 1 12 13 1n 1n1 1x dx Como lim n 1n1 1x dx lim n lnn 1 resulta lim n sn Exercícios 12 1 É convergente ou divergente Justifique a sn k1 to n 1k3 b sn k1 to n 1k c sn k0 to n 12k d sn k1 to n 1k e sn k1 to n 1k2 1 f sn k1 to n ek g sn k2 to n 1k ln k Sugestão Verifique que ln k k para k 2 e utilize o Exemplo 2 h sn k2 to n 1k ln k Sugestão Verifique que 2 1x ln x dx 2 Considere a sequência a1 2 a2 22 a3 222 a Verifique que a sequência é crescente e limitada superiormente por 2 b Calcule lim n an 3 Sejam an e bn duas sequências com an crescente e bn decrescente e tais que para todo natural n bn an 0 Suponha ainda que lim n bn an 0 Prove que as sequências são convergentes e que lim n an lim n bn 4 Considere a sequência de termo geral sn k1 to n 1k1 ak com ak 0 para todo k 1 Suponha que lim k ak 0 Suponha ainda que a sequência de termo geral s2n1 n 0 seja decrescente e que a sequência de termo geral s2n n 1 seja crescente Prove que a sequência de termo geral lim k ak 0 Suponha ainda que a sequência de termo geral s2n1 n 0 seja decrescente e que a sequência de termo geral s2n n 1 seja crescente Prove que a sequência de termo geral sn k1 to n 1k1 ak é convergente 5 Para cada natural n 1 seja An o círculo x2 y2 n2 Prove que é convergente a sequência de termo geral